GABARITO AD1 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS, Cederj 2015/2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas - 2015/2
Questa˜o 1 [2,5 pt]Encontre o segmento x =
3y2
2z
onde z =
√
a.b e y =
√
a2 − b2.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, encontre o segmento z que e´ o e´ a me´dia geome´tria entre a e b, isto e´,
z =
√
ab. Em seguida, encontre o segmento y que e´ o segundo cateto de um triaˆngulo retaˆngulo
de hipotenusa a e um cateto b. Finalmente construa, do fato que x =
3y2
2z
⇔ 2z
3y
=
y
x
utilizamos
a construc¸a˜o da quarta proporcional para obtermos x.
Questa˜o 2 [2,0 pt] Construa treˆs cordas, AB, BC e CD consecutivas, numa circunfereˆncia
de centro O e raio 3 cm, as duas primeiras de medidas iguais ao lado do triaˆngulo equila´tero
inscrito e a terceira igual a medida do lado penta´gono regular inscrito. Trace a bissetriz do
aˆngulo AOˆD que interceptara´ a circunfereˆncia num ponto E. A corda AE corresponde ao lado
de que pol´ıgono regular inscrito nessa circunfereˆncia? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:Trace quatro cordas de comprimento igual ao raio para obter duas cordas que tenha
medida igual ao lado do triaˆngulo equila´tero inscrito. Construa CD igual ao lado penta´gono
regular inscrito utilizando o processo descrito no mo´dulo. A corda AE corresponde ao lado
do pentadeca´gono regular inscrito nessa circunfereˆncia. Pois, o arco compreendido por essa
corda mede 360
◦−240◦−72◦
2
= 24◦ que e´ exatamente o aˆngulo central compreendido pelo lado do
pentadeca´gono regular inscrito numa circunfereˆncia.
Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
Questa˜o 3 [2,0 pt]Dada a circunfereˆncia λ de centro em O. Obtenha as circunfereˆncias de
raio r que tangenciam λ e que seccionam a reta t segundo uma corda de comprimento m.
Soluc¸a˜o: Construa sobre t um segmento AB de comprimento igual a m. Com centros em A
e B trace dois arcos de circunfereˆncia de raio r, obtendo o ponto O′. Trace uma paralela a t
passando por O′. Construa uma circunfereˆncia conceˆntrica a λ de raio igual a soma do raio de
λ com r. Tal circunfereˆncia intercepta a reta paralela nos pontos O1 e O2, que sa˜o os centros
das circunfereˆncias procuradas. Basta enta˜o construir as circunfereˆncias utilizando os centros e
o raio dado.
Questa˜o 4 [1,5 pt]Construa o pol´ıgono estrelado regular de 12 pontas, inscrito numa circun-
fereˆncia de raio 3 cm, pulando de 4 em 4 pontas. Quantos pol´ıgonos estrelados de 12 pontas,
diferentes, podemos construir variando o nu´mero de pontas puladas? Lembre que devemos
construir as ligac¸o˜es entre pontas do primeiro ao u´ltimo ve´rtice sem que haja descontinuidade.
Soluc¸a˜o: Construa uma circunfereˆncia de raio 3cm e divida-a em 12 partes iguais. Em seguida,
parte de um de seus pontos um segmento unindo ao pro´ximo quando pulamos 4 pontos entre
eles. Efetue esse processo para os pontos extremos de cada segmento ate´ retornar ao ponto
inicial da construc¸a˜o. Na existe pol´ıgonos estrelados de doze pontas pulando de 1 em 1, de 2 em
2, 3 em 3 e de 5 em 5, pois retornaremos ao ponto inicial sem passarmos por todos os pontos.
Pular de 6 em 6 equivale a pular de 4 em 4, pular de 7 em 7 equivale a pular de 3 em 3, pular
de 8 em 8 equivale a pular de 2 em 2 e de 9 em 9 equivale pular de 1 em 1. Pular de 10 em 10
forma o pol´ıgono na˜o estrelado. Portanto, existe somente um pol´ıgono estrelado de 12 pontas,
que e´ obtido pulando de 4 em 4 ou de 6 em 6. Note que dois pol´ıgonos estrelados pulando de p
em p ou de q em q sa˜o equivalentes quando p+ q + 2 = 12, onde 12 e´ nu´mero de pontas. Ale´m
podemos pular de p em p somente quando 1 ≤ p ≤ 10 = 12− 2 e tambe´m o pol´ıgono estrelado
existira´ quando p+ 1 na˜o divide 12.
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Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
Questa˜o 5 [1,0 pt]Construa a circunfereˆncia inscrita e a circunfereˆncia circunscrita ao triaˆngulo
ABC.
Soluc¸a˜o: Para encontrar o centro da circunfereˆncia λ1 circunscrita basta trac¸ar as mediatrizes
de dois de seus lados. Obtendo o centro na intersec¸a˜o das mediatrizes. O raio e´ a distaˆncia do
centro a um dos ve´rtices.
Para encontra o centro da circunfereˆncia λ2 inscrita basta trac¸ar duas bissetrizes internas. O
centro e´ a intersec¸a˜o das bissetrizes e o raio e´ obtida por uma perpendicular pelo centro em
relac¸a˜o a qualquer lado.
Questa˜o 6 [1,0 pt]Obtenha, por aproximac¸o˜es, utilizando re´gua e compasso somente, um
aˆngulo de 24◦.
Soluc¸a˜o: Construa uma circunfereˆncia qualquer e utilize o processo de divisa˜o em cinco partes
para obter um arco que mede 72◦. Utilize o processo de divisa˜o aproximada para dividir o arco
de 72◦ em treˆs partes. Existem outras formas, como por exemplo: dividir um arco de 60◦ em
cinco partes aproximadamente iguais e em seguida dobrar um arco que corresponda a` quinta
parte.
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Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 4
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