02 Análise de erro

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02 - Análise de erro
Cálculo Numérico
Rodrigo Câmara
22 de novembro de 2017
Universidade Federal Rural do Semi-árido
Objetivo da aula
• Em conjunto com a aula anterior, apresentar as principais fontes
de erros computacionais, para formar no aluno a confiabilidade
de cálculos feitos em máquinas;
Este objetivo será alcançado por meio dos seguintes objetivos
secundários:
• Definição de sistema de ponto flutuante normalizado;
• Apresentação dos erros críticos de overflow e underflow;
• Discussão sobre erro de arredondamento;
• Definição de erro absoluto e erro relativo.
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Na aula anterior
Revisão
Vimos que o erro tem duas fontes:
• Erro proveniente da modelagem e
• erro proveniente da resolução.
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Na aula anterior
Os principais tipos de erro provenientes da resolução são
• Erro na mudança de base,
• Erro na representação e
• Erro de arredondamento.
Na aula passada estudamos conversão de base para observar o erro
na mudança de base.
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Na aula anterior
Vimos que a conversão de números fracionários da base decimal
para a binária pode causar erro. Isso acontece pela natureza finita
dos computadores.
Convertendo de decimal para binário e de volta para decimal
(0.2)10 = (0.001100110011...)2
≈ (0.0011)2
= (0.1875)10
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O que estudaremos hoje
Hoje estudaremos os outros tipos de erro:
• Erro na mudança de base,
• Erro na representação e
• Erro de arredondamento.
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Erro na representação
Erro na representação
A mente não conhece limites quando bem utilizada. [...]
Apenas na mente conseguimos conceber o infinito.
(a) Pentagramas dentro de
pentagramas.
(b) Infinitas portas.
Figura 1: Cenas de “Donald no País da Matemágica”.
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Representação de números em uma máquina
Máquinas calculadoras são feitas de chips, placas, transistores,
capacitores... que são feitos de silício, arsênio, chumbo, ferro...
Figura 2: Detalhes de uma placa-mãe.
Enfim, massa. A natureza dos computadores é finita.
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Representação de números em uma máquina
Máquinas calculadoras são feitas de chips, placas, transistores,
capacitores... que são feitos de silício, arsênio, chumbo, ferro...
Figura 2: Detalhes de uma placa-mãe.
Enfim, massa. A natureza dos computadores é finita.
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Representação de números em uma máquina
O número é armazenado em uma quantidade finita de “espaços” na
memória da máquina.
Estudaremos uma dessas formas de se armazenar o número na
memória: o sistema de ponto flutuante normalizado.
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Sistema do ponto flutuante normalizado
Um sistema do ponto flutuante normalizado é caracterizado por uma
base b, uma quantidade n de dígitos significativos, um expoente
máximo, expmax, e um expoente mínimo expmn.
Definição 2.1 (Número no sistema do ponto flutuante normalizado)
Um número real nr no sistema de ponto flutuante normalizado é
representado como
nr = ±0.d1d2d3...dn × bexp, d1 6= 0
onde d1d2d3...dn é a mantissa, b é a base e exp é o expoente.
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Número no sistema do ponto flutuante normalizado
Exemplo 2.1
Considere um computador que armazena os números pelo sistema
do ponto flutuante normalizado de base 10, com 3 dígitos na
mantissa, expoente mínimo -5 e expoente máximo 5 (denotado
como SPF(10, 3,−5, 5)). Determine como os seguintes números são
representados:
a) 25;
b) −160;
c) 13.5;
d) 6.5821;
e) 25008;
f) 14 ;
g) 13 ;
h) pi;
O que fizemos neste exemplo chama-se normalizar o número.
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Número no sistema do ponto flutuante normalizado
Exemplo 2.1
Considere um computador que armazena os números pelo sistema
do ponto flutuante normalizado de base 10, com 3 dígitos na
mantissa, expoente mínimo -5 e expoente máximo 5 (denotado
como SPF(10, 3,−5, 5)). Determine como os seguintes números são
representados:
a) 25;
b) −160;
c) 13.5;
d) 6.5821;
e) 25008;
f) 14 ;
g) 13 ;
h) pi;
O que fizemos neste exemplo chama-se normalizar o número.
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Número no sistema do ponto flutuante normalizado
Exemplo 2.2
De acordo com este computador, qual é a área de um círculo de raio
100m?
Exemplo 2.3
E qual é o triplo de 13?
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Número no sistema do ponto flutuante normalizado
Exemplo 2.4
Considere um computador que armazena os números pelo sistema
do ponto flutuante normalizado de base 10, com 3 dígitos na
mantissa, expoente mínimo -5 e expoente máximo 5 (
SPF(10, 3,−5, 5)). Determine como os seguintes números são
representados:
a) 15000;
b) 30000000;
c) 0.0000001;
Exemplo 2.5
Qual é o maior número que este consegue representar? Qual é o
menor? Qual é o menor em módulo?
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Número no sistema do ponto flutuante normalizado
Exemplo 2.4
Considere um computador que armazena os números pelo sistema
do ponto flutuante normalizado de base 10, com 3 dígitos na
mantissa, expoente mínimo -5 e expoente máximo 5 (
SPF(10, 3,−5, 5)). Determine como os seguintes números são
representados:
a) 15000;
b) 30000000;
c) 0.0000001;
Exemplo 2.5
Qual é o maior número que este consegue representar? Qual é o
menor? Qual é o menor em módulo?
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Número no sistema do ponto flutuante normalizado
Os erros de representação são:
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Erros de representação
Exemplo 2.6 (Odômetro de um carro)
14
Erros de representação
Exemplo 2.7 (Contador de visualizações no YouTube)
O espaço reservado na memória para armazenar o número de visitas
(em binário) de um vídeo do YouTube tinha 31 dígitos na mantissa.
O maior número (binário) representável era
1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 1 ∗ 23 + ...+ 1 ∗ 229 + 1 ∗ 230,
que em decimal é 2 147 483 647.
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Erros de representação
Exemplo 2.7 (Contador de visualizações no YouTube)
O espaço reservado na memória para armazenar o número de visitas
(em binário) de um vídeo do YouTube tinha 31 dígitos na mantissa.
O maior número (binário) representável era
1 ∗ 20 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 22 + 1 ∗ 23 + ...+ 1 ∗ 229 + 1 ∗ 230,
que em decimal é 2 147 483 647.
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Erros de representação
Mas em dezembro de 2014, o clipe da música “Gangnam Style”
passou esse número...
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Erros de representação
Exemplo 2.8 (Ariane 501)
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Erro de arredondamento
• Erro na mudança de base,
• Erro na representação e
• Erro de arredondamento.
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Erro de arredondamento
Erro de arredondamento
Figura 3: Esquema visual de todos os números representáveis de um
computador que utiliza o SPF(10, 3,−5, 5).
Vimos que se um número não pertence à lista de número
representáveis (e não está na região de underflow ou overflow),
então ele é representado aproximado.
Às vezes, mesmo que o número entre na máquina sem erro de
arredondamento, o erro pode surgir após operações.
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Erro de arredondamento
Exemplo 2.9
Considere uma máquina que utiliza o SPF, com SPF(10, 4,−5, 5).
Considere também os números a = 532.4 b = 0.004212.
a) Como os números a e b são representados na máquina? Existe
erro de arredondamento?
b) Como o resultado de a+ b é armazenado na máquina? Existe
erro?
c) Como o resultado de a ∗b é armazenado na máquina? Existe erro?
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Erro de arredondamento
Formas de medir o erro:
Definição 2.2 (Erro absoluto)
Definimos o erro absoluto (notação: EA ou Eabs) como
EA = |a− a|,
onde a é o valor exato e a é como a máquina representa o número
a.
Definição 2.3 (Erro relativo)
Definimos o erro relativo (notação ER ou Erel) como
ER = EAa .
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Erro de arredondamento
(a) Balança para medir caminhões. (b) Balança de
precisão.
Figura 4: Exemplos de balanças.
Exemplo 2.10
Digamos que a carga de um
caminhão possui exatamente
23000kg de massa e a balança
mediu 23010kg. Qual é o erro
absoluto e o erro relativo?
Considere que foram colocados
exatamente 0.2kg de um sal na
balança de precisão, mas o leitor
indicou 3kg. Calcule os erros
absoluto e relativo. 22
Erro de arredondamento
Exemplo 2.11
Considereuma máquina SPF(10, 4,−6, 6). Calcule o erro absoluto e o
erro relativo na representação destes números.
a) 13.5
b) 13.5432
c) 13
d) pi
e) 25000000000
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Perguntas?
23
Exercícios
Exercícios
Todos os exercícios do capítulo 1.
Exercícios complementares
RUGGIERO Página 24, projeto 1 (dica: é possível fazer no Scilab,
que é um “interpretador de comandos” ou na
linguagem de programação que você tem mais
familiaridade).
	Na aula anterior
	Erro na representação
	Erro de arredondamento
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