Física 1C Aula 03

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AULA 3
Cinemática
AULA 3 – CINEMÁTICA
Velocidade instantânea e velocidade escalar:
Muitas vezes não estamos interessado na média durante um 
intervalo, mas sim no valor em um determinado instante 
dentro do intervalo
  Reduzir Dt ao redor de tx 
Dt → 0
Dt
tottx 
t
x
 
t
x
 
t
x
 
t
x
 
 
A velocidade instantânea no instante t
x
 é 
definida como o valor limite da velocidade 
média quando Dt → 0 ao redor de t
x
2
 
  Definição de derivada 
de x em relação à t
 
A velocidade instantânea no instante t
x
 nos dá a taxa de 
variação da posição em função do tempo naquele instante t
x
 A velocidade escalar é definida como o 
módulo da velocidade instantânea
AULA 3 – CINEMÁTICA
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Tabela de derivadas:
AULA 3 – CINEMÁTICA
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d (constante )
dt
=0
d [ f 1( t)+ f 2( t)]
dt
=
d [ f 1( t)]
dt
+
d [ f 2( t)]
dt
d [constante • f ( t)]
dt
=constante • d [ f (t )]
dt
d (t )
dt
=1
d (tn)
dt
=n • tn−1
Exemplo
 
a) Qual a velocidade instantânea em t = 2,00 s? Ela é 
constante ou varia para outros instantes?
v = 2,020 m/s
Não é constante, varia com t
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x=2,00­ 0,220 •t+0,140 • t 2+0,140 •t 3
v=dx
dt
= d [2,00­ 0,220 • t+0,140 •t
2+0,140 •t 3]
dt
v=dx
dt
= d (2,00)
dt
­ d (0,220 •t)
dt
+ d (0,140 •t
2)
dt
+d (0,140 • t
3)
dt
v=dx
dt
=0­ 0,220+0,140 •2• t+0,140 •3 •t 2
v=dx
dt
=­ 0,220+0,280 •t+0,420 •t 2
v (t=2,00 s)=­ 0,220+0,280 •2,00+0,420 •2,002
v (t=2,00 s)=­ 0,220+0,560+1,680=2,020m / s
b) Compare as velocidades médias nos intervalos listados abaixo 
com a velocidade instantânea em t = 2 s (ponto médio dos 
intervalos). Esboce o gráfico x vs t para o movimento.
I. Dt
1
 de 0 a 4 s II. Dt
2
 de 0,5 a 3,5 s III. Dt
3
 de 1,5 a 2,5 s
t (s) x (m)
0,000 2,00
0,500 2,00
1,00 2,06
1,50 2,46
2,00 3,24
2,50 4,51
3,00 6,38
3,50 9,00
4,00 12,32
 
 
 
 
Dt →
 0
 
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x (m)
t (s)
1 2 3 40,5 1,5 2,5 3,5
8
10
12
4
6
2
0
Dt
1
Dt
2
Dt
3
A velocidade instantânea é igual 
à declividade da reta tangente à 
curva x vs. t no ponto 
correspondente àquele instante 
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v
A velocidade instantânea pode ser positiva ou 
negativa, logo é uma grandeza vetorial
x
t
x
t
v é positiva
v é negativa
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Exemplo: variação da derivada de uma função matemática
AULA 3 – CINEMÁTICA
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A aceleração instantânea no instante t
x
 é definida como o valor 
limite da aceleração média quando Dt → 0 ao redor de t
x
 
A aceleração instantânea no instante t
x
 é a taxa de variação 
da velocidade em função do tempo naquele instante t
x
A aceleração instantânea pode ser positiva ou negativa, 
logo é uma grandeza vetorial
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Exemplo 2.2 (Halliday & Resnick) Um elevador, inicialmente em 
repouso, desloca-se para cima e depois para. O gráfico x vs. t 
correspondente ao seu movimento é apresentado abaixo.
5
10
15
20
25
0
x (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
A
B
C
D
(3;4)
(8;24)
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a) Construa o gráfico v vs. t a partir do gráfico x vs. t 
5
10
15
20
25
0
x (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
1
2
3
4
0
v (m/s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
A
A
B
B
C
C
Dx
B-C
Dt
B-C
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b) Que informação relativa à posição é possível se extrair do 
gráfico v vs. t ? 
1
2
3
4
0
v (m/s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
 
Área
A
1
A
2
A
3
Área total = 26 m = Dx
total
É possível calcular a variação da posição (deslocamento) 
mas não os valores absolutos da posição 
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A1=
b •h
2
=
2 •4
2
=4m A2=b •h=5 •4=20m A3=
b •h
2
=
1 •4
2
=2m
c) Construa o gráfico a vs. t a partir do gráfico v vs. t 
1
2
3
4
0
v (m/s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
- 4
- 2
2
4
0
a (m/s2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
Dv
Dt
 
Dv
Dt
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d) Esboce como um passageiro se sentiria dentro do elevador, 
para cada trecho do percurso. 
- 4
- 2
2
4
0
a (m/s2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t (s)
O corpo humano é muito sensível à aceleração, mas não à 
velocidade
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Exemplo 2.4 (Halliday & Resnick)
 
a) Determine v e a para essa partícula 
 
 
 
 
b) A v será nula em algum instante durante o movimento? 
 
   
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x=4,0­ 27 •t+t 3
v=dx
dt
=­ 27+3 •t 2 a=dv
dt
=6 •t
3 •t 2=27
t²=9
t=±3
v=­ 27+3 •t 2=0
t=3 s
-50
x (m)0
c) Descreva em detalhe o movimento da partícula
- Inicialmente (t = 0 s) a partícula se encontra na posição x
0
 = 4 m, de onde 
parte com velocidade inicial v
0
 = - 27 m/s e aceleração nula. Portanto, a 
partícula inicia seu movimento movendo-se na direção negativa do referencial
4
v
0
- Entre t = 0 e t = 3 s a partícula se move com velocidade negativa variável, se 
deslocando portanto para a esquerda. Mas nesse intervalo a aceleração 
cresce positivamente, fazendo com que a velocidade diminua em módulo. Em 
t = 3 s a velocidade atinge módulo zero (é nula) e a aceleração é positiva, o 
que indica que a partícula passará a se mover para a direita. A posição onde 
a inversão do movimento ocorre é x = -50 m.
x (m)0 4
v av aV = 0 m/sa
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- A partir de t = 3 s a partícula passa a se mover para a direita, 
indefinitivamente, com velocidade e aceleração positivas, continuamente 
aumentando em módulo. Por exemplo, em t = 5 s a partícula estará na 
posição x = - 6 m, com velocidade v = 48 m/s e aceleração a = 30 m/s2.
x (m)0-6
v
a
Lembrete:
Se uma partícula está “freando”, isso NÃO quer dizer que sua 
aceleração tem que ser negativa. Da mesma forma, se a 
partícula está “acelerando” isso NÃO implica que o sinal da 
aceleração tem que ser positivo.
Quando a e v têm sinais opostos, |v| diminui  partícula “freando”
Quando a e v têm o mesmo sinal, |v| aumenta  partícula “acelerando”
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