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Gabarito AD1 Construções Geométricas, Cederj 2013/2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas – Entregar 24/08/2013
Questa˜o 1 [1,6 pt]Encontre os segmentos x =
a.b
c
e y tal que y2 = b.x
Soluc¸a˜o
Primeiramente, encontramos o seg-
mento x. Observe que x =
a.b
c
⇔ c
b
=
a
x
, isto e´, x e´ a quarta proporcional en-
tre os segmentos c, b e a. Assim, cons-
trua duas semi-retas de mesma ori-
gem, e apoie sobre os segmentos c e b,
um em cada delas. Na semi-reta que
foi apoiado o segmento c apoie conse-
cutivamente o segmento a. Ligue os
extremos dos segmentos c e b por uma
reta e trace uma paralela a ela pelo
extremo de a determinando na semi-
reta apoiada o segmento b o segmento
x.
Em seguida, o segmento y e´ a me´dia
geome´trica entre os segmentos b e x.
Basta utilizar um dos me´todos abor-
dados no mo´dulo de ensino.
Questa˜o 2 [1,7 pt]Encontre o ponto A de onde se pode observar o segmento CD sob um
aˆngulo de 60◦ e pelo qual se trac¸am tangentes a` circunfereˆncia λ formando aˆngulo de 90◦.
Soluc¸a˜o
Construa os arcos capazes do seg-
mento CD do aˆngulo de 60◦. Um ca-
minho mais curto e´ construir a me-
diatriz do segmento e em um dos
extremos do segmento construir um
aˆngulo de 30◦. A intersec¸a˜o do lado
do aˆngulo de 30◦ com a mediatriz sera´
o centro de um arco. Transferindo
este primeiro centro simetricamente
em relac¸a˜o ao segmento obte´m-se o se-
gundo centro.
Para que num ponto se possa trac¸ar as
tangentes a um circunfereˆncia que se-
jam perpendiculares, o comprimento
do segmento que une o ponto de
tangeˆncia a esse ponto em questa˜o
Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
deve ser igual ao raio da circunfereˆncia. Por isso, trace uma tangente qualquer e a partir
do ponto de tangeˆncia marque um segmento igual ao raio, obtendo assim o primeiro ponto
com esta propriedade. Todos os pontos com esta propriedade devem estar sobre uma circun-
fereˆncia conceˆntrica a` original passando por esse primeiro ponto encontrado. Tal circunfereˆncia
encontrara´ os arcos nos pontos que resolvem o problema.
Questa˜o 3 [1,7 pt]Construa um octo´gono regular de lado igual a L. Em seguida, na circun-
fereˆncia inscrita a esse pol´ıgono construa um pol´ıgono estrelado de oito pontas pulando de duas
em duas pontas.
Soluc¸a˜o
Para construir o octo´gono regular e´
preciso encontrar o raio da circun-
fereˆncia que o circunscreve. Lembre
que unindo o centro da circunfereˆncia
procurada a dois ve´rtices consecutivos
do octo´gono formamos um triaˆngulo
iso´sceles cujo aˆngulo oposto a` base
mede 45◦. Assim, construa um arco
capaz do segmento igual ao lado L sob
um aˆngulo de 45◦. A mediatriz encon-
trara´ o arco determinando o centro e
o raio da circunfereˆncia. Em seguida,
complete os lados do octo´gono regu-
lar. Os pontos me´dios de cada lado do
octo´gono podem ser utilizados como
os ve´rtices do pol´ıgono estrelados de
oito pontas, pois eles sa˜o os pontos de tangeˆncia da circunfereˆncia inscrita.
Questa˜o 4 [1,6 pt]Construa um triaˆngulo iso´sceles conhecendo-se o raio da circunfereˆncia
inscrita e a mediana relativa a` base.
Soluc¸a˜o: Cosntrua duas retas perpendiculare e sobre uma delas construa a partir da intersec¸a˜o
das retas um segmento de comprimento igual ao raio da circunfereˆncia inscrita, obtendo o seu
centro. Construa essa circunfereˆncia. Sobre a mesma perpendicular que passa pelo centro cons-
trua um segmento, a partir do ponto de intersec¸a˜o com a outra perpendicular, de comprimento
igual a` mediana dada. Obtendo o ve´rtice A sobre a perpendicular. Pelo ponto A trace as retas
tangentes a` circunfereˆncia que inteceptara˜o ao outra reta nos pontos B e C. O triaˆngulo ABC
e´ o triaˆngulo iso´sceles procurado.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
Questa˜o 5 [1,7 pt]Construa um triaˆngulo conhecendo-se um lado, a mediana relativa a esse
lado e altura relativa a outro lado.
Soluc¸a˜o
Construa a semicircunfereˆncia
de diaˆmetro igual ao lado
dado(AB). Com centro em A
construa um arco de raio igual a
altura, que interceptara´ a semi-
circunfereˆncia no ponto G. Li-
gue B e G por uma semi-reta.
Com centro em no ponto me´dio
M do lado AB trace um arco
de circunfereˆncia interceptando
a semi-reta no ponto C.
Questa˜o 6 [1,7 pt]Obtenha, por aproximac¸o˜es, utilizando re´gua e compasso somente, um
aˆngulo de 24◦.
Soluc¸a˜o: Construa uma circunfereˆncia qualquer e utilize o processo de divisa˜o em cinco partes
para obter um arco que mede 72◦. Utilize o processo de divisa˜o aproximada para dividir o arco
de 72◦ em treˆs partes. Existem outras formas, como por exemplo: dividir um arco de 60◦ em
cinco partes aproximadamente iguais e em seguida dobrar um arco que corresponda a` quinta
parte.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AD1 – Construc¸o˜es Geome´tricas 4
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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