Apostila Triângulos

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GEOMETRIA PLANA
Introdução
 A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!
A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono. Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
	Polígono
	No. de lados
	Polígono
	No. de lados
	Triângulo
	3
	Quadrilátero
	4
	Pentágono
	5
	Hexágono
	6
	Heptágono
	7
	Octógono
	8
	Eneágono
	9
	Decágono
	10
	Undecágono
	11
	Dodecágono
	12
Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono. 
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180°;
As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90°.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.
Pipa ou papagaio: É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes. Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.
CONHEÇA A GEOMETRIA PLANA
Para se chegar à compreensão da necessidade de classificação de figuras, da forma como é usual na Geometria Euclidiana, é necessário obter compreendido as suas vantagens matemáticas. Sem esta compreensão, parece um jogo de palavras ter ouvido o professor afirmar que um triângulo isósceles é o que tem os lados iguais, e depois ver o professor permitir que um triângulo com os três lados iguais seja também isósceles. Só após o conhecimento de algumas propriedades das figuras é que os alunos compreenderão as vantagens de optar por uma classificação.
    Vamos optar por apresentar os diversos tipos de figuras em separado apenas por uma razão de "arrumação".
    Chamamos polígonos a qualquer porção do plano limitada por segmentos de reta que forma uma linha poligonal fechada. 
Adiçao de ângulos 
Se a semirreta Ob é interna ao ângulo c
 aOc, o ângulo aOc é a soma dos ângu- b
los aOb e bOc.
 ac = ab + bc O a 
Bissetriz de um ângulo b
Uma seirreta Oc interna a um c
 ângulo aOb é bissetriz do ângulo O 
 aOb se, e somente se,
 aOc ≡ bOc a
	A bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.
 
TRIÂNGULOS
    Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos.  
Quanto aos lados:  
           Equilátero                Isósceles                           Escaleno
  todos os lados iguais        dois lados iguais           todos os lados diferentes
                                 
  
Quanto aos ângulos:
   Acutângulo                          Obtusângulo                     Retângulo 
                                            
Um ângulo agudo             Um ângulo obtuso                Um ângulo reto
 
 
Algumas propriedades: 
    - Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais.
    - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
    - Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
    - Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo.  
  
Congruência de triângulos
Definição
Um triângulo é congruente ( símbolo ≡ ) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:
Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e
Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.
 
 AB ≡ A´B´ Â ≡ Â
 ΔABC ≡ ΔA´B´C´ AC ≡ A´C´ e B ≡ B´ 
 BC ≡ B´C´ C ≡ C
Casos de congruência
A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes. Essas condições (seis congruências: três entre lados e três entre ângulos) são totais. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. São os chamados casos ou critérios de congruências.
1° caso – LAL – postulado
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.
Esta proposição é um postulado e indica que, se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então o lado restante e os dois ângulos restantes também são ordenadamente congruentes.
 
Teorema do triangulo isósceles 
 	Se um triangulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos da base são congruentes.
	-Todo triângulo isósceles é isoângulo.
 A
 
 B C 
2° caso – ALA
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacente, então esses triângulos são congruentes.
Os ângulos adjacentes ao lado BC são B e C; os adjacentes ao lado B´C´ são B´e C´.
 
Notas
Esquema do 2° caso
B ≡ B´ AB ≡ A´B´
BC ≡ B´C´ => ΔABC≡ ΔA´B´C´ => A ≡ A
C ≡ C AC ≡ A´C´
Com base no 2° caso (ALA), pode-se provar a recíproca do teorema do triangulo isósceles.
Considerando um triângulo isósceles ABC de base BC, basta observar os triângulos ABC e ACB e proceder de modo análogo ao do teorema direto.
3° caso – LLL
Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes os três lados, então esse triângulos são congruentes.
 
 Hipòtese Tese
( AB ≡ A´B´, AC ≡ A´C´, BC ≡ B´C´ ) => ΔABC ≡ ΔA´B´C´
Mediana de um triângulo – definição 
	Mediana de um triângulo é um A
 segmento com extremidades num ver-
tice e no ponto médio do lado oposto.
M1 é o ponto médio do lado BC.
AM1 é a mediana relativa ao lado BC.
AM1 é a medida relativa ao vértice A.
 B M C
4°caso - LAAo
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.
 A A´
B C B´ C´
 Hipótese Tese
BC ≡ B´C´, B ≡ B´,  ≡ ´ = > ΔABC ≡ ΔA´B´C´
Caso especial de congruência de triângulos retângulos 
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.
 B B´
 C A C´ A´
 Hipótese Tese 
 ≡ ´ (retos), AB ≡ A´B´, BC ≡ B´C´ => ΔABC ≡ ΔA´B´C´
Desigualdades nos triângulos
Ao maior lado se opõe-se o maior ângulo
Se dois lados de um triangulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.
Ao maior ângulo opõe-se o maior lado
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.
A desigualdade triangular
Em todo triangulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.
Notas
1° ) A desigualdade triangular também pode ser enunciada como segue:
Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença dos outros dois.
2°) Se a, b e c são as medidas dos lados de um triangulo, devemos ter as três condições abaixo:
a < b + c b < a + c e c < a + b
Estas relações podem ser resumidas como segue:
 a < b + c 
 
 b < a + c <=> b – c < a <=> │b – c │ < a < b + c 
 <=>│b – c │ < a 
 c < a + b <=> c – b < a
. Razão e proporção 
Utiliza-se razão para comparar duas grandezas com a mesma unidade de medida
Genericamente, considerando p e q dois números racionais com q ≠ 0, denomina-se razão entre p e q ou razão de p para q o quociente ou p: q. Os números p e q são os termos de uma razão, em que o primeiro é chamado antecedente e o segundo, conseqüente.
Proporção é uma sentença matemática em que se igualam duas razoes.
Entao: = ( Lê-se: 7 está para 21, assim como 4 está para 12.)
Propriedade fundamental das proporções
Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:
 = => a . d = b . c
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios, numa proporção. 
Nessa proporção, o primeiro e o quarto termos são chamados extremos e o segundo e o terceiro, meios.
Exemplo: Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual . Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6 para 8, que é igual a , dividindo ambos os membros por 2 teremos os mesmos . Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a .
Em geometria dois segmentos são proporcionais a outros dois segmentos, quando a razão dos dois primeiros é igual a razão dos dois últimos. 
Paralelismo
Feixe de retas paralelas
Chama-se feixe de paralelas o conjunto de três ou mais retas paralelas de um mesmo plano.
Se uma reta intercepta essas paralelas, será dita transversal
 r
 a
 b feixe de paralelas
 c
 d
 transversal
Teorema
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinará segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
 a // b // c
 r e s transversal T EF ≈ FG
 AB ≈ BC
 r s
 a
 b 
 c
Traçando pelos pontos E e F os segmentos EH e FJ paralelos à reta r, temos: 
EH ≈ AB 
 ABE e BCJF são paralelogramos 
 FJ ≈ BC 
Comparando 
Você saberia dizer o que é um teorema?
Um teorema é algo diferente de uma teoria. 
Enquanto uma teoria é uma "especulação", um teorema é uma proposição que necessita ser "provada".
Tales, da cidade de Mileto, antiga colônia grega na Ásia Menor, hoje Turquia, nasceu por volta de 625 a.C.
Segundo o seu teorema, em um feixe de retas paralelas, os segmentos formados por retas transversais são proporcionais:
	
k 
Quadriláteros 
 
   - Os quadriláteros podem ser trapézios (com dois lados paralelos) e não trapézios (quando não tem lados paralelos). 
   - Os trapézios podem ser paralelogramos (com lados opostos paralelos) e trapézios propriamente ditos (apenas com dois lados paralelos).
 
                                        Paralelogramos      
 Retângulo           Losango           Quadrado  Paralelogramo
                                
             
Propriedades:
Retângulo: - lados opostos iguais
                  - quatro ângulos retos
                   - diagonais iguais que se bissetam
                   - dois eixos de simetria
 
Losango: - quatro lados iguais
             - ângulos opostos iguais
             - diagonais perpendiculares que se bissetam
             - dois eixos de simetria
 Quadrado: - quatro lados iguais
                 - quatro ângulos retos
                 - diagonais perpendiculares
                 - quatro eixos de simetria
 
Paralelogramo obliquângulo: - lados opostos iguais
                                          - ângulos opostos iguais
                                          - diagonais que se bissetam
                                          - não tem eixos de simetria   
 
Trapézios propriamente ditos
    Isósceles             Retangular                              Escaleno                                                   
 
Propriedades:
Isósceles: - dois lados iguais
               - um eixo de simetria 
Retângular: - um ângulo reto
                   - não tem eixos de simetria
Escaleno: - quatro lados diferentes
              - não tem eixos de simetria
 Polígonos
 
    Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos. Por exemplo:
    Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Por exemplo:
 
    Heptágonos- São polígonos de sete lados e sete ângulos. Por exemplo:
    Octógonos - São polígonos de oito lados e oito ângulos. Por exemplo:
 
 
    
Os polígonos podem ser côncavos ou convexos.
    Um polígono diz-se côncavo quando o prolongamento de pelo menos um dos seus lados corta o polígono em duas partes.
    Exemplo:
 
    Um polígono diz-se convexo quando o prolongamento de qualquer dos segmentos que o determina deixa o polígono de um só lado.
    Exemplo:
 
   Os polígonos podem ser regulares ou não regulares.
    Um polígono é regular se tem todos os lados e todos os ângulos iguais, caso contrário, diz-se não regular.
    Exemplo de polígonos regulares:
 
 
Circunferência (Círculo)
 
 
    Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de CENTRO da circunferência (ponto O). A distância constante denominamos de RAIO (indicado por r). 
    Por exemplo:
 
    Vejamos alguns elementos da circunferência:
      * Qualquer segmento que une o Centro a qualquer ponto da circunferência chama-se raio (r).
      * Qualquer segmento que une dois pontos quaisquer e distintos de uma circunferência chama-se CORDA.
 
      * A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se DIÂMETRO. Assim, o diâmetro é a maior corda da circunferência e seu comprimento é igual ao dobro do comprimento do raio. Vamos indicar o diâmetro por d, logo d=2r.
ÁREA DO RETÂNGULO
 
 
    Em um retângulo de lados a e b, figura abaixo, onde: 
      * a = medida do comprimento ou base
      * b = medida da largura ou altura
      * s = área total
   temos que: 
 
 
área do retângulo = b.h
ÁREA DO QUADRADO
  
    Considerando que o quadrado é um caso particular do retângulo, onde todos os lados são iguais, figura abaixo: 
      * l = medida do comprimento ou base
      * l = medida da largura ou altura
      * s = área total
   temos que: 
área do quadrado = l.l
ÁREA DE UMA REGIÃO TRIANGULAR (OU ÁREA DE UM TRIÂNGULO)
  
    Considere as seguintes figuras:
   Observe que, em qualquer uma das três figuras, a área do triângulo destacada é igual à metade da área do retângulo ABCD.
   Assim, de modo geral, temos:
 
área do triângulo = (b.h)/2
   Neste caso, podemos considerar qualquer lado do triângulo como base. A altura a ser considerada é a relativa a esse lado. 
 
 
ÁREA DE UM LOSANGO 
 
       O quadrilátero abaixo é um losango onde vamos considerar: 
   * O segmento PR representa a Diagonal Maior, cuja medida vamos indicar por D.
   * O segmento QS representa a Diagonal Menor, cuja medida vamos indicar por d.
   Você nota que a área do losango PQRS é igual à metade da área do losango cujas dimensões são as medidas D e d das diagonais do losango, então: 
área do losango = (D.d)/2
ÁREA DE UM TRAPÉZIO   
   Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:
     * MN é a base maior, cuja medida vamos representar por B. 
   * PQ é a base menor, cuja medida vamos representar por b.
   * A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida indicaremos por h.
 
Se traçarmos a diagonal QN, por exemplo, obteremos dois triângulos, QPN e QMN, que têm a mesma altura de medida h. 
 
 Da figura temos:
   - área do trapézio MNPQ=área do triângulo QPN + área do triângulo QMN
   - área do trapézio = (B.h)/2 + (b.h)/2
   - área do trapézio = (B.h+b.h)/2 
 
 
área do trapézio = (B + b).h/2
 
 
 
 
ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR  
 
   Considerando o polígono regular da figura abaixo, que é um pentágono.
   A partir do centro vamos decompor esse pentágono em triângulos que são isósceles e congruentes, em cada um desse triângulos temos.
      * base do triângulo, que corresponde ao lado do polígono e cuja a medida vamos indicar por l.
      * altura relativa à base do triângulo, que corresponde ao apótema do polígono e cuja medida vamos indicar por a.
   A área de cada triângulo é dada por (l.a)/2.
   Como são cinco triângulos, a área do polígono seria dada por: 5.(l.a)/2
   Logo, a área de um polígono regular, é dada por n.(l.a)/2, onde n = nº de lados do polígono.
área de um polígono regular = n.(l.a)/2
   Sabendo, que 5.l representa o perímetro (2p) do pentágono regular considerado , a expressão 5.l/2 representa a metade do perímetro ou o semiperímetro (p) do pentágono.
   Assim temos: área do pentágono = 5.l/2
   Generalizando para todos os polígonos regulares, podemos escrever: 
 
 
área de um polígono regular = p.a
 
ÁREA DE UM CÍRCULO
 
 
   Observe a seqüência de polígonos regulares inscritos numa Circunferência.
   Repare que a medida que o número de lados aumenta, o polígono regular tende a se confundir com a região limitada pela CINCUNFERÊNCIA, ou seja, o CÍRCULO.
   Assim:
      * o perímetro do polígono regular tende a se confundir com o comprimento da CINCUNFERÊNCIA (C=2.pi.r).
      * o semiperímetro do polígono tende ao valor 2.pi.r/2 = pi.r.
      * o apótema do polígono tende a coincidir com a altura o raio do círculo, então:
 
 
área de um círculo = pi.r.r
GLOSSÁRIO
 
 
   Altura: nome dado a alguns comprimentos.
               Em alguns triângulos, paralelogramos ou trapézios, altura é um segmento de reta desenhado a partir de um vértice, perpendicularmente ao lado oposto a ele. Esse lado oposto chama-se base. 
   Base: no retângulo base é o lado que não é considerado altura.
             Num triângulo ou paralelogramo base é o lado perpendicular à altura. 
   Centro: ponto no interior de uma circunferência ou esfera, eqüidistante de todos os pontos dela.
   Círculo: porção de um plano limitada por uma circunferência.
   Circunferência: curva plana, fechada, cujos pontos estão todos a mesma distância de um ponto interior, dito Centro.
   Diagonal: segmento de reta que liga dois vértices de um polígono, os vértices não podem ser vizinhos.
O segmento AB é uma diagonal do losango.
   Equilátero: o prefixo "equi" indica igualdade, um polígono é equilátero se todos os lados forem iguais.
   Geométria: palavra de origem Grega formada por Geo (terra) e metria (medida). Há 5000 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas áreas. Com o tempo, tornou-se a parte da matemática que estuda figuras como retângulos, cubos, esferas, etc.
   Perímetro: medida do contorno de uma figura geométrica plana (ou seja, soma de todos os lados).
   Raio: segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer da circunferência.
   Vértice: ponto comum a dois lados de um ângulo, a dois lados de um polígono ou a três ou mais arestas de uma figura espacial.
___
AB