cap 4 flexao pura

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apítulo 4
Flexão Pura
Flexão pura: Barras prismáticos
submetido à ação de dois conjugados 
iguais e de sentido contrário, que atuam 
em um mesmo plano longitudinal.
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apítulo 4
Outros tipos de carregamentos
• Carregamento excêntrico: 
carregamento axial o qual não passa 
através da centróide produz forças 
internas equivalente a uma força axial 
e um momento.
• Carregamento transversal: Cargas 
concentrada e transversal produz 
forças internas equivalente a força de 
cisalhamento e momento.
• Princípio de superposição: A tensão 
normal devido a flexão pura pode ser 
combinada com a tensão normal devido 
ao carregamento axial e tensão de 
cisalhamento, devido ao carregamento de 
cisalhamento, para encontrar o estado 
completo de tensão.
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apítulo 4
Flexão pura de barra prismática
• Forças internas em uma seção transversal são 
equivalente ao conjugado. O momento do 
conjugado é o momento de flexão.
∫ =−=
∫ ==
∫ ==
MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx
σ
σ
σ
0
0
• Da estática, um conjugado M consiste de duas 
forças iguais e opostas.
• A soma dos componentes de forças sobre um plano 
é zero.
• A soma das componentes e dos momentos dos 
esforços elementares deve ser igual à soma das 
componentes e dos momentos do conjugado M.
• O momento é a soma do conjugado sobre um eixo 
perpendicular e zero sobre o eixo que estar o 
plano.
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apítulo 4
Deformação na flexão pura
Vigas com um plano de simetria em flexão pura:
• Membros com linhas de simetria
• Flexão uniformemente para a forma de um arco 
circular
• O plano da seção transversal passa através do 
centro do arco e no plano
• O comprimento do topo decresce e o da base 
aumenta
• A superfície neutra existe e é paralela a superfície 
superior e inferior e, e seu comprimento não se 
altera
• As tensões e deformações são negativas (na 
compressão) acima da linha neutra e positiva a 
baixo (tração)
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apítulo 4
( )
( )
mx
m
m
x
c
y
c
ρ
c
yy
L
yyLL
yL
εε
ερε
ρρθ
θδε
θρθθρδ
θρ
−=
==
−=−==
−=−−=−=
−=′
or 
linearly) ries(strain va 
´
Considerar um segmento de viga de comprimento L
Após a deformação, o comprimento da linha neutra 
permanece L. As outras seções, 
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apítulo 4
linearly) varies(stressm
mxx
c
y
E
c
yE
σ
εεσ
−=
−==
∫
∫∫
−=
−===
dAy
c
dA
c
ydAF
m
mxx
σ
σσ
0
0
• Para material elástico
• Equilíbrio estático
• Primeiro, o momento em relação a 
linha neutra é zero. Portanto, a linha 
neutra passa através da centróide.
• Do equilíbrio estático
I
My
c
y
S
M
I
Mc
c
IdAy
c
M
dA
c
yydAyM
x
mx
m
mm
mx
−=
−=
==
==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=−=
∫
∫∫
σ
σσ
σ
σσ
σσ
 ngSubstituti
2
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apítulo 4
Propriedades das seções de vigas
• Tensão normal máxima devido ao carregamento,
resistente módulo
seção da inércia de momento 
==
=
==
c
IW
I
W
M
I
Mc
mσ
Uma viga com momerto de inércia da seção
maior terá menor tensão
• Considerar uma viga com seção retangular,
Ahbh
h
bh
c
IW 61
3
6
1
3
12
1
2
====
Entre duas vigas com mesma área de seção
transversal, a viga com maior profundidade
terá maior resistência. 
• Vigas metálicas são projetadas com grande
módulo resistente. 
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apítulo 4
Deformação em uma seção transversal
EI
M
I
Mc
EcEcc
mm
=
=== 11 σερ
ρ
ννεερ
ννεε yy xzxy =−==−=
inelástica curvatura 1 ==′ ρ
ν
ρ
• Deformação devido ao momento M é quantificado 
pela a curva da superfície neutra
• Através da seção transversal que permanecem 
planas quando submetida ao momento fletor, as 
deformações no plano não são nulos 
• A expansão acima da superfície neutra e 
contração abaixo causa no plano de curvatura
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apítulo 4
Problema resolvido 4.2 
Uma peça de máquina de ferro fundido 
fica submetida à ação do conjugado M 
de 3 kN.m. Sabendo-se que E=165GPa 
e desprezando o efeito da curvatura 
das arestas do perfil, determinar: a) as 
máximas tensões de tração e 
compressão no perfil; b) o raio de 
curvatura da peça fletida.
( )∑ +=∑∑= ′ 2dAIIAAyY x
SOLUÇÃO:
• Baseado na seção transversal, ,calcula-
se a localização da centróide e o 
momento de inércia
I
Mc
m =σ
• Aplica-se a fórmula de flexão elástica 
para encontrar as tensões máximas de 
tração e compressão,
EI
M=ρ
1
• Cálculo da curvatura
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apítulo 4
mm 38
3000
10114 3 =×=∑
∑=
A
AyY
∑ ×==∑
×=×
×=×
3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
( ) ( )
( ) ( )
49-3
23
12
123
12
1
23
12
12
m10868mm10868
18120040301218002090
×=×=
×+×+×+×=
∑ +=∑ +=′
I
dAbhdAIIx
SOLUÇÃO:
Com base na seção transversal calcula-se ao 
centróide e momento de inércia
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apítulo 4
49
49
mm10868
m038.0mkN 3
mm10868
m022.0mkN 3
−
−
×
×⋅−=−=
×
×⋅==
=
I
cM
I
cM
I
Mc
B
B
A
A
m
σ
σ
σ
MPa0.76+=Aσ
MPa3.131−=Bσ
• Aplica-se a fórmula de flexão elástica 
para encontrar as tensões máximas de 
tração e compressão,
• Cálculo de curvatura
( )( )49- m10868GPa 165 mkN 3
1
×
⋅=
=
EI
M
ρ
m 7.47
m1095.201 1-3
=
×= −
ρ
ρ
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apítulo 4
Flexão de barras constituídas por vários materiais
• A tensão normal varia linermente
ρε
y
x −=
• Sabe-se que a variação da tensão nornal
é linear.
ρεσρεσ
yEEyEE xx 222111 −==−==
• Forças elementares na seção são:
dAyEdAdFdAyEdAdF ρσρσ
2
22
1
11 −==−==
( ) ( )
1
211
2 E
EndAnyEdAynEdF =−=−= ρρ
• Define um transformada da seção
xx
x
n
I
My
σσσσ
σ
==
−=
21
• Considerando uma viga formada por 
dois materiais E1 e E2 (compósito)O eixo neutro não passa através da 
centróide da seção da seção do centróide
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apítulo 4
Exemplo 4.2
Bar is made from bonded pieces of 
steel (Es = 29x106 psi) and brass 
(Eb = 15x106 psi). Determine the 
maximum stress in the steel and 
brass when a moment of 40 kip*in 
is applied.
SOLUTION:
• Transformar a barra numa seção
equivalente feita de latão
• Avaliar as propriedades da seção
transversal da seção transformada
• Calcular a tensão máxima da seção
transformada. Esta é a máxima tensão da
peça de latão da barra. 
• Determinar a máxima tensão na porção
de aço da barra pela multiplicação da
tensão máxima da seção trransformada
pelo o raio e o módulo de elasticidade. 
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apítulo 4
• Avaliar as propriedade da seção transformada
( )( )
4
3
12
13
12
1
in063.5
in 3in. 25.2
=
== hbI T
SOLUTION:
• Transformar a barra em uma seção equivalente
feita inteiramente de lãtão. 
in 25.2in 4.0in 75.0933.1in 4.0
933.1
psi1015
psi1029
6
6
=+×+=
=×
×==
T
b
s
b
E
En
• Calcular as tensões máximas
( )( ) ksi 85.11
in5.063
in 5.1inkip 40
4 =
⋅==
I
Mc
mσ
( )
( ) ksi 85.11933.1max
max
×==
=
ms
mb
nσσ
σσ ( )
( ) ksi 22.9
ksi 85.11
max
max
=
=
s
b
σ
σ
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apítulo 4
Vigas de concreto armado
• Concrete beams subjected to bending moments are 
reinforced by steel rods.
• In the transformed section, the cross sectional area 
of the steel, As, is replaced by the equivalent area
nAs where n = Es/Ec.
• To determine the location of the neutral axis,
( ) ( )
0
0
2
2
2
1 =−+
=−−
dAnxAnxb
xdAnxbx
ss
s
• The normal stress in the concrete and steel
xsxc
x
n
I
My
σσσσ
σ
==
−=
• The steel rods carry the entire tensile load below 
the neutral surface. The upper part of the 
concrete beam carries the compressive load.
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