Resolucao de Equacoes Diferenciais Lineares por Series

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
112
6 Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries 
 
6.1 Ponto Ordinário (PO) e Ponto Singular (PS) 
 
Definição: Seja a equação diferencial linear de ordem n e coeficientes 
variáveis: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbxyxaxyxaxyxaxyxa 011n1nnn =+′+++ −− � . 
Se 
( )
( )��
�
�=
�≠
singularpontoditoéx0xa
ordináriopontoditoéx0xa
00n
00n
. 
 
Exemplos: 
1) 0yy =−′′ 
2) ( ) 0ynxyxyx 222 =−−′+′′ 
3) ( ) 0yyxy1x2 =+′−′′− 
 
Definição: Uma função de x é dita analítica em 0xx = se admite série de 
Taylor em torno de 0xx = , isto é, se ( )
( )( ) ( )n0
0n
0
n
xx
!n
xf
xf −=�
∞+
=
. 
 
Teorema: Seja a equação diferencial linear de ordem n e coeficientes variáveis. 
Se 0x é um ponto ordinário então a solução desta equação é analítica em 0x . Isto 
significa que se pode escrever ( )n0
0n
n xxay −=�
+∞
=
. 
 
Exercícios: Determine a solução das equações em torno do ponto 0x indicado: 
1) 0yy =−′ ; 0x0 = . 
Solução: 0x0 = é PO. 
Suponhamos n
0n
n xay �
+∞
=
= solução. 
Daí, 1n
1n
n xany
−
+∞
=
�=′ . 
0yy =−′ � 0xaxan n
0n
n
1n
1n
n =−��
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� ( ) 0xaxa1n n
0n
n
n
0n
1n =−+ ��
+∞
=
+∞
=
+ � ( )[ ] 0xaa1n n
0n
n1n =−+�
+∞
=
+ � 
� ( ) 0aa1n n1n =−+ + � 0n;01n
a
a n1n ≥=+
=+ relação de recorrência 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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113
!n
a
a
234
a
4
a
a3n
23
a
3
a
a2n
2
a
2
a
a1n
1
a
a0n
0
n
03
4
02
3
01
2
0
1
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
⋅⋅
==�=
⋅
==�=
==�=
=�=
 
Daí, ==== ���
+∞
=
+∞
=
+∞
= 0n
n
0
n
0n
0n
0n
n !n
x
ax
!n
a
xay yea x0 =⋅ é a solução geral, onde 
0a é constante arbitrária. 
 
2) 0yyxy 2 =−′−′′ ; 0x0 = . 
Solução: 0x0 = é PO. 
Suponhamos n
0n
n xay �
+∞
=
= solução. 
Daí, 1n
1n
n xany
−
+∞
=
�=′ e ( ) 2n
2n
n xa1nny
−
+∞
=
� −=′′ . 
( ) 0xaxanxxa1nn n
0n
n
1n
1n
n
22n
2n
n =−−− ���
+∞
=
−
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� ( ) 0xaxanxa1nn n
0n
n
1n
1n
n
2n
2n
n =−−− ���
+∞
=
+
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� ( )( ) ( ) 0xaxa1nxa1n2n n
0n
n
n
2n
1n
n
0n
2n =−−−++ ���
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
+ � 
� 
( )( ) ( )
0xa
xaaxa1nxa1n2nx6a2a
n
2n
n
10
n
2n
1n
n
2n
2n32
=−
+−−−−++++
�
��
∞+
=
+∞
=
−
+∞
=
+
 � 
� ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] 0xaa1na1n2nxa6aa2a n
2n
n1n2n1302 =−−−+++−+− �
+∞
=
−+ � 
� 
( )( ) ( )
�
�
�
�
�
�
≥=−−−++
=−
=−
−+ 2n;0aa1na1n2n
0a6a
0a2a
n1n2n
13
02
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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� 
( )
( )( ) ( )( )��
�
�
��
�
�
�
≥
++
+
++
−
=
=
=
−+ 2n;a1n2n
1
a
1n2n
1n
a
6
a
a
2
a
a
n1n2n
1
3
0
2
 � 
� 
�
�
�
�
��
�
�
�
+=++=+=�=
+=+=�=
+=+=�=
01011436
10325
01214
a
720
1
a
360
7
a
720
1
a
360
1
a
60
1
a
30
1
a
30
3
a4n
a
120
1
a
20
1
a
20
1
a
20
2
a3n
a
24
1
a
12
1
a
12
1
a
12
1
a2n
 
Daí, ==�
+∞
=
n
0n
n xay =+++ �
2
210 xaxaa 
=+
�
�
�
�
++
+
�
�
�
�
++
�
�
�
�
+++++=
�
601
5014013120
10
x
720
a
360
7a
x
20
a
120
a
x
24
a
12
a
x
6
a
x
2
a
xaa
 
=
�
�
�
�
++++++
�
�
�
�
+++++= ��
360
7x
120
x
12
x
6
x
xa
720
x
20
x
24
x
2
x1a
6543
1
6542
0 
2110 yaya += 
 
3) 22 xx3yyxy −+=−′−′′ ; 0x0 = . 
Solução: 0x0 = é PO. 
Suponhamos n
0n
n xay �
+∞
=
= solução. 
Daí, 1n
1n
n xany
−
+∞
=
�=′ e ( ) 2n
2n
n xa1nny
−
+∞
=
� −=′′ . 
( ) 2n
0n
n
1n
1n
n
22n
2n
n xx3xaxanxxa1nn −+=−−− ���
+∞
=
−
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� ( ) 2n
0n
n
1n
1n
n
2n
2n
n xx3xaxanxa1nn −+=−−− ���
+∞
=
+
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� ( )( ) ( ) 2n
0n
n
n
2n
1n
n
0n
2n xx3xaxa1nxa1n2n −+=−−−++ ���
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
+ � 
� 
( )( ) ( )
n
3n
2n
2n
n
10
n
2n
1n
n
2n
2n32
x0xx3xa
xaaxa1nxa1n2nx6a2a
��
��
∞+
=
∞+
=
+∞
=
−
+∞
=
+
⋅+−+=−
+−−−−++++
 � 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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� 
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]
n
3n
2
n
2n
n1n2n1302
x0xx3
xaa1na1n2nxa6aa2a
�
�
∞+
=
+∞
=
−+
⋅+−+=
=−−−+++−+−
 � 
� 
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
n
3n
2
n
3n
n1n2n
2
2141302
x0xx3
xaa1na1n2n
xaa12axa6aa2a
�
�
∞+
=
∞+
=
−+
⋅+−+=
=−−−+++
+−−+−+−
 � 
� 
( )( ) ( )���
�
�
�
�
≥=−−−++
−=−−
=−
=−
−+ 3n;0aa1na1n2n
1aa12a
1a6a
3a2a
n1n2n
214
13
02
 � 
� 
( )( ) ( )( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
≥
++
+
++
−
=
++=++−=
+=
+=
−+ 3n;a1n2n
1
a
1n2n
1n
a
24
a
12
a
24
1
12
a
12
a
12
1
a
6
a
6
1
a
2
a
2
3
a
n1n2n
0121
4
1
3
0
2
 � 
� 
�
�
�
�
�
++=+=�=
++=+=�=
01436
01325
a
720
1
a
360
7
720
13
a
30
1
a
30
3
a4n
a
20
1
a
120
1
120
19
a
20
1
a
20
2
a3n
 
Daí, ==�
+∞
=
n
0n
n xay =+++ �
2
210 xaxaa 
=+
�
�
�
�
+++
�
�
�
�
+++
+
�
�
�
�
+++
�
�
�
�
++
�
�
�
�
+++=
�
6
01
5
01
4013120
10
xa
720
1
a
360
7
720
13
xa
20
1
a
120
1
120
19
x
24
a
12
a
24
1
x
6
a
6
1
x
2
a
2
3
xaa
 
=
�
�
�
�
++++++
+
�
�
�
�
++++++
�
�
�
�
+++++=
�
��
720
13x
120
19x
24
x
6
x
2
3x
360
7x
120
x
12
x
6
x
xa
720
x
20
x
24
x
2
x1a
65432
6543
1
6542
0
 
p2110 yyaya ++= 
 
 
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4) 0yyxy 2 =−′−′′ ; 1x0 −= . 
Solução: 1x0 −= é PO. 
Suponhamos ( )n
0n
n 1xay +=�
+∞
=
 solução. 
Daí, ( ) 1n
1n
n 1xany
−
+∞
=
+=′ � e ( ) ( ) 2n
2n
n 1xa1nny
−
+∞
=
+−=′′ � . 
( ) ( ) ( ) ( ) 01xa1xanx1xa1nn n
0n
n
1n
1n
n
22n
2n
n =+−+−+− ���
+∞
=
−
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) 01xa
1xan11x1xa1nn
n
0n
n
1n
1n
n
11x21x
22n
2n
n
2
=+−
++−+−+−
�
��
∞+
=
−
+∞
=
++−+
−
+∞
=
�����
 � 
� 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 01xa1xan1xan1x2
1xan1x1xa1nn
n
0n
n
1n
1n
n
1n
1n
n
1n
1n
n
22n
2n
n
=+−+−+++
+++−+−
���
��
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 01xa1xan
1xa2n1xan1xa1nn
n
0n
n
1n
1n
n
n
1n
n
1n
1n
n
2n
2n
n
=+−+−
++++−+−
��
���
∞+
=
−
∞+
=
+∞
=
+
+∞
=
−
+∞
=
 � 
� 
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 01xa1xa1n1xa2n
1xa1n1xa1n2nn
0n
n
n
0n
1n
n
1n
n
n
2n
1n
n
0n
2n
=+−++−++
++−−+++
���
��
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
+∞
=
−
+∞
=
+
 � 
� 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 01xa1xaa
1xa1n1x2aa
1xa2n1x2a1xa1n
1xa1n2n1x6a2a
n
2n
n10
n
2n
1n21
n
2n
n1
n
2n
1n
n
2n
2n32
=+−+−−
+++−+−−
++++++−−
+++++++
�
�
��
�
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
−
+∞
=
+
 � 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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117
� 
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 01xa1na12n
a1na1n2n
1xa2a2a6aaa2a
n
2n 1nn
1n2n
1213012
=+�
�
�
�
�
�
−−−+
++−++
+
++−−++−−
�
∞+
= −
++ � 
� 
( )( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
�
≥−−−++−++
=−+
=−−
−++ 2n;a1na12na1na1n2n
02aa6a
0aa2a
1nn1n2n
213
012
 
� 
( )( ) ( )( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
≥
++
−
+
++
−
−
+
=
=−
�
�
�
�
+=−=
+=
−++ 2n;a1n2n
1n
a
1n2n
12n
a
2n
1
a
6
a
6
a
2
a
2
a
3
1
6
a
3
a
a
2
a
2
a
a
1nn1n2n
010112
3
01
2
 � 
� 
�
�
�
�
�
−=+−=�=
−−=+−=�=
012345
011234
a
120
1
a
120
1
a
20
2
a
20
5
a
5
1
a3n
a
12
1
a
24
5
a
12
1
a
12
3
a
4
1
a2n
 
Daí, ( ) =+=�
+∞
=
n
0n
n 1xay ( ) ( ) =+++++ �2210 1xa1xaa 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) =++
�
�
�
�
−+
++
�
�
�
�
−−++++
�
�
�
�
++++=
�
5
01
4
01
30201
10
1xa
120
1
a
120
1
1xa
12
1
a
24
51x
6
a1x
2
a
2
a1xaa
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) =
�
�
�
�
+
+
+
+
−
+
+++
+
�
�
�
�
+
+
−
+
−
+
+
+
+=
�
�
120
1x
24
1x5
2
1x1xa
120
1x
12
1x
6
1x
2
1x1a
542
1
5432
0
 
2110 yaya += 
 
5) 22xx4xyy2xy 22 ++=+′−′′ ; 0x0 = . 
 
6) 0yy =+′′ ; 0x0 = . 
 
7) ( ) ( ) 0y2xy1x =+−′+ ; 0x0 = . 
 
8) 3yy =′ ; 0x0 = . 
 
9) 4yy =′′ ; 0x0 = . 
 
10) 0y5y =+′′ ; 1x0 = . 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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118
 
11) 0yyxy 2 =−′−′′ ; 1x0 = 
 
 
6.2 Ponto Singular Regular (PSR) e Ponto Singular Irregular (PSI) 
 
Definição: Um ponto 0x , singular, é dito regular se, ao escrevermos a equação 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbxyxaxyxaxyxaxyxa 011n1nnn =+′+++ −− � na forma: 
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )xa
xb
xy
xx
xc
xy
xx
xc
xy
xx
xc
xy
xx
xc
xy
n
n
0
n
1n
0
1n
2n
2
0
21n
0
1n
=
−
+′
−
+
++
−
+
−
+
−
−
−−
�
, 
as funções ( ) ( ) ( )xc,,xc,xc n21 � forem analíticas em 0x . Caso contrário, 0x é dito 
irregular. 
 
Exemplos: 
1) ( ) 03yy2xyx1 =−′+′′+ 
 1x0 −= é PSR. 
2) 0yyxyx 23 =+′+′′ 
 0x0 = é PSI. 
3) 0y2yxyx2 =+′−′′ 
 0x0 = é PSR. 
 
 
6.3 Solução em torno de um Ponto Singular Regular – Método de Frobenius 
 
Se 0x é um PSR da equação diferencial 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbxyxaxyxaxyxaxyxa 011n1nnn =+′+++ −− � , então podemos 
supor a solução ( ) ( ) ( ) kn0
0n
n
n
0
0n
n
k
0 xxaxxaxxy
+
+∞
=
+∞
=
−=−−= �� , onde na e k são 
constantes a serem determinadas e 0a0 ≠ . 
 
Exercícios: Determine a solução das equações em torno do ponto 0x indicado: 
1) ( ) 03yy1xy2x =+′++′′ ; 0x0 = . 
Solução: 0x0 = é PS. 
( ) 03yy1xy2x =+′++′′ � 0y
2x
3y
2x
1xy =+′++′′ � 
� 
( ) ( )
0y
x
2
3x
y
x
2
1x
y 2 =+′
+
+′′ 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
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119
( )
( )
0xemanalíticas
2
3x
xc
2
1x
xc
2
1
=
�
�
�
�
	
=
+
=
. 
Logo, 0x0 = é PSR. 
Suponhamos kn
0n
n xay
+
+∞
=
�= solução. 
Daí, ( ) 1kn
0n
n xakny
−+
+∞
=
� +=′ e ( )( ) 2kn
0n
n xa1knkny
−+
+∞
=
� −++=′′ . 
( ) 03yy1xy2x =+′++′′ � 
� 
( )( ) ( ) ( )
0xa3
xakn1xxa1knkn2x
kn
0n
n
1kn
0n
n
2kn
0n
n
=+
++++−++
+
∞+
=
−+
+∞
=
−+
+∞
=
�
��
 � 
� 
( )( ) ( )
( ) 0x3axakn
xaknxa1knkn2
kn
0n
n
1kn
0n
n
kn
0n
n
1kn
0n
n
=+++
+++−++
+
∞+
=
−+
∞+
=
+
+∞
=
−+
+∞
=
��
��
 � 
� 
( )( ) ( )
( ) 0x3axakn
xa1knxa1knkn2
1kn
1n
1n
1kn
0n
n
1kn
1n
1n
1kn
0n
n
=+++
+−++−++
−+
∞+
=
−
−+
∞+
=
−+
+∞
=
−
−+
+∞
=
��
��
 � 
� 
( ) ( )( )
( )
( ) 0x3axakn
xkaxa1kn
xa1knkn2xa1k2k
1kn
1n
1n
1kn
1n
n
1k
0
1kn
1n
1n
1kn
1n
n
1k
0
=+++
++−++
+−+++−
−+
∞+
=
−
−+
∞+
=
−−+
∞+
=
−
−+
+∞
=
−
��
�
�
 � 
� 
( )[ ]
( )( ) ( )[ ] 0xa2kna12k2nkn
xa12kk
1kn
1n
1nn
1k
0
=+++−+++
+−
−+
∞+
=
−
−
�
 � 
� 
( ) ( )
( )( ) ( )��
�
≥=+++−++
≠=−
−
1n;0a2kna12k2nkn
0a0a12kk
1nn
00
 � 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
120
� 
( )( )���
��
�
�
≥
−++
++
−=
==
−
1n;a
12k2nkn
2kn
a
2
1kou0k
1nn
 
a) 0k1 = � ( ) 1n;a12nn
2n
a 1nn ≥
−⋅
+
−=
−
 
 0101 a3aa1
3
a −=�−= 
 ( ) 00212 a2a33
2
aa
6
4
a =−−=�−= 
 ( ) 00323 a3
2
a2
3
1
aa
15
5
a −=−=�−= 
 00434 a7
1
a
3
2
14
3
aa
28
6
a =
�
�
�
�
−−=�−= 
 00535 a45
1
a
7
1
45
7
aa
45
7
a −=
�
�
�
�
−=�−= 
 00636 a1485
4
a
45
1
33
4
aa
66
8
a =
�
�
�
�
−−=�−= 
 
��
�
��
�
++−+−+−=
=++−+−+−=
=+++==�
+∞
=
�
�
�
65432
0
6
0
5
0
4
0
3
0
2
000
2
210
n
0n
n1
x
1485
4
x
45
1
x
7
1
x
3
22x3x1a
xa
1485
4
xa
45
1
xa
7
1
xa
3
2
x2ax3aa
xaxaaxay
 
b) 
2
1k2 = � 1n;a
2n
2
1
n
2
5
n
a 1nn ≥
⋅
�
�
�
�
+
+
−=
−
 
 0101 a6
7
aa
2
2
3
2
7
a −=�
⋅
−= 
 00212 a40
21
a
6
7
20
9
aa
4
2
5
2
9
a =
�
�
�
�
−−=�
⋅
−= 
 00323 a80
11
a
40
21
42
11
aa
6
2
7
2
11
a −=
�
�
�
�
−=�
⋅
−= 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
121
 00434 a5760
143
a
80
11
72
13
aa
8
2
9
2
13
a =
�
�
�
�
−−=�
⋅
−= 
 
�
�
�
�
�
�
++−+−=
=++−+−=
=+++==
+∞+
=
�
�
�
�
2
9
2
7
2
5
2
3
2
1
0
2
9
0
2
7
0
2
5
0
2
3
0
2
1
0
2
5
2
2
3
1
2
1
0
2
1
n
0n
n2
x
5760
143
x
80
11
x
40
21
x
6
7
xa
xa
5760
143
xa
80
11
xa
40
21
xa
6
7
xa
xaxaxaxay
 
 2211 ycycy += 
 
2) 04yy
2
1
xyx =−′
�
�
�
�
++′′ ; 0x0 = . 
 
 
6.4 Ponto Singular Regular – todos os casos 
 
Muitas equações diferenciais de 2ª ordem possuem coeficientes que não são 
analíticos em 0x = , mas são tais que o teorema seguinte pode ser aplicado: 
 
Teorema: Qualquer equação diferencial da forma ( ) ( ) 0y
x
xqy
x
xpy 2 =+′+′′
( )1
, 
onde as funções p e q são analíticas em 0x = , possui ao menos uma soluçãoque 
pode ser representada sob a forma: 
( ) ( )�+++⋅== �∞+
=
2
210
r
0n
n
n
r xaxaaxxaxxy
( )2
, 
( )0a0 ≠ , onde o expoente r pode ser qualquer número real ou complexo escolhido. 
 
Observação: Neste teorema, a variável x pode ser substituída por x–c, onde 
ℜ∈c . 
 
Para resolver a equação (1) é conveniente apresentá-la sob a forma 
( ) ( ) 0yxqyxpxyx2 =+′⋅+′′ ( )3 . 
 
Inicialmente, desenvolveremos ( )xp e ( )xq em séries de potências, ou seja: 
( )
( )�
�
�
�
�
+++=
+++=
�
�
2
210
2
210
xqxqqxq
e
xpxppxp
 
 
Em seguida, derivamos a equação (2) termo a termo: 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
122
( ) ( )�
∞+
=
−++=′
0n
1rn
nxarnxy e ( ) ( )( )�
∞+
=
−+
−++=′′
0n
2rn
nxa1rnrnxy 
 
Levando estas séries na equação (3), vem: 
( )[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 0xaaxxqqraxxppa1rrx 10r100r100r =++++++++++− ����� 
 
Igualando a zero a soma dos coeficientes de cada potência de x, obtemos um 
sistema de equações que envolvem os coeficientes na . A menor potência é 
rx e a 
equação correspondente é ( )[ ] 0aqrp1rr 000 =++− . 
 
Como, por hipótese, 0a0 ≠ , temos que ( ) 0qr1pr 002 =+−+ ( )4 . 
 
Esta equação é denominada equação indicial da equação diferencial (3). 
 
O método de Frobenius fornece um sistema fundamental de soluções. Uma das 
soluções será sempre da forma (2), mas a forma da outra está sujeita a 3 diferentes 
possibilidades, que correspondem aos seguintes casos: 
 
CASO I: As raízes da equação indicial são distintas e não diferem de um 
inteiro. 
CASO II: As raízes são iguais. 
CASO III: As raízes diferem de um inteiro. 
 
 
CASO I: Sejam 1r e 2r as raízes da equação (4). 
Se substituirmos 1rr = no sistema de equações mencionado e determinarmos 
os coeficientes �,a,a 21 , sucessivamente, obtemos, então, uma solução: 
( ) ( )�++= xaaxxy 10r1 1 ( )5 
A equação diferencial possuirá uma outra solução LI, ( )xy2 , que pode ser 
obtida substituindo-se 2rr = no sistema de equações e determinando os coeficientes 
�,a,a,a *2
*
1
*
0 : 
( ) ( )�++= xaaxxy *1*0r2 2 ( )6 
Como 21 rr − não é inteiro, 
2
1
y
y
 não é constante e, portanto, 1y e 2y são 
soluções LI. Deste modo, estas soluções constituem um sistema fundamental de (3) 
(ou de (1)) sobre o intervalo de convergência de ambas as séries. 
 
Exemplo: Já resolvido anteriormente. 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
123
CASO II: A equação indicial (4) possui uma raiz dupla r se, e somente se, 
( ) 04q1p 020 =−− e, então, 2
p1
r 0
−
= . 
Podemos determinar uma primeira solução ( ) ( )�++= xaaxxy 10r1 ( )7 , como 
anteriormente. Para determinarmos a outra solução podemos aplicar o Método de 
Variação dos Parâmetros, isto é, substituímos a constante c na equação 1cy por uma 
função u a ser determinada, de modo que ( ) ( ) ( )xyxuxy 12 = ( )8 seja uma solução de 
(1). Substituindo (8) e suas derivadas 2y′ e 2y ′′ na equação diferencial (3), temos: 
( ) ( ) 0yuqyuyupxyuyu2yux 1111112 =⋅⋅+′⋅+⋅′⋅⋅+′′⋅+′⋅′+⋅′′ 
Como 1y é uma solução de (3), 0yqypxyx 1112 =⋅+′⋅⋅+′′⋅ e, assim, ( ) 0uypxy2xuyx 11212 =′⋅⋅⋅+′⋅+′′⋅⋅ . 
Dividindo toda a equação por 1
2 yx ⋅ e substituindo p por 
�+++ 2210 xpxpp , temos: 
0uxpp
x
p
y
y2u 210
1
1
=′⋅
�
�
�
�
++++
′
+′′ �
( )9
 
De (7), ( ) [ ]( ) ( )[ ]��
�
�
�
+++=+++=′
++=++=++=
−−
+
��
���
xa1rraxxa1rxray
xaaxxaxaxaaxy
10
1rr
1
1r
01
10
r1r
1
r
010
r
1
. 
Desse modo, 
( )[ ]
[ ]
( )
�
�
�
�
�
+=
�
�
�
�
++
+++
=
++
+++
=
′
−
x
r
xaa
xa1rra
x
1
xaax
xa1rrax
y
y
10
10
10
r
10
1r
1
1
. 
Omitindo as potências de x maiores ou iguais a zero, a equação (9) se 
transforma em: 
0u
x
p2r
uou0u
x
p
x
r2u 00 =′⋅
�
�
�
�
+
+
+′′=′⋅
�
�
�
�
+++′′ ��
( )10
 
Como 
2
p1
r 0
−
= , temos que 
x
1
x
pp1
x
p2r 000
=
+−
=
+
. 
Levando na equação (10), ( ) ( ) �� +−=′�+−=
′
′′
xlnuln
x
1
u
u
. 
Como o que aparece nesta última equação a partir de ( )xln é uma série de 
potências de x maiores ou iguais a 1, podemos escrever: 
( ) ( ) �� ++++ ⋅=′�
�
�
�
�+−=′
2
21
2
21 xkxkxkxk e
x
1
uelnxlnuln 
Sendo �+++=
!2
v
v1e
2
v
, teremos que �� +++=++ 221
xkxk
xkxk1e
2
21
. 
Deste modo, �+++=′ xkk
x
1
u 21 
Daí, ( ) ( ) �� +++=+++= 221
2
21 xKxKxln2
xkxkxlnu 
Levando este último resultado na equação (8), vem: 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
124
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )=++++=
=++⋅++++=
=+++=
�
��
�
2
112010
r
1
2
21
2
210
r
1
2
21112
xKaKaxKaxxlnxy
xKxKxaxaaxxlnxy
xKxKyxlnxyxy
 
 = ( ) ( ) ( )xyxAxxlnxy 2
1n
n
n
r
1 =+ �
+∞
=
 
 
Exemplo: ( ) ( ) 0yy13xy1xx =+′−+′′− ; 0x0 = . 
Solução: 0x0 = é PSR (verifique). 
Suponhamos kn
0n
n xay
+
+∞
=
�= solução. 
Daí, ( ) 1kn
0n
n xakny
−+
+∞
=
� +=′ e ( )( ) 2kn
0n
n xa1knkny
−+
+∞
=
� −++=′′ . 
( ) ( ) 0yy13xy1xx =+′−+′′− � 
� 
( ) ( )( ) ( ) ( )
0xa
xakn13xxa1knknxx
kn
0n
n
1kn
0n
n
2kn
0n
n
2
=+
++−+−++−
+
∞+
=
−+
+∞
=
−+
+∞
=
�
��
 � 
� 
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 0xaxaknxakn3
xa1knknxa1knkn
kn
0n
n
1kn
0n
n
kn
0n
n
1kn
0n
n
kn
0n
n
=++−++
+−++−−++
+
∞+
=
−+
∞+
=
+
∞+
=
−+
+∞
=
+
+∞
=
���
��
 � 
� 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
0xa
xaknxa1kn3
xa1knknxa2kn1kn
1kn
1n
1n
1kn
0n
n
1kn
1n
1n
1kn
0n
n
1kn
1n
1n
=+
++−−++
+−++−−+−+
−+
∞+
=
−
−+
∞+
=
−+
∞+
=
−
−+
+∞
=
−+
+∞
=
−
�
��
��
 � 
� ( ) ( )[ ] 0xaknaknxak 1kn
1n
n
2
1n
21k
0
2
=⋅+−⋅++− −+
+∞
=
−
− � � 
� 
( )
( ) ( )��
�
�
�
≥=⋅+−⋅+
≠=⋅
−
1n;0aknakn
0a0ak
n
2
1n
2
00
2
 � 
� 
�
�
�
≥=
==
−
1n;aa
0kk
1nn
21
 � 0k1 = � 
x1
1
xx1y 21
−
=+++= � 
( ) ( ) ( )xlnu
x
1
uxlnuln
x
1
u
u0uuxyuy 12 =�=′�−=′�−=
′
′′
�=′+′′�⋅= 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
125
( ) ( )
x1
1
xlnyxlny 12
−
⋅=⋅= 
2211 ycycy += � ( )[ ]xlncc
x1
1y 21 ⋅+
−
=
 
 
 
CASO III: Suponhamos que 1r e 2r sejam as raízes da equação indicial tais 
que rr1 = e mrr2 −= , onde m é um inteiro positivo. 
( ) ( )�++= xaaxxy 10r1 , onde 21 rr > . 
Para determinar uma segunda solução correspondente à menor raiz, podemos 
proceder como no caso II. Os primeiros passos são literalmente os mesmos que 
fornecem a equação (10), e nesta equação determinamos 0p2r + . Podemos observar 
que, no caso da raiz dupla, 
2
p1
r 0
−
= ou ( )21210 rrrrrr2r1p +−=−−=−−=−− . 
No caso III, rr1 = e mrr2 −= . 
Deste modo, 
( )
( )��
�
�
�
+=−++=+
−=−+−=−
1m2rm12rp2r
e
2rmmrr1p
0
0
. 
Levando na equação (10), teremos: 
�
�
�
�
+
+
−=
′
′′
�=′⋅
�
�
�
�
+
+
+′′ ��
x
1m
u
u0u
x
1m
u 
Os outros passos são como no caso II. 
Integrando, vem: 
( ) ( ) ( ) �+⋅+−=′ xln1muln . 
As reticências nesta última equação indicam, como anteriormente, uma série de 
potências de x maiores ou iguais a 1. Assim, podemos escrever: 
( ) ( ) ( ) 
�
�
�
�+⋅+−=′ ++ �
221 xkxkelnxln1muln � ( ) �+++− ⋅=′ 221 xkxk1m exu � 
� �� +⋅+++++=′ +++ xkkx
k
x
k
x
1
u 2m1m
m
m
1
1m � 
� ( ) ( ) �� +⋅+⋅+⋅++−−⋅−=
+
+
−
22m
1mm1m
1
m
x
2
k
xkxlnk
x1m
k
xm
1
u 
Como ( ) ( ) ( )xyxuxy 12 ⋅= , temos: 
( ) ( )
( )
( )�
�
�
+++⋅
�
�
�
�
+⋅+⋅+⋅+
++
−
−
⋅
−
=
+
+
−
2
210
r
22m
1mm
1m
1
m
2 xaxaax
x
2
k
xkxlnk
x1m
k
xm
1
xy 1 � 
� 
( ) ( ) ( )
�
�
+⋅
−
−⋅−
++++⋅⋅⋅=
+−− 1mr10mr0
2
210
r
m2
11
1
x
1m
ka
x
m
a
xaxaaxxlnkxy
 
Como 21 rmr =− , temos: 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
126
( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅+⋅⋅= + �1r1r01m2 22 xAxAxlnxykxy 
 
( ) ( ) ( )xyxAxxlnxyk 2
0n
n
n
r
1m
2
=⋅+⋅⋅= �
+∞
=
 
 
Exemplo: ( ) ( ) ( ) 0y1xy1xxy1xx 2222 =++′+−′′− ; 0x0 = . 
Solução: 0x0 = é PSR (verifique). 
Suponhamos kn
0n
n xay
+
+∞
=
�= solução. 
Daí, ( ) 1kn
0n
n xakny
−+
+∞
=
� +=′ e ( )( ) 2kn
0n
n xa1knkny
−+
+∞
=
� −++=′′ . 
( ) ( ) ( ) 0y1xy1xxy1xx 2222 =++′+−′′− � 
� 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 0xa1x
xaknxxxa1knknxx
kn
0n
n
2
1kn
0n
n
32kn
0n
n
24
=++
+++−−++−
+
∞+
=
−+
+∞
=
−+
+∞
=
�
��
 � 
� 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
0xaxa
xaknxakn
xa1knknxa1knkn
kn
0n
n
2kn
0n
n
kn
0n
n
2kn
0n
n
kn
0n
n
2kn
0n
n
=++
++−+−
+−++−−++
+
∞+
=
++
∞+
=
+
∞+
=
++
∞+
=
+
+∞
=
++
+∞
=
��
��
��
 � 
� 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
0xaxa
xaknxa2kn
xa1knknxa3kn2kn
kn
0n
n
kn
2n
2n
kn
0n
n
kn
2n
2n
kn
0n
n
kn
2n
2n
=++
++−−+−
+−++−−+−+
+
∞+
=
+
∞+
=
−
+
∞+
=
+
∞+
=
−
+
+∞
=
+
+∞
=
−
��
��
��
 � 
� 
( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ] 0xa1kn1knkn
a12kn3kn2kn
xa2kkxa1k
kn
2n n
2n
1k
1
2k
0
2
=
�
�
	
�
�
�
⋅++−−++−+
+⋅+−+−−+−+
+
+−−++−
+
∞+
=
−
+
�
 � 
� 
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
≥
+−−++−
−−+−+−−+
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0a
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1
21
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS 
Valéria Zuma Medeiros & Mihail Lermontov 
127
( )RAIZMAIOR1k1 = � ( ) xaxaxaaxy 0221011 =+++= � � ( ) xxy1 = 
( ) ( ) ( )
( )( )�
��
∞+
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−
+∞
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2n
n2
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n
n2
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x
By
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1
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Substituindo e simplificando: 
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A
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1
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2211 ycycy += � ( ) 
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1
xlnxKxKy 21