lista 2 de álgebra linear - ufrj - macaé

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Lista 2 de Algebra Linear
1) Sejam U ⊂ R e F(U,R) o conjunto das func¸o˜es f : U ⊂ R→ R onde,
. a soma de duas func¸o˜es f, g de F(U,R) e´ definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x)
. o produto do escalar λ ∈ R por f ∈ F(U,R) e´ definida por (λf)(x) = λf(x)
Prove que com as operac¸o˜es descritas acima o conjunto F(U,R) e´ um R espac¸o vetorial.
2) Verifique em cada ı´tem se o conjunto V com as operac¸o˜es indicadas e´ um R espac¸o vetorial.
a) V = R2, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), λ(x, y) = (λx, 0)
b) V = R× R∗, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1y2), λ(x, y) = (λx, yλ)
3) Determine se:
a)) O conjunto
{(
a −b
b a
)
; a, b ∈ R
}
, e´ subespac¸o de V = M2(R) ?
b) O conjunto das func¸o˜es f : R→ R n vezes deriva´veis e´ subespac¸o de F(R) (o conjunto
das func¸o˜es f : R→ R)?
c) O conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea de ordem n an(x)y
(n) + ...
+a1(x)y
′ + a0(x)y = 0 onde y : R→ R, e´ subespac¸o do conjunto das func¸o˜es n vezes deriva´veis
descritas em b?
d) Dizemos que uma func¸a˜o f e´ classe C0 se f e´ cont´ınua, de classe Ck se a derivada f (k) e´
cont´ınua. O conjunto func¸o˜es reais de classe C3 e´ um subespac¸o de F(R)?
e) O conjunto das func¸o˜es f [a, b]→ R de classe C0 tais que ∫ b
a
f(x)dx = 0 e´ um subespac¸o do
conjunto das func¸o˜es f [a, b]→ R de classe C0?
f) W = (x, x, y, y);x, y ∈ R e´ um subespac¸o de R4?
g) W = {p ∈ Pn(R); p(0) = p(1)} e´ um subespac¸o de Pn(R) (conjunto dos polinoˆmios com
coeficientes reais de grau ≤ n)?
h) Dado B ∈Mn(R), o conjunto W = {A ∈Mn(R;BA = θ} e´ um subespac¸o de Mn(R)?
i) O conjunto W = {A ∈Mn(R;A = At} e´ um subespac¸o de Mn(R)?
j) O conjunto W = {A ∈Mn(R;A = −At} e´ um subespac¸o de Mn(R)?
l) O conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3, x ∈ Z} e´ um subespac¸o de R3?
m) O conjunto W = {(x, y) ∈ R2; y = −x} e´ um subespac¸o de R2?
n) O conjunto W = {(x, x2);x ∈ R} e´ um subespac¸o de R2?
o) O conjunto W = {(x, y) ∈ R2; y = x+ 1} e´ um subespac¸o de R2?
p) O conjunto W = {(x, y, z) ∈ R3; xy = 0} e´ um subconjunto de R3?
4) Determinar os subespac¸o do R3 gerado por cada conjunto abaixo.
a) S = {(1,−2,−1), (2, 1, 1)}
b) S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
2
c) S = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2,−1, 1)}
5) Determinar os subespac¸o do M2(R) gerado pelos vetores.
a) v1 =
(−1 2
−2 3
)
e v2 =
(
3 −1
1 1
)
.
b) v1 =
(−1 2
1 0
)
e v2 =
(
2 1
−1 −1
)
.
c) v1 =
(−1 0
0 1
)
e v2 =
(
1 −1
0 0
)
v3 =
(
0 1
1 0
)
6) Determinar os subespac¸os de P2(R) gerado pelos vetores.
a) p1 = 2x+ 2, p2 = −x2 + x+ 3 e p3 = x2 + 2x
b) p1 = x
2, p2 = x
2 + x
7) Determinar o subespac¸o de P3 gerado pelos vetores p1 = x
3+2x2−x+3 e p2 = −2x3−x2+3x+2.
8) Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3.
a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinac¸a˜o linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor v = (−8, 14, k) e´ combinac¸a˜o linear de u e v?
c) Determinar uma condic¸a˜o entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinac¸a˜o linear
de u e v.
9) Consideremos no espac¸o P2 = {at2 + bt+ c/a, b, c ∈ R} os vetores p1 = t2 − 2t+ 1, p2 = t+ 2
e p3 = 2t
2 − t
3
a) Escrever o vetor p = 5t2 − 5t+ 7 como combinac¸a˜o linear de p1, p2 e p3.
b) Escrever o vetor p = 5t2 − 5t+ 7 como combinac¸a˜o linear de p1 e p2.
c) Determinar uma condic¸a˜o para a, b e c de modo que o vetor at2+ bt+ c seja combinac¸a˜o linear
de p2 e p3.
d) E´ poss´ıvel escrever p1 como combinac¸a˜o linear de p2 e p3?
10) Seja o espac¸o vetorial M2(R) e os vetores
v1 =
(
1 0
1 1
)
e v2 =
(−1 2
0 1
)
v3 =
(
0 −1
2 1
)
Escrever o vetor v1 =
(
1 8
0 5
)
como combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2 e v3.
11) Seja S o subespac¸o do R4 definido por:
S = {(x, y, z, t) ∈ R4/x+ 2y − z = 0et = 0}
Pergunta-se:
a) (−1, 2, 3, 0) ∈ S?
b) (3, 1, 4, 0) ∈ S?
c) (−1, 1, 1, 1) ∈ S?
4
12) Seja S o subespac¸o de M2(R):
S =
{(
a− b 2a
a+ b −b
)
; a, b ∈ R
}
Pergunta-se:
a)
(
5 6
1 2
)
∈ S
b) Qual deve ser o valor de k para que o vetor
(−4 k
2 −3
)
pertence a S?
13) Seja S o subespac¸o de M2(R):
S =
{(
2a a+ 2b
0 a− b
)
; a, b ∈ R
}
Pergunta-se:
a)
(
0 −2
0 1
)
∈ S
b)
(
0 2
3 1
)
∈ S
14) Em cada ı´tem abaixo encontrar os subespac¸os U +W e U ∩W , onde U,W sa˜o subespac¸os
vetoriais do espac¸o vetorial V indicado.
a) U = {(x, y) ∈ R2; y = 0}, W = {(x, y) ∈ R2;x = 2y}, V = R2.
5
b) U =
{(
a 0
0 b
)
; a, b ∈ R
}
, W =
{(
0 c
0 d
)
; c, d ∈ R
}
, V = M2(R).
c) V = P3(R), U = {p(t) ∈ V ; p′′(t) = 0}, W = {q(t) ∈ V ; q′(t) = 0}
15) Verifique em cada um dos ı´tens se V = U ⊕W .
a) V = R2, U = {(x, y) ∈ R2; 2x+ 3y = 0}, W = {(x, y) ∈ R2; x− y = 0}
b) V = M3(R), U =

a b 00 0 c
0 0 d
 ; a, b, c, d ∈ R
, W =

0 0 ef g 0
h i 0
 ; e, f, g, h, i ∈ R

c) V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p(1) = p(0) = 0}, W = {q(t) ∈ P3(R); q′(t) = 0}
16) Em cada um dos ı´tens abaixo, dado U subespac¸o de V , encontrar o subespac¸o suplementar
de U , isto e´, o subespac¸o W de V tal que V = U ⊕W .
a) V = R3, U = {(x, y, 0);x, y ∈ R}.
b) V = P3(R), U = {p(t) ∈ P3(R); p′′(t) = 0}
c) V = M3(R), U = {A ∈M3(R);At = A}.
d) V = M2×1(R), U = {X ∈M2×1(R);AX = 0}, onde A =
(
1 1
0 1
)
.
17) Prove que o conjunto S das matrizes sime´tricas e o conjunto A das matrizes anti-sime´tricas
n× n sa˜o subespac¸os vetoriais de Mn(R) e que se tem Mn(R) = S ⊕ A.
18) Prove que todo subespac¸o vetorial F ⊂ Rn, prove que existe um subespac¸o G ⊂ Rn tal que
Rn = F ⊕G.
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19) Prove que a reunia˜o de treˆs subespac¸os vetoriais so´ pode ser um subespac¸o vetorial quando
um deles conte´m os outros dois.
20) Sejam F1, F2 subespac¸os vetoriais de V . Se existir algum a ∈ V tal que a+ F1 ⊂ F2, prove
que F1 ⊂ F2.
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