Apostila 3 Rotação de Corpos Rígidos

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MECÂNICA GERAL 
Apostila 3 : Rotação do Corpo Rígido 
 
 
 
Professor Renan 
 
 
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Centro de massa 
 
Um corpo extenso pode ser considerado um sistema de partículas, cada uma 
com sua massa. 
A resultante total das massas das partículas é a massa total do corpo. Seja CM 
o ponto em que podemos considerar concentrada toda a massa do corpo, este 
ponto será chamado Centro de Massa do corpo. 
Para corpos simétricos, que apresentam distribuição uniforme de massa, o 
centro de massa é o próprio centro geométrico do sistema. Como no caso de 
uma esfera homogênea, ou de um cubo perfeito. 
Para os demais casos, o cálculo do centro de massa é feito através da média 
aritmética ponderada das distâncias de cada ponto do sistema. 
 
Para calcularmos o centro de massa precisamos saber suas coordenadas em 
cada eixo do plano cartesiano acima, levando em consideração a massa de 
cada partícula: 
 
 
Então o Centro de Massa do sistema de partículas acima está localizado no 
ponto (1,09 , 0,875), ou seja: 
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Como forma genérica da fórmula do centro de massa temos: 
 
 
 
 
 
Centro de massa de um sistema discreto de pontos materiais - Para o 
estudo do movimento de translação de um corpo rígido, é o ponto onde pode-
se supor concentrada toda a massa do corpo: 
 
Se a aceleração da gravidade é a mesma em todos os pontos do corpo 
(situação mais corriqueira), o centro de gravidade (CG) coincide com o centro 
de massa (CM): g = constante ==> CG = CM. 
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Nota: O CM da Torre Eiffel, por exemplo, não coincide com seu CG; o CM fica 
ligeiramente acima do CG. 
 
Teorema do centro de massa - Para sólidos (sistemas rígidos de pontos) em 
translação, para os quais o movimento é estudado considerando-se toda a 
massa concentrada em seu CM, vale: 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 
Jaime está a uma distância de 20 m de Rui, e ambos estão em pé sobre uma 
superfície lisa de um lago congelado. Rui possui massa de 60 Kg e Jaime 90 
Kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma caneca contendo a 
bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades 
de uma corda leve esticada entre eles. Quando Jaime se desloca 6m no 
sentido da caneca, em que sentido se desloca Rui e qual a distância percorrida 
por ele ? 
 
Resolução: 
As coordenada x de Jaime e de Rui são -10 m e 10 m, respectivamente, então 
a coordenada x do CM é: 
 
 
 
 
Quando Jaime se desloca 6m no sentido da caneca, sua nova coordenada x 
passa para -4 m; vamos chamar de x2 a nova coordenada x de Rui. O CM não 
se move, logo: 
 
 
 
 
 
Calculando teremos: x2= 1 m 
 
Jaime se deslocou 6 m no sentido da caneca e ainda está a uma distância de 
4m da caneca. Rui se deslocou 9m e está a uma distância de 1 m da caneca. 
 
 
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Energia cinética de Rotação 
 
 A velocidade de uma partícula num corpo rígido rodando em torno de um 
eixo fixo é : v=ωr, onde r é a distância da partícula ao eixo e ω é a velocidade 
angular do corpo. 
A energia cinética de uma partícula de massa m é, então : 
 
 
 
 
 
 
 
 A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todas 
as partículas que constituem o corpo, assim: 
 ∑
 
 
 
 
 Que pode ser escrito como: 
 
 
 
 ∑ 
 
 Onde o termo entre parênteses é chamado de momento de inércia 
rotacional do corpo em relação ao eixo de rotação. 
 
 
 ∑ 
 
 
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Assim, a energia cinética de rotação de um corpo que gira ao redor de um 
eixo é igual ao semi-produto de seu momento de inércia pelo quadrado de 
sua velocidade angular, com respeito ao eixo: 
Ecin.,rot.= (1/2).
2.I 
O trabalho cedido ou absorvido por um corpo em rotação é igual à variação 
de sua energia cinética de rotação: 
 = (1/2).(2 - '2).I 
 
 
Exemplo 1 
Um engenheiro está projetando certa peça de uma máquina que consiste em 3 
conectores pesados ligados por suportes leves, ver figura abaixo. 
a) Qual é o momento de inércia desse corpo em relação a um eixo 
perpendicular ao plano do desenho e que passa pelo centro do disco A? 
b) Qual é o momento de inércia em torno de um eixo que coincide com o 
disco B e C ? 
c) Se o corpo gira em torno de um eixo perpendicular ao plano do desenho 
e passa por A, com velocidade angular ω= 4 rad/s , qual é a sua energia 
cinética ? 
 
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Resolução 
a) A partícula no ponto A está sobre o eixo. Sua distância r ao eixo é igual 
a zero.. Então: 
 ∑ 
 
 
b) As partículas em B e C estão sobre o eixo, logo, para elas, r=0 e 
nenhuma delas contribuem para o momento de inércia. Somente a 
contribui e obtemos: 
 
 ∑ 
 
 
c) Usando a equação de energia cinética, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o corpo é uma distribuição contínua de matéria, como um cilindro 
maciço ou uma placa, as soma se transforma em uma integral e precisamos 
usar o cálculo integral para obter o momento de inércia. Mostramos abaixo 
alguns exemplos de momento de inércia. 
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Exemplo 2 
Um cabo leve, flexível e não deformável é enrolando diversas vezes em torno 
da periferia de um tambor, um cilindro maciço com diâmetro de 0,120 m e 
massa igual a 50 Kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário 
horizontal mantido por mancais sem atrito, ver figura. A extremidade livre do 
cabo é puxada com uma força constante de valor igual a 9 N, deslocando-se 
por uma distância de 2 m. Ele se desenrola sem deslizar e faz o cilindro girar. 
Se o cilindro inicialmente está em repouso, calcule a velocidade angular e a 
velocidade escalar final do cabo. 
 
Resolução 
O trabalho realizado sobre o cilindro é W= F.d = 9.2 = 18 J. 
O momento de inércia para um cilindro maciço é : 
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O trabalho realizado sobre o cilindro é transformado em energia cinética de 
rotação. 
 
 
 
 
 √
 
 
 √
 
 
 
A velocidade escalar será : 
v=ωr=0,06.20=1,2 m/s 
Teorema dos Eixos paralelos 
 
Exemplo 
Uma das peças de uma articulação mecânica, ver figura, possui massa igual a 
3,6 Kg. Medimos seu momento de inércia em relação a um eixo situado a uma 
distância de 0,15 m do seu centro de massa. E encontramos Ip=0,132 Kg.m
2. 
Qual é o momento de inércia em relação a um eixo paralelo que passa pelo 
seu centro de massa ? 
Solução 
Icm=Ip – Md
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Icm=0,132 – 3,6 . 0,15
2 
Icm= 0,051 Kg.m
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Lista de Exercícios 
Centro de Massa 
1) As massas e as coordenadas dos centros de massa de três blocos de 
chocolate são dadas por: (1) 0,3 Kg; (0,2m , 0,3m) (2) 0,4 Kg ; (0,1m , -0,4 m) 
; (3) 0,2 Kg ; (-0,3m , 0,6 m). Calcule as coordenadas do centro de massa do 
sistema constituído por esses três blocos de chocolate. 
2) Determine a posição do centro de massa do sistema constituído pelo Sol e 
por Júpiter. A posição desse centro de massa está dentro ou fora do Sol ? 
3) A peça de uma máquina possui uma barra fina e uniforme de 4,0 Kg, com 
1,5 m de comprimento e está presa por uma dobradiça perpendicular a uma 
barra vertical semelhante com massa de 3,0 Kg e comprimento de 1,8 m. a 
barra mais longa possui uma bola pequena porém densa de 2,0 Kg em uma 
das extremidades. Qual a distância percorrida horizontalmentee verticalmente 
pelo centro de massa dessa peça, caso a barra vertical gire 90º no sentido anti-
horário de modo a tornar toda a peça horizontal ? 
 1,5 m 
 
 
 1,8 m 
 
 
Livro do Halliday 
 
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