lista 1 de álgebra linear

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Lista 1 de Algebra Linear
1) Determine a e b para que a matriz A =
 2 4 2a− ba+ b 3 0
−1 0 5
 seja sime´trica.
2) Encontre todos os valores de x para os quais A =
x− 3 0 30 x+ 2 0
−5 0 x+ 5
na˜o e´ invers´ıvel.
3) Seja A =
 2 −1 1−3 4 −3
−5 5 −4
 e k = 2n onde n e´ um nu´mero natural. Determine Ak
4) Mostre que a soma de duas matrizes sime´tricas e´ sime´trica e que o mesmo ocorre com as
matrizes anti-sime´tricas.
5) Considere a matriz quadrada A =

A1 ... 0
0 A2 0
.. ... ... ...
0 ... An
 sendo a diagonal formada por matrizes
Ai ∈M2(R) e o restante iguais a zero. Prove que detA 6= 0 se, e somente se, o determinante
de cada Ai e´ na˜o nulo.
6) Mostre que A e´ invers´ıvel se, e somente se An e´ invers´ıvel onde n e´ um nu´mero natural.
7) Suponha que B e´ a inversa de A2. Mostre que A e´ invers´ıvel e determine A−1.
8) Prove que se A e´ invers´ıvel enta˜o A+B e´ invers´ıvel se, e somente se, I +BA−1 e´ invers´ıvel.
9) Dada a matriz A abaixo, determine A−1, adj(A) e | A |.
a) A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1

b) A =

−2 −3 −1 −2
−1 0 1 −2
−3 −1 −4 1
−2 2 −3 −1

10) Admita que detA=10, onde A =
a b cd e f
g h i
. Determine:
a) Det(3A)
b) Det (2A−1)
c) Det (2A)−1
11) A demonstrac¸a˜o abaixo conte´m um erro, determine qual erro foi cometido em:
Toda matriz anti-sime´trica tem determinante igual a zero, pois como AT = −A, tem-se
det(A) = det(AT ) = det(−A) = -det(A).
12) Calcule o determinante da matriz A =

0 ... 0 a1n
0 ... a2(n−1) a2n
.. ..
an1 an2 ... ann
 sendo que
A = [aij] ∈Mn(R) onde aij = 0 quando i+ j ≤ n.
13) Mostre que dadas A,B ∈Mn(R) se detA 6= 0 e AB = 0 enta˜o B = 0.
14) Suponha que A seja uma matriz 2 x 1 e que B seja uma matriz 1 x 2. Demonstrar que
C = AB na˜o e´ invers´ıvel.
2
15) Dada a matriz Considere a matriz quadrada A =

A1 ... 0
0 A2 0
.. ... ... ...
0 ... An
 sendo a diagonal
formada por matrizes Ai ∈M2(R) e o restante iguais a zero. Explique com suas palavras se e´
va´lida a igualdade detA = detA1...detAn.
16) Dadas as matrizes A,B ∈Mn(R), dizemos que B e´ semelhante a A se existe P ∈Mn(R)
invers´ıvel tal que B = P−1AP . Use essa definic¸a˜o para fazer as questo˜es abaixo:
a) Se A e B sa˜o semelhantes, mostre que detA = detB.
b) Mostre que A ∈Mn(R) e´ semelhante a ela mesmo.
c) Mostre que se A ∈Mn(R) e´ semelhante a B ∈Mn(R), enta˜o B e´ semelhante a A.
d) Mostre que se A ∈Mn(R) e´ semelhante a B ∈Mn(R) e B semelhante a C ∈Mn(R), enta˜o A
e´ semelhante a C.
e) Seja A =

−2 0 0 0
−1 2 0 0
1 0 3 0
1 2 −3 −1
 e B =

0 0 0 1
0 0 3 2
0 0 1 8
0 1 −3 −1
, podemos dizer que essas matrizes sa˜o
semelhantes? Justifique.
17) Considere a matriz de Vandermonde de ordem 3: V =
1 x1 x211 x2 x22
1 x3 x
2
3

a) Mostre que detV = (x2 − x1)(x3 − x1)(x3 − x2).
b) Que condic¸o˜es os escalares e devem satisfazer para que V seja invers´ıvel?
3
18) Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
a)

x+ 2y − 3z = −1
3x− y + 2z = 7
5x+ 3y − 4z = 2
b)

x− y = 0
2y + 4z = 6
x+ y + 4z = 6
c)
{
2x− 3y = 4
6x− 9y = 15
19) Determine os valores de k, para cada um dos sistemas:
a)

x+ y − z = 1
2x+ 3y + kz = 3
x+ ky + 3z = 2
b)

x+ y + kz = 2
3x+ 4y + 2z = k
2x+ 3y − z = 1
Tenha:
i) Nenhuma soluc¸a˜o
ii) Mais de uma soluc¸a˜o
iii) Uma u´nica soluc¸a˜o
20) Determine os valores de a e b que tornam o sistema a seguir compat´ıvel e determinado, em
seguida, resolva o sistema:
4

3x− 3y = a
x+ y = b
5x+ 3y = 5a+ 2b
x+ y = a+ b− 1
21) a) Encontre uma equac¸a˜o linear nas varia´veis x e y que tem x = 5 + 2t, y = t como soluc¸a˜o
geral.
b) Mostre que x = t, y =
t
2
− 5
2
tambe´m e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o da parte (a).
22) Seja A =
a b cd e f
g h i
, A−1 =
 2 0 00 3 0
−1 0 5
, onde A e´ a matriz dos coeficientes do sistema:

ax+ by + cz = 2
dx+ ey + fz = 1
gx+ hy + iz = 0
Determine a soluc¸a˜o do sitema, caso na˜o seja poss´ıvel determinar justifique.
5