Capitulo 3 Oscilador Hamonico

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Capítulo 3 – O Oscilador Hamônico 
 
Uma força unidimensional, que depende somente da posição x, tem uma 
expansão de Taylor em torno da sua posição de equilíbrio x=0 (onde F=0) 
 
 
 
Quando somente o termo linear em x é relevante, teremos a lei de Hooke que 
nada mais é do que a equação diferencial do oscilador harmônico simples 
(sistema massa-mola, pêndulo simples para pequenas oscilações,...). Dizemos 
que estamos com o oscilador num regime elástico 
 
 
 
 
 
 
Quando não podemos desprezar os termos quadráticos..., estaremos num regime 
plástico que pode chegar à ruptura da mola se a elongação for suficientemente 
grande. 
 
O oscilador harmônico simples, do ponto de vista matemático, nada mais é do 
que uma equação diferencial linear ordinária homogênea de segunda ordem no 
tempo. 
Ela é ordinária porque não tem derivada parcial, linear porque só comparecem x 
e suas derivadas (isto é, não há termos do tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que 
 
 
 tem dimensão de (frequência). Podemos reescrever 
 
 
 
 
 
A força conservativa (1) tem energia potencial elástica associada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
uma dependência parabólica com x. 
Se fizermos o “ansatz” (baseado no mundo real, pois esperamos obter um 
movimento oscilatório cuja descrição matemática se faz via senos e cossenos) de 
que 
 
 
é solução, então 
 
 
 
 
2 
 
e 
 
 
 
 
da eq. (2) teremos por seguinte, uma solução é 
 
 
 
Se tivéssemos feito o “ansatz” 
 
teríamos 
 
 
 
e 
 
 
 
 
logo, e outra solução é 
 
 
 
É fácil verificar que qualquer combinação linear de 
 
 
 
com a e b constantes independentes do tempo, também é solução de (2). 
 
O fato de a superposição de 2 soluções também ser solução é uma propriedade de 
toda e qualquer equação diferencial ordinária linear...chamamos essa 
propriedade de Princípio de Superposição. 
 
A ordem da equação diferencial ordinária define a dimensão do espaço de 
soluções linearmente independentes: ordem N terá N soluções linearmente 
independentes. 
 
No caso da eq. (2), a solução geral é dada por 
 
 
 
Trocando as constantes a e b por A e ϕ 
 
 
 
 
 
 
3 
 
podemos reescrever (5) 
 
 
 
 
 
 
 
A constante A é chamada de amplitude, pois 
A constante ϕ é chamada de fase. 
 
Sobre as condições iniciais 
 
A existência de 2 soluções linearmente independentes é fundamental para 
podermos impor condições iniciais arbitrárias 
 
 
 
 
então 
 
 
 
donde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia do Oscilador Harmônico 
 
A energia cinética Ec é função do tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A energia potencial U é função do tempo 
 
 
 
 
 
 
como 
 
4 
 
teremos a Conservação da Energia Mecânica E 
 
 
 
 
 
 
A energia cinética média num período 
 
 
 vale 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mudando de variável: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mas 
 
 
 , logo 
 
 
 
 
 
 . Nos limites de 
integração o termo em seno zera e 
 
 
 , ou seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De maneira semelhante é fácil mostrar que 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) O Pêndulo de Torção 
 
 ; ; ; 
 
 
 
 
 
5 
 
2) O Pêndulo Simples 
 
Componentes 
 
radial: 
 
 
 
 
 
 
 
onde F é a tensão na corda 
tangencial: 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
A equação (8b) acima é diferencial de 2ª. ordem mas não linear em θ ! 
Sua solução é complicada e se expressa através das funções elípticas de Jacobi 
(que não pode ser escrita em termos de funçoes elementares). Uma vez obtida a 
solução de substituimos em (8 a ) e determinamos a tensão F. 
 
Para , pequenas amplitudes, vale a aproximação 
 
 
 
por exemplo, se 
 
Neste caso, (8b) fica uma equação diferencial linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
donde 
 
 
 ou 
 
 
 
 
6 
 
Se puxamos a corda do pêndulo até um ângulo e o soltamos a partir do 
repouso, a solução será então 
 
 
 
Nesta aproximação, vemos que o período de oscilação não depende da amplitude 
inicial . 
 
Isso deixa de ser verdade se não é pequeno. Pode-se mostrar que a primeira 
correção é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) O Pêndulo Físico 
 
 
o torque será 
 
 
 
 
 
Na aproximação de ângulos iniciais pequenos e 
 
 
 
, logo 
 
 
 
 
 
O pêndulo físico se comporta como um pêndulo simples de comprimento 
 
 
 
 
 
 
O ponto C da reta OG tal que a distãncia OC é l é chamado centro de oscilação 
do pêndulo físico (o ponto O é o ponto de suspensão) . Se concentrássemos toda 
a massa M no ponto C e ligássemos por um fio sem massa, o pêndulo físico se 
transformaria num pêndulo simples. 
 
7 
 
Se o ponto de suspensão é O teremos, pelo Teorema dos Eixos Paralelos 
 
 
 
 
Se trocarmos o ponto de suspensão O por C, e chamando o momento de inécia de 
 , a distância ao novo centro de oscilação de , de (12) teremos 
 
 
 . 
Pelo Teorema dos Eixos Paralelos ; 
 
 
 
 
Eliminando de (13a ) e substituindo em (13b) e (12) 
 
 
 
 
Logo 
 
 
 
O novo centro de oscilação, quando suspendemos o pêndulo por C, passa a ser o 
ponto O ( a eq. 3.3.30 do Moysés está errada). 
 
4) Oscilações de um líquido em um tubo em U 
 
Considere um líquido de densidade , secção transversal constante e igual a , e 
comprimento total . A massa de liquido será então . Se em equlíbrio 
dos 2 ramos escolhemos o nível onde então ao erguer uma 
pequena quantidade do líquido de uma altura , teremos 
 
 
 
 
 
A coluna líquida entra em oscilação com velocidade instantânea 
 
 
 e energia 
cinética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e a energia mecânica será 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando com a energia do oscilador temos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo 
 
 
, ou seja o período de oscilação será 
 
 
 
 
 
 
5) Oscilações de 2 partículasConsidere 2 partículas de massas e ligadas por uma mola de cosntante e 
massa desprezível movendo-se na horizontal e sem atrito. 
 
 
A deformação da mola será 
 
 
 
A força 
 
 
o que fornece as equações de movimento 
 
 
 
 
 
 
A coordenada do cm: 
 
 
 tem aceleração zero pois de (15) 
 . Ou seja o cm se move com velocidade constante. 
 
Multiplicando a 1ª. eq. de (15) por , a 2ª. eq. de (15) por e subtraindo a 2ª. 
da 1ª., temos 
 
 
 
onde 
 
 
 é a massa reduzida do sistema. 
9 
 
 
O sistema translada com velocidade do cm e oscila como uma partícula única 
de massa igual à massa reduzida com período 
 
 
 
 
 
 
6) Molécula diatômica 
 
A energia potencial de interação de uma molécula diatômica é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde é a energia de dissociação da molécula e é distância 
interatômica de equilíbrio. 
 
 
 
Expandindo em série de Taylor em torno de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde a 1ª. derivada é zero pois 
 
 
 
 
 
Identificando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A energia mecânica será 
 
 
 
 
 
 
 onde 
 
 
 é a massa reduzida do sistema. 
 
10 
 
Essa molécula vibra com frequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipicamente para a molécula CO: 
 
 
 
 . 
 
Essa frequência, para a luz , corresponde a um comprimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É uma radiação na região do infravermelho (o visível está entre 3.000 e 7000 . 
 
Plano Complexo z 
 
Seja o número complexo , com e . Esse número 
corresponde a um único ponto do plano complexo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A adição de 2 números complexos obedece à regra do paralelogramo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
z 
plano complexo z = x + iy 
y 
x 
 
 
11 
 
E o produto 
 
 
Se expandirmos em Taylor a exponencial , 
teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
juntando os termos reais puros e imaginários puros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e reconhecemos as expansões de Taylor de seno e cosseno 
 
 
que é a famosa Fórmula de Euler. 
 
Definimos o complexo conjugado 
 
Por conseguinte o módulo ao quadrado de será 
 
Podemos representar o número complexo em coordenadas polares 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
Voltemos agora à equação do oscilador harmônico 
 
 
 
Vamos transformá-la numa equação algébrica 
 
 
 
com α independente do tempo. Então, teremos uma equação algébrica para 
 
 
 
com duas soluções linearmente independentes 
 
 
 
 
12 
 
 Donde obtemos a solução geral 
 
 
 
Como é real , 
 
Escrevendo 
 
 
 , teremos 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
Superposição de Movimentos Harmônicos 
 
1) Mesma Direção e Frequência 
 
 
 
Podemos escrever 
 
 
 
 
 
Colocando em evidência 
 
 
 
Chamando 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
Dados determinamos . 
 
E a solução superposta 
 
 
 
Oscila com mesma frequência, mas amplitude e fases diferentes. 
 
 
13 
 
2) Mesma Direção e Frequências Diferentes 
 
 
 
 
Como o oscilador 1 tem período e o oscilador 2 tem período (em geral 
diferente de ) a diferença de fase: tem dependência 
temporal . Em geral, portanto, o movimento resultante não é 
periódico. 
 
Para que o movimento seja periódico com período T é preciso que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ou 
 
 
 
Dizemos que os períodos e são comensuráveis. O período T corresponde 
aos menores valores inteiros de e que satisfazem (22). 
 
 
 
Batimentos 
 
Vamos supor o caso mais simples , e as frequências são 
muito próximas, definimos 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
Então 
 
 
 
Fica 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
Como , então o pré-fator 
 
 
 oscila lentamente 
em relação a e dizemos que este pré-fator modula a amplitude 
 
 
 
 . Dessa forma a amplitude oscila no tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
As oscilações rápidas na figura acima correspondem à frequência , os zeros da 
curva envoltória correspondem aos zeros devido à frequência 
 
 
 do termo 
 
 
 
 . 
 
No caso de onda sonora, como a intensidade é proporcional a , ouviremos 
um subir e descer da intensidade sonora, quanto mais próximas as frequências 
 ( ) menor será o intervalo entre subidas e descidas. Na afinação 
do violão, pressionamos a corda La (afinada com o diapasão) e a corda 
subsequente...a afinação se dará quando o nosso ouvido não mais perceber a 
variação de intensidade que é conhecida como batimento. 
 
3) Mesma frequência e direções perpendiculares 
 
Suponhamos a oscilação bidimensional 
 
 
 
 
 
 
Sem perda de generalidade podemos escolher e 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
A trajetória estará dentro de um retângulo . 
Eliminando o tempo t teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos Particulares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Frequências diferentes e direções perpendiculares 
 
Como num osciloscópio em que jogamos uma voltagem com frequência 
numa direção e numa direção perpendicular. 
 
Formam-se as figuras de Lissajous que podem ser órbitas fechadas (períodos 
comensuráveis) ou abertas