Apostila: Matemática Financeira

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MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U N I V E R S I DA D E
CANDIDO MENDES
 
CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA 
PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010 
 
Impressão 
e 
Editoração 
 
0800 283 8380 
 
www.ucamprominas.com.br 
 
Suma´rio
1 Operac¸o˜es Comerciais 2
Operac¸o˜es Comerciais 2
1.1 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Acre´scimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Acre´scimos simultaˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Acre´scimos Sucessivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Descontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Descontos Simultaˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Descontos Sucessivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Operac¸o˜es Financeiras 10
Operac¸o˜es Comerciais 10
2.1 Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Taxa de Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Regimes de Capitalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 Capitalizac¸a˜o Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.2 Capitalizac¸a˜o Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Fluxo de Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
3 Juros Simples 18
3.1 Ca´lculo dos Juros, Montante e Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Taxas de Juros - Regime de Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Considerac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 Taxas Proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Taxas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.4 Taxa nominal e taxa efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Descontos de T´ıtulos e Cre´ditos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Desconto Comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Desconto Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Equivaleˆncia de Capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Juros Compostos 31
4.1 Ca´lculo dos Juros, Montante e Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Taxas de Juros - Regime de Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.2 Taxa nominal e Taxa efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Descontos Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1 Desconto Comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.2 Desconto Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Equivaleˆncia de Capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Rendas 44
5.1 Classificac¸a˜o das Rendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Ca´lculo do Valor Presente de uma renda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1 Valor Presente de uma renda imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.2 Valor Presente de uma renda imediata perpe´tua . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.3 Valor Presente de uma renda antecipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Ca´lculo do Valor Futuro de uma renda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.1 Valor Futuro de uma renda imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.2 Valor Futuro de uma renda antecipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
5.3.3 Valor Futuro de uma renda diferida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Sistemas de Amortizac¸a˜o 57
6.1 Sistema do Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Sistema de juros antecipados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Sistema Americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Sistema PRICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5 Sistemas de Amortizac¸o˜es Constantes - SAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6 Sistema de Amortizac¸a˜o Misto - SAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.7 Sistema Alema˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iii
Introduc¸a˜o
Ressaltamos em primeiro lugar que embora a escrita acadeˆmica tenha como premissa ser
cient´ıfica, baseada em normas e padro˜es da academia, fugiremos um pouco a`s regras para nos apro-
ximarmos de voceˆs e para que os temas abordados cheguem de maneira clara e objetiva, mas na˜o
menos cient´ıficas. Em segundo lugar, deixamos claro que este mo´dulo e´ uma compilac¸a˜o das ideias
de va´rios autores, incluindo aqueles que consideramos cla´ssicos, na˜o se tratando, portanto, de uma
redac¸a˜o original e tendo em vista o cara´ter dida´tico da obra, na˜o sera˜o expressas opinio˜es pessoais.
Ao final do mo´dulo, ale´m da lista de refereˆncias ba´sicas, encontram-se outras que foram ora
utilizadas, ora somente consultadas, mas que, de todo modo, podem servir para sanar lacunas que
por ventura venham a surgir ao longo dos estudos.
Estudar a Matema´tica Financeira, deveria ser considerado uma das coisas mais importantes de
nossa vida. Quando nos dedicamos a este estudo, estamos nos dedicando a ter uma educac¸a˜o voltada
a`s financ¸as que com certeza se refletira´ em sua vida. Afinal, quem jamais precisou pagar d´ıvidas,
tomar empre´stimos, ou ate´ mesmo escolher o supermercado que realiza as compras do meˆs?
Nesta apostila, voceˆs encontrara˜o todas as ferramentas necessa´rias para entender o mundo fi-
nanceiro atrave´s da Matema´tica. Essa tarefa, talvez na˜o se apresenta simples, mas com um pouco
de dedicac¸a˜o, percebera´ que ”Pensar Financeiramente”e´ extremamente u´til em sua vida cotidiana,
ale´m de muito prazeroso.
Os Cap´ıtulos 1 e 2, tra´s os conceitos ba´sicos da Matema´tica financeira, como conceito de por-
centagem, entre outras. Nos cap´ıtulos 3,4 e 5 esta´ contida a essencia deste curso. Neles, conte´m as
ferramentas necessa´rias em qualquercampo da Matema´tica Financeira.
Os demais cap´ıtulos, tra´s aplicac¸o˜es pra´ticas e cotidianas dos conhecimentos vistos nos cap´ıtulos
anteriores.
Desejo a todos um bom estudo!
1
Cap´ıtulo 1
Operac¸o˜es Comerciais
1.1 Porcentagem
A porcentagem e´ uma forma usada para designar uma frac¸a˜o de denominador 100. E´
indicada pelo s´ımbolo %. Quando se diz que a cesta ba´sica do pa´ıs teve um aumento de 7% em um
meˆs, significa que uma famı´lia necesita uma frac¸a˜o de 7
100
a mais no seu orc¸amento destinado a` cesta
ba´sica em relac¸a˜o ao meˆs anterior. Por exemplo, Se uma famı´lia gastava R$680, 00 em um meˆs para
esta finalidade, apo´s o aumento, ela tera´ que gastar R$680 + 7
100
∗R$680, 00 = 727, 60.
Exemplo 1.1 Um vendedor, representante de um produto, recebe como sala´rio as comisso˜es de 45%
sobre o total de suas vendas. Se esse total fosse superior a R$2.000, 00, seu sala´rio e´ acrescido de
25%. Quanto ele recebe quando vende R$1.500, 00? E quando vende R$3.000, 00?
Soluc¸a˜o:
Se ele vende R$1.500, 00, ele recebe 45% de R$1.500, 00, ou seja, 45
100
∗R$1.500, 00 = R$675, 00.
Se ele vende R$3.000, 00, ele recebe 45% de R$3.000, 00 mais 25% deste resultado. Assim, ele rece-
bera´: 45
100
∗R$3.000, 00 + 25
100
∗ 45
100
∗R$3.000, 00 = R$1.350, 00 + R$337, 5 = R$1.687, 50
1.2 Acre´scimos
Quando se atualiza o prec¸o de um determinado produto, com a finalidade de obter um prec¸o
P final maior que o prec¸o inicial P0, temos um acre´scimo.Este acre´scimo e´ obtido pelo produto da
frac¸a˜o centesimal (Porcentagem) e o valor inicial P0.
2
Notac¸a˜o: ∆P .
Assim,
∆P = P0i
Exemplo 1.2 Em abril de 2004, o sala´rio mı´nimo estava fixado em R$240, 00. em maio deste
mesmo ano, teve um acre´scimo de 8, 333%. Qual o valor do acre´scimo? E do novo sala´rio mı´nimo?
Soluc¸a˜o
Temos que:
∆P = P0i⇒ ∆P = 240 ∗ 0, 08333 = 20
Ou seja, foi acrescido R$20, 00 ao valor inicial do sala´rio mı´nimo, que passou a ter o seguinte valor:
P = P0 + ∆P ⇒ P = 240 + 20 = R$260, 00
1.2.1 Acre´scimos simultaˆneos
Quando o mesmo valor P0 e´ sujeito simultaˆneamente a dois ou mais acre´scimos, cada um
com um valor diferente para a taxa de acre´scimo (i1, i2, · · · , in), temos que P0 sofrera´ acre´scimos
∆P1,∆P2, · · · ,∆Pn ao mesmo tempo.
De modo que
∆P1 = P0i1,∆P2 = P0i2, · · ·∆Pn = P0in
Neste caso, o valor final P sera´ calculado como:
P = P0 + ∆P1 + ∆P2 · · ·+ ∆Pn
ou,
P = P0 + P0i1 + · · ·+ P0in ⇒ P = P0(1 + i1 + · · ·+ in)
1.2.2 Acre´scimos Sucessivos
Suponha agora que um valor inicial P0 sofreu va´rios acre´scimos com taxas i1, i2, · · · , in, de modo
que cada acre´scimo a partir do segundo incide sobre o valor ja´ acrescido dos acre´scimos anteriores.
Note que a cada acre´scimo tem-se valores P1, P2, · · · , Pn.
Podemos calcular estes valores da seguinte forma:
3
P1 = P0(1 + i1)
P2 = P1(1 + i2) = P0(1 + i1)(1 + i2)
...
P = Pn = P0(1 + i1)(1 + i2) · · · (1 + in)
Como, i = P−P0
P0
Podemos encontrar a taxa total de acre´scimo atrave´s da relac¸a˜o:
i = (1 + i1)(1 + i2) · · · (1 + in)− 1
Exemplo 1.3 O prec¸o de uma mercadoria foi remarcado treˆs vezes neste ano, passando a custar
R$277, 16. Quanto custava no ano passado se a primeira ermarcac¸a˜o correspondeu a um acre´scimo
de 2, 5% e as duas seguintes de 4% cada uma?
Soluc¸a˜o
P0 =
P
(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)
=
277, 16
1, 025 ∗ 1, 04 ∗ 1, 04 = R$250, 00
1.3 Descontos
O desconto e´ o abatimento no valor de um bem. Geralmente usado por comerciantes, que
concedem aos compradores que pagam um produto a` vista, ou por adiantamento no pagamento de
um bem, etc.
Sejam P0 o valor inicial de um bem, ∆P o desconto concedido, i a taxa de desconto e P o prec¸o
final (valor descontado).
Observac¸a˜o 1.1 Note que P e´ sempre menor que P0.
Temos que:
∆P = P0i⇒ P − P0 = P0i⇒ P = P0 − P0i
Logo,
P = P0(1− i)
4
Exemplo 1.4 Em um liquidac¸a˜o, va´rias mercadorias tiveram seus prec¸os remarcados, depois de so-
frer descontos em seus prec¸os normais.
a. Quanto se deve pagar por uma mercadoria de R$54, 00, sujeita a` um desconto de 15%?
Soluc¸a˜o
∆P = P0i⇒ ∆P = 54 ∗ 0, 15 = R$8, 10
Da´ı,
P = P0 −∆P = 54− 8, 10 = R$45, 90
Ou,
P = P0(1− i)⇒ P = 54(1− 0, 15) = 54 ∗ 0.85 = R$45, 90
b. Qual o prec¸o normal de uma mercadoria que, com desconto de 20%, esta´ sendo oferecida por
R$20, 64?
Soluc¸a˜o
P = P0(1− i)⇒ P0 = P
(1− i) ⇒ P0 =
20, 64
0, 80
= R$25, 80
c. Qual a taxa de desconto que esta´ sendo oferecida em uma mercadoria cujo prec¸o foi remar-
cado de R$350, 00 para R$290, 50?
Soluc¸a˜o
P = P0(1− i)⇐⇒ P = P0 − P0 ∗ i⇐⇒ i = P0 − P
P0
Enta˜o,
i =
350− 290, 50
350
= 0, 17 = 17%
1.3.1 Descontos Simultaˆneos
Quando o mesmo valor P0 e´ sujeito simultaˆneamente a dois ou mais descontos, cada um
com um valor diferente para a taxa de descontos (i1, i2, · · · , in), temos que P0 sofrera´ descontos
∆P1,∆P2, · · · ,∆Pn ao mesmo tempo. De modo que
∆P1 = P0i1,∆P2 = P0i2, · · ·∆Pn = P0in
5
Neste caso, o valor final P sera´ calculado como:
P = P0 −∆P1 −∆P2 · · · −∆Pn
ou,
P = P0 − P0i1 − · · · − P0in ⇒ P = P0(1− i1 − · · · − in)
Exemplo 1.5 Um funcion´A˜¡rio pu´blico tem um sala´rio base de R$825, 00 com descontos de 6%
para o INESP e 2% para o IAMSPE, ambos calculados sobre o sala´rio base.
a. Qual o valor de cada um dos descontos?
Soluc¸a˜o
∆1P = P0i1 = 825 ∗ 0, 06 = R$49, 50
b. Qual o sala´rio l´ıquido que este funciona´rio recebe?
Soluc¸a˜o
i = i1 + i2 = 0, 06 + 0, 02 = 0, 08
Da´ı,
P = P0(1− i) = 825(1− 0, 08) = 825 ∗ 0, 92 = R$759, 00
1.3.2 Descontos Sucessivos
Suponha agora que um valor inicial P0 sofreu v´A˜¡rios descontos com taxas i1, i2, · · · , in, de
modo que cada desconto a partir do segundo incide sobre o valor ja´ descontados anteriores. Note
que para cada desconto tem-se valores P1, P2, · · · , Pn.
Podemos calcular estes valores da seguinte forma:
P1 = P0(1− i1)
P2 = P1(1− i2) = P0(1− i1)(1− i2)
...
P = Pn = P0(1− i1)(1− i2) · · · (1− in)
Como, i = P0−P
P0
Podemos encontrar a taxa total de desconto atrave´s da relac¸a˜o:
i = 1− P0(1− i1 − · · · − 1n
P0
6
Comclu´ımos assim que a taca total de desconto e´ dada por:
i = i1 + i2 + · · ·+ in
Exemplo 1.6 Uma fa´brica que tem prec¸os tabelados para suas mercadorias, remarcou, com 30% de
desconto, as unidades que apresentava defeitos de fabricac¸a˜o. Os revendedores que comprassem acima
de dez unidades, teriam ainda um um desconto de 20% sobre o prec¸o remarcado. Um revendedor
comprou 12 unidades com defeito.
a. Qual a taxa total de desconto que lhe foi feita?
Soluc¸a˜o
i = 1− (1− i1)(1− i2) = 1− (1− 0, 3)(1− 0, 2) = 1− 0, 7 ∗ 0, 8 = 1− 0, 56 = 0, 44 = 44%
b. Quanto pagou se o total no prec¸o tabelado era de R$1.852, 00? Soluc¸a˜o
P = P0(1− i) = 1852(1− 0, 44) = 1852 ∗ 0, 56 = R$1.037, 12
1.4 Exerc´ıcios
1. No meˆs passado, uma loja remarcou os prec¸os de suas mercadorias com acre´scimos de 12% e
neste meˆs acrescentou mais 15% sobre os prec¸os remarcados.
a. Quanto custa hoje, uma mercadoria que antes das duas remarcac¸o˜es custava R$2.500, 00?
b. Uma mercadoria que hoje custa R$1.030, 40, quanto custava antes das remarcac¸o˜es?
2. O que e´ mais vantajoso? um lucro de 25% sobre o prec¸o de venda ou de 30% sobre o prec¸o de
custo?
3. Um atacadista, quando vende a varejo, cobra 25% a mais sobre os prec¸os marcados em suas
mercadorias.:
a. Quanto ele cobra para vender a varejo, uma mercadoria cujo prec¸o marcado e´ R$45, 20?
b. Qual o prec¸o marcado em uma mercadoria que e´ vendida a` varejo por R$18, 45?
4. Um equipamento cujo prec¸o de compra foi R$500.00, 00 sofre uma depreciac¸a˜o anual de 10%
sobre seu valor atual (valor que tem em cada ano). Qual o valor apo´s umano de uso? E apo´s
dois anos?
7
5. Uma loja ao marcar os prec¸os de vendas dos artigos que oferece, acrescenta 60% sobre o prec¸o
de custo. Qual o desconto (sobre o prec¸o marcado) que podera´ dar ao comprador para ter um
lucro de 40% sobre o prec¸o de custo?
6. Um comerciante que na˜o possua´ conhecimentos de matema´tica comprou uma mercadoria por
R$200, 00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um cliente pediu um desconto, e o
comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo prec¸o, pensando que, assim, teria um lucro
de 10%. O comerciante teve lucro ou preju´ızo?
7. Um comerciante vende suas mercadorias com acre´scimo de 20% sobre o prec¸o de custo. Qual
foi o prec¸o de custo de uma mercadoria que vendeu por R$300, 00?
8. O prec¸o de um objeto sofreu um acre´scimo, passando de R$180, 00 para R$207, 00. Qual a
taxa de aumento que sofreu esse prec¸o?
9. Um funciona´rio recebe um sala´rio base de R$1.200, 00. Tem um adicional de 20% de acre´scimo
para responder pela chefia da sec¸a˜o e outro adicional correspondente a 5% de acre´scimo, ambos
calculados sobre o sala´rio base.
a. Quanto recebe ao todo?
b. Qual a taxa de acre´scimos que tem sobre o sala´rio base pela incideˆncia dos adicionais?
10. O prec¸o de fa´brica de uma mercadoria e´ R$3, 50, mas ao compra´-la ma fa´brica deve pagar
ainda um imposto de 10% deste prec¸o. Quando a mercadoria e´ comprada no varejo por um
consumidor, seu prec¸o final e´ acrescido de 20%.
a. Calcule seu prec¸o no varejo.
b. Calcule a taxa total de acre´scimo sobre o prec¸o de fa´brica qu o consumidor paga.
11. No meˆs passado, uma loja remarcou os prec¸os de suas mercadorias com acre´scimo de 12% e
neste meˆs acrescentou mais 15% sobre os prec¸os remarcados.
a. Qual a taxa acumulada de aumento que sofreram os prec¸os nestes dois meses?
b. Quanto custa hoje, uma mercadoria que antes destas duas remarcac¸o˜es custava R$2.500, 00?
c. Uma mercadoria que hoje custa R$1030, 40, quanto custava antes das remarcac¸o˜es?
8
12. Um funciona´rio pb´lico do Estado do Parana´ tem um sala´rio base de R$825, 00 com desconto
de 6% para o ACA e 2% para o IPB, ambos calculados sobre o sala´rio base. Qual o l´ıquido a
receber por esse funciona´rio?
13. Uma indu´stria resolve diminuir sua produc¸a˜o mensal, de 50.000 unidades, em 5%. Um meˆs
depois, resolve diminuir novamente sua produc¸a˜o em mais 7%. Qual a produc¸a˜o atual dessa
indu´stria?
Respostas
1. a. 28, 8%, b. R$3.220, 00
2. 25% sobre o prec¸o de venda.
3. a. R$56, 50, b. R$14, 76
4. R$450.000, 00, R$405.000, 00
5. 12, 5%
6. Preju´ızo.
7. R$250, 00
8. 15%
9. a. R$1.500, 00, b. 25%
10. a.R$4, 62, b. 32%
11. a.28, 8%, b. R$3.220, 00, c. R$800, 00
12. R$759, 00
13. 44.175
9
Cap´ıtulo 2
Operac¸o˜es Financeiras
2.1 Capital
A quantidade de dinheiro dispon´ıvel para qualquer movimentac¸a˜o financeira em uma determi-
nada data, recebe o nome de Capital, Valor Atual ou Valor Presente. Aqui, utilizaremos o s´ımbolo
VP (iniciais de Valor presente) para indicar o Capital.
2.2 Juros
Juro e´ a remunerac¸a˜o cobrada pelo emprs´timo de um bem. Usualmente e´ expresso como um
percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples
ou juros compostos, adiante falaremos mais sobre estas formas de juros. A taxa e´ uma compensc¸a˜o
paga pelo tomador do empre´stimo para ter o direito de usar o dinheiro ate´ o dia do pagamento. O
credor, por outro lado, recebe uma compensac¸a˜o por na˜o poder usufruir desse dinheiro ate´ o dia do
pagamento e por correr o risco de na˜o receber o dinheiro de volta (risco de inadimpleˆncia. Usaremos
o s´ımbolo J para designar os Juros.
2.3 Taxa de Juros
A Taxa de juros e´ a unidade de medida do juros. Em nossos ca´lculos usaremos essa taxa em
forma de nu´meros decimais (taxa unita´tia), e a denotaremos por: i.
Para expressar a taxa unita´ria em termos de percentuais, basta multiplicar a taxa i por 100.
10
A taxa correspondente a` remunerac¸a˜o paga pelo uso do bem, durante um determinado periodo
de tempo e´ dada por:
i =
J
V P
Exemplo 2.1 Um investidor aplicou R$2.500, 00 em Letras de Caˆmbio, por 60 dias, e ao resgata´-
las, apo´s este prazo, recebeu a quantia de R$2.590, 00.Quanto ele recebeu de juros? A que taxa esteve
aplicado seu capital durante este periodo?
Soluc¸a˜o:
A quantia que ele recebeu de juros e´: R$2.590, 00 − R$2.500, 00 = R$90, 00. E a taxa aplicada ao
seu capital durante este periodo foi de
i =
J
V P
=
90
2.500
= 0, 036 = 3, 6%
.
2.4 Montante
Quando se investe um capital por um determinado periodo de tempo, no fim deste periodo,
deve-se ter o valor aplicado (V P ) acrescido dos juros relativos ao tempo de aplicac¸a˜o (J). Essa soma,
e´ denominada MONTANTE ou VALOR FUTURO. Este valor e´ designado por V F (iniciais de Valor
Futuro). E dado por:
V F = V P + J
Note que, a taxa, tambe´m pode ser calculada a partir do montante. De fato,
V F = V P + J ⇒ J = V F − V P
. Como ja´ vimos, i = J
V P
Assim,
i =
V F − V P
V P
Exemplo 2.2 Um capital de R$150.000, 00 esteve aplicado durante um ano e rendei R$49.500, 00
de juros. Qual o montante final? A que taxa esteve aplicado?
Soluc¸a˜o:
Queremos encontrar o valor final (VF), dados os juros e o capital (VP). Assim,
V F = V P + J ⇒ V F = R$150.000, 00 + R$49.500, 00 = R$199.500, 00
11
A taxa em que o capital esteve aplicado e´ dada por:
i =
J
V P
Enta˜o,
i =
49500
150000
= 0, 33 = 33%
2.5 Regimes de Capitalizac¸a˜o
Suponhamos que o capital seja investido por dois ou mais periodos. Os juros incidem sobre o
capital a cada periodo, assim devemos ter a adic¸a˜o dos juros no momento da retirada do montante.
A esta soma, atribuimos o nome de Capitalizac¸a˜o. O regime de capitalizac¸a˜o pode ser simples ou
composta.
Observac¸a˜o 2.1 Quando falamos em ”capital investido”, na˜o e´ va´lido apenas quando investimos
um bem, os mesmos racioc´ınios sa˜o va´lidos no caso de d´ıvidas. Reparem que para uma pessoa fazer
uma d´ıvida, houve investimento deste bem pela pessoa que concedeu o empre´stimo.
2.5.1 Capitalizac¸a˜o Simples
No regime de capitalizac¸a˜o simples, a soma dos juros de um determinado periodo e´ incidido
somente sobre o Capital. Na˜o incide no entanto, sobre os juros acumulados.
Exemplo 2.3 Um capital de R$100.000, 00 foi aplicado para render juros de 30% ao ano, durante
quatro anos. Determine o montante no fim de cada de cada ano pelo regime de capitalozac¸a˜o simples.
Soluc¸a˜o:
Sabemos que: V F = V P + J onde o juros e´ dado por J = V Pi. Enta˜o, V F = V P + V Pi.
Assim, no primeiro ano temos:
V F1 = R$100.000, 00+(30%)∗R$100.000, 00 = R$100.000, 00+0, 3∗R$100.000, 00 = R$130.000, 00
E no segundo ano,
V F2 = R$130.000, 00 + 0, 3 ∗R$100.000, 00 = R$160.000, 00
No terceiro,
V F3 = R$160.000, 00 + 0, 3 ∗R$100.000, 00 = R$190.000, 00
12
E enfim, no quarto ano,
V F3 = R$190.000, 00 + 0, 3 ∗R$100.000, 00 = R$220.000, 00
2.5.2 Capitalizac¸a˜o Composta
No regime de capitalizac¸a˜o composta os juros incidem sobre o capital acrescido dos juros
acumulados ate´ o periodo anterior.
Exemplo 2.4 Um capital de R$500.000, 00 foi aplicado para render juros de 5% ao meˆs, durante
treˆs meses. Determine o montante de cada meˆs pelo regime de capitalizac¸a˜o composta.
Soluc¸a˜o:
Novamente, V F = V P + J onde o juros e´ dado por J = V Pi. Enta˜o, V F = V P + V Pi.
Assim, no primeiro meˆs temos:
V F1 = V P + V Pi = R$500.000, 00 + 0, 05 ∗R$500.000, 00 = R$525.000, 00
Como os juros incide sobre o capital acrescido dos juros acumulados,
V P1 = V F1, V P2 = V F2eV P3 = V F3
Segue que, no segundo meˆs,
V F2 = V P + V P1i = R$500.000, 00 + 0, 05 ∗R$525.000, 00 = R$526.250, 00E enfim, no terceiro meˆs,
V F3 = V P + V F2i = R$500.000, 00 + 0, 05 ∗R$526.250, 00 = R$526.312, 50
2.6 Fluxo de Caixa
Fluxo de Caixa e´ o conjunto de entradas e sad´as de recursos financeiros durante um periodo
determinado. Este fluxo e´ geralmente representado por um eixo horizontal que representa a linha de
tempo e por setas representando as entradas e sa´ıdas dos recursos financeiros.
Observac¸a˜o 2.2 Neste material, vamos considerar setas para cima para entradas e setas para baixo
para sa´ıdas. Mas voceˆ ao resolver um exerc´ıcio podera´ escolher a convenc¸a˜o que preferir. Para
minimizar erros, deixe bem definido as entradas e sa´ıdas e escolha sentidos(para cima ou para baixo)
diferentes para as mesmas.
13
Exemplo 2.5 Uma empresa, durante seis meses fez depo´sitos de R$25.000, 00 em um investimento
banca´rio, sempre no in´ıcio de cada meˆs. Nos treˆs meses seguintes, usou este investimento para
comprar um novo maquina´rio, pelo qual pagou R$60.000, 00 em cada meˆs, esgotando assim seu
saldo.
Observe o fluxo de caixa para esta situac¸a˜o:
Ao analizar o fluxo de caixa, se o saldo for negativo (soma dos valores de sa´ıda maior que
a soma dos valores de entrada), significa que o investidor tem gastos maior do que pode pagar, logo,
tera´ que rever sua situac¸a˜o financeira e tomar deciso˜es adequadas para um aumento de entradas
e/ou corte de gastos. Por outro lado, se o saldo for positivo, indica que o investidos esta´ conseguindo
pagas as suas obrigac¸o˜es e ter disponibilidade financeira.
Observac¸a˜o 2.3 Esta´ ana´lise devera´ ser feita levando em conta o valor dos juros.
2.7 Exerc´ıcios
1. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operac¸o˜es financeiras:
a. Uma aplicac¸a˜o de R$50.000, 00 pela qual o investidor recebe R$80.000, 00 apo´s dois anos.
b. Um empre´stimo tomado de R$60.000, 00 que sera´ pago em dez parcelas mensais de R$6.200, 00,
vencendo a primeira a 30 dias a contar da data do empre´stimo.
c. A compra de um objeto, cujo prec¸o a` vista e´ R$30.000, 00 em 12 prestac¸o˜es mensais de
R$2.600, 00 vencendo a primeira na data da compra.
d. Um empre´stimo de R$90.000, 00 que sera´ recebido em duas parcelas: uma de R$40.000, 00 apo´s
60 dias e uma de R$60.000, 00 apo´s 180 dias.
e. Depo´sitos de $5.000, 00 na cardeneta de poupanc¸a, no fim de cada meˆs durante um ano, e
retirada de R$61.677, 81 dois meses apo´s o ultimo depo´sito.
14
f. A compra de um equipamento, feito por uma empresa, em treˆs parcelas mensais antecipadas
de R$5.000, 00 cada uma prevendo que este equipamento vai representar um acre´scimo de lucro
na ordem de R$8.000, 00 mensais (no fim de cada meˆs), durante dois anos a partir da data da
compra.
2. Para uma taxa de juro expressa ao ano o valor dos juros e´ maior sob qual sistema de capita-
lizac¸a˜o?
a) Sistema de capitalizac¸a˜o composta para prazos menores que um ano.
b) Sistema de capitalizac¸a˜o simples para prazos menores que um ano.
c) Sistema de capitalizac¸a˜o simples qualquer que seja o prazo.
d) Sistema de capitalizac¸a˜o composta qualquer que seja o prazo.
3. O valor dos juros de uma aplicac¸a˜o prefixada com um u´nico resgate e´ sempre igual:
a) Ao valor de resgate da aplicac¸a˜o menos o valor da aplicac¸a˜o.
b) Ao valor da aplicac¸a˜o menos o seu valor de resgate.
c) A taxa de juros multiplicada pelo prazo e pelo valor do resgate se a capitalizaa¸a˜o for simples.
d) A taxa de juro multiplicada pelo prazo da aplicac¸a˜o.
4. O valor de resgate de uma aplicac¸a˜o prefixada com um u´nico resgate e´ igual ao:
a) Valor da aplicac¸a˜o mais os juros gerados no periodo.
b) Valor da aaplicac¸a˜o multiplicado pela taxa de juros e pelo prazo.
c) Valor da aplicac¸a˜o dividido pela taxa de juros vezes o prazo da aplicac¸a˜o.
d) Valor dos juros subtra´ıdo do valor da aplicac¸a˜o.
5. Uma empresa precisa tomar um empre´stimo de um ano a uma taxa de juros capitalizada
anualmente. Neste caso:
a) Para taxas iguais e´ melhor o sistema de capitalizac¸a˜o simples.
b) Para taxas iguais e´ melhor o sistema de capitalizac¸a˜o composta.
c) Para taxas iguais tanto faz qual seja o sistema de capitalizac¸a˜o.
d) Dependendo do valor e´ melhor o sistema de capitalizac¸a˜o simples.
6. Para uma taxa de i% ao ano o valor acumulado sob o sistema de capitalizac¸a˜o composta sempre
gera um montante VF . . . que o sistema de capitalizac¸a˜o simples
a) Menor (para qualquer prazo)
b) Maior (para qualquer prazo)
15
c) Maior (para prazos superiores a um ano)
d) Menor (para prazos superiores a um ano)
7. Os juros em capitalizac¸a˜o simples sa˜o sempre iguais ao:
a) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo valor do capital inicial.
b) Prazo multiplicado pela taxa de juro e pelo montante final.
c) Valor dos juros somado ao capital inicial dividido pelo montante final.
d) Valor do montante final subtra´ıdo dos juros e dividido pelo capital inicial.
8. Para uma mesma taxa de juro e mesmo prazo, o valor presente em capitalizac¸a˜o simples:
a) Dependendo do prazo pode ser maior ou menor que o obtido em capitalizac¸a˜o composta.
b) E´ sempre maior ao obtido com capitalizac¸a˜o composta.
c) E´ sempre menor ao obtido com capitalizac¸a˜o composta.
d) E´ sempre igual ao obtido com capitalizac¸a˜o composta.
9. O valor do montante em capitalizac¸a˜o simples pode ser obtido:
a) Pela soma dos juros no periodo ao capital inicial.
b) Pelo produto do capital inicial sobre a taxa de juros somado com um.
c) Pela subtrac¸a˜o dos juros em relac¸a˜o ao capital inicial multiplicado pelo prazo.
d) Pelo produto dos juros no periodo ao capital inicial.
Respostas
1. a)
b)
16
c)
d)
e)
f)
2. b 3. c 4. a 5. c 6. c 7. a 8. a 9. a
17
Cap´ıtulo 3
Juros Simples
3.1 Ca´lculo dos Juros, Montante e Capital
O Sistema de Capitalizac¸a˜o Simples, tambe´m e´ conhecido como Regime de Juros Simples.
Como ja´ vimos, o juros incide sobre o capital inicial. Assim, se o capital ficar aplicado por n
periodos iguais, os juros para cada um dos periodos tambe´m sera˜o iguais:
J1 = J2 = · · · = Jn = V Pi
e os juros totais para os n periodos sera˜o:
J = V Pin
Observac¸a˜o 3.1 n e i devem referir-se ao mesmo periodo de tempo. Por exemplo, se a taxa for
definida ao ano, n deve ser o nu´mero de anos.
Exemplo 3.1 Encontre o capital que, aplicado a´ uma taxa de 30% ao meˆs, durante 5 meses, rendeu
no regime de juros simples um montante de R$78.000, 00.
Soluc¸a˜o
Temos que
V F = V P + J ⇒ V F = V P + V Pin = V P (1 + in)
E sabemos que 30% = 0, 3 Da´ı,
78000 = V P (1 + 0, 3 ∗ 5) = 2, 5V P ⇒ V P = 78000
2, 5
⇒ V P = R$31.200, 00
18
3.2 Taxas de Juros - Regime de Juros Simples
3.2.1 Considerac¸o˜es
Quando tratamos de taxas, dizemos se elas incidem sobre um dia (a.d), um meˆs (a.m), um
ano (a.a) etc. Na˜o faz sentido falar em taxa e na˜o dizer por qual periodo que ela esta´ incidindo.
Exemplo 3.2 a. 5% a.m (Leˆ-se cinco por cento ao meˆs e indica que a taxa incide sobre um meˆs)
b. 36% a.a (Leˆ-se trinta e seis por cento ao ano e indica que a taxa incide sobre um ano)
c. 0, 3% a.m (Leˆ-se treˆs de´cimos por cento ao dia e indica que a taxa incide sobre um ano)
d. 12% a.s (Leˆ-se doze por cento ao semestre e indica que a taxa incide sobre um semestre)
E assim por diante.
3.2.2 Taxas Proporcionais
Duas taxas se dizem proporcionais quando ha´ uma proporc¸a˜o entre as grandezas que se es-
pressam e as durac¸o˜es do per´ıodo de tempo que se referem.
Exemplo 3.3 As taxas 2% a.m e 24% a.a sa˜o equivalentes, pois, a primeira refere-se a uma
aplicac¸a˜o durante um per´ıodo igual a um meˆs e o segundo refere-se a uma plicac¸a˜o durante um
per´ıodo igual a doze meses. Enta˜o a proporc¸a˜o existente entre elas e´:
2
1
=
24
12
Agora, supondoque os capitais sejam aplicados com taxas proporcionais i1 e i2 e nu´meros
de per´ıodos n1 e n2 respectivamente, temos:
i1
i2
=
n2
n1
Exemplo 3.4 Dada a taxa de 30% a.t (trinta por cento ao trimestre), determinar as taxas propor-
cionais mensal, semestral, bimestral e anual.
Soluc¸a˜o
Temos:
i1
i2
=
n2
n1
19
Enta˜o, a taxa proporcional mensal e´ dada por:
0, 3
i2
=
3
1
⇒ i2 = 0, 3
3
= 0, 10
Assim, 30% a.t e´ proporcional a´ 10% a.m
Segue que, a taxa proporcional semestral e´:
0, 3
i2
=
3
6
⇒ i2 = 0, 3 ∗ 6
3
= 0, 60
A bimestral e´:
0, 3
i2
=
3
2
⇒ i2 = 0, 3 ∗ 2
3
= 0, 20
E a anual e´:
0, 3
i2
=
3
12
⇒ i2 = 0, 3 ∗ 12
3
= 1, 20
3.2.3 Taxas Equivalentes
Duas taxas sa˜o ditas equivalentes se, para um mesmo capital aplicado em um mesmo periodo
de tempo, produzem montantes iguais.
No Regime de Capitalizac¸a˜o Simples, as taxas proporcionais, tambe´m sa˜o taxas equivalentes.
De fato,
J1 = V Pi1n1 e J2 = V Pi2n2
Considerando i1 e i2 proporcionais, e´ verdade que i1n1 = i2n2. Como e´ o mesmo capital (VP),
conlu´ımos que J1 = J2, e portanto estas taxas sa˜o equivalentes.
No Regime de Capitalizac¸a˜o Composta as taxas proporcionais na˜o sa˜o equivalentes. Falaremos
mais sobre isso no pro´ximo cap´ıtulo.
Exemplo 3.5 Um capital de R$320.000, 00 foi colocado no open market pelo prazo de 17 dias, tendo
produzido o montante de R$334.688, 00. A que taxa mensal esteve aplicado esse capital?
Soluc¸a˜o
Temos que, no regime de capitalizac¸a˜o simplies:
V P = V F (1 + in)
Assim,
334688 = 320000(1 + i ∗ 17)⇒ i = 334688− 320000
17 ∗ 320000 ⇒ i = 0, 0027
20
Note que esta taxa e´ a taxa dia´ria, pois usamos a unidade temporal n em dias. Como o exerc´ıcio
pede a taxa mensal, devemos fazer a conversa˜o. Da´ı,
0, 0027
i2
=
1
30
⇒ i2 = 0, 0027 ∗ 30
1
= 0, 081
Logo a taxa mensal e´ 8, 1% a.m
3.2.4 Taxa nominal e taxa efetiva
Quando se contrata uma operac¸a˜o financeira a taxa informada e´ chamada taxa nominal. Esta
taxa nem sempre e´ igual a taxa efetiva, que e´ a taxa de rendimento que a operac¸a˜o financeira
proporciona efetivamente. Isto pode acontecer em raza˜o de honora´rios como, por exemplo, impostos;
ou crote´rios diferentes para o ca´lculo de juros, como fazer a taxa incidir sobre um valor total de um
bem que sera´ parcelado.
As vezes estes artificios sa˜o utilizados concientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os
juros parecerem menores ou maiores, conforme a convenieˆncia.
Comumente, indicaremos a taxa efetiva por ie
Exemplo 3.6 Ums loja de calc¸ados vende botas de cano longo por R$180, 00 a` vista. Caso a pessoa
deseje parcelar em duas parcelas, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e a segunda trinta
dias apo´s a compra, sera´ cobrada uma taxa de 5% a.m a mais sobre o prec¸o total. O vendedor
informou que desta forma, ela pagaria duas parcelas de R$94, 50 cada. Qual e´ a taxa mensal efetiva
que esta loja esta´ cobrando por este produto?
Soluc¸a˜o
A taxa nominal e´ de 5% a.m. Note que, esta´ foi calculada sobre o valor total do produto (R$180, 00).
De fato,
V F = 180(1 + 0, 05) = R$189, 00
Dividindo em duas parcelas, tem-se que cada parcela e´ igual a` 189
2
= R$94, 50. Pore´m, como a
primeira parcela foi paga no ato da compra, o valor efetivamente financiado foi R$180, 00−R$94, 50 =
R$85, 50.
Para calcularmos a taxa de juros efetiva, usaremos a equac¸a˜o para juros simples V F = V P (1 + i)
Em palavras,
V alor a ser pago = V alor financiado(1 + ie)
21
Ou seja,
94, 50 = 85, 50(1 + ie)⇒ ie = 94, 50− 85, 50
85, 50
= 0, 1053
Conclu´ı-se enta˜o que a taxa que efetivamente esta´ sendo cobrada nesta operac¸a˜o financeira e´ de
10, 53%.
3.3 Descontos de T´ıtulos e Cre´ditos
Chama-se t´ıtulo de cre´dito o documento que comprova uma d´ıvida. Sa˜o exemplos de t´ıtulos de
cre´ditos: Nota promisso´ria, duplicata e a letra de Caˆmbio.
Caso o portador do deseje resgatar o t´ıtulo antes do vencimento, a operac¸a˜o pode sofrer um
desconto, acarretando em um recebimento menor do que se o portador aguardasse a data de venci-
mento.
Chama-se valor nominal o valor que pode ser recebido pelo t´ıtulo na data de vencimento.
Existem duas formas de se calcular o desconto de um t´ıtulo usando a capitalizac¸a˜o simples: a
do Desconto Comercial e a do Desconto Racional.
3.3.1 Desconto Comercial
E´ tambe´m conhecido como desconto banca´rio, e´ calculado sobre o valor nominal do t´ıtulo.
Sejam, n o nu´mero de per´ıodos que faltam para o vencimento do t´ıtulo, N o valor nominal do t´ıtulo,
i a taxa de desconto comercial para este per´ıodo de tempo, dc o desconto comercial e Ac o valor atual
do t´ıtulo. Temos a seguinte expressa˜o:
dc = Nin
E´ claro que,
Ac = N − dc
Da´ı,
Ac = N −Nin
E portanto,
Ac = N(1− in)
Exemplo 3.7 Um t´ıtulo de R$10.000, 00 vai ser descontado oito meses antes do vencimento em um
banco que utiliza o desconto comercial a` taxa de 13% a.m. E´ poss´ıvel efetuar este desconto e calcular
22
o valor atual correspondente? Por queˆ?
Soluc¸a˜o
dc = Nin⇒ dc = 10000 ∗ 0, 13 ∗ 8 = R$10.400, 00
Logo, na˜o e´ poss´ıvel, pois o desconto utrapassa o valor nominal do t´ıtulo.
O prazo n de antecipac¸a˜o para que seja poss´ıvel o desconto comercial de taxa i e´ aquele que tem-se
o desconto menor que 100%. Enta˜o,
in < 1⇒ n < 1
i
Neste caso,
n <
1
0, 13
= 7, 69
Que seria aproximadamente sete meses e vinte dias.
Exemplo 3.8 Um t´ıtulo de R$300.000, 00 foi resgatado dois meses antes do vencimento com uma
taxa de 10% a.m. de desconto comercial.
a. Qual o desconto e qual o valor recebido pelo seu portador?
soluc¸a˜o
dc = Nin⇒ dc = 300000 ∗ 0, 1 ∗ 2 = R$60.000, 00
Da´ı,
Ac = N − dc = 300000− 60000 = R$240.00, 00
b. Se a pessoa ao inve´s de resgatar o t´ıtulo tomasse um empre´stimo de R$300.000, 00 por dois
meses para pagar juros antecipados a uma taxa de 10% a.m., quanto pagaria de juros? Quanto
receberia efetivamente e quanto pagaria no final?
soluc¸a˜o
Pagaria um juros de:
J = Arin = 300000 ∗ 0, 1 ∗ 2 = R$60.000, 00
O valor recebido seria:
300000− 60000 = R$240.00, 00
E o pagamento final seria de R$300.000, 00
23
3.3.2 Desconto Racional
E´ tambe´m conhecido como desconto real. E´ calculado sobre o valor atual do t´ıtulo.
Sejam, n o nu´mero de per´ıodos que faltam para o vencimento do t´ıtulo, N o valor nominal do
t´ıtulo, i a taxa de desconto comercial para este per´ıodo de tempo, dr o desconto racional e Ar o valor
atual do t´ıtulo. Temos a seguinte expressa˜o:
dr = Arin
Note que na˜o e´ poss´ıvel calcular o desconto racional com esta fo´rmula, uma vez que Ar so´ e´ conhecido
apo´s o ca´lculo do desconto.
Observe que A = N − d. Substituindo esta relac¸a˜o na expressa˜o acima, temos:
dr = (N − dr)in⇒ dr = Nin
1 + in
ou
Ar =
N
1 + in
Observac¸a˜o 3.2 Podemos considerar o valor nominal do t´ıtulo como seu valor futuro (VF) e o
valor atual do t´ıtulo como seu valor presente (VP). Podemos enta˜o reescrever a expressa˜o acima da
seguinte forma:
V P =
V F
1 + in
Exemplo 3.9 Um t´ıtulo de R$300.000, 00 foi resgatado dois meses antes do vencimento com uma
taxa de 10% a.m. de desconto racional.
a. Qual o desconto e qual o valor recebido pelo seu portador?
soluc¸a˜o
dr =
Nin
1 + in
=
300000 ∗ 0, 1 ∗ 2
1 + 0, 1 ∗ 2 =
60000
1, 2
= R$50.000, 00
Ar = N − dr = 300000− 50000 = R$250.000, 00
b. Se a pessoa ao inve´s de resgatar o t´ıtulo tomasse um empre´stimo de R$300.000, 00 por dois
meses para pagar juros antecipados a uma taxa de 10% a.m., quanto pagaria de juros? Quanto
receberia efetivamente e quanto pagaria no final?
soluc¸a˜o
Empre´stimo efetivo: R$250.000, 00
Juros:J = V Pin = 250000 ∗ 0, 1 ∗ 2 = R$50.000, 00
24
Pagamento Final:
V F = V P + J = 250000 + 50000 = R$300.000, 00
3.4 Equivaleˆncia de Capitais
No Regime de Capitalizac¸a˜o Simples, dois ou mais capitais sa˜o ditos equivalentes se seus valores
calculados em uma certa data, com uma taxa dada sa˜o iguais. Esta data e´ chamada data focal.
Observac¸a˜o 3.3 E´ importaˆnte identificar o tipo de equivaleˆncia. Pois no regime de capitalizac¸a˜o
simples podemos ter Capitais equivalentes com desconto comercial simples ou Capitais
equivalentes com desconto racional simples.
Sejam N1 e N2 capitais equivalentes. Por definic¸a˜o, A1 = A2. Assim,
Se sa˜o equivalentes com desconto comercial simples na data focal 0 e taxa i, temos:
N1(1− in1) = N2(1− in2)
Se sa˜o equivalentes com desconto racional simples na data focal 0 e taxa i, temos:
N1
1 + in1
=
N2
1 + in2
Exemplo 3.10 O portador de um t´ıtulo de R$30.000, 00 para 60 dias trocou-o por outro de R$20, 000, 00
para 15 dias. Qual foi a taxa de desconto comercial simples utilizada nesta troca?
Soluc¸a˜o
N1(1− in1) = N2(1− in2)⇒ 30000(1− 2i) = 20000(1− 0, 5i)⇒ i = 30000− 20000
50000
= 0, 2
A taxa e´ de 20% a.m.
Exemplo 3.11 Se a troca de t´ıtulos no exemplo anterior fosse feita no regim de juros simples (des-
conto racional), qual seria sua taxa mensal?
Soluc¸a˜o
N1
1 + in1
=
N2
1 + in2
⇒ 300000
1 + 2i
=
20000
1 + 0, 5i
= 0, 4
A taxa seria de 40% a.m.
25
3.5 Exerc´ıcios
1. Uma pessoa tinha dois t´ıtulos de mesmo valor nominal e venc´ıveis na mesma data. Precisou
de dinheiro e descontou um deles 27 dias antes do vencimento e recebeu R$216.250, 00. Esta´
novamente precisando de dinheiro e pensa em descontar o outro, agora que faltam 12 dias para
o vencimento. Quanto recebera´ por ele se a taxa sera´ a mesma, isto e´, 0, 5% a.m. de desconto
comercial simples?
2. Se o desconto feito no exerc´ıcio anterior fosse o racional, quanto receberia?
3. Com uma taxa de 10% a.m. de desconto comercial simples, mostre que o t´ıtulo de R$70.000, 00
para daqui a dois meses e o t´ıtulo de R$80.000, 00 para daqui a treˆs meses, sa˜o equivelente
hoje, mas na˜o sera˜o daqui a um meˆs.
4. Com a taxa de 8% a.m. de desconto racional simples, mostre que o t´ıtulo de R$3.480, 00 para
daqui a treˆs meses e o de R$3.960, 00 para daqui a cinco meses, na˜o sa˜o equivalentes hoje, mas
sera˜o daqui a um meˆs.
5. Voceˆ fez um emprs´timo de R$5.000, 00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser pago
em dois anos. O valor a ser pago e´ pro´ximo de: a) R$6.200, 00
b) R$6.270, 00
c) R$4.030, 00
d) R$4.070, 00
6. Qual o valor presente de uma aplicac¸a˜o em juros simples de cinco anos, taxa de juro de 14%
ao ano e valor de resgate, u´nico, igual a R$100.000, 00?
7. Se aplicarmos a quantia de R$50.000, 00 pelo prazo de quatro meses, teremos como remunerac¸a˜o
desse capital a quantia de R$4.350, 00. Qual e´ a taxa de juro simples ao meˆs dessa operac¸a˜o?
8. Um agente de mercado aplicou R$45.000, 00 em determinado papel. Considerando que a taxa
de juro foi de 1, 45% ao meˆs, pelo prazo de 51 dias, calcule, no regime de capitalizac¸a˜o simples,
o valor de resgate desta operac¸a˜o. Admita que um meˆs possua 30 dias corridos.
9. Um agente financeiro aplicou R$85.000, 00 em um per´ıodo de 173 dias. Foi totalizada uma
quantia de R$15.500, 00 de juro. Qual e´ a taxa de juro mensal desta aplicac¸a˜o, considerando o
regime de capitalizac¸a˜o simples? Admita que um meˆs tenha 30 dias corridos.
26
10. Em quantos meses um capital quintuplica na capitalizac¸a˜o simples a´ taxa de 7, 5% ao meˆs?
11. Qual taxa mais perto da rentabilidade obtida no per´ıodo total com aplicac¸a˜o em uma LTN
com 528 dias u´teis a uma taxa de 11, 9% ao ano (considere um ano com 252 dias u´teis)?
12. A operac¸a˜o de desconto comercial (ou banca´rio) e´ uma forma de ca´lculo de valor presente:
a) Igual a` existente em juros simples
b) Igual a` existente em juros compostos
c) Alternativa a` existente em juros simples e compostos
d) Que gera um valor me´dio entre o valor presente de juros simples e compostos.
13. Para se calcular o desconto comercial (ou banca´rio) e´ preciso conhecer:
a) A taxa de desconto, o prazo e o valor nominal do t´ıtulo
b) A taxa de desconto, o prazo e o valor presente do t´ıtulo
c) A taxa de desconto e o valor nominal do t´ıtulo
d) A taxa de desconto e o valor presente do t´ıtulo
14. Para mesmo prazo, mesmo valor nominal e mesmo valor descontado, uma taxa de desconto
comercial e´:
a) Sempre menor que a taxa de juro simples da mesma operac¸a˜o
b) Sempre maior que a taxa de juro simples da mesma c¸a˜o
c) Igual a` me´dia da taxa de juro simples e de juro compostos da mesma operac¸a˜o
d) Sempre igual a` taxa de juro simples da mesma operac¸a˜o
15. Um t´ıtulo cinco meses de valor nominal igual a R$100.000, 00 foi descontado sob o regime de
juro simples a uma taxa de desconto comercial de 2% ao meˆs. Qual o valor do desconto?
16. Um t´ıtulo de seis meses de valor nominal igual a R$250.000, 00 foi descontado sob o regime de
juro simples por R$190.000, 00. Neste caso, o valor do desconto e´?
17. Um tt´ulo seis meses de valor nominal igual a R$200.000, 00 foi descontado sob o regime de juro
simples a uma taxa de desconto igual a 20% ao ano. Neste caso, o valor descontado do t´ıtulo
e´?
18. Um t´ıtulo, com valor nominal de R$100.000, 00, foi descontado 90 dias antes de seu vencimento,
proporcionando valor atual de R$89.625, 75. Determine a taxa de desconto simples mensal desta
operac¸a˜o.
27
19. Uma empresa possui um borderoˆ de duplicatas, as quais sera˜o descontadas a` taxa de desconto
simples de 2, 75% ao msˆ (ver a tabela a seguir). Calcule o valor total de desconto.
Relac¸a˜o de Duplicatas
Duplicata Valor (R$) Prazo de Vencimento (Corrido em dias)
1 20.000 45
2 10.000 64
3 8.000 82
20. A taxa efetiva correspondente a uma taxa nominal expressa ao ano pode ser calculada:
a) Dividindo a taxa nominal ao ano pela frequeˆncia de capitalizac¸a˜o ao ano
b) Multiplicando a taxa nominal ao ano pela frequeˆncia de capitalizac¸a˜o ao ano
c) Dividindo a frequeˆncia de capitalizac¸a˜o ao ano pela taxa nominal ao ano
d) Exponenciando a taxa nominal ao ano pelo inverso da frequeˆncia de capitalizac¸a˜o ao ano
21. Uma pessoa tomou um empre´stimo de R$2.000, 00 para pagar depois de oito meses o capital
mais os juros simples de 4% a.m. Dois meses antes da data marcada para a liquidac¸a˜o da
d´ıvida, procurou o credor e propoˆs um pagamento imediato de R$1.480, 00, comprometendo-se
a pagar R$1.076, 00 dois meses depois. O credor aceitou o acordo.
a. Quanto o devedor deveria pagar no final dos oito meses?
b. Feito o acordo, ao efetuar o pagamento de R$1.480, 00, quanto ficou devendo se sua d´ıvida foi
calculada ate´ aquela data?
c. Que taxa de juros propoˆs pagar ao meˆs sobre o saldo devedor remanescente?
22. Tenho um capital de R$200.000, 00 dispon´ıvel e quero aplica´-lo a prazo fixo por dois meses,
num banco que me promete rendimentos de 21 % a.a. de juros simples. Na data da aplicac¸a˜o
sa˜o cobradas 15% de IR calculados sobre os rendimentos.
a. Se o IR for cobrado ale´m do capital aplicado de R$200.000, 00, de quanto devo dispor para
fazer esta aplicac¸a˜o?
b. Se so´ disponho de R$200.000, 00 e quero que i IR seja reduzido desta quantia, de quanto sera´
o valor efetivamente aplicado?
28
c. Neste ultimo caso, qual o rendimento bruto, e qual o IR?
23. Um banco descontou uma nota pormisso´ria de R$50.000, 00 para um cliente, e depositou o
valor correspondente em sua conta corrente. O extrato de conta recebido pelo cliente acusou
um depo´sito de R$48.050, 00, e o costume do banco e´ cobrar por este servic¸o, uma taxa de
0, 4% sobre o valor nominaldo t´ıtulo. Qual a taxa de desconto comercial cobrada pelo banco?
24. Uma d´ıvida esta´ sendo paga em dez prestac¸o˜es mensais e faltam seis pagamentos de R$22.500, 00
para que seja totalmente saldada. Na data em que fez o quarto pagamento, o devedor propoˆs ao
credor pagar o restante da d´ıvida em apenas treˆs pagamentos se ela fosse recalculada naquela
data, com taxa de 5% a.m. de juros simples e se os treˆs pagamentos fossem feitos em 30, 60 e
90 dias, respectivamente. Se o credor aceitar, de quanto sera˜o os pagamentos?
25. Tenho alguns t´ıtulos que gostaria de descontar antes do vencimento. O banco A faz desconto
comercial de 120% a.a. e o banco B faz desconto com taxa de juros simples de 198% a.a.
a. Onde e´ mais vantajoso descontar um t´ıtulo que vence daqui a 90 dias?
b. E um t´ıtulo que vence daqui a 210 dias?
c. Qual o prazo de vencimento que torna indiferente o desconto em A ou em B?
Respostas
1. R$235.000, 00
2. R$231.550, 71
5. a
6. R$58.823, 00
7. 2, 18% a.m.
8. R$46.109, 25
9. 3, 16% a.m
10. 53,33 meses
11. 26,56% no per´ıodo
29
12. a
13. a
14. a
15. R$10.000, 00
16. R$60.000, 00
17. R$180.000, 00
18. 3, 46% a.m.
19. R$2.013, 00
20. a
21. a. R$2.649, 00, b. R$1.000, 00, c. 3,8% a.m
22. a. R$201.050, 00, b. R$198.955, 48, c. R$6.963, 44 e R$1.044, 52.
23. 3, 5% a.m.
24. R$42.293, 83
25. a. Banco A, b. Banco B, c. 3 meses e 28 dias.
30
Cap´ıtulo 4
Juros Compostos
4.1 Ca´lculo dos Juros, Montante e Capital
Como ja´ vimos no Cap´ıtulo 2, no Regime de Juros Compostos ( Regime de Capitalizac¸a˜o
Composta)a partir do segundo per´ıodo os juros incidem sobre o montante constitu´ıdo no per´ıodo
anterior.
Assim se o capital VP for aplicado a uma taxa i para um determinado per´ıodo de tempo, os
montantes (VF) constitu´ıdos no fim de cada um destes per´ıodos em que o capital ficar aplicado e´
dado por:
V F1 = V P (1 + i)
V F2 = V F1(1 + i) = V P (1 + i)
2
...
V Fn = V Fn−1(1 + i) = V P (1 + i)n
Enta˜o, no fim de n per´ıodos, temos:
V F = V P (1 + i)n
Explicitando VP nesta expressa˜o, temos:
V P =
V F
(1 + i)n
Sabemos que
J = V F − V P
31
Assim, pelas expresso˜es anteriores, conclu´ımos que:
J = V P ((1 + i)n − 1)
Exemplo 4.1 Um capital foi aplicado a juros compostos de 30% a.a. Apo´s treˆs anos, resgatou-se
metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi aplicado a` taxa efetiva de 32% a.a.,
obtendo-se um rendimento de R$102, 30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente
aplicado.
Soluc¸a˜o
Os juros ganhos treˆs anos depois da aplicac¸a˜o e´:
J = V P ((1 + 0, 3)3 − 1)⇒ J = 1, 197V P
Aplicou-se o resto do montante, ou seja, V P1 = V P +
1,197V P
2
a uma taxa de 32% a.a, e teve-se um
rendimento de R$102, 30.
Segue que:
J = V P ((1 + i)n − 1)⇒ 102, 30 = V P1((1 + 0, 32)1 − 1)⇒ 102, 30 = 0, 32V P1
Da´ı,
102, 30 = (V P +
1, 197V P
2
)(1 + 0, 32)1 − 1)⇒ 102, 30 = 1, 5985V P ∗ 0, 32
⇒ 0, 51152V P = 102, 30⇒ V P = 102, 30
0, 51152
⇒ V P = R$199, 99
Exemplo 4.2 Se a inflac¸a˜o esta´ em torno de 0, 7%, em quanto tempo uma mercadoria que custa
R$15.000, 00 atingira´ o prec¸o de R$15.916, 30?
Soluc¸a˜o
V F = V P (1 + i)n ⇒ 15.916, 30 = 15.000, 00(1 + 0, 007)n ⇒ 1, 007n = 15.916, 30
15.000, 00
= 1, 0611
⇒ ln(1, 007n) = ln(1, 0611)⇒ nln(1, 007) = ln(1, 0611)⇒ n = ln(1, 0611)
ln(1, 007)
⇒ n = 8, 5
Na˜o sera´ necessa´rio deduzir as fo´rmulas como fizemos nos exerc´ıcio anterior. Poderemos utilizar
as fo´rmulas ja´ deduzidas.
Para encontrar a taxa no regime capitalizac¸a˜o composta, tem-se:
i =
n
√
V F
V P
− 1
E para encontrar o per´ıodo:
n =
lnV F
V P
ln(1 + i)
32
4.2 Taxas de Juros - Regime de Juros Compostos
4.2.1 Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes
Os conceitos de taxas proporcionais e taxas equivalentes no regime de juros simples sa˜o os
mesmos para o regime de juros compostos. Pore´m como ja´ foi citado, no regime de juros compostos as
taxas proporcionais sa˜o diferentes das taxas equivalentes, e no regime de juros simples elas coincidem.
Se o capital (VP) aplicado a uma taxa i1 durante um per´ıodo n1 produz um montante (VF),
e a taxa i2 e´ uma taxa equivalente a` i1, ela produzira´ no mesmo prazo de n2 per´ıodos, o mesmo
montante VF. Assim,
V F = V P (1 + i1)
n1
e
V F = V P (1 + i2)
n2
O que implica que,
(1 + i1)
n1 = (1 + i2)
n2
Que e´ a relac¸a˜o que deve haver entre as taxas para que elas sejam equivalentes no regime de juros
compostos.
4.2.2 Taxa nominal e Taxa efetiva
Os conceitos ja´ vistos para taxa nominal e taxa efetiva tambe´m sa˜o os mesmos no sistema de
juros compostos.
No regime de Capitalizac¸a˜o composta e´ comum uma taxa em um per´ıodo com capitalizac¸a˜o em
per´ıodo distinto, por exemplo, dizer que a taxa e´ de 40% a.a capitalizada trimestralmente.
Exemplo 4.3 Determinar a taxa efetiva para 24 meses equivalente A˜ taxa de 120% a.a., capitalizada
semestralmente.
Soluc¸a˜o
Chamaremos de i2 a taxa procurada.
Temos uma taxa i2 de 120% a.a. capitalizada semestralmente. Isso significa que a taxa efetiva
e´ a taxa nominal dada dividido por dois semestres (nu´mero de semestre que conte´m em um ano)
120%
2
= 60%a.s.. Queremos encontrar a taxa equivalente em um per´ıodo de dois anos (24 meses).
33
como a taxa efetiva dada e´ expressa em semestres, n2 = 4 semestres e n1 = 1 semestre. Da´ı,
(1 + i1)
n1 = (1 + i2)
n2 ⇒ (1 + i2)1 = (1 + 0, 6)4
⇒ i2 = 6, 5536− 1⇒ i2 = 5, 5536⇔ i2 = 555, 36% em 24 meses
4.3 Descontos Compostos
Os descontos compostos, incidem sobre os valores ja´ descontados anteriormente. Podemos
considerar-lo como uma sucessa˜o de descontos simples.
4.3.1 Desconto Comercial
O desconto comercial e´ calculado sobre o valor nominal do t´ıtulo.
Sejam N o valor nominal que sera´ descontado com desconto comercial composto, n o nu´mero
de per´ıodos antes do vencimento do t´ıtulo que ocorrera´ o desconto, i a taxa de desconto e Ac o valor
atual do t´ıtulo. Temos que:
A1 = N(1− i)
A2 = A1(1− i) = N(1− i)2
...
An = N(1− i)n
Para o valor desconto comercial composto, temos:
dc = N −N(1− i)n ⇒ dc = N(1− (1− i)n)
Exemplo 4.4 Qual o valor atual de um tt´ulo, descontado 150 dias antes de seu vencimento, a` taxa
composta de 3% a.m., que produziu um valor de desconto comercial de R$4.935, 15?
Soluc¸a˜o
Considerando que o meˆs possua 30 dias corridos, enta˜o 150 dias e´ equivalente a` 5 meses.
dc = N(1− (1− i)n ⇒ 4.935, 15 = N(1− (1− 0, 03)5)⇒ N = 4.935, 15
0, 1413
= 34.926, 75
An = N(1− i)n ⇒ An = 34.926, 75(1− 0, 03)5 ⇒ An = R$29992, 79
34
4.3.2 Desconto Racional
O desconto racional e´ calculado sobre o valor atual do t´ıtulo.
Sejam N o valor nominal que sera´ descontado com desconto racional composto, n o nu´mero de
per´ıodos antes do vencimento do t´ıtulo que ocorrera´ o desconto, i a taxa de desconto e Ac o valor
atual do t´ıtulo. Temos que:
A1 =
N
1 + i
A2 =
A1
1 + i
=
N
(1 + i)2
...
An =
N
(1 + i)n
Para o valor do desconto racional composto temos:
dr = N(1− 1
(1 + i)n
)
Exemplo 4.5 Qual o valor do desconto composto racional de um t´ıtulo de R$100.000, 00 descontado
a uma taxa de juros de 4% a.m., 69 dias antes de seu vencimento?
Soluc¸a˜o
Note que a taxa foi dada em meˆs e per´ıodo em dias, enta˜o ou devemos transformar os dias em meses
(usando regra de treˆs ba´sica), ou devemos encontrar a taxa equivalente a 4% a.m. expressa em dias.
Encontraremos a taxa equivalente.
Consideraremos o meˆs com 30 dias corridos:
(1 + i1)
n1 = (1 + i2)
n2 ⇒ (1 + i1)30 = (1 + 0, 04)1 ⇒ i1 = 30
√
1, 04− 1⇒ i1 = 0, 001308 a.d.
Assim, o desconto racional composto e´:
dr = 100.000(1− 1
(1 + 0, 001308)69)⇒ dr = R$8624, 52
4.4 Equivaleˆncia de Capitais
No Regime de capitalizac¸a˜o Composta, dois ou mais capitais sa˜o equivalentes se com uma taxa
dada, seus valores, em qualquer data, con esta taxa forem iguais.
Neste regime podemos ter capitais equivalentes com desconto comercial composto ou desconto
racional composto
35
Sejam N1 e N2 dispon´ıveis em dadas posteriores a data focal de n1 e n2 per´ıodos, respectivamente,
A1 e A2 seus valores atuais na data focal e i a taxa. Se N1 e´ equivalente a N2 enta˜o, por definic¸a˜o,
A1 = A2
Da´ı, para a equiveleˆncia feita com desconto comercial composto, tem-se:
N1(1− i)n1 = N2(1− i)n2
E para equivaleˆncia feita com juros compostos:
N1
(1 + i)n1
=
N2
(1 + i)n2
Exemplo 4.6 Um t´ıtulo no valor de R$50.000, 00 para 30 dias, foi trocado por outro, de R$60.000, 00
para 90 dias. Qual a taxa de desconto comercial composto que foi utilizada para que estes t´ıtulos
fossem considerados equivalentes?
Soluc¸a˜o
Encontraremos a taxa mensal, para isso, faremos 30 dias igual a um meˆs e 90 dias igual a treˆs meses,
mas nada impediria de usarmos o per´ıodo em dias, caso escolhessemos em dias, encontrar´ıamos a
taxa em dias.
N1(1− i)n1 = N2(1− i)n2 ⇒ 50000(1− i)1 = 60000(1− i)3 ⇒ i = 1−
√
0, 833 = 0, 0871
Portanto, foi utilizada a taxa de 8, 71% a.m.
Exemplo 4.7 Um t´ıtulo de R$100.000, 00 para 62 dias vai ser trocado por outro de R$150.000, 00.
Qual sera´ o prazo deste novo t´ıtulo, se a troca sera´ feita com desconto racional composto a` taxa de
12% a.m.?
Soluc¸a˜o
100000
1, 00462
=
150000
1, 004n
⇒ 1
1, 004n
= 0, 5275⇒ n = ln0, 5275
ln1, 004
⇒ n = 169, 3
O prazo sera´ de 169 dias.
4.5 Exerc´ıcios
1. Determinar:
a. A taxa efetiva para dois meses equivalente a` taxa de 80% a.a., capitalizada mensalmente.
36
b. A taxa nominal anual com capitalizac¸a˜o mensal equivalente a` taxa efetiva de 10% em 60 dias.
c. A taxa nominal anual com capitalizac¸a˜o trimestral equivalente a` taxa efetiva de 15% em seis
meses.
d. A taxa efetiva para 53 dias equivalente a` taxa de 18% a.s., capitalizada diariamente.
2. Uma pessoa tem condic¸o˜es de aplicar seu dinheiro a uma taxa composta de 1, 5% a.m. no
mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado R$120.000, 00 por um ano, quanto
devera´ devolver para que a aplicac¸a˜o seja equivalente neste per´ıodo?
3. Uma pessoa depositou R$1.000, 00 em um fundo que paga juros compostos de 5% a.m., com
o objetivo de dispor de R$1.102, 50 dentro de 2 meses. Passados 24 dias apo´s a aplicac¸a˜o, a
taxa efetiva baixou para 4% a.m. Quanto tempo adicional tera´ de esperar para obter o capital
requerido?
4. Uma pessoa aplicou um capital de R$1.500, 00 durante 2 anos, obtendo no final do per´ıodo o
montante de R$1.882, 10. Considerando juros compostos, qual a taxa mensal de juros recebida
na aplicac¸a˜o?
5. Uma mercadoria e´ vendida por R$1.250, 00 para pagamento em 75 dias. Considerando custo
financeiro de 30% a.a. capitalizac¸a˜o mensal, qual o prec¸o equivalente a` vista?
6. Um capital foi aplicado durante cinco anos a` taxa nominal de 5, 5% a.a. capitalizada semes-
tralmente e, a seguir, seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos.
A que taxa efetiva anual u´nica o capital poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo
que resultasse no mesmo montante?
7. Quanto valoriza a cota de um fundo de renda varia´vel cujas taxas de remunerac¸a˜o de treˆs
meses consecutivos sa˜o respectivamente 1, 8%, 1, 5% e 2, 1%? Qual seria a valorizac¸a˜o se tivesse
rendido 1, 8%, −1, 5% e 2, 1%?
8. Um capital foi aplicado em uma conta remunerada que paga uma taxa de 24% a.a., capitali-
zada trimestralmente. Apo´s um ano a taxa nominal baixou para 20% a.a. com capitalizac¸a˜o
trimestral, o que motivou o saque de 50% do capital originalmente aplicado. Se transcorridos
seis meses desta segunda operac¸a˜o a conta foi encerrada, resgatando-se o saldo de R$20.000, 00,
calcular o capital inicialmente aplicado.
37
9. Um produto, cujo prec¸o a` vista e´ de R$450, 00, sera´ pago em duas prestac¸o˜es mensais conse-
cutivas, de R$280, 00 e R$300, 00, sendo que a primeira sera´ em 30 dias. Se a taxa de juros
embutida na primeira prestac¸a˜o for de 10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda.
10. Um t´ıtulo de R$60.000, 00 foi resgatado treˆs meses antes de seu vencimento, a uma taxa de
juros compostos de 3% a.m. Calcule o valor atual desse t´ıtulo considerando que foi aplicado
desconto racional.
11. Qual o valor nominal de um t´ıtulo, descontado 60 dias antes de seu vencimento, a` taxa composta
de 5% a.m., que produziu um valor de desconto comercial de R$9.750, 00?
12. Um tt´ulo no valor de R$100.000, 00 para 150 dias foi trocado por outro, de R$80.000, 00 para
90 dias. Qual a taxa de desconto comercial se os t´ıtulos sa˜o equivalentes?
13. Uma pessoa precisa de R$10.000, 00 por 2 anos. Ofereceram-lhe o dinheiro nas seguintes
condic¸o˜es:
a. juros nominais de 5% a.a. capitalizados trimestralmente;
b. taxa nominal de 5, 375% a.a. capitalizada semestralmente;
c. juros simples de 5, 5% a.a.
Qual e´ a melhor oferta?
14. Uma pessoa depositou num banco determinado valor, a juros compostos. No final de 8 meses,
o saldo credor era de R$3.715, 60 e no final de 2 anos o saldo credor passou para R$4.187, 45.
Sabendo que a aplicac¸a˜o foi efetuada com taxa prefixada, qual a taxa de juros mensal cobrada
pelo banco e qual o capital aplicado?
15. Um produto e´ ofertado por R$450, 00 para pagamento em 120 dias. Considerando que a loja
oferece um desconto de 10% para vendas a vista, qual a taxa efetiva mensal de juros em regime
de capitalizac¸a˜o composta?
16. O valor de R$5.660, 00 foi aplicado a` taxa nominal de 15% a.a., capitalizada mensalmente,
durante treˆs anos, quatro meses e 27 dias. Calcule o montante considerando as convenc¸o˜es
linear e exponencial.
38
17. O capital de R$5.000, 00 ficou aplicado durante 2 anos, 5 meses e 7 dias, a juros nominais de
20% a.a., capitalizados trimestralmente. Considerando a convenc¸a˜o exponencial e a convenc¸a˜oo
linear, qual o montante recebido?
18. Pretendo duplicar um capital. Uma aplicac¸a˜o financeira ofereceu-me uma taxa de juros com-
posta de 2, 30% a.m. Qual o prazo de aplicac¸a˜o que vou ter para alcanc¸ar meu objetivo?
19. Uma financiadora empresta dinheiro a 3% a.m. Na data em que e´ feito o empre´stimo, ficam
retidos 5% do valor do empre´stimo a t´ıtulo de seguro. Uma pessoa quer tomar o empre´stimo
para aplicar o capital empregado a` taxa de 4, 5% a.m. Com base nas taxas efetivas mensais:
a) se o empre´stimo for por 60 dias, sera´ um bom nego´cio?
b) se o empre´stimo for por 120 dias, sera´ um bom nego´cio?
20. Uma pessoa aplica seu capital a` taxa efetiva de 5% a.t. No fim de 12 meses ele retira o
dinheiro e coloca a` taxa de 20, 5% a.a., capitalizac¸a˜o semestral por mais um ano, retirando
enta˜o R$4.250, 94. Qual foi a aplicac¸a˜o inicial?
21. Quanto um investidor pagaria hoje por um t´ıtulo de valor nominal de R$13.450, 00 com ven-
cimento para daqui a um semestre? Sabe-se que este investidor esta´ disposto a realizar a
aplicac¸o˜es somente se auferir uma rentabilidade efetiva de 20% a.a.
22. Uma empresa descontou em 20/09/2011 um t´ıtulo de R$1.880, 00 com vencimento em 19/12/2011.
O banco cobra uma taxa de desconto banca´rio simples de 3, 20% a.m. Ale´m de taxa de desconto
banca´rio simples, o banco debitou um total de R$42, 00, entre despesas de cobranc¸a, taxa de
cre´dito e IOF. Com base no valor l´ıquido recebido, pode-se afirmar que o custo real do dinheiro
em regime de capitalizac¸a˜o composta, foi de quanto?
23. Uma loja esta´ anunciando uma geladeira por R$480, 00 a` vista ou em treˆs pagamentos iguais e
sem juros de R$160,00, sendo o primeiro no ato da compra, o segundo apo´s 30 dias e o terceiro
apo´s 60 dias. Numa e´poca em que a taxa de juros compostos do mercado esta´ em torno de 6%
a.m., essa loja poderia dar um desconto de quantos por cento no prec¸o a` vista?
24. Para um poupador que deseja ganhar 2, 5% a.m., o que e´ mais interessante: receber R$18.500, 00
de hoje a 4 meses ou receber R$25.500, 00 de hoje a 12 meses?
25. Uma pessoa deve R$2.500, 00 venc´ıveis no fim de 4 meses e R$8.500, 00 de hoje a 8 meses. Que
valor deve esta pessoa depositar hoje numa conta de poupanc¸a, que remunera a` taxa de 6%
39
a.a., de forma que possa efetuar os saques necessa´rios para pagar seus compromissos? Admita
em sua resposta que apo´s a u´ltima retirada para liquidac¸a˜o da dv´ida:
a. na˜o permanece saldo final;
b. permanece um saldo igual a R$4.000, 00 na conta.
26. Um investidor efetuou no passado uma aplicac¸a˜o num t´ıtulo cujo vencimento se dara´ daqui a
4 meses, sendo seu montante de R$36.670, 00. O banco procura o aplicador e oferece trocar
este t´ıtulo por outro vencv´el daqui a 9 meses, apresentando valor de resgate de R$41.400, 00.
Sendo de 2, 1% a.m. a taxa de juros de mercado, e´ interessante para o investidor a troca de
t´ıtulos? Qual a rentabilidade da nova aplicac¸a˜o proposta pelo banco?
27. Uma d´ıvida apresenta as seguintes condic¸o˜es de pagamento: R$6.200, 00 venc´ıveis em certa
data e R$9.600, 00 venc´ıveis 4 meses apo´s. O devedor propo˜e uma renegociac¸a˜o da d´ıvida nas
seguintes condic¸o˜es: R$3.000, 00 apo´s 3 meses do vencimento do primeiro pagamento original;
R$4.500, 00 da´ı a 3 meses e o restante 5 meses depois deste u´ltimo pagamento. Para uma taxa
de juros de 2, 9% a.m., calcular o saldo a pagar.
28. Faltando treˆs pagamentos mensais de R$50.400, 00 para o te´rmino de um contrato de financia-
mento, o devedor deseja liquida´-lo (na data em que deveria quitar o primeiro dos treˆs). Quanto
devera´ pagar se a taxa e´ de 3% a.m. de juros compostos?
29. Uma empresa tem o seguinte conjunto de d´ıvidas com um banco: R$39.000, 00 venc´ıvel de
hoje a 3 meses, R$55.000, 00 venc´ıvel de hoje a seis meses e R$74.000, 00 venc´ıvel de hoje a 8
meses. Toda a d´ıvida poderia ser quitada em um u´nico pagamento de R$192.387, 07. Para uma
taxa nominal de juros de 28, 08% a.a., capitalizada mensalmente, determinar em que momento
deveria ser efetuado esse pagamento para que seja equivalente com o conjunto atual da d´ıvida.
30. Dispo˜e-se de duas formas de pagamento:
I) pagamento a` vista de R$1.400, 00;
II) dois cheques pre´-datados de R$763, 61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente.
a. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada.
b. Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicac¸o˜es, qual sera´ a melhor opc¸a˜o de compra: a` vista
ou a prazo?
40
31. Uma empresa e´ devedora de 2 t´ıtulos, um de R$12.500, 00 para 75 dias e outro de R$8.500, 00
para 120 dias. Esta empresa pretende liquidar os 2 t´ıtulos com um u´nico pagamento em 90
dias. Considerando uma taxa de juros compostos de 2, 5% a.m., qual o valor do pagamento?
32. Uma d´ıvida tem o seguinte esquema de pagamento: R$3.900, 00 vencv´eis em 3 meses a partir
de hoje e R$11.700, 00 de hoje a 5 meses. O devedor propo˜e ao credor refinanciar esta d´ıvida
mediante 5 pagamentos bimestrais, iguais e sucessivos, vencendo o primeiro de hoje a um meˆs.
Sendo de 2, 1% a.m. a taxa de juros da d´ıvida original e de 3% a.m. a taxa a ser considerada
no refinanciamento, pede-se para determinar o valor de cada pagamento bimestral.
33. Uma pessoa pode comprar um lote por R$13.000, 00 no momento atual ou pagar em treˆs
parcelas: R$6.000, 00 agora, R$6.000, 00 em 2 anos e R$6.000, 00 em 5 anos. Qual a melhor
alternativa se o dinheiro pode ser investido:
a. com uma taxa composta de 1, 5% a.m.?
b. com uma taxa composta de 3% a.t. para os primeiros treˆs anos e 2, 32% para os pro´ximos dois
anos?
34. Uma pessoa tomou emprestado R$10.000, 00, obrigando-se a paga´-los em treˆs parcelas mensais
iguais, com juros compostos de 5% a.m. De quanto sera˜o essas parcelas se a primeira vencer a
90 dias do empre´stimo?
35. Uma aplicac¸a˜o de R$2.000, 00 deveria ser resgatada no final de quatro meses, acrescida de
juros compostos de 4, 5% a.m. Quarenta e dois dias antes do vencimento a pessoa resgata a
aplicac¸a˜o, sendo aplicado um desconto racional composto de 5% a.m. Em seguida ele reaplica
o dinheiro a 5, 5% a.m. pelo tempo restante. Sabendo-se que nas datas dos resgates a pessoa
paga 10% do rendimento de imposto de renda e 0, 38% do valor recebido de CPMF, qual a taxa
efetiva recebida pelo cliente? Baseado nas taxas efetivas vale a` pena?
41
Respostas
1. a. 13, 7778% a.b.,
b. 58, 5706% a.a. capitalizada mensalmente.
c. 28, 9522% a.a. capitalizada trimestralmente.
d. 5, 4402% em 53 dias
2. R$143.474, 18
3. 8,7836 dias
4. 0, 95% a.m.
5. R$1.175, 17
6. 4, 5225% a.a.
7. 5, 4969% a.t. e 2, 3787% a.t.
8. R$23.791, 60
9. 23, 8904% a.m.
10. R$54.908, 50
11. R$100.000, 00
12. 10, 5573% a.m.
13. Oferta A
14. 0, 75% a.m.; R$3.500, 00
15. 2, 669% a.m.
16. Linear: R$9.407, 55 e Exponencial: R$9.407, 48
17. Exponencial: R$8.043, 55 e Linear: R$8.045, 36;
18. Aproximadamente 31 meses
42
19. a. na˜o sera´ bom nego´cio, pois pagara´ 5, 6758% a.m.
b. sera´ bom nego´cio, pois pagara´ 4, 3293% a.m.
20. R$2.877, 20
21. R$12.278, 11
22. 4, 3% a.m.
23. 5, 5536%
24. R$25.500, 00 ao final de um ano.
25. a. R$10.627, 89.
b. R$14.475, 39
26. E´ interessante. A taxa de rentabilidade e´ de 2, 4561% a.m.
27. R$11.255, 46
28. R$146.838, 87
29. de´cimo segundo meˆs.
30. a. 6% a.m. b.a` vista
31. R$20.947, 97
32. R$3.283, 06
33. a. Pagar parcelado e´ melhor; V P = R$12.653, 04
b. Pagar a` vista e´ melhor; V P = R$13.932, 24
34. R$4.048, 47
35. Vale a pena, pois a taxa da transac¸a˜o completa (4, 0166% a.m.) e´ maior que a taxa da aplicac¸a˜o
(3, 9751% a.m.)
43
Cap´ıtulo 5
Rendas
Exitem operac¸o˜es financeiras que sa˜o constituidas de va´rias aplicac¸o˜es, feitas em datas dife-
rentes, com a finalidade de constituir um montante futuro, ou de pagar por meio de prestac¸o˜es um
d´ıvida pela aquisic¸a˜o de um bem, servic¸o ou empre´stimos. Este tipo de operac¸o˜es recebe o nome de
Rendas.
Cada um dos pagamentos da se´rie, denomina-se prestac¸o˜es e representaremos por PMT .
Os intervalos de tempo entre os vencimentos de duas prestac¸o˜es consecutivas, denomina-se
per´ıodos da renda.
Chama-se Valor Presente (VP) de uma renda, a soma dos valores presentes de cada um dos paga-
mentos calculados em uma certa data com uma taxa fixada. Desta forma, dados V P1, V P2, · · ·V Pn
os valores presentes das prestac¸o˜es respectivamente, temos:
V P = V P1 + V P2 + · · ·+ V Pn
Chama-se de Valor Futuro (VF) ou montante de uma renda, a soma dos valores futuros de cada
um dos pagamentos em uma certa data com uma taxa fixada.Desta forma, dados V F1, V F2, · · ·V Fn
os valores presentes das prestac¸o˜es respectivamente, temos:
V F = V F1 + V F2 + · · ·+ V Fn
Para facilitar a compreenc¸a˜o, e´ aconselha´vel a representac¸a˜o de uma renda atrave´s de Fluxos
de Caixa.
Exemplo 5.1 Fluxo de Caixa com uma se´rie de n pagamentos, indicados por PMT1, PMT2, · · · , PMTn
com seus valores presentes indicados por V P1, · · · , V Pn e seus valores futuros por V F1, · · · , V Fn
44
Nos diagramas abaixo, PV e FV indica o valor presente e o valor futuro respectivamente.
Conve´m ressaltar que em nossso curso continuaremos a usar os s´ımbolos V P e V F para repre-
senta´-los.
5.1 Classificac¸a˜o das Rendas
As rendas que possuem um nu´mero limitado de prestac¸o˜es, sa˜o ditas tempora´rias. Um exemplo
deste tipo de renda sa˜o as prestac¸o˜es que se pagapara aquisic¸a˜o da casa pro´pria.
As rendas que possuem um nu´mero ilimitado de prestac¸o˜es, sa˜o chamadas perpe´tuas. A se´rie
de aluguel que uma pessoa paga para manter um come´rcio em um ponto alugado e´ um bom exemplo
deste tipo de renda.
Quando as prestac¸o˜es possuem o mesmo valor moneta´rio, dizemos que a renda e´ constante, caso
contra´rio, elas sa˜o ditas varia´veis.
Quanto ao per´ıodo, as rendas podem ser perio´dicas, quando os per´ıodos sa˜o iguais e na˜o
perio´dicas quando os per´ıodos sa˜o diferentes.
As rendas imediatas (postecipadas) sa˜o aquelas que o primeiro pagamento e´ efetuado no fim do
primeiro per´ıodo.
45
As rendas antecipadas caracterizam-se por terem o primeiro pagamento efetuado no inicio do
primeiro per´ıodo.
5.2 Ca´lculo do Valor Presente de uma renda
Embora, por definic¸a˜o, o valor presente de uma renda e´ a soma dos valores presentes de cada
prestac¸a˜o, existem fo´rmulas que nos permite calcular diretamente este valor. O uso destas formas e´
extremamente util, principalmente quando temos um nu´mero muito grande de prestac¸o˜es.
5.2.1 Valor Presente de uma renda imediata
Para uma renda imediata, de n termos PMT , a` uma taxa i, temos:
V P = PMT (
1− (1 + i)−n
i
)
A partir da fo´rmula acima, e´ possivel deduzir a fo´rmula que fornece o valor de n. Obtendo a
seguinte relac¸a˜o:
n = − ln(1−
V Pi
PMT
)
ln(1 + i)
No entanto, para o ca´lculo da taxa i, so´ e´ poss´ıvel por apreoximac¸o˜es sucessivas. Calcula-se o
valor de V P com va´rias taxas ate´ que se consiga valores pro´ximos do valor dado para V P . Em seguida,
com o aux´ılio da regra de treˆs, faz-se uma interpolac¸a˜o para determinar a taxa correspondente a este
valor dado.
Exemplo 5.2 Um terreno foi comprado com uma entrada de R$50.000 e 12 prestac¸o˜es mensais de
R$6.319, 16. Qual o prec¸o a vista do terreno, se a taxa do mercado imobilia´rio e´ 3, 8% a.m.?
Soluc¸a˜o
Parte Financiada:
V P = 6.319, 16(
1− (1 + 0, 038)−12
0.038
) = R$60.000, 00
Prec¸o a vista = entrada + parte financiada. Ou seja,
R$50.000, 00 + R$60.000, 00 = R$110.000, 00
46
5.2.2 Valor Presente de uma renda imediata perpe´tua
Para calcular o valor presente deste tipo de renda, basta tomar a fo´rmula V P = PMT (1−(1+i)
−n
i
)
e fazer n crescer indefinidamente:
Para n suficientemente grande, tem-se:
V P =
PMT
i
Exemplo 5.3 Uma pessoa deseja comprar um imo´vel com intenc¸a˜o de aluga´-lo por R$900, 00 men-
sais. Quanto ela devera´ pagar por este imo´vel, para que na˜o fique no preju´ızo, sabendo que a taxa de
mercado gira em torno de 1, 5% a.m.?
Soluc¸a˜o
V P =
900
0, 015
= R$60.000, 00
5.2.3 Valor Presente de uma renda antecipada
Calcular o valor presente de uma renda antecipada, pode ser visto como o ca´lculo de uma renda
imediata em um pe´ıodo anterior. Assim, podemos calcula´-lo da seguinte forma:
V P = PMT (
1− (1 + i)−n
i
)(1 + i)
Valor Presente de uma renda diferida
A renda diferida tem seu valor presente calculado numa data focal m per´ıodos antes da data
focal que foi calculado o valor presente da renda imediata.
Enta˜o, para a renda diferida de m per´ıodos tem-se:
V P = PMT
1− (1 + i)−n
i
(1 + i)−m
Exemplo 5.4 Um empre´stimo de R$8.000, 00 deve ser pago com juros de 4, 5% a.m., em seis par-
celas mensais iguais, vencendo a primeira a 120 dias do empre´stimo. De quanto sera˜o as parcelas?
Soluc¸a˜o
Note que m = 3, treˆs meses (90 dias) de careˆncia. Da´ı, explicitando a PMT na equac¸a˜o, temos:
PMT =
V P (1 + i)m
1−(1+i)−n
i
⇒ PMT = 8000(1 + 0, 045)
3
1−(1+0,045)−6
0,045
= R$1.769, 98
47
5.3 Ca´lculo do Valor Futuro de uma renda
Embora, por definic¸a˜o, o valor futuro de uma renda e´ a soma dos valores futuros de cada
prestac¸a˜o, existem fo´rmulas que nos permite calcular diretamente este valor. Assim como no caso do
ca´lculo do valor presente, o uso destas formas e´ extremamente util quando temos um nu´mero muito
grande de prestac¸o˜es.
5.3.1 Valor Futuro de uma renda imediata
Para uma renda imediata, de n termos PMT , a` uma taxa i, temos:
V F = PMT
(1 + i)n − 1
i
Explicitando n nesta equac¸a˜o, tem-se que:
n =
ln( V Fi
PMT
+ 1)
ln(1 + i)
Exemplo 5.5 Um t´ıtulo de depo´sito banca´rio, paga juros de 2, 2%a.m. Para uma pessoa que o
contratou e deposita mensalmente R$1.000, 00, qual sera´ o seu montante ao final de um ano?
Soluc¸a˜o
V F = 1000
(1 + 0, 022)12− 1
0, 022
⇒ V F = R$13.563, 90
5.3.2 Valor Futuro de uma renda antecipada
Calcular o valor futuro de uma renda antecipada, pode ser visto como o ca´lculo de uma renda
imediata em um pe´ıodo posterior. Assim, podemos calcula´-lo da seguinte forma:
V F = PMT
(1 + i)n − 1
i
(1 + i)
5.3.3 Valor Futuro de uma renda diferida
Note que tanto no caso de uma renda imediata, quanto no caso de uma renda diferida, o valor
futuro sempre sera´ na data focal correspondente ao u´ltimo pagamento portanto a mesma fo´rmula e´
va´lida em ambos os casos:
V F = PMT
(1 + i)n − 1
i
48
5.4 Exerc´ıcios
1. Quanto devo aplicar a partir de hoje, em um investimento de renda fixa que remunera os
depo´sitos a uma taxa de juros compostos de 1, 00% ao meˆs, para poder resgatar daqui a 18
meses a quantia de R$5.000, 00?
2. Um foga˜o esta´ anunciado por R$200, 00 para pagamento a` vista ou em cinco prestac¸o˜es iguais e
mensais, sendo a primeira paga 30 dias apo´s a compra. Calcule o valor das prestac¸o˜es, sabendo
que a taxa de juros compostos cobrada pela loja foi de 5% ao meˆs.
3. Uma pessoa quer efetuar oito depo´sitos mensais numa conta que paga juros de 1% a.m., para
retirar 18 parcelas mensais de R$1.500, 00 fazendo a primeira retirada um msˆ apo´s o u´ltimo
depo´sito. Quanto devera´ depositar mensalmente?
4. Um financiamento de R$132.000, 00 sera´ liquidado em 14 prestac¸o˜es mensais. Considerando
uma taxa de juros compostas de 3% a.m., calcular o valor das prestac¸o˜es na hipo´tese de serem
pagas:
a. Postecipadamente.
b. Antecipadamente.
5. Uma pessoa vai receber 15 prestac¸o˜es mensais iguais de R$400, 00, com per´ıodo de careˆncia de
15 meses. Se a taxa de juros aplicada e´ de 2% a.m., questiona-se:
a. Qual o valor da d´ıvida financiada?
b. Qual o montante na data focal 40?
6. Uma pessoa captou um financiamento de R$54.000, 00 para ser liquidado em 18 prestac¸o˜es
mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira no fim de trinta dias. Apo´s o pagamento da
se´tima prestac¸a˜o, passando por dificuldades financeiras, solicitou ao banco que refinanciasse o
seu saldo devedor para 20 prestac¸o˜es mensais, iguais e sucessivas. O empre´stimo foi levantado
com juros de 2, 9% a.m., e o refinanciamento foi processado cobrando juros de 4, 0% a.m.
Determinar o valor de cada prestac¸a˜o do refinanciamento.
7. Uma compra no valor de R$16.000, 00 sera´ paga por meio de uma entrada de 20% e um
determinado nu´mero de prestac¸o˜es de R$4.038, 02, sendo a primeira, um meˆs apo´s a compra.
49
A juros compostos de 10% a.m., calcular o nu´mero de prestac¸o˜es necessa´rias para liquidar a
d´ıvida.
8. Um carro e´ vendido em 8 prestac¸o˜es mensais. As prestac¸o˜es de ordem ı´mpar sa˜o iguais a
R$1.000, 00, enquanto que as de ordem par sa˜o iguais a R$2.000, 00. Se a taxa praticada e´ de
2% a.m., qual e´ o prec¸o a` vista?
9. Sabendo que posso dispor de no ma´ximo R$500, 00 por meˆs, quantas prestac¸o˜es mensais iguais
devo pagar, para resgatar um empre´stimo de R$5.000, 00 a 4% a.m., sendo que a primeira
prestac¸a˜o sera´ paga 120 dias apo´s o empre´stimo? Qual devera´ ser exatamente o valor de cada
prestac¸a˜o?
10. Um eletrodome´stico de R$330, 00 sera´ pago por meio de uma entrada de 15% mais oito
prestac¸o˜es mensais. Sendo a taxa de juros compostos de 5% a.m., calcular