Apostila de Concreto Armado I

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ESCOLA DE ENGENHARIAR DA UFMG 
 
DEPARTAMENTODEENGENHARIA DE ESTRUTURAS – DEEs 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO ARMADO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ney Amorim Silva 
Março de 2005 
 
 
 
 
Para todo professor de concreto é uma tarefa gratificante escrever sobre o assunto de sua aula, 
principalmente nesse momento de mudança de norma em que existe uma carência natural de 
livros e apostilas contemplando as mudanças da nova NB 1, NBR-6118 de Março de 2003. 
 
Essa é a terceira edição da apostila destinada aos alunos do curso de graduação em 
Engenharia Civil, disciplina Concreto Armado I. Peço a gentileza que me informem todos os 
erros encontrados para serem consertados edições posteriores. 
 
Os capítulos de flexão simples e fissuração seguem as mesmas formulações das apostilas do 
Professor José de Miranda Tepedino, de saudosa memória, adaptadas para as mudanças 
inseridas pela nova norma. No caso da flexão simples essa adaptação foi feita pelo Pof 
Sebastião Salvador Real Pereira e já utilizada pelos alunos desde o segundo semestre de 2003. 
Nesses capítulos os trechos entre “aspas”, quando não referenciados de forma diferente, são 
transcrições das suas apostilas originais. 
 
Para o curso completo de Concreto Armado I, essa apostila deve ser complementada com a 
apostila de Domínios de Deformação, do Professor. José Celso da Cunha, além naturalmente 
das notas de aula. 
 
Gostaria de agradecer a todos os professores de concreto do DEEs, que me ajudaram na troca 
de idéias e nas correções, e com certeza continuarão a contribuir nas próximas edições desta 
apostila. 
 
 
 
 
 
 
 
Março de 2005 
 
Índice 
 
 
ASSUNTOS Página 
 
 
Capítulo 1 – Materiais 01 
 
Capítulo 2 – Flexão Normal Simples 29 
 
Capítulo 3 – Laje 55 
 
Capítulo 4 – Controle da Fissuração 94 
 
Capítulo 5 – Cisalhamento 113 
 
Capítulo 6 – Verificação da Aderência 141 
 
 
 
Capítulo I – MATERIAIS 
 
 
I.1 – Histórico 
 
O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se transformou neste 
período no material de construção mais utilizado no mundo, devido principalmente ao seu 
ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo são citadas algumas datas 
históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do concreto armado e protendido, 
conforme Rusch(1981). 
 
1824 – O empreiteiro escocês Josef ASPDIM desenvolveu um processo industrial para 
fabricação do cimento portland, assim chamado devido à semelhança com a cor das pedras 
calcáreas encontradas na ilha de Portland. 
 
1849/1855 – O francês Joseph Louiz LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde passava 
suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa de cimento e areia 
entremeados por fios de arame. O processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando 
estar revolucionando a industria naval, patenteou o novo produto, apresentando-o na feira 
internacional de Paris em 1855. 
 
1861 – O paisagista e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade o único a se 
interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo neste produto a solução para os 
seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais durante o inverno parisiense. O 
ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao apodrecimento precoce dos vasos feitos até 
então de madeira. O novo produto além de bem mais durável apresentava uma característica 
peculiar: se o barco era feito para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria 
também a sua saída, o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier, que a partir desta 
data começou a produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçadas com 
uma malha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um forte 
tino comercial e viu no novo produto grandes possibilidades passando a divulgar o concreto 
inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e em toda a Europa. Ele é considerado 
por muitos como o pai do concreto armado. Em 1865 construiu nos arredores de Paris uma 
ponte de concreto armado com 16,5 m de vão por 4m de largura. 
 
1867 – Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com armaduras de 
aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes e pontes. Construções 
construídas de forma empírica mostram que o inventor não possuía uma noção clara da função 
estrutural das armaduras de aço no concreto. 
 
1877 – O advogado americano Thaddeus HYATT publicou sobre seus ensaios com 
construções de concreto armado. Hyatt já reconhecia claramente o efeito da aderência aço-
concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da sua perfeita localização na peça 
de concreto. 
 
 1
1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que dão origem a introdução do concreto 
armado em outros países. 
 
1884 – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & 
JOSSEAUX , compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam-
se o direito de revenda para toda a Alemanha. 
1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A WAISS, que 
funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o “Sistema Monier”. 
Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de provas de carga as vantagens 
econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publicando estes resultados em 1887. 
Nesta mesma publicação o construtor oficial Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo 
governo Prussiano, desenvolve baseado nos ensaios, um método de dimensionamento empírico 
para alguns tipos de “Construções Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito 
estrutural das armaduras de aço. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta 
para o cálculo das armaduras de aço. 
 
1888 – O alemão DOHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno 
porte tem sua resistência aumentada através da protensão da armadura, constituída de fios de 
aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a idéia da protensão deliberada. 
 
1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de sistemas 
distintos, geralmente patenteados. O alemão E. MORSH desenvolve a teoria iniciada por 
Koenen e a sustenta através de inúmeros ensaios realizados sobre a incumbência da firma 
WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Morsh e publicados 
em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de 
dimensionamento de peças de concreto armado. 
 
1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras conduzia a 
peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas. 
Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 1910. Os ensaios 
mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram eliminados com a protensão. Entretanto 
Koenen e Morsh reconheceram já em 1912 uma perda razoável de protensão devido à retração 
e deformação lenta do concreto. 
 
 2
1928 - O francês FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só em 1928 é 
o primeiro engenheiro projetista a reconhecer a importância bem maior da protensão na 
construção civil. Estuda as perdas devido a retração e deformação lenta do concreto e registra 
várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai do concreto 
protendido. 
 
 
I.2 – Viabilidade do concreto armado 
 
As três propriedades abaixo em conjunto é que viabilizam o material concreto armado: 
 
• Aderência aço-concreto – estatalvez seja a mais importante das propriedades uma vez que 
é a responsável pela transferência das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para 
as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois 
materiais. 
• Coeficiente de dilatação térmica do aço e do concreto são praticamente iguais – esta 
propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a situação 
extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de comprometer a perfeita 
aderência aço-concreto. 
• Proteção da armadura contra a corrosão – Esta proteção que está intimamente relacionada 
com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteção física 
e a proteção química. A primeira é garantida quando se atende os requisitos de cobrimento 
mínimo preconizado pela NBR 6118(2003) que protege de forma direta as armaduras das 
intempéries. A proteção química ocorre devido a presença da cal no processo químico de 
produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada 
passivadora cujo ph se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão. 
Quando a frente de carbonatação, que acontece devido a presença de gás carbônico (CO2) 
do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é despassivada 
pela reação química do (CO2) com a cal, produzindo ácidos que abaixam o ph desta 
camada para níveis iguais ou inferiores a 11,5 , criando condições favoráveis para o 
processo eletro-químico da corrosão se iniciar. A corrosão pode acontecer 
independentemente da carbonatação, na presença de cloretos (íons cloro Cl-), ou sulfatos 
(S--). 
 
 3
I.3 – Vantagens do concreto armado 
 
• Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram o 
concreto em um século e meio no material para construção mais usado no mundo. 
• Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução – a produção do 
concreto não requer mão de obra especializada e com relativa facilidade se consegue 
qualquer tipo de forma propiciada por uma fôrma de madeira. 
• Estrutura monolítica – (monos – única, litos – pedra) esta propriedade garante à estrutura 
de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau de 
hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de concreto. Além 
disso quando a peça está submetida a um esforço maior que a sua capacidade elástica 
resistente, a mesma ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, transferindo às 
peças adjacentes a responsabilidade de absorver os mesmos. 
• Manutenção e conservação praticamente nulas – a idéia que a estrutura de concreto armado 
é eterna não é mais aceita no meio técnico, uma nova mentalidade associa à qualidade de 
execução do concreto, em todas as suas etapas, um programa preventivo de manutenção e 
conservação. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construção esta 
manutenção e conservação acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo no entanto 
da vida útil das obras de concreto armado. 
• Resistência a efeitos térmicos-atmosféricos e a desgaste mecânicos. 
 
 
I.4 – Desvantagens do concreto armado 
 
• Peso próprio – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu grande peso 
próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto protendido ou 
mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente mais viáveis. A sua 
massa específica é dada pela NBR 6118(2003) como 2500 Kg/m3; 
• Dificuldade de reformas e demolições (hoje amenizada com tecnologias avançadas e 
equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolições); 
• Baixo grau de proteção térmica – embora resista normalmente à ação do fogo a estrutura de 
concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos 
para proporcionar um conforto térmico adequado a construção. 
 4
• Fissuração – a fissuração que é um fenômeno inevitável nas peças de concreto armado 
tracionadas, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto, foi por muitas 
décadas considerado uma desvantagem do material. Já a partir do final da década de 
setenta, este fenômeno passou a ser controlado, baseado numa redistribuição das bitolas da 
armadura de tração, em novos valores de cobrimentos mínimos e até mesmo na diminuição 
das tensões de serviço das armaduras, pelo acréscimo das mesmas. Cabe salientar que a 
fissuração não foi eliminada, apenas controlada para valores de aberturas máximas na face 
do concreto de tal forma a não comprometer a vida útil do concreto armado. 
 
 
I.5 - Concreto 
 
I.5.1 – Propriedades mecânicas do concreto 
 
 Resistência à compressão 
A resistência mecânica do concreto a compressão devido a sua função estrutural assumida no 
material composto concreto armado é a principal propriedade mecânica do material concreto a 
ser analisada e estudada. Esta propriedade é obtida através de ensaios de compressão simples 
realizados em corpos de provas (CPs), com dimensões e procedimentos previamente 
estabelecidos em normas nacionais e estrangeiras. 
A resistência a compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do corpo de prova e a 
duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabelecendo-se um corpo de prova 
cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, que é recomendado pela 
maioria das normas do mundo, inclusive as brasileiras. 
Em outros paises, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de prova cúbico de 
aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistência a compressão 
ligeiramente superior ao obtido pelo cilíndrico. Isto se deve a sua forma, onde o efeito do atrito 
entre as faces do corpo de prova carregadas e os pratos da máquina de ensaio, confina de forma 
mais efetiva o CP cúbico que o cilíndrico, devido a uma maior restrição ao deslocamento 
transversal das faces carregadas. 
Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85 , que quando aplicado ao CP cúbico 
transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, podendo assim ser 
usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto. 
 5
Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração e sabe-se a partir 
dos ensaios realizados pelo alemão Rusch, que este valor é ligeiramente superior ao obtido 
quando o ensaio é de longa duração. Isto se deve a microfissuração interna do concreto, que se 
processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito 
ampliado devido a interligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade 
resistente do CP a compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma 
estrutura é de longa duração deve-se corrigir os resultados do ensaio de curta duração por um 
fator, denominado coeficiente de Rusch, igual a 0,85. 
 
 Resistência característica do concreto a compressão (fck) 
Quando os resultados dos ensaios a compressão de um determinado número de CPs são 
colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as resistências obtidas e nas 
ordenadas a freqüência com que as mesmas ocorrem, o gráfico final obedece a uma curva 
normal de distribuição de freqüência, ou curva de Gauss. 
Observa-se neste gráfico que a resistência que apresenta a maior freqüência de ocorrência é a 
resistência média fcj, aos “j” dias, e que o valor eqüidistante entre a resistência média e os 
pontos de inflexão da curva é o desvio-padrão “s” (ver fig. 1.1), cujos valores são dados 
respectivamente por: 
 
 
n
f
f cicj
∑= (1.1) 
 
 
( )
1n
ff
s
2
cjci
−
−= ∑ (1.2) 
 
onde n é o número de CPs e fci é a resistência à compressãode cada CP “i”. 
 
 
 
 
 
 
 
 6
Frequência 
 
 
 
 
Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações 
probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial: a resistência característica (fck) do lote 
de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos resultados 
obtidos (ou seja um valor com 95% de probabilidade de ocorrência)(ver fig. 1.2). 
5% 95% 
fck 
Frequência 
Figura 1.2 – Resistência característica do concreto à compressão 
 s s 
 
Freq,max 
Resist. média fcj Resistência do concreto fc 
Figura 1.1 – Curva normal de distribuição de freqüências 
(Curva de Gauss)
 7
Para um quantil de 5% obtem-se a partir da curva de Gauss: 
 
 
 fck = fcj – 1,65 s (1.3) 
 
 
A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em todo o mundo 
percebe-se que o desvio-padrão “s” é principalmente dependente da qualidade de execução e 
não da resistência do concreto. A NBR-12655(1996) que trata do preparo, controle e 
recebimento do concreto, define baseada na sua expressão (2.3) que o cálculo da resistência 
de dosagem deve ser feito segundo a equação: 
 
 fcj = fck + 1,65 sd (1.4) 
 
onde sd representa o desvio-padrão de dosagem. 
 
De acordo com a NBR-12655(1996) o cálculo da resistência de dosagem do concreto 
depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a seguir: 
 
• Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os agregados são medidos 
em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo 
dosador e corrigida em função da umidade dos agregados; 
• Condição B 
• Aplicável às classes C10 até C25 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento 
é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa 
combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3; 
• Aplicável às classes C10 até C20 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento 
é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A 
umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do 
mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é corrigido através da curva de 
inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado; 
• Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido 
em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em 
 8
 
Ainda de acordo com a NBR-12655(1996), no início da obra ou em qualquer outra 
circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o 
cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a 
condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Mesmo 
quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor 
que 2,0 MPa. 
Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da 
condição de preparo do concreto 
 
 
Condição Desvio-padrão 
MPa 
A 4,0 
B 5,5 
 C1) 7,0 
 
 
 
1) Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se para os 
concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico. 
 
 
Módulo de elasticidade longitudinal 
O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama σxε (tensão x 
deformação) é obtido pela derivada dσ/dε no ponto considerado, que representa a inclinação 
da tangente à curva no ponto..De todos os módulos tangentes possíveis o seu valor na origem 
tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço na estrutura não devem superar a 
40% da tensão de ruptura do concreto, e neste trecho inicial o diagrama σxε é praticamente 
linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-6118(2003) o módulo de elasticidade ou módulo 
de deformação tangente inicial é dado por: 
 
 Eci = 5600 (fck)1/2 (1.5) 
 
 9
com Eci e fck dados em MPa. 
 
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, 
principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos estados limites 
de serviço, deve ser calculado por: 
 
 Ecs = 0,85 Eci (1.6) 
 
 
Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118(2003) para tensões de compressão inferiores a 
0,5.fc e para tensões de tração inferiores a fct, o coeficiente de Poisson e o módulo de 
elasticidade transversal são dados respectivamente por: 
 
 ν = 0,2 (1.7) 
 
 Gc = 0,4 Ecs (1.8) 
 
 
Diagramas tensão-deformação (σxε) 
Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118(2003) o diagrama σxε na compressão para tensões 
inferiores a 0,5 fc pode ser adotado como linear e as tensões calculadas com a lei de Hooke, 
com o módulo de elasticidade igual ao secante Ecs. 
Para os estados limites últimos o diagrama σxε na compressão é dado pela figura (1.3) abaixo, 
onde se nota dois trechos distintos, o primeiro curvo segundo uma parábola de segundo grau, 
com deformações inferiores a 0,2%, e o segundo constante, com deformações variando de 
0,2% a 0,35%. Para o trecho curvo a tensão no concreto é dada por: 
 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
c
cdc 0,002
ε110,85fσ (1.9) 
 
 
 10
 
 fck 
 
 
 0,85fcd 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
c
cdc 0,002
ε110,85fσ
 
 
 
Na equação (1.9) fcd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 da 
NBR-6118(2003). 
 
Na tração o diagrama σxε é bilinear conforme a figura (1.4) abaixo: 
 
 
 
 2‰ 3,5‰ εc 
 
Figura 1.3 – Diagramas tensão-deformação do concreto na compressão 
 
Eci 
 σct 
 
 fct 
 
 0,9fct 
0,15‰ εct
Figura 1.4 – Diagrama tensão-deformação bi-linear do concreto à tração 
 11
Resistência à tração 
Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118(2003) a resistência a tração direta do concreto (fct) é 
dado por: 
 
 fct = 0,9 fct,st (1.10) 
ou 
 fct = 0,7 fct,f (1.11) 
 
onde fct,st é a resistência a tração indireta e fct,f é a resistência a tração na flexão. Na falta 
desses valores pode-se obter a resistência média a tração dada por: 
 
 fct,m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) (1.12) 
 
Os valores inferior e superior para a resistência característica a tração (fctk) são dados por: 
 
 fctk,inf = 0,7 fct,m (1.13a) 
 
 fctk,sup = 1,3 fct,m (1.13b) 
 
 
I.5.2 – Características reológicas do concreto 
 
Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da física que investiga as propriedades e o 
comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos”. 
 
Retração (shrinkage) 
A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento (e, portanto, de 
direção, sendo, pois, uma deformação volumétrica) que ocorre devido à perda de parte da 
água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando este “seca” em 
contato com o ar. 
 
A deformação específica de retração do concreto εcs pode ser calculada conforme indica o 
anexo A da NBR 6118(2003). Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada 
simplificadamente através da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior da 
 12
deformação específica de retração entre os instantes to e t∞, εcs(t∞, to), em função da umidade 
relativa do ar e da espessura equivalente ou fictícia em , dada por: 
 
 em= (2 Ac) /u (1.14) 
 
onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. 
 
Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC e 20 oC, 
podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Esses valores são válidos 
para concretos plásticos e de cimento Portland comum. 
 
Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do 
concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na NBR-6118(2003), o 
valor de εcs(t∞, to) pode ser adotado igual a –15x10-5. Esse valor admite elementos estruturais 
de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%. 
 
O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. 
 
 
Fluência (creep) 
A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento 
da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada. 
Devido a esta deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça, provocando 
este fato uma expulsão de água quimicamente inerte, de camadas mais internas para regiões 
superficiais da peça, onde a mesma já tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao 
longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se desta forma um crescimento da 
deformação inicial, até um valor máximo no tempo infinito, mesmo sob tensão constante. 
 
Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do concreto podem 
ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118(2003). Nos casos em que a 
tensão σc(to) não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas 
simplificadamente pela expressão: 
 
 13
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∞∞ (28)E
)t(t
)(tE
1)(tσ)tε(t
ci
0,
0ci
0c0,
ϕ
 (1.15) 
 
onde: - εc(t∞, to) é a deformação específica total do concreto entre os instantes to e t∞; 
 - σc(to) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em to; 
 - ϕ(t∞, to) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por 
 carregamento aplicado em to. 
 
O valor de ϕ(t∞, to) pode ser calculado por interpolação da tabela 1.2. Esta tabela fornece o 
valor característico superior do coeficiente de fluência ϕ(t∞, to). O seu valor característico 
inferior é considerado nulo. 
 
 
Tabela 1.2 - Valores característicos superiores da 
 deformação especifica de retração εcs(t∞,to) e do 
 coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) 
 
 
 Umidade Ambiente 
% 40 55 75 90 
Espessura fictícia 
2 Ac/u (cm) 
 20 60 20 60 20 60 20 60 
ϕ(t∞, to) 
to 
dias 
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 
30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 
60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 
εcs(t∞, to) 
%o 
5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 
30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 
60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 
 
 
 
I.6 – Aço de armadura passiva 
 
Armadura passiva é a armadura usada nas peças de concreto armado. 
 
 
 
 14
I.6.1 – Categoria 
 
Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela 
NBR-7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto 
armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço em 
kN/cm2. Os valores nominais dos diâmetros, das seções transversais e da massa por metro são 
os estabelecidos pela NBR-7480(1996), cujos valores mais usados estão na tabela 1.3. 
 
 Tabela 1.3 – Valores nominais para fios e barras de aço 
 
Diâmetro nominal 
(mm) 
Massa 
Nominal 
(kg/m) 
Área nominal 
da seção 
(cm2) Fios Barras 
5,0 5,0 0,154 0,196 
6,0 0,222 0,283 
 6,3 0,245 0,312 
6,4 0,253 0,322 
7,0 0,302 0,385 
8,0 8,0 0,395 0,503 
9,5 0,558 0,709 
10,0 10,0 0,617 0,785 
- 12,5 0,963 1,227 
- 16 1,578 2,011 
- 20,0 2,466 3,142 
- 22,0 2,984 3,801 
- 25,0 3,853 4,909 
- 32,0 6,313 8,042 
- 40,0 9,865 12,566 
 
 
 
 
 15
I.6.2 – Tipo de superfície 
 
Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de 
aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo, ηb , deve atender ao indicado na 
NBR-6118(2003). 
Para os efeitos desta norma, a conformação superficial é medida pelo coeficiente η1 , cujo 
valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial ηb , como estabelecido na 
tabela 1.3, conforme tabela 8.2 da NBR-6118. 
. 
 
 
 
Tabela 1.3 - Relação entre η1 e ηb 
 
 
Tipo de Barra 
Coeficiente de conformação superficial 
ηb η1 
Lisa (CA-25) 1 1 
Entalhada (CA-60) 1.2 1.4 
Alta aderência (CA-50) ≥ 1,5 2.25 
 
 
Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o valor 7850 kg/m3. O 
valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de temperatura entre 20 oC e 150 oC 
pode ser adotado como 10-5/ oC. O módulo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores 
fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 GPa. 
 
I.6.3 – Diagrama tensão-deformação 
 
O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos da resistência ao escoamento 
fyk , da resistência a tração fstk e da deformação última de ruptura εuk devem ser obtidos de 
ensaios de tração realizados segundo a NBR-6152. O valor de fyk para os aços sem patamar de 
escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 ‰. 
 
Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama tensão-
deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços com ou sem patamar 
de escoamento. 
 16
 
Fig. 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras 
passivas 
Es
σs
εsεyd 10‰ 
 
I.7 – Definições da NBR 6118(2003) 
 
Concreto estrutural – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto 
como material estrutural 
 
Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos com concreto 
sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores aos mínimos 
estabelecidos nesta norma. 
 
Elementos de concreto armado – elementos estruturais produzidos com concreto cujo 
comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde não se aplicam 
deformações iniciais nas armaduras. 
 
Elementos de concreto protendido – elementos estruturais produzidos com concreto onde 
parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a 
finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da 
estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU( estado 
limite último). 
 
 17
Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de 
protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado. 
 
Armadura ativa (de protensão) – armadura constituída por barras, fios isolados ou 
cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-alongamento 
inicial. 
 
Estados limites 
• Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra 
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 
1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como 
corpo rígido; 
2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no 
seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 
3. estado limite último de esgotamento da capacidaderesistente da estrutura no 
seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 
4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
5. estado limite último de colapso progressivo; 
6. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos 
especiais. 
• Estados limites de serviço (ELS) 
1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado que se inicia a formação 
de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão máxima 
de tração na seção transversal for igual a fct,f , já definida anteriormente como a 
resistência característica à tração do concreto na flexão. 
2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissuras se 
apresentam com aberturas iguais aos m´ximos estabelecidos nesta norma. 
3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) – estado em que as 
deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal especificados 
nesta norma. 
4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) – estado em que as vibrações 
atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção. 
 
 
 18
I.8 – Ações 
 
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir 
efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os 
possíveis estados limites últimos e os de serviços. As ações são classificadas conforme a 
NBR-8681(2003) em permanente, variáveis e excepcionais. 
 
I.8.1 – Ações permanentes 
 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a 
vida da construção. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores 
representativos mais desfavoráveis para a segurança. 
 
I.8.1.1 – Ações permanentes diretas 
 
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos 
construtivos fixos e das instalações permanentes. 
• Peso próprio 
• Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes NBR 6120(1980) 
• Empuxos permanentes 
 
I.8.1.2 – Ações permanentes indiretas 
 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e 
fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. 
• Retração do concreto 
• Fluência do concreto 
• Deslocamentos de apoio 
• Imperfeições geométricas 
1. Imperfeições globais 
2. Imperfeições locais 
• Momento mínimo 
• Protensão 
 19
I.8.2 – Ações variáveis 
 
I.8.2.1 – Ações variáveis diretas 
 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da 
construção, pela ação do vento e da chuva. 
• Cargas acidentais previstas para o uso da construção 
• Ação do vento 
• Ação da água 
• Ações variáveis durante a construção 
 
I.8.2.2 – Ações variáveis indiretas 
• Variações uniformes de temperatura 
• Variações não uniformes de temperatura 
• Ações dinâmicas 
 
I.8.3 – Ações excepcionais 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não 
podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os 
valores definidos, em caso particular, por Normas Brasileiras específicas. 
 
I.8.4 – Valores das ações 
 
I.8.4.1 – Valores característicos 
 
Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-6118 (2003) em função da 
variabilidade de suas intensidades. 
 
Para as ações permanentes Fgk , os valores característicos devem ser adotados iguais aos 
valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos 
superiores ou inferiores. Esses valores são aqui definidos ou em normas específicas, como a 
NBR-6118(2003). 
 20
Os valores característicos das ações variáveis Fqk , estabelecidos por consenso em Normas 
Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de 
serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores 
são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6118(2003). 
 
I.8.4.2 – Valores representativos 
 
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 
1. os valores característicos conforme definido acima; 
2. valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações 
excepcionais; 
3. valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: 
• verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se combina 
com a ação principal.Os valores reduzidos são determinados a partir da expressão 
ψoFk , que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos 
valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes; 
• verificação de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são determinados 
a partir de ψ1Fk , que estima um valor freqüente e ψ2Fk , que estima valor quase 
permanente, de uma ação que acompanha a ação principal. 
 
I.8.4.3 – Valores de cálculo 
 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, 
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf definidos a seguir. 
 
 
I.8.5 – Coeficientes de ponderação das ações 
 
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente γf dado por: 
 
 γf = γf1 . γf2 . γf3 (1.16) 
onde: 
 21
• γf1 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a variabilidade das 
ações 
• γf2 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a simultaneidade de 
atuação das ações 
• γf3 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera os desvios gerados 
nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações 
 
I.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU 
 
Os valores-base são os apresentados na tabela 1.4 para γf1 . γf3 e na tabela 1.5 para γf2 . 
 
 Tabela 1.4 – Valores de γf1 . γf3 
Combinações 
de 
ações 
Ações
Permanentes 
(g) 
Variáveis 
(q) 
Protensão 
(p) 
Recalques de 
apoio e 
retração 
D1) F G T D F D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou de 
construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
Onde: 
D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temporária. 
1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das 
estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
 
I.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS 
 
Em geral , o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela 
expressão: 
 γf = γf2 (1.17) 
 
onde γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.5) 
• γf2 = 1 para combinações raras 
• γf2 = ψ1 para combinações freqüentes 
 22
• γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes. 
 
I.8.6 – Combinações de ações 
 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não 
desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período 
preestabelecido. 
 
 
 
 
 
 
 Tabela 1.5 – Valores do coeficiente γf2 
 
Ações 
 
γf2 
ψ0 ψ11) ψ2
Cargas 
acidentais 
de edifícios 
Locais em que não há predominância de 
peso de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, 
nem de elevadas concentrações de 
pessoas 2) 
0,5 0,4 0,3 
Locais em que há predominância de 
pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos 
de tempo, ou de elevada concentração 
de pessoas 3) 
0,7 0,6 0,4 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Vento Pressão dinâmica dovento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 
1) Para os valores ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 
23. 
2) Edifícios residenciais 
3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos 
 
 
 23
I.8.6.1 – Combinações últimas 
 
1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas as ações 
permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais 
ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, 
conforme NBR-8681(2003). 
2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação devem estar 
presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus 
valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de 
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-
8681(2003) 
3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar presentes as 
ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores 
representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de 
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-
8681(2003). Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso 
progressivo. 
4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão 
listadas na tabela 11.3 da NBR-6118(2003) 
 
I.8.6.2 – Combinações de serviço 
 
São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como: 
 
1. Quase permanente – podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e 
sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações 
excessivas (ELS-DEF); 
2. Freqüentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de 
fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser 
consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que 
possam comprometer as vedações; 
3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração 
pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. 
 24
4. Combinações de serviço usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão 
listadas na tabela 11.4 da NBR 6118(2003) 
 
 
I.8.7 – Resistências 
 
I.8.7.1 – Valores característicos 
 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material , têm uma 
determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. 
Pode ser de interesse determinar a resistência característica inferior fk,inf e a superior fk,sup , 
que são respectivamente menor e maior que a resistência média fm . Para efeito da NBR-6118 
(2003), a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% 
de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material. 
 
I.8.7.2 – Valores de cálculo 
 
1. Resistência de cálculo 
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
 
 fd = fk / γm (1.18) 
 
onde γm é o coeficiente de ponderação das resistências. 
 
2. Resistência de cálculo do concreto 
 
A resistência de cálculo do concreto fcd é obtida em duas situações distintas: 
• quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias 
 
 fcd = fck / γc (1.19) 
 
• quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias 
 
 25
 fcd = fckj / γc = (β1).(fck / γc) (1.19) 
 
sendo β1 a relação (fckj / fck ) dada por: 
 
 β1 = exp{s{1-(28/t)1/2]} (1.20) 
 
onde: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; 
 s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; 
 s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI 
 t é a idade efetiva do concreto, em dias. 
 
I.8.7.3 – Coeficientes de ponderação das resistências 
 
As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente: 
 
 γm = γm1 . γm2 . γm3 (1.21) 
 
onde: 
 
γm1 é a parte o coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera a 
variabilidade da resistência dos materiais envolvidos. 
 
γm2 é a parte do coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera a 
diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura. 
 
γm3 é a parte co coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera os 
desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das 
resistências. 
 
Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite último (ELU) 
 
Os valores para verificação no ELU estão indicados na tabela 1.6 
 
 26
 
 
Tabela 1.6 – Valores dos coeficientes γc e γs 
 
Combinações Concreto γc 
Aço 
γs 
Normais 1.4 1.15 
Especiais ou de 
construção 1.2 1.15 
Excepcionais 1.2 1 
 
 
 
 
 
Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite de serviço (ELS) 
 
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço não necessitam de minoração, 
portanto γm= 1. 
 
 
 
 
I.9 – Referências Bibliográficas 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 6118 – Projeto de 
estruturas de concreto 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1980) – NBR 6120 – Cargas para 
cálculo de estruturas de edificações – Procedimento 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1987) – NBR 6123 – Forças 
devidas ao vento em edificações – Procedimento 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 7480 – Barras e 
fios de aço destinados a armadura para concreto armado – Especificação 
 27
 28
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 8681 – Ações e 
segurança nas estruturas – Procedimento 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 12655 – Concreto 
– Preparo, controle e recebimento – Procedimento 
 
RUSCH, H. (1981) – Concreto armado e protendido, propriedades dos materiais e 
dimensionamento – Editora Campus, Rio de Janeiro 
 
 
 
Capítulo 2 - FLEXÃO NORMAL SIMPLES 
 
2.1 - Introdução 
 
 
Dentre os esforços solicitantes o momento fletor M é em condições normais o esforço 
preponderante no dimensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. Quando o 
momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seção 
transversal, a flexão é dita normal . Se simultaneamente atua uma força normal N ela é dita 
normal composta e na ausência desta, flexão normal simples. 
 
Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, podendo no entanto 
em situações especiais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso tem-se a flexão pura, 
situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simétricas P, quando se despreza o 
peso próprio da viga. 
 
Segundo o o item 16.1 da NBR 6118 (2003), o objetivo do dimensionamento, da verificação e 
do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites últimos (ELU) e de 
serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurança 
exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo: 
 
Sd ≤ Rd MS,d ≤ MR,d (2.1) 
 
Onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 2.1, designou-se por Rcc a resultante de compressão no concreto e por Rst a 
resultante de tração na armadura (aço = steel), na seção em que atua o momento solicitante de 
cálculo Md. Como é flexão simples, Nd = 0, tem-se queo momento interno resistente é 
equivalente a ação do binário: 
 
 Rcc . z = Rst . z = Md (2.2) 
 
Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o concreto um material 
menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a barra seja submetida a um momento 
Md Rcc 
 
z Rst Nd=0 
Seção Transversal
Figura 2.1 – Esforços externos e internos na seção transversal 
 29
 
 
 P P
 
 
 
 
 As 
 
 Figura 2.2 – Fissuras de flexão 
 
 
fletor capaz de produzir tensões de tração superiores às que o concreto possa suportar, surgem 
fissuras de flexão transversais, conforme mostrado na figura 2.2. 
 
A “costura” dessas fissuras pela armadura de flexão As impede que as mesmas cresçam 
indefinidamente ocasionando a ruptura total da peça. Conforme será visto no capítulo 4, a 
abertura dessas fissuras dependerá substancialmente das características e do detalhamento 
final da armadura de flexão. 
 
A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido basicamente a 
complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. Portanto para que essa 
tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma seção à flexão é alcançada quando, 
pelo aumento da solicitação, é atingido a ruptura do concreto à compressão ou da armadura à 
tração. Para seções parcialmente comprimidas, admite-se que ocorra a ruptura do concreto 
quando o mesmo atinge na sua fibra mais comprimida o encurtamento limite (último) 
εcc,u=3,5 ‰. Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um 
alongamento limite (último) εs,u = 10 ‰. O alongamento máximo de 10 ‰ se deve a uma 
limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alongamento real de 
ruptura do aço, que é bem superior a esse valor. 
 
Atinge-se, então, o estado limite último - ELU, correspondente a ruptura do concreto 
comprimido ou a deformação plástica excessiva da armadura.O momento fletor Md é o 
momento de ruptura, enquanto o momento de serviço será o de ruptura dividido pelo 
coeficiente de ponderação das ações γf, ou seja: 
 
 
 Msev = Md / γf (2.3) 
 
 30
Conforme o item 17.2 da NBR 6118, na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga 
ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas: 
 
1. As seções transversais se mantêm planas após a deformação; os vários casos possíveis são 
ilustrados na figura 2.3; 
2. a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do 
concreto em seu entorno; 
3. as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas, 
obrigatoriamente no ELU; 
4. Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções parcialmente comprimidas 
considera-se o valor convencional de 3,5 ‰ (domínios 3,4 e 4a da figura 3). Nas seções 
inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais 
comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 3,5 ‰ a 2 ‰, mantendo-se inalterado e igual 
a 2 ‰ a deformação a 3/7 da altura da seção, a partir da borda mais comprimida. 
5. Para o alongamento máximo de ruptura do aço considera-se o valor convencional de 10 ‰ 
(domínios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformação plástica excessiva. 
6. A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagrama 
parábola-retângulo da figura 2.4. Permite-se a substituição desse por um diagrama 
retangular simplificado de altura y=0,8 x (x é a profundidade da linha neutra), com a 
seguinte tensão: 
 
 0,85 . fcd = 0,85 . fck / γc = σcd = fc (2.4) 
 
no caso em que a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminua a 
partir desta para a borda comprimida; 
 
 0,80 . fcd = 0,80 . fck / γc = σcd = fc (2.5) 
 
no caso contrário. 
 
7 A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformações usando os 
diagramas tensão-deformação, com seus valores de cálculo. 
 31
 Alongamento Encurtamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 - Seção subarmada, normalmente armada e superarmada 
 
No caso particular de flexão simples, dos domínios existentes ficam eliminados os de número 
1 (seção totalmente tracionada), 4a e 5 (seção totalmente comprimida), restando pois os 
domínios possíveis 2,3 e 4. 
 
Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção sub-armada (a armadura escoa 
antes da ruptura do concreto à compressão: εsd ≥ εyd). O domínio 4 corresponde ao que se 
2,0%o 
3,5%o 2,0%o d’ 
B 
h
7
3 a 
d 
b 
C 2 1 
h 
5 3 4 A 
4aεyd 10,0%
Figura 2.3 – Domínios de deformação (Tepdino/NBR-6118) 
σcd=0,85fcd 
ou 0,80fcd 3,5%o σcd=0,85fcd
y 
= 
0.
8x
 
x 
h 
Figura 2.4 – Diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado do concreto 
(Tepedino) 
 32
denomina seção superarmada (o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura 
antes da armadura escoar: εsd < εyd). 
 
Costuma-se chamar normalmente armada uma seção que funciona no limite entre as duas 
situações acima, isto é, no qual, teoricamente, o esmagamento convencional do concreto 
comprimido e a deformação de escoamento do aço ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a 
situação de peças normalmente armadas ocorre no limite entre os domínios 3 e 4. 
 
Segundo Tepedinio “em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser, 
talvez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No entanto, a 
superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do aço. Por isto 
mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas ou normalmente armadas, 
sendo a mesma desaconselhável pela NBR 6118”. 
 
A NBR 6118 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de momentos e condições 
de dutilidade: 
 
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no 
ELU. Quanto menor é x/d, maior é essa capacidade. 
 
 
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoios das vigas ou de ligações com 
outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços 
solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: 
a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou 
b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa;” 
 
E no item 17.2.3, dutilidade de vigas: 
 
“Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é 
importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de 
compressão que garante a posição adequada da linha neutra (x), conforme 14.6.4.3 
 
 33
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores de 
x (posição da linha neutra), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos 
estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está 
associada a posição da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” 
 
 
2.3 - Seção retangular à flexão simples 
 
Segundo Tepedino “no caso da seção retangular, pode-se, sem erro considerável e obtendo-se 
grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (seção subarmada ou normalmente 
armada), o diagrama retangular para as tensões no concreto, permitido pela NBR 6118, 
representado na figura 2.5.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que a tensão σsd na armadura tracionada seja igual a fyd, é necessário e suficiente que a 
profundidade relativa da linha neutra (x/d) seja menor ou igual à profundidade relativa limite 
do domínio 3, dada por: 
 
 
0,035ε
0,035d
x
ξ
ydlim3,
lim3, +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= (2.6) 
 
com εyd, deformação de cálculo ao escoamento da armadura, dada por: 
 
b 
h 
Asfyd 
Rcc = fc.b.y 
A’sσ’s
εc ≤ 0,0035 fc = σcd = 0,85fcd 
Md 
εs≥εyd 
ε’s
y = 0.8x
d 
x 
Figura 2.5 – Seção retangular à flexão simples 
d’
 
A’s 
As 
 34
 εyd = fyd / Es (2.7) 
 
De acordo a figura 2.5 pode-se escrever as seguintes equações de equilíbrio: 
 
 ∑ MAs = 0 ⇒ Md = Rcc . (d – y/2) + A’s . σ’sd . (d – d’) (2.8) 
 
 ∑ Fh = 0 ⇒ Nd = 0 = Rcc + A’s . σ’sd – As . fyd (2.9) 
 
Ao dividir todos os termos da equação (2.8), de equilíbrio em termos de momentos, por uma 
quantidade que tem a mesma dimensão de um momento, como o termo fc.b.d2, obtém-se uma 
equação de equilíbrio em termos adimensionais, que depois de substituído o valor de 
Rcc=fc.b.y e cancelados os valores iguais no numerador e denominador fica: 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=
d
d'1
bdf
σ'A'K'K
c
sds (2.10) 
Onde: 
 2
c
d
bdf
MK = (2.11) 
é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor solicitante (externo) 
de cálculo; 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
=
2
α
αα
2d
y1
d
y
bdf
2
ydbyf
K' 2
c
c
 (2.12) 
 
é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de 
cálculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.10) mede a intensidade do 
momento fletor resistente (interno) de cálculo, devido à armadura A’s comprimida. 
 
Na equação (2.12), α é o valor da profundidade relativa da linha neutra referente ao diagrama 
retangular simplificado de tensões no concreto, ou seja: 
 
 α = (y/d) = 0,8 . (x/d) = 0,8 . ξ (2.13) 
 35
 
A equação (2.12) representa uma equação do segundo grau em α e ,portanto, conforme (2.13), 
em função da incógnita x (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece 
entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível: 
 
 (2.14) 2K'11α −−= 
 
Voltando-se à equação (2.10), multiplicando-se e dividindo-se o último termo 
simultaneamente por fyd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A’s: 
 
 φ
d
d'1
K'K
f
bdfA'
yd
c
s ÷
−
−= (2.15) 
Onde φ representa o nível de tensão na armadura comprimida, dada por: 
 
 φ = σ’sd / fyd ≤ 1 (2.16) 
 
A partir da equação de equilíbrio (2.9) determina-se a armadura de tração As dada por: 
 
 
yd
sds
yd
c
s f
σ'A'
f
byfA += (2.17) 
 
Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.17) por d e 
substituindo a relação σ’sd / fyd do terceiro termo pela equação (2.16), obtém-se: 
 
 φA'
d
y
f
bdfA s
yd
c
s += (2.18) 
 
De (2.13) e (2.14) sabe-se que (y/d) = α = 1 – (1 – 2.K’)1/2 que levado em(2.18) fornece: 
 
 As = As1 + As2 (2.19) 
com 
 36
 ( 2K'11
f
bdfA
yd
c
s1 −−= ) (2.20) 
 
d
d'1
K'K
f
bdf
φA'A
yd
c
ss2
−
−== (2.21) 
Uma vez calculada a armadura As, com sua parcela As2 pode-se obter a armadura A’s dada 
por: 
 
 A’s = As2 / φ (2.22) 
 
As expressões (2.19) a (2.22) são as utilizadas para o cálculo à flexão de vigas com seção 
retangular. 
 
A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo 
Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente 
apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por 
K’). A única possibilidade matemática de se ter armadura A’s nula e conseqüentemente 
também As2, é fazer em (2.15) ou em (2.21) K = K’. Essa igualdade tem uma explicação 
física coerente com a situação de armadura simples (sem armadura de compressão), ou seja: 
- quando o momento externo Md, (K), for equilibrado pelo momento interno devido ao 
concreto comprimido, (K’), isto é K = K’, não é necessário armadura de compressão. 
 
Conforme visto anteriormente na equação (2.6), a máxima profundidade relativa da linha 
neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a correspondente ao limite do 
domínio 3. Com essa profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente 
K’L, que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a 
partir da equação (2.12), obtém-se: 
 
 KL = K’L = αL (1 - αL / 2) (2.23) 
 
Com 
 αL = (y/d)L = 0,8.(x/d)L = 0,8 . ξ3,lim (2.24) 
 
 37
O valor de ξ3,lim depende do tipo de aço empregado, assim como as outras grandezas da tabela 
2.1 abaixo. 
 
 Tabela 2.1 – Valores de KL sem a consideração da dutilidade 
 
Aço fyd 
(kN/cm2) 
εyd 
(‰) 
ξ3,lim 
(x/d)3,lim
αL KL 
CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427 
CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376 
CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358 
 
 
A relação ξ = (x/d), além de satisfazer ao limite estabelecido em (2.6), que gerou a tabela 2.1, 
deve também atender aos limites fixados pela NBR 6118 em 14.6.4.3, para melhoria da 
dutilidade, que fixa a profundidade relativa limite em: 
 
 ξlim = (x/d)lim ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa 
 (2.25) 
 ξlim = (x/d)lim ≤ 0,40 para concretos com fck ≤ 35 MPa 
 
Observando-se a tabela 2.1 nota-se que todos os valores de ξ3,lim são superiores aos das 
equações (2.25) e que, portanto, para se atender às prescrições de melhoria de dutilidade das 
vigas deve-se ter os seguintes valores de KL da tabela 2.2, que agora não mais dependem do 
tipo de aço, mas sim apenas se a resistência fck do concreto é inferior ou não a 35 MPa. 
 
 
 Tabela 2.2 – Valores finais de KL, com a consideração da dutilidade 
 
 
fck 
 
KL 
≤ 35 MPa 0,320 
> 35 MPa 0,269 
 
 
A partir da equação (2.11) e considerando os valores limites da tabela 2.2, obtém-se: 
 
 Md,L = KL . (fc.b.d2) (2.26) 
 38
 
bfK
Md
cL
d
L = (2.27) 
onde: 
• Md,L é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples 
• dL é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura simples 
 
Caso o momento de cálculo atuante seja maior que Md,L ou ainda que a altura útil seja menor 
que dL,o que significa em ambos, K > KL, torna-se necessário para o equilíbrio a armadura de 
compressão A’s. Essa situação, com a utilização simultânea de armadura de tração As e de 
compressão A’s, caracteriza seções dimensionadas à flexão com armadura dupla. 
 
Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser 
antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.2, caso se pretenda 
absorver um momento solicitante superior ao Md,L apenas com armadura de tração, isso não 
significa necessariamente peças superarmadas. Já com os valores da tabela 2.1, caso a mesma 
situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), essa seção 
será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.1 referem-se ao final 
do domínio 3. 
 
Na situação de armadura dupla K > KL (Md > Md,L), basta fazer nas equações de 
dimensionamento à flexão em seções retangulares, equações (2.19) a (2.22), K’ = KL. Essa 
igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto 
comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples 
KL. Essa parcela do momento total será resistida pelo concreto comprimido e pela armadura 
tracionada As1. A diferença (Md – Md,L), que em termos adimensionais fica (K – KL), será 
absorvida pela parcela da armadura de tração As2 e pela armadura de compressão A’s. 
 
No cálculo da armadura A’s aparece o nível detensão φ na armadura comprimida, que 
normalmente vale 1, ou seja σ’sd = fyd. A tensão na armadura comprimida σ’sd é função da 
deformação ε’sd, que por sua vez depende da profundidade relativa da linha neutra ξ = (x/d). 
Na situação de armadura dupla (onde A’s ≠ 0) essa profundidade relativa é constante e igual a 
ξlim = (x/d)lim dado na equação (2.25), para cada uma das duas faixas de resistência do 
concreto (fck≤ 35 MPa ou fck> 35 MPa). 
 39
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando os valores limites da equação (2.25) nota-se que ambos, (x/d)=0,4 e (x/d)=0,5, 
são menores que os valores de ξ3,lim = (x/d)3,lim da tabela 2.1, para as três categorias de aço 
CA-25, CA-50 e CA-60. Além disso, o valor da profundidade relativa do domínio 2 é dado 
por ξ2,lim = (x/d)2,lim = (3,5 / 13,5) = 0,259. Pode-se concluir, portanto, que para as três 
categorias de aço empregados em peças de concreto armado, a profundidade relativa limite 
que define a armadura dupla estará no domínio 3, ou seja: 
 
 ξ2,lim = 0,259 < ξlim = (x/d)lim < ξ3,lim (2.28) 
 
A definição do ELU para o domínio 3 é εc,max = 3,5 ‰, conforme indicado na figura 2.6. A 
deformação ε’s pode ser calculada a partir da seguinte equação, retirada por semelhança de 
triângulos na figura 2.6: 
 
 
limlim
s
x
0,035
d'x
ε' =− (2.29) 
 
 0,035
d
x
d
d'
d
x
0,035
x
d'x
ε'
lim
lim
lim
lim
s ×
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=×−= (2.30) 
 
Caso ε’s seja menor que o valor da deformação de cálculo correspondente ao escoamento εyd, 
a tensão σ’sd é obtida pela aplicação da Lei de Hooke, σ’sd = Es . ε’s, o que implica em valor 
εs
εc,max=0,035 d’ 
xlim ε’s
d 
Figura 2.6 – Diagrama de deformação na armadura dupla 
 40
de φ menor que 1. Caso contrário σ’sd = fyd, o que implica em φ = 1. Fazendo ε’s ≥ εyd em 
(2.30) obtém-se a inequação (2.31) que expressa a relação (d’/d) abaixo da qual se tem φ = 1: 
 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
0,035
ε
1
d
x
d
d' yd
lim
 (2.31) 
 
O aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente usado para flexão em lajes, 
onde não se usa armadura dupla, restando, pois o aço CA-50, que é o mais utilizado para 
flexão em vigas. Para esse aço εyd = 2,07 ‰, e considerando (x/d)lim = 0,5 (fck≤35 MPa) a 
equação (2.31) fica: 
 
 (d’/d) ≤ 0,204 ou (d/d’) ≥ 4,896 (2.32) 
 
Esse valor expresso por (2.32), assim como para outros tipos de aço e (x/d)lim, estão indicados 
na tabela 2.3. 
 
 Tabela 2.3 – Valores das relações entre d e d’, para se ter φ = 1(nível de tensão em A’s) 
 
 
Aço 
fck ≤ 35 MPa 
(x/d)lim = 0,5 
fck > 35 MPa 
(x/d)lim = 0,40 
(d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ 
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 
CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 
CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 
 
 
Os valores da tabela 2.3 são as relações usuais para vigas de concreto armado, ou seja, 
geralmente o nível de tensão na armadura comprimida é igual a 1. No entanto, para situações 
pouco comuns, não contempladas na tabela 2.3, o valor de φ = σ’sd / fyd ≤ 1, pode ser obtido 
com σ’sd = Es . ε’s ≤ fyd, a partir da equação (2.30): 
 
 1
f
E0,035
d
x
d
d'
d
x
φ
yd
s
lim
lim ≤××
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= (2.33) 
 
 
Todo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples encontra-se de 
forma resumida na próxima página. 
 
 41
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores de KL 
fck KL 
≤ 35 MPa 0,320 
> 35 MPa 0,269 
 
 
 Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1 
Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa 
(d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ 
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 
CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 
CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 
 
 
A’s d’ 
As
b
d 
y=0,8x
Md 
σcd=fc=0,85fcd 
A’s.σ’s
Rcc=fcby 
Asfyd d
-y
/2
 
 d
-d
’ 
FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO RETANGULAR (TEPEDINO)
 K ≤ KL ⇒ K’ = K 
2
c
d
bdf
MK = 
 > KL ⇒ K’ = KL 
 
 
 K
( )2K'11
f
bdfA
yd
c
s1 −−= 
s2s1s AAA +≥ 
 
 
 
d
d'1
K'K
f
bdfA
yd
c
s2 −
−= 
 
0,8
αdx =2K'11α −−=φAA' s2s ÷= 
 
 
yd
sd
f
σ'
φ = 
 ( ) ( )( )
lim
lim
yd d
x
d
d'
d
x
f
735
φ
−=
2 fyd em kN/cm
 42
2.4 – Seção T ou L à flexão simples 
 
“Nas estruturas de concreto armado são muito freqüentes as seções em T ou L, uma vez que 
as nervuras das vigas são normalmente solidárias às lajes, que colaboram na resistência à 
compressão, conforme mostrado na figura 2.7. 
 
É necessário salientar que uma viga de concreto armado com seção geométrica em T ou L, 
isto é, composta de uma nervura e uma mesa, somente pode ser considerada como tal no 
cálculo, quando a mesa estiver comprimida; caso contrário a seção se comportará como 
retangular de largura bw”(Tepedino). 
 
Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular 
simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (y ≤ hf), a seção será tratada como 
retangular, de largura bf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do diagrama 
parábola-retângulo pelo retangular simplificado. 
 
hf 
bf 
d’ =f
bw
d 
x
Figura 2.7 – Seção T à flexão simples 
εs
ε’s
εc
 
y=0,8x 
Md 
σcd c=0,85fcd
A’sσ’sd 
Rcc 
A fs yd
 43
Para seções normalmente armadas ou subarmadas (εs ≥ εyd ⇒ σs = fyd), podem ser montadas 
as seguintes equações de equilíbrio: 
 
 ( ) ( )d'dσ'A'
2
hdhbbf
2
ydybfM sdsffwfcwcd −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= (2.34) 
 
 
 (2.35) ( ) 0fAσ'A'hbbfybfN ydssdsfwfcwcd =−+−+=
 
Transformando-se a equação (2.34) conforme procedimento análogo ao da seção retangular e 
lembrando-se que α = y/d e φ = σ’sd/fyd obtém-se: 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
d
d'1
bdf
φfA'
2d
h1
d
h1
b
b
2
α1α
bdf
M
c
ydsff
w
f
2
c
d (2.36) 
 
Fazendo-se 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
2d
h1
d
h1
b
b
bdf
MK ff
w
f
2
c
d (2.37) 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
2
α1αK' (2.38) 
 
Nota-se pelo valor de K em (2.37), que ao diminuir do momento total solicitante de cálculo 
Md o momento resistido apenas pelas laterais da mesa comprimida - fc(bf-bw)hf(d-hf/2), o 
problema se transforma na flexão de uma seção retangular de largura bw. 
 
Levando-se (2.37) e (2.38) em (2.36) obtém-se: 
 
 φ
d
d'1
KK'
f
dbfA'
yd
wc
s ÷
−
−= (2.39) 
 
 44
Os critérios para limitação do valor de K são os mesmos da seção retangular, portanto: 
 
 K ≤ KL ⇒ K’ = K 
 
 K > KL ⇒ K’ = KL 
 
Da equação (2.35) obtém-se: 
 
 s
f
w
f
yd
wc
s φA'd
h1
b
b
α
f
dbfA +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+= (2.40) 
 
O valor de α pode ser obtido de (2.38) resultando como na seção retangular a expressão 
(2.14), que levada em (2.40) fica: 
 
 As = As1 + As2 (2.41) 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−−=
d
h1
b
b2K'11
f
dbfA f
w
f
yd
wc
s1 (2.42) 
 
 
d
d'1
K'K
f
dbfA
yd
wc
s2
−
−= (2.43) 
 
Da mesma forma que na seção retangular 
 
 (2.44) φAA' s2s ÷=
 
Fazendo-se bf = bw nas equações (2.41) a (2.44)elas se transformam nas equações (2.19) a 
(2.22) para a seção retangular, como era de se esperar. 
 
Analisando-se a equação (2.37) nota-se que quando K = 0, o momento externo de cálculo Md 
é igual ao momento interno resistido apenas pelas laterais comprimidas da mesa. Como nesse 
caso o trecho da mesa de largura bw ainda está comprimido, a profundidade da linha neutra 
 45
será menor que hf, para se ter o equilíbrio. Isso significa que mesmo para pequenos valores de 
K positivos, a linha neutra cortará a mesa e o dimensionamento se fará como seção retangular 
de largura bf. O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estará parcialmente comprimida é 
encontrado fazendo-se em (2.37) K = K’,uma vez que para pequenos valores de K a armadura 
comprimida é igual a zero. Como K’ = α(1-α/2) e nesse caso y = hf, tem-se: 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −==
2d
h1
d
h
2
α1αK'K ff0 (2.45) 
 
Para valores de K ≤ K0 o dimensionamento deve ser feito como seção retangular bf x h. 
Embora esse seja o valor correto, sabe-se que usando o limite do Prof. Tepedino, K ≤ 0, a 
armadura calculada como seção T com 0 ≤ K ≤ K0, dá o mesmo resultado que como seção 
retangular bf x h nesse mesmo intervalo. Portanto, para efeito dessa publicação será tomado 
como o limite para se ter a mesa parcialmente comprimida o estabelecido pelo Prof. 
Tepedino, K ≤ 0. 
 
Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguinte) conduz a 
valores de momentos resistentes internos, que dificilmente precisam de uma profundidade da 
linha neutra superior a hf. Nessa situação o melhor seria, determinar o máximo momento 
interno de cálculo resistido pela mesa inteiramente comprimida, denominado Md,referência e 
dado por: 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
2
hdhbfM fffcrefd, (2.46) 
 
 Md ≤ Md,ref ⇒ y ≤ hf ⇒ seção retangular bf x h 
 
 Md > Md,ref ⇒ y > hf ⇒ seção T ou L 
 
2.4.1 – Determinação da largura colaborante da mesa - bf 
 
Quando uma viga submetida à flexão deforma, ela traz consigo a laje que lhe é solidária, que 
se estiver comprimida auxiliará na absorção do momento fletor atuante. Adotando-se o 
 46
diagrama retangular simplificado da NBR-6118, a tensão na mesa comprimida 
correspondente ao trecho comum com a nervura (bw), deve ser igual a σcd = fc = 0,85fcd. 
 
Afastando-se desse trecho nos dois sentidos, conforme mostrado na figura 2.8, a tensão de 
compressão deve diminuir até zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa 
distribuição de tensões na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR-
6118 ela é substituída por uma distribuição uniforme simplificada, com tensão igual a fc, e 
com uma largura total igual a bf, de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as 
distribuições sejam estaticamente equivalentes. 
 
 
 
 
 
Segundo a NBR-6118, no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura 
bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para 
cada lado da viga em que houver laje colaborante. 
 
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado,como se 
apresenta a seguir: 
fc 
 bf 
Distribuição simplificada 
equivalente 
Distribuição real de 
tensões na mesa 
bw 
Figura 2.8 – Distribuição real e simplificada de tensões na mesa 
 47
• viga simplesmente apoiada a = 1,00 l, 
• tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75 l; 
• tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 l; 
• tramo em balanço a = 2,00 l. 
 
Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos 
diagramas de momentos fletores na estrutura. 
 
Devem ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 2.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b1 ≤ 0,5 b2 b1 ≤ 0,1 a 
 (2.47) 
 b3 ≤ b4 b3 ≤ 0,1 a 
 
 
 
 
 
 
 
 
bfbf 
c b3 b1 b1 b1
b4
c b2
bw bw 
Figura 2.9 – Largura da mesa colaborante 
 48
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 K ≤ KL K’ = K 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
2d
h1
d
h1
b
b
dbf
MK ff
w
f
2
wc
d K ≤ 0 seção retangular bf x h 
 K > KL K’ = KL 
 
 
 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−−=
d
h1
b
b2K'11
f
dbfA f
w
f
yd
wc
s1 
 s2s1s AAA +≥
 
d
d'1
K'K
f
dbfA
yd
wc
s2 −
−= 
 φAA' s2s ÷= 2K'11α −−= 0,8
αdx = 
 
 Valores de KL 
fck KL 
≤ 35 MPa 0,320 
> 35 MPa 0,269 
 
 
 Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1 
Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa 
(d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ 
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 
CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 
CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 
 
FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO T OU L (TEPEDINO) 
hf 
 
 
bf d’ σcd=fc=0,85fcd
A’sσ’sd 
Rcc 
A’s 
d Md 
As Asfyd 
bw 
 
 
yd
sd
f
σ'
φ = 
 ( ) ( )( )
lim
lim
yd d
x
d
d'
d
x
f
735
φ
−=
fyd em kN/cm2 
 49
2.5 – Prescrições de norma referente às vigas 
 
2.5.1 – Armadura longitudinal mínima de tração 
 
De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118, a armadura mínima de tração, em elementos 
estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a 
um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 
de 0,15 %. 
 
 Md,min = 0,8 .W0 . fctk,sup (2.48) 
 
Onde: 
• W0 é o modulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à 
fibra mais tracionada; 
• fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (item 8.2.5 da 
NBR-6118). 
 
De 8.2.5 sabe-se que: 
 
 fctk,sup = 1,3 . fctm = 0,39 . (fck)2/3 (MPa) (2.49) 
 
O dimensionamento para Md,min deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas 
de armadura da tabela 2.4 abaixo. 
 
A taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, ωmin, que aparece na 
tabela 2.4, é dada por: 
 
cd
yd
min
cdc
ydmins,
min f
f
ρ
fA
fA
ω == (2.50) 
De (2.50) pode-se obter ρmin a partir do valor dado de ωmin: 
 
 min
yd
cd
min ωf
f
ρ = (2.51) 
 
 
 50
 Tabela 2.4 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas 
 
 
Forma da 
seção 
Valores de ρmin1) = (As,min / Ac) - % 
 fck 
ωmin 
20 
MPa 
25 
MPa 
30 
MPa 
35 
MPa 
40 
MPa 
45 
MPa 
50 
MPa 
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
T – (Mesa 
comprimida) 
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 
T – (Mesa 
tracionada) 
0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 
1) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, ρmin deve ser calculado com base no valor de ωmin dado. 
NOTA –Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da 
mesa colaborante. 
 
 
 
Os valores da tabela 2.4 foram obtidos para aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15. Como exemplo para 
esses valores, a taxa mínima para seção retangular com concreto fck=30 MPa, fica: 
 
 ρmin = (30/1,4) x 0,035 / (500/1,15) = 0,00173 = 0,173 % 
 
Para outros valores de tipo de aço ou de coeficientes de ponderações dos materiais, não se 
pode usar a tabela 2.4, devendo-se calcular a taxa mínima pela equação (2.51), que é o caso 
por exemplo, das lajes, onde se usa normalmente aço CA-60. 
 
 
2.4.2