Gabarito AD1 Construções Geométricas, Cederj 2014/2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas – Entregar 23/08/2014
Questa˜o 1 [3,0 pt]EEncontre o segmento x =
3y2
2z
onde z =
√
a.b e y =
√
a2 − b2.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, encontre o segmento z que e´ o e´ a me´dia geome´tria entre a e b, isto e´,
z =
√
ab. Em seguida, encontre o segmento y que e´ o segundo cateto de um triaˆngulo retaˆngulo
de hipotenusa a e um cateto b. Finalmente construa, do fato que x =
3y2
2z
⇔ 2z
3y
=
y
x
utilizamos
a construc¸a˜o da quarta proporcional para obtermos x.
Questa˜o 2 [2,5 pt] Construa treˆs cordas, AB, BC e CD consecutivas, numa circunfereˆncia
de centro O e raio 3 cm, as duas primeiras de medidas iguais ao lado do triaˆngulo equila´tero
inscrito e a terceira igual a medida do lado penta´gono regular inscrito. Trace a bissetriz do
aˆngulo AOˆD que interceptara´ a circunfereˆncia num ponto E. A corda AE corresponde ao lado
de que pol´ıgono regular inscrito nessa circunfereˆncia? Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o:Trace quatro cordas de comprimento igual ao raio para obter duas cordas que tenha
medida igual ao lado do triaˆngulo equila´tero inscrito. Construa CD igual ao lado penta´gono
regular inscrito utilizando o processo descrito no mo´dulo. A corda AE corresponde ao lado
do pentadeca´gono regular inscrito nessa circunfereˆncia. Pois, o arco compreendido por essa
corda mede 360
◦−240◦−72◦
2
= 24◦ que e´ exatamente o aˆngulo central compreendido pelo lado do
pentadeca´gono regular inscrito numa circunfereˆncia.
Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
Questa˜o 3 [2,5 pt]Encontre o ponto A equ¨idistante das retas r e s, tal que BAˆC = 60◦.
Obtenha todas as soluc¸o˜es poss´ıveis.
Soluc¸a˜o: Como o ponto A e´ equ¨idistante das retas r e s, enta˜o deve pertencer a uma das
bissetrizes dos aˆngulos formados pelas retas. Logo, devemos trac¸ar as bissetrizes, que sa˜o duas.
Como o aˆngulo BAˆC = 60◦, enta˜o o ponto A deve pertencer aos arcos capazes de 60◦ para o
segmento BC. Logo, devemos construir os arcos de 60◦ para este segmento, que sa˜o dois. Os
pontos A sa˜o obtidas pelas intersec¸o˜es entre os arcos e as retas. Neste problema encontramos 4
soluc¸o˜es.
Questa˜o 4 [2,0 pt]Construa a reta paralela a reta r passando pelo ponto A utilizando as
propriedades da diagonal de um paralelogramo. Justifique a sua construc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:Construa um segmento de comprimento m qualquer e dobre. Com centro em A e raio
igual a 2m trace um arco de circunfereˆncia que interceptara´ a reta r num ponto C. Com centro
em A e raio m construa um arco que interceptara´ o segmento AC no ponto M . Trace um arco
de centro emM e raio qualquer (suficiente para interceptar r, que intercpetara´ a reta r no ponto
B. Ligue os pontoM e B por uma reta e traceMD =MB. A reta r′ determinada pelos pontos
A e D e´ paralela a r.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ