Física Matemática 1 1p

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física Matemática 1 – Questões 1 
 Questão 1
Sejam dois vetores ܝ૚�‡�ܝ૛ do plano definidos pelas 
coordenadas polares de suas extremidades: ሺߠଵǡ ݎଵሻ�‡�ሺߠଶǡ ݎଶሻ. 
Se ܝ૜ ൌ ܝ૚ ൅ ܝ૛ está definido por ሺߠଷǡ ݎଷሻ, mostre como ߠଷ�‡�ݎଷ estão relacionados com ߠଵǡ ߠଶǡ ݎଵ�‡�ݎଶ. 
Resolução: 
Os vetores no plano cartesiano são dados por: ܝ૚ ൌ ݔଵܑ ൅ ݕଵܒܝ૛ ൌ ݔଶܑ ൅ ݕଶܒ 
(1.1) 
As coordenadas polares, em termos de x e y são dadas por: ݔ ൌ ݎ ή …‘• ߠݕ ൌ ݎ ή •‡�ߠ 
(1.2) 
Então, podemos escrever: ܝ૚ ൌ ݎଵሺ…‘•ߠଵܑ ൅ ݏ݁݊�ߠଵܒሻܝ૛ ൌ ݎଶሺ…‘•ߠଶܑ ൅ ݏ݁݊�ߠଶܒሻ 
(1.3) 
O vetor ܝ૜ será dado por: ܝ૜ ൌ ݎଷሺ…‘•ߠଷ݅ ൅ ݏ݁݊�ߠଷ݆ሻ 
(1.4) 
E como ܝ૜ ൌ ܝ૚ ൅ ܝ૛, então: ݎଷ …‘• ߠଷ ൌ ݎଵ …‘•ߠଵ ൅ ݎଶ …‘• ߠଶݎଷ •‡ ߠଷ ൌ ݎଵ •‡ ߠଵ ൅ ݎଶ •‡ ߠଶ 
(1.5) 
Logo, utilizando (1.5), teremos para ߠଷ: ݐ݃�ߠଷ ൌ ݎଵ •‡ ߠଵ ൅ ݎଶ •‡ ߠଶݎଵ …‘• ߠଵ ൅ ݎଶ …‘• ߠଶ 
(1.6) 
E para ݎଷ: ݎଷଶ ൌ ሺݎଷ …‘• ߠଷሻଶ ൅ ሺݎଷ�•‡�ߠଷሻଶ 
(1.7) 
Novamente, utilizando (1.5) em (1.7), teremos: ݎଷଶ ൌ ሺݎଵ …‘•ߠଵ ൅ ݎଶ …‘• ߠଶሻଶ ൅ ሺݎଵ •‡ ߠଵ ൅ ݎଶ •‡ ߠଶሻଶ ݎଷଶ ൌ ݎଵଶ ൅ ݎଶଶ ൅ ʹݎଵݎଶሺ…‘•ߠଵ …‘• ߠଶ ൅ •‡�ߠଵ�•‡�ߠଶሻ 
(1.8) 
Sabendo que …‘• ߠଵ …‘•ߠଶ ൅ •‡�ߠଵ�•‡�ߠଶ ൌ …‘•ሺߠଶ െ ߠଵሻ 
podemos escrever: ݎଷଶ ൌ ݎଵଶ ൅ ݎଶଶ ൅ ʹݎଵݎଶ …‘•ሺߠଶ െ ߠଵሻ 
(1.9) 
O resultado em (1.9) é conhecido como a lei dos cossenos. Se 
tomarmos o produto escalar para encontrar o módulo de ܝ૜ 
teremos: 
 ܝ૜ ή ܝ૜ ൌ ሺܝ૚ ൅ ܝ૛ሻଶ ܝ૜ଶ ൌ ܝ૚ଶ ൅ ܝ૛ଶ ൅ ૛ܝ૚ ή ܝ૛ 
(1.10) 
 
Em que ܝ૚ ή ܝ૛ ൌ ݑଵݑଶ …‘•ሺߠଶ െ ߠଵሻ (aqui ݑଵ�‡�ݑଶ são os 
módulos de ܝ૚�ƒ†�ܝ૛). Assim, a expressão em (1.10) 
também conduz à lei dos cossenos. 
 
 Questão 2
 
Calcule o ângulo entre os dois vetores dados por: 
 ܁ܖ ൌ …‘• ߙ௡ ܑ ൅ …‘•ߚ௡ ܒ ൅ …‘• ߛ௡ ܓǢ��ሺ݊ ൌ ͳǡʹሻ 
 
Resolução: 
Os referidos vetores são dados por: 
 ܁૚ ൌ …‘•ߙଵ ܑ ൅ …‘• ߚଵ ܒ ൅ …‘• ߛଵ ܓ܁૛ ൌ …‘•ߙଶ ܑ ൅ …‘•ߚଶ ܒ ൅ …‘• ߛଶ ܓ 
(2.1) 
 
Tomando o produto escalar, teremos: 
 ܁૚ ή ܁૛ ൌ …‘• ߠ 
(2.2) 
 
Em que ߠ é o ângulo entre os referidos vetores. Utilizando as 
expressões de (2.1), teremos para o produto escalar: 
 ܁૚ ή ܁૛ ൌ ሺ…‘•ߙଵ …‘• ߙଶሻሺܑ ή ܑሻ ൅ ሺ…‘•ߚଵ …‘• ߚଶሻሺܒ ή ܒሻ൅ ሺ…‘• ߛଵ …‘• ߛଶሻሺܓ ή ܓሻ ܁૚ ή ܁૛ ൌ …‘•ߙଵ …‘•ߙଶ ൅ …‘• ߚଵ …‘• ߚଶ ൅ …‘•ߛଵ …‘• ߛଶ 
(2.3) 
 
Utilizando as expressões de (2.2) e (2.3), teremos: 
 …‘• ߠ ൌ …‘• ߙଵ …‘• ߙଶ ൅ …‘• ߚଵ …‘•ߚଶ ൅ …‘•ߛଵ …‘• ߛଶ 
(2.4) 
 
 Questão 3
 
Podemos definir o produto misto vetorial de três vetores 
por meio da expressão ൣܝ ൈ ሾܞ ൈ ܟሿ൧. Mostre que para três 
vetores quaisquer vale a identidade: 
 ൣܝ ൈ ሾܞ ൈ ܟሿ൧ ൅ ൣܞ ൈ ሾܟ ൈ ܝሿ൧ ൅ ൣܟ ൈ ሾܝ ൈ ܞሿ൧ ൌ Ͳ 
 
Sugestão: Use a identidade vetorial 
 ൣ܉ ൈ ሾ܊ ൈ ܋ሿ൧ ൌ ܊ሺ܉ ή ܋ሻ െ ܋ሺ܉ ή ܊ሻ 
 
A fórmula acima, conhecida como identidade de Jacobi, 
aparece em vários contextos em física e matemática. 
 
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Resolução: 
Utilizando a sugestão, teremos: ൣܝ ൈ ሾܞ ൈ ܟሿ൧ ൌ ܞሺܝ ή ܟሻ െ ܟሺܝ ή ܞሻൣܞ ൈ ሾܟ ൈ ܝሿ൧ ൌ ܟሺܞ ή ܝሻ െ ܝሺܞ ή ܟሻൣܟ ൈ ሾܝ ൈ ܞሿ൧ ൌ ܝሺܟ ή ܞሻ െ ܞሺܟ ή ܝሻ 
(3.1) 
Em (3.1), os produtos que aparecem dentro dos parênteses 
são comutativos (produtos escalares de vetores). Somando 
as três equações, teremos: ൣܝ ൈ ሾܞ ൈ ܟሿ൧ ൅ ൣܞ ൈ ሾܟ ൈ ܝሿ൧ ൅ ൣܟ ൈ ሾܝ ൈ ܞሿ൧ ൌ Ͳ 
(3.2) 
 Questão 4
Considere os seguintes vetores do espaço: ܝ ቀ଺଻ ǡ െ ଷ଻ ǡ ଶ଻ቁ ǡ ܞ ቀଶ଻ ǡ ଺଻ ǡ ଷ଻ቁ �‡�ܟ ቀെ ଷ଻ ǡ െ ଶ଻ ǡ ଺଻ቁ, 
 
(a) Verifique que esses vetores são unitários, ortogonais dois 
a dois, e formam um terno positivamente orientado, se 
ordenados como acima. 
(b) Construa a matriz de rotação que transforma as 
componentes antigas de um vetor (em relação a i, j, k) em 
suas componentes novas, (em relação a u, v, w) 
(c) Calcule, por meio da multiplicação matricial – vetorial, as 
novas coordenadas dos vetores ܉ሺͲǡ͵ǡʹሻǡ�����܊ሺെͳǡͶǡെ͵ሻǡ� ܋ሺʹǡെʹǡെʹሻ. Dê uma interpretação geométrica do 
comportamento curioso do vetor c. 
Resolução: 
(a) Calculando o módulo do vetor u, teremos: ݑ ൌ ටݑ௫ଶ ൅ ݑ௬ଶ ൅ ݑ௭ଶ ݑ ൌ ξ͸ଶ ൅ ͵ଶ ൅ ʹଶ͹ ൌ ͳ 
(4.1) 
O resultado (4.1) nos leva a concluir que o vetor u é unitário. 
E o mesmo ocorre com os demais. Agora, vamos calcular o 
produto escalar; por exemplo, ܝ ή ܞ. ܝ ή ܞ ൌ ݑ௫ݒ௫ ൅ ݑ௬ݒ௬ ൅ ݑ௭ݒ௭ ܝ ή ܞ ൌ ͸͹ ή ͹ʹ ൅ ൬െ ͹͵൰ ή ͸͹ ൅ ͹ʹ ή ͹͵ ൌ Ͳ 
(4.2) 
 
O resultado (4.2) nos leva a concluir que os vetores u e v são 
ortogonais. E o mesmo ocorre para os produtos ܝ ή ܟ e ܟ ή ܞ. 
Agora, tomando o produto vetorial de u e v, teremos: ܝ ൈ ܞ ൌ ൫ݑ௬ݒ௭ െ ݑ௭ݒ௬൯ܑ ൅ ሺݑ௭ݒ௫ െ ݑ௫ݒ௭ሻܒ ൅ ൫ݑ௫ݒ௬ െ ݑ௬ݒ௫൯ܓ ܝ ൈ ܞ ൌ ቆ൬െ ͹͵൰ ή ͹͵ െ ͹ʹ ή ͸͹ቇ ܑ ൅ ൬͹ʹ ή ͹ʹ െ ͸͹ ή ͹͵൰ ܒ ൅൬͸͹ ή ͸͹ െ ൬െ ͹͵൰ ή ͹ʹ൰ ܓ 
ܝ ൈ ܞ ൌ െ ͹͵ ܑ െ ͹ʹ ܒ ൅ ͸͹ܓ ൌ ܟ 
(4.3) 
 
Para os outros produtos vetoriais temos: ܞ ൈ ܟ ൌ ܝ�‡� ܟ ൈܝ ൌ ܞ. Logo, os vetores, na sequência dada, formam um 
terno positivamente orientado. 
 
(b) Seja o vetor u a nova componente i’ do sistema 
rotacionado. Assim, teremos: 
 ܝ ൌ ܑᇱ ൌ ͸͹ ܑ െ ͹͵ ܒ ൅ ͹ʹ ܓ 
(4.4) 
 
O mesmo para os demais vetores. Assim, teremos para a 
matriz de rotação: 
 
ۏێێ
ۍ ͸ ͹ൗ െ͵ ͹ൗ ʹ ͹ൗʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ͵ ͹ൗെ͵ ͹ൗ െʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ےۑۑ
ې
 
(4.5) 
 
Assim, poderemos escrever: 
 ቈܝܞܟ቉ ൌ ۏێێ
ۍ ͸ ͹ൗ െ͵ ͹ൗ ʹ ͹ൗʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ͵ ͹ൗെ͵ ͹ൗ െʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ےۑۑ
ې ή ൥ ܑܒܓ൩ 
(4.6) 
 
(c) As novas coordenadas do vetor a: 
 ܉ᇱ ൌ ۏێێ
ۍ ͸ ͹ൗ െ͵ ͹ൗ ʹ ͹ൗʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ͵ ͹ൗെ͵ ͹ൗ െʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ےۑۑ
ې ή ൥Ͳʹ͵൩ 
 
܉ᇱ ൌ ۏێێ
ێێۍ ͸͹ ή Ͳ ൅ ൬െ ͹͵൰ ή ͵ ൅ ͹ʹ ή ʹ͹ʹ ή Ͳ ൅ ͸͹ ή ͵ ൅ ͹͵ ή ʹ൬െ ͹͵൰ ή Ͳ ൅ ൬െ ͹ʹ൰ ή ͵ ൅ ͸͹ ή ʹےۑۑ
ۑۑې 
 ܉ᇱ ൌ ۏێێ
ۍെ ͷ ͹ൗʹͶ ͹ൗ͸ ͹ൗ ےۑۑ
ې
 
(4.7) 
 
As novas coordenadas do vetor b: 
 ܊ᇱ ൌ ۏێێ
ۍ ͸ ͹ൗ െ͵ ͹ൗ ʹ ͹ൗʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ͵ ͹ൗെ͵ ͹ൗ െʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ےۑۑ
ې ή ൥െͳͶെ͵൩ 
 
 
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܊ᇱ ൌ ۏێێ
ێێۍ ͸͹ ή ሺെͳሻ ൅ ൬െ ͹͵൰ ή Ͷ ൅ ͹ʹ ή ሺെ͵ሻ͹ʹ ή ሺെͳሻ ൅ ͸͹ ή Ͷ ൅ ͹͵ ή ሺെ͵ሻ൬െ ͹͵൰ ή ሺെͳሻ ൅ ൬െ ͹ʹ൰ ή Ͷ ൅ ͸͹ ή ሺെ͵ሻےۑۑ
ۑۑې 
 ܊ᇱ ൌ ۏێێ
ۍെ ʹͶ ͹ൗͳ͵ ͹ൗെʹ͵ ͹ൗ ےۑۑ
ې
 
(4.8) 
E as novas coordenadas do vetor c: 
܋ᇱ ൌ ۏێێ
ۍ ͸ ͹ൗ െ͵ ͹ൗ ʹ ͹ൗʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ͵ ͹ൗെ͵ ͹ൗ െʹ ͹ൗ ͸ ͹ൗ ےۑۑ
ې ή ൥െʹʹെʹ൩ 
 
܋ᇱ ൌ ۏێێ
ێێۍ ͸͹ ή ʹ ൅ ൬െ ͹͵൰ ή ሺെʹሻ ൅ ͹ʹ ή ሺെʹሻ͹ʹ ή ʹ ൅ ͸͹ ή ሺെʹሻ ൅ ͹͵ ή ሺെʹሻ൬െ ͹͵൰ ή ʹ ൅ ൬െ ͹ʹ൰ ή ሺെʹሻ ൅ ͸͹ ή ሺെʹሻےۑۑ
ۑۑې 
 ܋ᇱ ൌ ൥െʹʹെʹ൩ 
(4.9) 
O resultado em (4.9) mostra que as novas coordenadas do 
vetor c relativas ao sistema (u, v, w) possuem os mesmos 
valores das coordenadas do sistema antigo (i, j, k). Isso 
ocorre porque o sistema (u, v, w) é um sistema advindo da 
rotação em torno do referido vetor. Podemos determinar os 
cossenos dos ângulos que o vetor c forma com os vetores (i, 
j, k) e também com os vetores (u, v, w), por meio dos 
produtos escalares. Assim, teremos: 
…‘•ሺܑǡ ܋ሻ ൌ ܑ ή ܋ܿ ൌ ʹʹξ͵ ൌ ξ͵͵ 
(4.10) 
…‘•ሺܒǡ ܋ሻ ൌ ܒ ή ܋ܿ ൌ െʹʹξ͵ ൌ െξ͵͵ 
(4.11) 
…‘•ሺܓǡ ܋ሻ ൌ ܓ ή ܋ܿ ൌ െʹʹξ͵ ൌ െξ͵͵ 
(4.12) …‘•ሺܝǡ ܋ሻ ൌ ܝ ή ܋ܿ ൌ ͳʹξ͵ ൤ʹ ή ͹ʹ ൅ ʹ ή ͹͵ െ ʹ ή ͹ʹ൨ ׵ …‘•ሺܝǡ ܋ሻ ൌ ܝ ή ܋ܿ ൌ ʹʹξ͵ ൌ ξ͵͵ 
(4.13) 
E o mesmo ocorre para os demais, ou seja: 
 …‘•ሺܞǡ ܋ሻ ൌ ܞ ή ܋ܿ ൌ െʹʹξ͵ ൌ െξ͵͵ 
(4.14) 
 …‘•ሺܟǡ ܋ሻ ൌ ܟ ή ܋ܿ ൌ െʹʹξ͵ ൌ െξ͵͵ 
(4.15) 
 
Os resultados em (4.10) – (4.15) mostram que: …‘•ሺܑǡ ܋ሻ ൌ …‘•ሺܝǡ ܋ሻǢ ������…‘•ሺܒǡ ܋ሻ ൌ …‘•ሺܞǡ ܋ሻ �����‡ ���…‘•ሺܓǡ ܋ሻ ൌ…‘•ሺܟǡ ܋ሻ. Ou seja, os ângulos não sofreram alterações. O que 
nos leva a concluir que o vetor c é o eixo da rotação 
supracitada. 
 
 Questão 5
 
(a) Mostre que o produto misto dos vetores ܝሺݑଵǡ ݑଶǡ ݑଷሻǡ ܞሺݒଵǡ ݒଶǡ ݒଷሻ�‡�ܟሺݓଵǡ ݓଶǡ ݓଷሻ pode ser dado pelo 
determinante: 
 ሺܟ ή ሾܝ ൈ ܞሿሻ ൌ อݓଵ ݓଶ ݓଷݑଵ ݑଶ ݑଷݒଵ ݒଶ ݒଷ อ 
 
(b) Usando isso, mostre que se uma matriz 3 x 3 é ortogonal, 
então seu determinante pode ter somente dois valores, ou 
+1 ou –1 . 
(c) Considere as matrizes: 
 ܣ ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ െͳ൩ ǡ ܤ ൌ ቎ξ͵ ʹΤ ͳ ʹΤ Ͳͳ ʹΤ െξ͵ ʹΤ ͲͲ Ͳ െͳ቏ǡ 
 �ܥ ൌ ൥െͳ Ͳ ͲͲ െͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ ǡ ܦ ൌ ቎ʹξ͵ ͷΤ െ͵ξ͵ ͳͲΤ ͳ ʹΤʹ ͷΤ െ͵ ͳͲΤ ξ͵ ʹΤ͵ ͷΤ Ͷ ͷΤ Ͳ ቏Ǥ 
 
E indique quais representam rotações. Descreva também a 
significação geométrica das outras. 
Resolução: 
(a) Calculando o produto vetorial, teremos: 
 ܝ ൈ ܞ ൌ ሺݑଶݒଷ െ ݑଷݒଶሻܑ ൅ ሺݑଷݒଵ െ ݑଵݒଷሻܒ ൅ ሺݑଵݒଶ െ ݑଶݒଵሻܓ 
(5.1) 
 
Agora, calculando o produz escalar, teremos: 
 ܟ ή ሾܝ ൈ ܞሿ ൌ ൌ ݓଵሺݑଶݒଷ െ ݑଷݒଶሻܑ ή ܑ ൅ ݓଶሺݑଷݒଵ െ ݑଵݒଷሻܒ ή ܒ൅ ݓଷሺݑଵݒଶ െ ݑଶݒଵሻܓ ή ܓ ׵ ܟ ή ሾܝ ൈ ܞሿ ൌ ݓଵݑଶݒଷ െݓଵݑଷݒଶ ൅ݓଶݑଷݒଵ െ ݓଶݑଵݒଷ൅ݓଷݑଵݒଶെ ݓଷݑଶݒଵ 
(5.2) 
 
O resultado em (5.2) representa o determinante 
supracitado. 
 
 
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(b) As matrizes ortogonais possuem algumas propriedades. 
As colunas são mutuamente ortogonais; as linhas também 
são mutuamente ortogonais e as linhas possuem a unidade 
como módulo. Seja uma matriz ortogonal formada pelos 
coeficientes supracitados. Assim teremos: ܝ ൈ ܞ ൌ ܟ 
(5.3) 
Ou, ܝ ൈ ܞ ൌ െܟ 
(5.4) 
Logo, teremos: 
อݓଵ ݓଶ ݓଷݑଵ ݑଶ ݑଷݒଵ ݒଶ ݒଷ อ ൌ ሺܟ ή ሾܝ ൈ ܞሿሻ 
 อݓଵ ݓଶ ݓଷݑଵ ݑଶ ݑଷݒଵ ݒଶ ݒଷ อ ൌ ܟ ή ܟ ൌ ͳ 
(5.5) 
Ou, 
อݓଵ ݓଶ ݓଷݑଵ ݑଶ ݑଷݒଵ ݒଶ ݒଷ อ ൌ ሺܟ ή ሾܝ ൈ ܞሿሻ 
 อݓଵ ݓଶ ݓଷݑଵ ݑଶ ݑଷݒଵ ݒଶ ݒଷ อ ൌ ܟ ή ሺെܟሻ ൌ െͳ 
(5.6) 
(c) As linhas da matriz A são mutuamente ortogonais e 
possuem módulos iguais a unidade. No entanto seu 
determinante é igual a –1. Isso significa que a referida 
matriz não representa uma rotação. As matrizes de rotação 
possuem todas as propriedades das matrizes ortogonais e 
também devem possuir determinantes iguais a +1. Com 
relação ao sistema (x,y,z), a matriz A executa rotação apenas 
do eixo z (rotação de ߨ�ݎܽ݀). 
As linhas da matriz B são mutuamente ortogonais e 
possuem módulos iguais a unidade. O determinante é dado 
por: 
ቮξ͵ ʹΤ ͳ ʹΤ Ͳͳ ʹΤ െξ͵ ʹΤ ͲͲ Ͳ െͳቮ ൌ 
 ൌ ξ͵ʹ ቆെξ͵ʹቇ ሺെͳሻ ൅ Ͳ ൅ Ͳ െ ሺെͳሻ ͳʹ ή ͳʹ െ Ͳ െ Ͳ ൌ ൅ͳ 
(5.7) 
Logo, podemos concluir que B representa uma matriz de 
rotação. 
A matriz C é ortogonal e representa uma rotação. Com 
relação ao sistema (x,y,z), a matriz C executa uma rotação 
dos eixos x e y (rotação de ߨ�ݎܽ݀). 
A matriz D possui determinante dado por: 
 ቮʹξ͵ ͷΤ െ͵ξ͵ ͳͲΤ ͳ ʹΤʹ ͷΤ െ͵ ͳͲΤ ξ͵ ʹΤ͵ ͷΤ Ͷ ͷΤ Ͳ ቮ ൌ െ ͳʹ 
(5.8) 
 
Logo, a matriz D não representa uma rotação. Essa matriz 
representa um paralelepípedo de volume dado por: 
 ܸ ൌ ȁ†‡–ܦȁ ൌ ͳʹ 
(5.9) 
 
 Questão 6
 
A seguinte matriz representa uma rotação de eixos no plano. 
 ܣ ൌ ቂ …‘• ߠ •‡�ߠെ•‡�ߠ …‘•ߠቃ 
 
Mostre que: 
 ܣଶ ൌ ܣܣ ൌ ቂ …‘•ʹߠ •‡�ʹߠെ•‡�ʹߠ …‘•ʹߠቃ 
 
E 
 ܣଷ ൌ ܣܣܣ ൌ ቂ …‘•͵ߠ •‡�͵ߠെ•‡�͵ߠ …‘• ͵ߠቃ 
 
E dê uma interpretação geométrica deste resultado. 
Resolução: 
Para ܣଶ temos duas rotações seguidas, no total de ʹߠ. Assim, 
teremos: 
 ܣଶ ൌ ቂ …‘•ߠ •‡�ߠെ•‡�ߠ …‘•ߠቃ ή ቂ …‘• ߠ •‡�ߠെ•‡�ߠ …‘• ߠቃ� 
 ܣଶ ൌ ൤ሺ…‘•ߠሻଶ െ ሺ•‡�ߠሻଶ ʹ …‘•ߠ�•‡�ߠെʹ …‘•ߠ�•‡�ߠ ሺ…‘•ߠሻଶ െ ሺ•‡�ߠሻଶ൨� 
 ܣଶ ൌ ቂ …‘• ʹߠ •‡�ʹߠെ•‡�ʹߠ …‘• ʹߠቃ 
(6.1) 
 
E para ܣଷ temos três rotações seguidas, no total de ͵ߠ. 
Assim, teremos: 
 ܣଷ ൌ ܣଶܣ ൌ ቂ …‘•ʹߠ •‡�ʹߠെ•‡�ʹߠ …‘• ʹߠቃ ή ቂ …‘• ߠ •‡�ߠെ•‡�ߠ …‘• ߠቃ� 
 ܣଷ ൌ 
 ൌ ൤ …‘• ʹߠ …‘• ߠ െ •‹ʹߠ •‹ ߠ …‘• ʹߠ�•‡�ߠ ൅ …‘•ߠ�•‡�ʹߠെሺ…‘•ʹߠ�•‡�ߠ ൅ …‘• ߠ�•‡�ʹߠሻ …‘• ʹߠ …‘• ߠ െ •‹ʹߠ •‹ ߠ ൨� 
 ܣଷ ൌ ቂ …‘• ͵ߠ •‡�͵ߠെ•‡�͵ߠ …‘• ͵ߠቃ 
(6.2) 
 
 
 
 
 
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 Questão 7
Considere a seguinte matriz: ܤ ൌ ቂ…‘•߮ •‡�߮•‡�߮ െ …‘•߮ቃ 
 
Mostre que B não representa uma rotação de eixos. Dê uma 
interpretação geométrica da matriz B. (Sugestão: Trace os 
eixos de coordenadas antigos e novos, bem como a reta ݕ ൌ ݐ݃�ሺ߮ ʹΤ ሻ). 
Resolução: 
O determinante de B é dado por: ቚ…‘• ߮ •‡�߮•‡�߮ െ …‘•߮ቚ ൌ െሺ…‘•߮ሻଶ െ ሺ•‡�߮ሻଶ ൌ െͳ 
(7.1) 
O resultado em (7.1) mostra que a matriz B não representa 
uma rotação. Para a interpretação, vamos traçar os eixos e a 
referida reta, conforme foi sugerido. Assim, teremos para os 
componentes: ൤ܑԢܒԢ൨ ൌ ቂ…‘•߮ •‡�߮•‡�߮ െ …‘•߮ቃ ή ൤ܑܒ൨ 
(7.2) 
Que resulta em: ܑᇱ ൌ ܑ …‘•߮ ൅ ܒ�•‡�߮ ܒᇱ ൌ ܑ�ݏ݁݊�߮ െ ܒ …‘• ߮ 
(7.3) 
Logo, 
 
Figura 7.1 
Observando a figura 7.1, podemos concluir que a matriz B 
representa uma permuta na posição dos eixos de forma 
simétrica com relação à reta ݕ ൌ ݐ݃�ሺ߮ ʹΤ ሻ. Os eixos ݔ e ݔǯ 
estão dispostos simetricamente, com relação à referida reta, 
segundo um ângulo de medida igual a ߮ ʹΤ . Já os eixos ݕ e ݕǯ, 
dispostos de forma oposta ao primeiro caso, estão 
permutados segundo um ângulo igual a ሺߨ െ ߮ሻ ʹΤ . 
 Questão 8
 
Ache as inversas das seguintes matrizes, resolvendo as 
equações ܤ௞ܣ௞ ൌ ܫ. 
 ܣଵ ൌ ൥ ʹ െͳ Ͳͳ ͳ ͳെ͵ Ͳ Ͷ൩ Ǣ�ܣଶ ൌ ቎
భయ మయ మయͲ െͳ ξʹΤ ͳ ξʹΤʹξʹ ͵Τ െξʹ ͸Τ െξʹ ͸Τ ቏; 
 ܣଷ ൌ ቎െభయ െమయ మయെమయ మయ భయమయ భయ మయ቏ Ǣ��ܣସ ൌ ൥ͳ ͵ ʹͳ െͳ Ͳʹ Ͳ ͳ൩, 
 
Comente os casos ܣଶǡ ܣଷ�‡�ܣସ. 
Resolução: 
Para ܣଵ, teremos: 
 ܤଵܣଵ ൌ ܫ 
(8.1) 
Ou, 
 ൥ܾଵଵ ܾଵଶ ܾଵଷܾଶଵ ܾଶଶ ܾଶଷܾଷଵ ܾଷଶ ܾଷଷ൩ ή ൥ ʹ െͳ Ͳͳ ͳ ͳെ͵ Ͳ Ͷ൩ ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ 
(8.2) 
 
Que resulta em: 
 ൥ʹܾଵଵ ൅ ܾଵଶ െ ͵ܾଵଷ െܾଵଵ ൅ ܾଵଶ ܾଵଶ ൅ Ͷܾଵଷʹܾଶଵ ൅ ܾଶଶ െ ͵ܾଶଷ െܾଶଵ ൅ ܾଶଶ ܾଶଶ ൅ Ͷܾଵଷʹܾଷଵ ൅ ܾଷଶ െ ͵ܾଷଷ െܾଷଵ ൅ ܾଷଶ ܾଷଶ ൅ Ͷܾଷଷ൩ ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ 
(8.3) 
 
Resolvendo (8.3), teremos: 
 
ܤଵ ൌ ۏێێ
ۍ ସଽ ସଽ െଵଽെ ଻ଵହ ଵ଼ହ െ ଶଵହଵହ ଵହ ଵହ ےۑۑ
ې
 
(8.4) 
 
Agora, vamos calcular ܤଶ, sendo que: 
 ܤଶܣଶ ൌ ܫ 
(8.5) 
 
Ou ainda: 
 ൥ܾଵଵ ܾଵଶ ܾଵଷܾଶଵ ܾଶଶ ܾଶଷܾଷଵ ܾଷଶ ܾଷଷ൩ ή ൦
ଵଷ ଶଷ ଶଷͲ െͳ ξʹΤ ͳ ξʹΤʹξʹ ͵Τ െξʹ ͸Τ െξʹ ͸Τ ൪ ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ 
(8.6) 
 
Resolvendo, teremos: 
 
ݔ 
ݕ ݔԢ 
ݕԢ ߮ 
߮ ࢟ ൌ ࢚࢞ࢍ�࣐૛ 
 
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6 
ݔԢ 
ݕԢ 
ݔ 
ݕ 
ߙ ߚ ߚ ܴ ߙ ݔԢ ߚߚݕԢ 
ߚ െ ߙ 
ۏێێێ
ۍ௕భభଷ ାమξమయ ܾଵଷ ଶ௕భభଷ ି್భమξమ ష್భయξమల ଶ௕భభଷ ା್భమξమ ష್భయξమల௕మభଷ ାమξమయ ܾଶଷ ଶ௕మభଷ ି್మమξమ ష್మయξమల ଶ௕మభଷ ା್మమξమ ష್మయξమల௕యభଷ ାమξమయ ܾଷଷ ଶ௕యభଷ ି್యమξమ ష್యయξమల ଶ௕యభଷ ା್యమξమ ష್యయξమల ےۑۑۑ
ې ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ 
(8.7) 
Teremos como resultado: 
ܤଶ ൌ ۏێێ
ۍଵଷ Ͳ ʹξʹ ͵Τଶଷ െͳ ξʹΤ െξʹ ͸Τଶଷ ͳ ξʹΤ െξʹ ͸Τ ےۑۑ
ې
 
(8.8) 
A matriz ܤଶ é a transposta da matriz ܣଶ, ou seja, ܤଶ ൌ ܣଶ். E 
ainda, podemos observar que a matriz ܣଶ é ortogonal e 
possui determinante igual a +1. Logo, ܣଶ representa uma 
rotação. 
Calculando agora ܤଷ: 
 ܤଷܣଷ ൌ ܫ 
(8.9) 
Ou ainda, 
൥ܾଵଵ ܾଵଶ ܾଵଷܾଶଵ ܾଶଶ ܾଶଷܾଷଵ ܾଷଶ ܾଷଷ൩ ή ۏێێ
ۍെଵଷ െଶଷ ଶଷെଶଷ ଶଷ ଵଷଶଷ ଵଷ ଶଷےۑۑ
ې ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ 
(8.10) 
Multiplicando, teremos: 
ۏێێێ
ۍെଵଷή௕భభିమయή್భమశమయή್భయ െଶଷή௕భభାమయή್భమశభయή್భయ ଶଷή௕భభାభయή್భమశమయή್భయെଵଷή௕మభିమయή್మమశమయή್మయ െଶଷή௕మభାమయή್మమశభయή್మయ ଶଷή௕మభାభయή್మమశమయή್మయെଵଷή௕యభିమయή್యమశమయή್యయ െଶଷή௕యభାమయή್యమశభయή್యయ ଶଷή௕యభାభయή್యమశమయή್యయےۑۑۑ
ې ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ 
(8.11) 
Assim, a matriz ܤଷ será dada por: 
ܤଷ ൌ ۏێێێ
ۍିଵହ െସହ ଷହെଶଷ ଶଷ ଵଷଷସ ଵସ ହ଼ےۑۑۑ
ې
 
(8.12) 
A matriz ܣଷ possui determinante igual a –1. Logo, ܣଷ não 
representa uma rotação. 
Por último vamos determinar a matriz ܤସ. ܤସܣସ ൌ ܫ 
(8.13) 
Ou, 
൥ܾଵଵ ܾଵଶ ܾଵଷܾଶଵ ܾଶଶ ܾଶଷܾଷଵ ܾଷଶ ܾଷଷ൩ ή ൥ͳ ͵ ʹͳ െͳ Ͳʹ Ͳ ͳ൩ ൌ ൥ͳ Ͳ ͲͲ ͳ ͲͲ Ͳ ͳ൩ 
(8.14) 
Entretanto, podemos verificar que o determinante de ܣସ é 
nulo. Logo, ܣସ não possui inversa. Sendo assim, podemos 
concluir que a matriz ܣସ é singular. 
 
 Questão 9
 
Sejam ሺݔᇱǡ ݕԢሻ as coordenadas de um ponto em um sistema 
cartesiano oblíquo no plano. Sejam ߙ�‡�ߚ os ângulos que os 
eixos ݔᇱ�‡�ݕԢ fazem com os eixos ݔ�‡�ݕ respectivamente 
(figura 9.1). Mostre que a equação de um círculo com raio R 
e centro na origem é: 
 ݔԢଶ ൅ ݕԢଶ ൅ ʹݔԢݕԢ …‘•ሺߚ െ ߙሻ ൌ ܴଶ. 
 
 
Figura 9.1 
 
Resolução: 
Considerando a figura 9.1, podemos construir a disposição 
dos eixos e do arco de circunferência de raio R, conforme 
mostra a figura 9.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2 
 
 
Agora, utilizando a lei dos cossenos, teremos: 
 ܴଶ ൌ ݔԢଶ ൅ ݕԢଶ ൅ ʹݔԢݕԢ …‘•ሺߚ െ ߙሻ 
(9.1) 
 
 
 
 
 
ݔԢ 
ݕԢ 
ݔ 
ݕ 
ߙ ߚ 
 
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7 
 Questão 10
Mostre que o vetor ܞ ൌ ʹܑ ൅ ܒ െ ͸ܓ não pode ser escrito 
como combinação linear dos vetores ܝ૚ ൌ ܑ ൅ ܒ ൅ ʹܓ, ܝ૛ ൌ ͵ܑ െ ܒ e ܝ૜ ൌ ʹܑ ൅ ܓ. Mostre que o vetor ܟ ൌ െʹܒ െ ͵ܓ 
pode ser escrito dessa maneira e de várias outras maneiras 
distintas. Dê a explicação algébrica destes fatos. Forneça 
também uma explicação geométrica. 
Resolução: 
Vamos escrever o vetor v com uma combinação dos vetores ܝ૚ǡ ܝ૛�‡�ܝ૜: ܞ ൌ ܣܝ૚ ൅ ܤܝ૛ ൅ ܥܝ૜ 
(10.1) 
Em que ܣǡܤ�‡�ܥ são escalares. Utilizando as expressões 
dadas, teremos: ʹܑ ൅ ܒ െ ͸ܓ ൌ ܣሺܑ ൅ ܒ ൅ ʹܓ�ሻ ൅ ܤሺ͵ܑ െ ܒሻ ൅ ܥሺʹܑ ൅ ܓሻ 
(10.2) 
Desenvolvendo a expressão (10.2), teremos: ʹܑ ൅ ܒ െ ͸ܓ ൌ ሺܣ ൅ ͵ܤ ൅ ʹܥሻܑ ൅ ሺܣ െ ܤሻܒ ൅ ሺʹܣ ൅ ܥሻܓ 
(10.3) 
Temos um sistema dado por: 
൝ܣ ൅ ͵ܤ ൅ ʹܥ ൌ ʹܣ െ ܤ ൌ ͳʹܣ ൅ ܥ ൌ െ͸ 
(10.4) 
Dasegunda equação do sistema em (10.4), podemos 
escrever ܣ ൌ ܤ ൅ ͳ e substituindo nas demais, teremos: 
൝ ʹܤ ൅ ܥ ൌ ͳʹʹܤ ൅ ܥ ൌ െͺ 
(10.5) 
O sistema em (10.5) mostra que não existe solução para 
(10.4). Logo, o vetor v não pode ser escrito como uma 
combinação linear dos vetores ܝ૚ǡ ܝ૛�‡�ܝ૜. 
Para o vetor w, teremos, de forma semelhante: െʹܒ െ ͵ܓ ൌ ሺܣ ൅ ͵ܤ ൅ ʹܥሻܑ ൅ ሺܣ െ ܤሻܒ ൅ ሺʹܣ ൅ ܥሻܓ 
(10.6) 
Que conduz ao sistema: 
൝ܣ ൅ ͵ܤ ൅ ʹܥ ൌ Ͳܣ െ ܤ ൌ െʹʹܣ ൅ ܥ ൌ െ͵ 
(10.7) 
Da segunda equação do sistema em (10.7), podemos 
escrever ܣ ൌ ܤ െ ʹ e substituindo nas demais, teremos: ቄʹܤ ൅ ܥ ൌ ͳʹܤ ൅ ܥ ൌ ͳ 
(10.8) 
O sistema em (10.8) mostra uma infinidade de soluções. Por 
exemplo, seja ܤ ൌ ͳ. Isso conduz a ܣ ൌ െͳ�‡�ܥ ൌ െͳ. Então: 
 ܟ ൌ െͳܝ૚ ൅ ܝ૛ െ ͳܝ૜ ׵ ܟ ൌ െʹܑ െ ͵ܓ 
(10.9) 
 
Os vetores ܝ૚ǡ ܝ૛�‡�ܝ૜ são coplanares, basta observar o 
determinante da matriz formada pelos coeficientes dos 
mesmos: 
 อͳ ͳ ʹ͵ െͳ Ͳʹ Ͳ ͳอ ൌ Ͳ 
(10.10) 
 
Para o caso do vetor v, podemos concluir que o mesmo não 
pode ser escrito como combinação linear dos vetores ܝ૚ǡ ܝ૛�‡�ܝ૜, porque ele não pertence ao plano formado pelos 
referidos vetores. Isso pode ser verificado se calcularmos o 
determinante da matriz formada pelos coeficientes dos 
vetores, por exemplo, ܝ૚ǡ ܝ૛�‡�ܞ: 
 อͳ ͳ ʹ͵ െͳ Ͳʹ ͳ െ͸อ ൌ ͵Ͷ ് Ͳ 
(10.11) 
 
O resultado em (10.11) não é nulo, isso comprova a 
conclusão supracitada. 
 
Agora, o vetor w pertence ao plano formado pelos vetores ܝ૚ǡ ܝ૛�‡�ܝ૜, pois o determinante da matriz formada pelos 
coeficientes dos vetores, por exemplo, ܝ૚ǡ ܝ૛�‡�ܟ será nulo, 
conforme o cálculo seguinte: 
 อͳ ͳ ʹ͵ െͳ ͲͲ െʹ െ͵อ ൌ Ͳ 
(10.12) 
 
 Questão 11
 
Calcule as integrais abaixo ao longo do círculo ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ͳ; 
use o teorema de Green se for conveniente: 
 
(a) ׯܝ ή ݀ܛ, ܝ ൌ ሺʹݕଶ െ ͵ݔଶݕሻܑ ൅ ሺͶݔݕ െ ݔଷሻܒ; 
(b) ׯሺʹݔଶ െ ݕଷሻ݀ݔ ൅ ሺݔଷ ൅ ݕଷሻ݀ݕ; 
(c) ׯܞ ή ݀ܖ ǡ ܞ ൌ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻܑ െ ʹݔݕܒǡ ݀ܖ ൌ ݀ݕܑ െ ݀ݔܒ 
 
Resolução: 
(a) Vamos utilizar um parâmetro ݐ e escrever: 
 ݔ ൌ …‘• ݐ ֜ ݀ݔ ൌ െ•‡�ݐ�݀ݐ, 
(11.1) 
 ݕ ൌ •‡�ݐ ֜ ݀ݕ ൌ …‘• ݐ�݀ݐ 
(11.2) 
 
Assim, teremos ݀ܛ ൌ ݀ݔܑ ൅ ݀ݕܒ ൌ ሾሺെ•‡�ݐሻܑ ൅ ሺ…‘• ݐሻܒሿ݀ݐ; Ͳ ൑ ݐ ൑ ʹߨ. A integral é dada por: 
 
 
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8 
රܝ ή ݀ܛ ൌ රݑ௫݀ݔ ൅ ݑ௬݀ݕ 
(11.3) 
Utilizando as relações de (11.1) e (11.2) em (11.3), teremos: රܝ ή ݀ܛ ൌ ൌ න ሾሺʹ •‡ଶ ݐ െ ͵ …‘•ଶ ݐ •‡�ݐሻሺെ•‡�ݐ�ሻଶగ଴ ൅ ሺͶ …‘• ݐ •‡�ݐ െ …‘•ଷ ݐሻ …‘• ݐሿ݀ݐ 
(11.4) 
Ou ainda: න ሾെʹ •‡ଷ ݐ ൅ ͵ …‘•ଶ ݐ •‡ଶ ݐ ൅ Ͷ …‘•ଶ ݐ •‡�ݐ െ …‘•ସ ݐሿ݀ݐଶగ଴ 
(11.5) 
Com o auxílio de uma tabela de integrais, por exemplo, M. R. 
Spiegel, Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, Coleção 
Schaum, Ed. McGraw-Hill, São Paulo, 1973, teremos: රܝ ή ݀ܛ ൌ ൌ ቈെ…‘• ݐ ൅ …‘•ଷ ݐ͵ ቉଴ଶగ ൅ ͵ ൤ͺݐ െ •‡�Ͷݐ͵ʹ ൨଴ଶగ െ Ͷ ቈ…‘•ଷ ݐ͵ ቉଴ଶగെ ൤͵ͺݐ ൅ •‡�ʹݐͶ ൅ •‡�Ͷݐ͵ʹ ൨଴ଶగ ׵ රܝ ή ݀ܛ ൌ Ͳ 
(11.6) 
Agora, utilizaremos o teorema de Green para resolver essa 
mesma integral. O teorema de Green é dado por: 
රܝ ή ݀ܛ ൌ රݑ௫݀ݔ ൅ ݑ௬݀ݕ ൌඵ ቆ߲ݑ௬߲ݔ െ ߲ݑ௫߲ݕ ቇ݀ݔ݀ݕ௦ 
(11.7) 
Calculando as derivadas parciais, teremos: ߲ݑ௬߲ݔ ൌ ߲߲ݔ ሺͶݔݕ െ ݔଷሻ ൌ Ͷݕ െ ͵ݔଶ 
(11.8) 
E ߲ݑ௫߲ݕ ൌ ߲߲ݕ ሺʹݕଶ െ ͵ݔଶݕሻ ൌ Ͷݕ െ ͵ݔଶ 
(11.9) 
Agora, substituindo os resultados de (11.8) e (11.9) em 
(11.7), teremos: 
රܝ ή ݀ܛ ൌ ඵ ሺͶݕ െ ͵ݔଶ െ Ͷݕ ൅ ͵ݔଶሻ݀ݔ݀ݕ௦ ൌ Ͳ 
(11.10) 
Conforme foi encontrado pela integração direta. Podemos 
observar que a utilização do teorema de Green, para esse 
caso, se mostra mais conveniente. 
 
(b) Para a segunda integral, utilizando (11.1) e (11.2) temos: 
 රሺʹݔଶ െ ݕଷሻ݀ݔ ൅ ሺݔଷ ൅ ݕଷሻ݀ݕ ൌ ൌ න ሾʹ …‘•ଶ ݐ •‡�ݐ െ ͵ •‡ସ ݐ ൅ …‘•ସ ݐ ൅ •‡ଷ ݐ …‘• ݐሿଶగ଴ ݀ݐ 
(11.11) 
 
Resolvendo a integração em (11.11), com o auxílio de uma 
tabela de integrais, teremos: 
 රሺʹݔଶ െ ݕଷሻ݀ݔ ൅ ሺݔଷ ൅ ݕଷሻ݀ݕ ൌ ͵ߨ 
(11.12) 
 
Agora, utilizando o teorema de Green, teremos: 
 ߲ݑ௬߲ݔ ൌ ߲߲ݔ ሺݔଷ ൅ ݕଷሻ ൌ ͵ݔଶ 
(11.13) 
 
E 
 ߲ݑ௫߲ݕ ൌ ߲߲ݕ ሺʹݔଶ െ ͵ݕଷሻ ൌ െͻݕଶ 
(11.14) 
 
Substituindo os resultados de (11.13) e (11.14) em (11.7), 
teremos: 
 රሺʹݔଶ െ ݕଷሻ݀ݔ ൅ ሺݔଷ ൅ ݕଷሻ݀ݕ ൌ ൌ න ݀ݔଵିଵ න ݀ݕሺ͵ݔଶ ൅ ͻݕଶሻඥଵି௫మିඥଵି௫మ 
(11.15) 
 
Para a solução da integração de (11.15), temos: 
 න ݀ݔଵିଵ න ݀ݕሺ͵ݔଶ ൅ ͻݕଶሻඥଵି௫మିඥଵି௫మ ൌ න ݀ݔଵିଵ ሾ͵ݔଶݕ ൅ ͵ݕଷሿିඥଵି௫మඥଵି௫మ ൌ ͸න ቀݔଶඥͳെ ݔଶ ൅ ሺͳ െ ݔଶሻయమቁ݀ݔଵିଵ ൌ ൌ ͸ ቈݔξͳ െ ݔଶͺ ൅ ƒ”…•‡�ݔͺ ൅ ͵ݔξͳ െ ݔଶͺ ൅ ͵ƒ”…•‡�ݔͺ ቉ିଵଵ ൌ ͵ߨ 
(11.16) 
 
Que é o resultado encontrado pela integração direta. 
 
(c) Novamente, faremos uso das relações (11.1) e (11.2). 
Assim, teremos: 
 රܞ ή ݀ܖ ൌ රሺݔଶ ൅ ݕଶሻ݀ݕ ൅ ʹݔݕ݀ݔ 
 
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9 
Ͳ�
ݕ 
ݔ 
݀ܖ ݀ܛ ݀ݔ 
݀ݕ 
ݐ 
ݐ 
ݔԢ 
ݕԢ ݐ 
ൌ න ሺ…‘• ݐ� െ ʹ •‡ଶ ݐ …‘• ݐሻଶగ଴ ݀ݐ ൌ Ͳ 
(11.17) 
Agora, utilizando o teorema de Green, teremos: ߲ݑ௫߲ݔ ൌ ʹݔ 
(11.18) 
E ߲ݑ௬߲ݕ ൌ െʹݔ 
(11.19) 
Nesse caso, temos: 
රݒ௫݀ݕ െ ݒ௬݀ݔ ൌඵ ቆ߲ݑ௫߲ݔ ൅ ߲ݑ௬߲ݕ ቇ݀ݔ݀ݕ௦ 
(11.20) 
Logo, teremos: 
රݒ௫݀ݕ െ ݒ௬݀ݔ ൌ ඵ ቆ߲ݑ௫߲ݔ ൅ ߲ݑ௬߲ݕ ቇ݀ݔ݀ݕ௦ ൌ Ͳ 
(11.21) 
 Questão 12
Seja ܨሺݔǡ ݕሻ ൌ ݔଶ െ ݕଶ. Calcule: 
(a) ׬ ሺ݃ݎܽ݀�ܨ ή ݀ܛሻሺଶǡ଼ሻሺ଴ǡ଴ሻ sobre a curva ݕ ൌ ݔଷ, 
(b) ׯ డிడ௡݀ݏ sobre o círculo ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ͳ. 
Aqui, 
డிడ௡ é a derivada direcional de ܨ na direção da normal 
exterior e ݀ݏ ൌ ȁ݀ܛȁ. 
Resolução: 
(a) O gradiente de um escalar ܨ é dado por: ݃ݎܽ݀�ܨ ൌ ߲ܨ߲ݔ ܑ ൅ ߲ܨ߲ݕ ܒ ൅ ߲ܨ߲ݖ ܓ 
(12.1) 
Assim, teremos para o gradiente de ܨ: ݃ݎܽ݀�ܨ ൌ ʹሺݔܑ െ ݕܒሻ 
(12.2) 
Agora, teremos para a integral: 
න ሺ݃ݎܽ݀�ܨ ή ݀ܛሻሺଶǡ଼ሻሺ଴ǡ଴ሻ ൌ න ʹݔ�݀ݔ െ ʹݕ�݀ݕሺଶǡ଼ሻሺ଴ǡ଴ሻ 
(12.3) 
Em que ݀ܛ ൌ ݀ݔܑ ൅ ݀ݕܒ. Podemos usar a própria variável ݔ 
como parâmetro. No entanto, podemos efetuar o cálculo 
diretamente: 
 න ʹݔ�݀ݔ െ ʹݕ�݀ݕሺଶǡ଼ሻሺ଴ǡ଴ሻ ൌ න ʹݔ�݀ݔଶ଴ െන ʹݕ�݀ݕ଼଴ ൌ Ͷ െ ͸Ͷ ׵ න ʹݔ�݀ݔ െ ʹݕ�݀ݕሺଶǡ଼ሻሺ଴ǡ଴ሻ ൌ െ͸Ͳ 
(12.4) 
 
Agora, utilizando a variável ݔ como parâmetro, teremos: 
 ݀ݕ ൌ ͵ݔଶ�݀ݔ 
(12.5) 
 
Utilizando (12.5) em (12.3), teremos: 
 න ʹݔ�݀ݔ െ ʹݕ�݀ݕሺଶǡ଼ሻሺ଴ǡ଴ሻ ൌ ʹන ሺݔ െ ͵ݔହሻ݀ݔଶ଴ ൌ ʹ ቈݔ ଶʹ െ ݔ ଺ʹ቉଴ଶ ൌ െ͸Ͳ 
(12.6) 
 
(b) Para a derivada direcional, temos: 
 ݀ܨ݀݊ ൌ ݃ݎܽ݀�ܨ ή ܖ ൌ ߲ܨ߲ݔ ݀ݔ݀݊ ൅ ߲ܨ߲ݕ ݀ݕ݀݊ 
(12.7) 
 
A figura 12.1 mostra a situação deste caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.1 
 
Podemos observar da figura 12.1 que: 
 ݀ݔ݀݊ ൌ …‘• ݐ 
(12.8) 
 
E 
 ݀ݕ݀݊ ൌ •‡ ݐ 
(12.9) 
 
 
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10 
Logo, a situação fica facilitada se utilizarmos o parâmetro ݐǡ ሺͲ ൑ ݐ ൑ ʹߨሻ. Assim, teremos: ݔ ൌ …‘• ݐ�‡�ݕ ൌ •‡ ݐ 
(12.10) 
E consequentemente: ݀ݔ ൌ െ•‡ ݐ ݀ݐ�‡�݀ݕ ൌ …‘• ݐ �݀ݐ 
(12.11) 
E como ݀ܛ ൌ ݀ݔܑ ൅ ݀ݕܒ, teremos: ݀ܛ ൌ ሺെ•‡ ݐ ܑ ൅ …‘• ݐ ܒሻ݀ݐ 
(12.12) 
Logo ȁ݀ܛȁ ൌ ݀ݐ. Utilizando as relações (12.8) – (12.11) em 
(12.7), teremos: ݀ܨ݀݊ ൌ ʹሺ…‘•ଶ ݐ െ •‹ଶ ݐሻ 
(12.13) 
Calculando a integral, teremos: ර߲ܨ߲݊ ݀ݏ ൌ ʹන ሺ…‘•ଶ ݐ െ •‹ଶ ݐሻ݀ݐଶగ଴ ൌ Ͳ 
(12.14) 
 Questão 13
Mostre que o campo vetorial ܝ ൌ ݕݖܑ ൅ ݖݔܒ ൅ ݔݕܓ é ao 
mesmo tempo irrotacional e solenoidal. Ache ߮ tal que ݃ݎܽ݀�߮ ൌ ܝ. Poderia haver um campo vetorial ۯ tal que ݎ݋ݐ�ۯ ൌ ܝ? 
Resolução: 
O rotacional de um campo vetorial ܝ é dado por: ݎ݋ݐ�ܝ ൌ ቆ߲ݑ௭߲ݕ െ ߲ݑ௬߲ݖ ቇ ܑ ൅ ൬߲ݑ௫߲ݖ െ ߲ݑ௭߲ݔ ൰ ܒ ൅ ቆ߲ݑ௬߲ݔ െ ߲ݑ௫߲ݕ ቇܓ 
(13.1) 
Calculando as derivadas parciais, teremos: ߲ݑ௫߲ݖ ൌ ݕǢ�߲ݑ௫߲ݕ ൌ ݖǢ �߲ݑ௬߲ݔ ൌ ݖǢ�߲ݑ௬߲ݖ ൌ ݔǢ�߲ݑ௭߲ݕ ൌ ݔ�‡� ߲ݑ௭߲ݔ ൌ ݕ 
(13.2) 
Utilizando (13.2) na expressão (13.1), teremos: ݎ݋ݐ�ܝ ൌ ሺݔ െ ݔሻܑ ൅ ሺݕ െ ݕሻܒ ൅ ሺݖ െ ݖሻܓ ൌ Ͳ 
(13.3) 
A expressão do divergente de um campo vetorial é dada por: ݀݅ݒ�ܝ ൌ ߲ݑ௫߲ݔ ൅ ߲ݑ௬߲ݕ ൅ ߲ݑ௭߲ݖ 
(13.4) 
As derivadas parciais são todas nulas, logo: 
݀݅ݒ�ܝ ൌ Ͳ 
(13.5) 
 
Podemos concluir dos resultados (13.3) e (13.5) que u é um 
campo vetorial irrotacional e solenoidal. Agora, vamos 
utilizar a expressão do gradiente de um campo escalar: 
 ݃ݎܽ݀�߮ ൌ ߲߲߮ݔ ܑ ൅ ߲߲߮ݕ ܒ ൅ ߲߲߮ݖ ܓ 
(13.6) 
 
Comparando com a expressão de u, temos: 
 ݃ݎܽ݀�߮ ൌ ܝ� ߲߲߮ݔ ܑ ൅ ߲߲߮ݕ ܒ ൅ ߲߲߮ݖ ܓ ൌ ݕݖܑ ൅ ݖݔܒ ൅ ݔݕܓ 
(13.7) 
 
Então: 
 ߲߲߮ݔ ൌ ݕݖ ֜ ߮ ൌ ݔݕݖ ൅ ܭ 
(13.8) 
 
Em que ܭ é uma constante a ser determinada. E o mesmo se 
aplica às demais componentes: 
 ߲߲߮ݕ ൌ ݖݔ ֜ ߮ ൌ ݔݕݖ ൅ ܭ 
(13.9) 
 ߲߲߮ݖ ൌ ݔݕ ֜ ߮ ൌ ݔݕݖ ൅ ܭ 
(13.10) 
 
Logo, ߮ ൌ ݔݕݖ ൅ ܭ. A identidade ݀݅ݒ�ݎ݋ݐ�ۯൌ Ͳ continua 
válida ainda que ݎ݋ݐ�ۯ ൌ ܝ. Pois ݀݅ݒ�ܝ ൌ Ͳ. 
 
 Questão 14
 
Demonstre as seguintes identidades para campos escalares ݂ǡ ߮ e campos vetoriais ܝǡ ܞ do espaço: 
 
(a) ݃ ݎܽ݀�ሺ݂߮ሻ ൌ ݂݃ݎܽ݀�߮ ൅ ߮�݃ݎܽ݀�݂; 
(b) ݎ݋ݐ�ሺ݂ܝሻ ൌ ݂�ݎ݋ݐ�ܝ ൅ ሾ݃ݎܽ݀�݂ ൈ ܝሿ; 
(c) ݀ ݅ݒ�ሾܝ ൈ ܞሿ ൌ ሺܞ ή ݎ݋ݐ�ܝሻ െ ሺܝ ή ݎ݋ݐ�ܞሻ. 
 
Resolução: 
(a) O gradiente é dado por: 
 
 ݃ݎܽ݀�ሺ݂߮ሻ ൌ ߲ሺ݂߮ሻ߲ݔ ܑ ൅ ߲ሺ݂߮ሻ߲ݕ ܒ ൅ ߲ሺ݂߮ሻ߲ݖ ܓ 
(14.1) 
 
Efetuando as derivadas parciais, teremos: 
 ߲ሺ݂߮ሻ߲ݔ ൌ ߲݂߲ݔ ή ߮ ൅ ݂ ή ߲߲߮ݔ 
(14.2) 
 
 
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11 
߲ሺ݂߮ሻ߲ݕ ൌ ߲݂߲ݕ ή ߮ ൅ ݂ ή ߲߲߮ݕ 
(14.3) ߲ሺ݂߮ሻ߲ݖ ൌ ߲݂߲ݖ ή ߮ ൅ ݂ ή ߲߲߮ݖ 
(14.4) 
Utilizando as relações (14.2) – (14.4) em (14.1), teremos: ݃ݎܽ݀�ሺ݂߮ሻ ൌ ൬߲݂߲ݔ ή ߮ ൅ ݂ ή ߲߲߮ݔ൰ ܑ ൅ ൬߲݂߲ݕ ή ߮ ൅ ݂ ή ߲߲߮ݕ൰ ܒ൅ ൬߲݂߲ݖ ή ߮ ൅ ݂ ή ߲߲߮ݖ൰ ܓ 
 ݃ݎܽ݀�ሺ݂߮ሻ ൌ ൬߲݂߲ݔ ܑ ൅ ߲݂߲ݕ ܒ ൅ ߲݂߲ݖ ܓ൰߮ ൅݂ ൬߲߲߮ݔ ܑ ൅ ߲߲߮ݕ ܒ ൅ ߲߲߮ݖ ܓ൰ 
 ׵ ݃ݎܽ݀�ሺ݂߮ሻ ൌ ߮�݃ݎܽ݀�݂ ൅ ݂�݃ݎܽ݀�߮ 
(14.5) 
(b) Para o rotacional temos: ݎ݋ݐ�ሺ݂ܝሻ ൌ ቆ߲݂ݑ௭߲ݕ െ ߲݂ݑ௬߲ݖ ቇ ܑ ൅൬߲݂ݑ௫߲ݖ െ ߲݂ݑ௭߲ݔ ൰ ܒ ൅ቆ߲݂ݑ௬߲ݔ െ ߲݂ݑ௫߲ݕ ቇܓ 
 ݎ݋ݐ�ሺ݂ܝሻ ൌ ቆݑ௭ ߲݂߲ݕ ൅ ݂ ߲ݑ௭߲ݕ െ ݑ௬ ߲݂߲ݖ െ ݂ ߲ݑ௬߲ݖ ቇ ܑ൅ ൬ݑ௫ ߲݂߲ݖ ൅ ݂ ߲ݑ௫߲ݖ െ ݑ௭ ߲݂߲ݔ െ ݂ ߲ݑ௭߲ݔ ൰ ܒ൅ ቆݑ௬ ߲݂߲ݔ ൅ ݂ ߲ݑ௬߲ݔ െ ݑ௫ ߲݂߲ݕ െ ݂ ߲ݑ௫߲ݕ ቇܓ 
 ݎ݋ݐ�ሺ݂ܝሻ ൌ ൬࢛ࢠ ࣔࢌࣔ࢟ െ ࢛࢟ ࣔࢌࣔࢠ൰ ܑ ൅ ൬࢛࢞ ࣔࢌࣔࢠ െ ࢛ࢠ ࣔࢌࣔ࢞൰ ܒ൅ ൬࢛࢟ ࣔࢌࣔ࢞ െ ࢛࢞ ࣔࢌࣔ࢟൰ܓ൅ ݂ ቈቆ߲ݑ௭߲ݕ െ ߲ݑ௬߲ݖ ቇ ܑ ൅ ൬߲ݑ௫߲ݖ െ ߲ݑ௭߲ݔ ൰ ܒ൅ ቆ߲ݑ௬߲ݔ െ ߲ݑ௫߲ݕ ቇܓ቉ 
(14.6) 
A primeira parte (vermelho) representa o produto vetorial 
entre o gradiente de ݂�e o vetor ܝ. A segunda parte entre 
colchetes representa o rotacional de ܝ. Assim, teremos: ݎ݋ݐ�ሺ݂ܝሻ ൌ ሾ݃ݎܽ݀�݂ ൈ ܝሿ ൅ ݂ ή ݎ݋ݐ�ܝ 
(14.7) 
(c) Para o divergente temos: 
 
݀݅ݒ�ܝ ൌ ߲ݑ௫߲ݔ ൅ ߲ݑ௬߲ݕ ൅ ߲ݑ௭߲ݖ 
(14.8) 
 
O produto vetorial é dado por: 
 ܝ ൈ ܞ ൌ อ ܑ ܒ ܓݑ௫ ݑ௬ ݑ௭ݒ௫ ݒ௬ ݒ௭ อ ൌ ൫ݑ௬ݒ௭ െ ݒ௬ݑ௭൯ܑ ൅ ሺݑ௭ݒ௫ െ ݑ௫ݒ௭ሻܒ ൅ ൫ݒ௬ݑ௫ െ ݑ௬ݒ௫൯ܓ 
(14.9) 
 
Substituindo a expressão de (14.9) em (14.8), teremos: 
 ݀݅ݒ�ሺܝ ൈ ܞሻ ൌ ߲߲ݔ ൫ݑ௬ݒ௭ െ ݒ௬ݑ௭൯ ൅ ߲߲ݕ ሺݑ௭ݒ௫ െ ݑ௫ݒ௭ሻ൅ ߲߲ݖ ൫ݒ௬ݑ௫ െ ݑ௬ݒ௫൯ 
 ݀݅ݒ�ሺܝ ൈ ܞሻ ൌ ࢜࢞ ቆ࢛ࣔࢠࣔ࢟ െ ࢛ࣔ࢟ࣔࢠ ቇ ൅ ࢜࢟ ൬࢛ࣔ࢞ࣔࢠ െ ࢛ࣔࢠࣔ࢞ ൰൅ ࢜ࢠ ቆ࢛ࣔ࢟ࣔ࢞ െ ࢛ࣔ࢞ࣔ࢟ ቇ െ ݑ௫ ቆ߲ݒ௭߲ݕ െ ߲ݒ௬߲ݖ ቇെ ݑ௬ ൬߲ݒ௫߲ݖ െ ߲ݒ௭߲ݔ ൰ െ ݑ௭ ቆ߲ݒ௬߲ݔ െ ߲ݒ௫߲ݕ ቇ 
(14.10) 
 
A primeira parte (vermelho) representa o produto escalar 
entre os vetores ܞ e ݎ݋ݐ�ܝ. E a segunda parte representa o 
produto escalar entre os vetores ܝ e ݎ݋ݐ�ܞ. Logo: 
 ݀݅ݒ�ሺܝ ൈ ܞሻ ൌ ሺܞ ή ݎ݋ݐ�ܝሻ െ ሺܝ ή ݎ݋ݐ�ܞሻ 
(14.11) 
 
 Questão 15
 
Usando os teoremas da divergência e de Stokes, caso 
conveniente, calcule as seguintes integrais. 
 
(a) װ ሺܝ ή ݀܁ሻ௦ , em que ܝ ൌ ݔଷܑ ൅ ݕଷܒ ൅ ݖଷܓ e S é a esfera de 
raio R com centro na origem; 
(b) װ ሺܞ ή ݀܁ሻ௦ , em que ܞ ൌ ݔହܑ ൅ ݕହܒ ൅ ݖହܓ e S é a esfera de 
(a); 
(c) װ ሺݔ�݀ݕ݀ݖ ൅ ݕ�݀ݖ݀ݔ ൅ ݖ�݀ݔ݀ݕሻ௦ , onde S é a esfera de (a); 
(d) ׯ ሺܝ ή ݀ܛሻ୻ , em que ܝ ൌ െ͵ݕܑ ൅ ͵ݔܒ ൅ ܓ e Ȟ é o círculo ݔଶ ൅ ݕଶ ൌ ͳ, situado no plano ݖ ൌ ʹ. 
Resolução: 
(a) Em coordenadas esféricas temos: 
 ݔ ൌ ܴ •‡ ߠ …‘•߮Ǣ ݕ ൌ ܴ •‡ ߠ •‡ ߮�݁�ݖ ൌ ܴ …‘• ߠ 
(15.1) 
 
Assim, teremos, para o elemento de área: 
 ݀܁ ൌ ܴଶ •‹ ߠ݀ߠ݀߮ܚ 
(15.2) 
 
Em que r é o vetor unitário na direção radial, dado por: 
 
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12 
ܚ ൌ ͳܴ ሺݔܑ ൅ ݕܒ ൅ ݖܓሻ 
(15.3) 
Utilizando as expressões de (15.1) – (15.3), teremos: ܝ ή ݀܁ ൌ ܴ •‡ ߠ݀ߠ݀߮ሺݔସ ൅ ݕସ ൅ ݖସሻ ൌ ܴହሺ•‡ହ ߠ …‘•ସ߮ ൅ •‡ହ ߠ •‡ସ ߮ ൅ •‡ ߠ …‘•ସ ߠሻ 
(15.4) 
Agora, resolvendo a integração, temos: 
඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ ൌ ܴହන ݀ߠగ଴ න ݀߮ଶగ଴ ሺ•‡ହ ߠ …‘•ସ ߮൅ •‡ହ ߠ •‡ସ ߮ ൅ •‡ ߠ …‘•ସ ߠሻ 
 ඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ ൌ ܴହන ݀ߠ ൬͵ʹߨ •‡ହ ߠ ൅ ʹߨ •‡ ߠ …‘•ସ ߠ൰గ଴ 
 ඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ ൌ ͳʹߨܴହͷ 
(15.5) 
Agora, utilizando o teorema da divergência, teremos: 
඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ ൌ ම ݀݅ݒ�ܝ�ܸ݀௏ 
(15.6) 
Calculando o divergente de u, teremos: ݀݅ݒ�ܝ ൌ ߲ݑ௫߲ݔ ൅ ߲ݑ௬߲ݕ ൅ ߲ݑ௭߲ݖ ൌ ͵ሺݔଶ ൅ ݕଶ ൅ ݔଶሻ ൌ ͵ݎଶ 
(15.7) 
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por: ܸ݀ ൌ ݎଶ •‡ ߠ�݀ݎ�݀ߠ�݀߮ 
(15.8) 
Utilizando as expressões de (15.7) e (15.8) em (15.6), 
teremos: 
඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ ൌ ͵න ݎସ݀ݎන •‡ ߠ��݀ߠగ଴ோ଴ න ݀߮ଶగ଴ ൌ ͳʹߨܴହͷ 
(15.9) 
(b) De forma semelhante ao que foi feito anteriormente, 
teremos: 
඾ ሺܞ ή ݀܁ሻௌ ൌ ܴ଻න ݀ߠగ଴ න ݀߮ଶగ଴ ሺ•‡଻ ߠ …‘•଺߮൅ •‡଻ ߠ •‡଺ ߮ ൅ •‡ ߠ …‘•଺ ߠሻ 
 ඾ ሺܞ ή ݀܁ሻௌ ൌ ܴ଻න ݀ߠ ൬͵ʹߨ •‡଻ ߠ ൅ ʹߨ •‡ ߠ …‘•଺ ߠ൰గ଴ 
 
඾ ሺܞ ή ݀܁ሻௌ ൌ ͳʹߨܴ଻͹ 
(15.10) 
 
Pelo teorema do divergente, teremos: 
 ඾ ሺܞ ή ݀܁ሻௌ ൌ ͷන ݎ଺݀ݎන ݀ߠగ଴ோ଴ න ൬͸ͺ •‡ହ ߠଶగ଴൅ ʹͺ •‡ହ ߠ …‘•Ͷ߮ ൅ …‘•ସ ߠ •‡ ߠ൰ ݀߮ 
 ඾ ሺܞ ή ݀܁ሻௌ ൌ ͷܴ଻͹ න ݀ߠ ൤ͳʹߨͺ •‡ହ ߠ ൅ ʹߨ …‘•ସ ߠ •‡ ߠ൨గ଴ 
 ׵ ඾ ሺܞ ή ݀܁ሻௌ ൌ ͳʹߨܴ଻͹ 
(15.11) 
 
Em que o divergente de v, em coordenadas esféricas, é dado 
por: 
 ݀݅ݒ�ܞ ൌ ͷݎସ ൤ʹͺ •‡ସ ߠሺ͵ ൅ …‘•ସ߮ሻ ൅ …‘•ସ ߠ൨ 
(15.12) 
 
(c) O campo vetorial u é dado por: 
 ඾ ሺݔ�݀ݕ݀ݖ ൅ ݕ�݀ݖ݀ݔ ൅ ݖ�݀ݔ݀ݕሻௌ ൌ ඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ 
 ׵ ܝ ൌ ݔܑ ൅ ݕܒ ൅ ݖܓ 
(15.13) 
 
Em que ݀܁ ൌ ܑ݀ݕ݀ݖ ൅ ܒ݀ݖ݀ݔ ൅ ܓ݀ݔ݀ݕ. O divergente de u é 
dado por: 
 ݀݅ݒ�ܝ ൌ ͵ 
(15.14) 
 
Utilizando o teorema da divergência, teremos: 
 ඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ ൌ ම ݀݅ݒ�ܝ�ܸ݀௏ 
 ඾ ሺܝ ή ݀܁ሻௌ ൌ ͵ම ܸ݀௏ ൌ ͵ ή Ͷߨܴଷ͵ ൌ Ͷߨܴଷ 
(15.15) 
 
(d) O teorema de Stokes é dado por: 
 ර ܝ ή ݀ܛ୻ ൌඵ ሺݎ݋ݐ�ܝሻௌ ή ݀܁ 
(15.16) 
 
Calculando o rotacional de u, temos: 
 
 
 
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13 
ݎ݋ݐ�ܝ ൌ ቆ߲ݑ௭߲ݕ െ ߲ݑ௬߲ݖ ቇ ܑ ൅ ൬߲ݑ௫߲ݖ െ ߲ݑ௭߲ݔ ൰ ܒ ൅ ቆ߲ݑ௬߲ݔ െ ߲ݑ௫߲ݕ ቇܓ ׵ ݎ݋ݐ�ܝ ൌ ͸ܓ 
(15.17) 
Logo, teremos: 
ර ܝ ή ݀ܛ୻ ൌ ඵ ͸ܓௌ ή ݀܁ ൌ ͸ߨ 
(15.18) 
Em que ݀܁ ൌ ݎ݀ߠ݀ݎܓ. Agora, calculando a integração, sem a 
utilização do teorema de Stokes, teremos, em coordenadas 
polares: 
ර ܝ ή ݀ܛ୻ ൌ ͵රെݕ݀ݔ ൅ ݔ݀ݕ ර ܝ ή ݀ܛ୻ ൌ ͵න ሺ•‡ଶ ߠ ൅ …‘•ଶ ߠሻ݀ߠଶగ଴ ൌ ͵න ݀ߠଶగ଴ ׵ ර ܝ ή ݀ܛ୻ ൌ ͸ߨ 
(15.19) 
Em que ݔ ൌ …‘•ߠ �‡�ݕ ൌ •‡ ߠ. 
 Questão 16
Um disco plano gira em torno do eixo normal a seu plano e 
que passa por seu centro. Mostre que o vetor velocidade v 
de um ponto qualquer do disco satisfaz a equação: ݎ݋ݐ�ܞ ൌ ʹ૑ 
 
Onde ૑ é o vetor velocidade angular. 
Resolução: 
A figura 16.1 ilustra a situação: 
 
Figura 16.1 
Os componentes do vetor velocidade nas direções dos eixos 
x e y são dados por: ݒ௫ ൌ െݒ •‡ ߠǢ�ݒ௬ ൌ ݒ …‘•ߠ 
(16.1) 
Calculando o rotacional de v, teremos: 
ݎ݋ݐ�ܞ ൌ ቆ߲ݒ௭߲ݕ െ ߲ݒ௬߲ݖ ቇ ܑ ൅ ൬߲ݒ௫߲ݖ െ ߲ݑ௭߲ݔ ൰ ܒ ൅ ቆ߲ݒ௬߲ݔ െ ߲ݒ௫߲ݕ ቇܓ 
(16.2) 
 
Observando a figura 16.1, teremos para as componentes da 
velocidade, as seguintes expressões: 
 ݒ௫ ൌ െݒ ή ܴݕ �‡�ݒ௬ ൌ ݒ ή ܴݔ 
(16.3) 
 
Utilizando as expressões de (16.3) em (16.2), teremos: 
 ݎ݋ݐ�ܞ ൌ ʹܴݒ ή ܓ 
(16.4) 
 
Lembrando que ߱ ൌ ೡೃ, teremos: 
 ݎ݋ݐ�ܞ ൌ ʹɘܓ 
(16.5) 
 
Ou � ݎ݋ݐ�ܞ ൌ ʹ૑ 
(16.6) 
 
 Questão 17
 
Considere um meio condutor com densidade variável de 
carga ߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻ e densidade variável de corrente ۸ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ. 
Seja V um volume arbitrário dentro do meio, limitado por 
uma superfície fechada S, seccionalmente suave. Considere a 
carga total no interior de V e a carga que aí penetra por 
unidade de tempo, através da superfície S, e deduza que: 
 ݀݀ݐමߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻܸ݀௏ ൌ െ඾ሺ۸ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ή ݀܁ሻௌ 
 
Com auxílio do teorema da divergência, deduza a chamada 
equação da continuidade: 
 ݀݅ݒ�۸ ൅ ߲ߩ߲ݐ ൌ Ͳ 
 
Resolução: 
A quantidade total de carga dentro do volume é dada por: 
 ܳ ൌමߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻܸ݀௏ 
(17.1) 
 
Para a taxa de variação no tempo desta quantidade, temos: 
 ݀ܳ݀ݐ ൌ ݀݀ݐමߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻܸ݀௏ 
(17.2) 
 
Ȉ R ߠ�
x 
z 
y 
x’ 
y’ 
v 
గଶିߠ 
 
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14 
ܲሺ߳ǡߪሻ 
ܣሺݔǡ ݕሻ 
݀ܖ 
οݔ 
οݕ 
ݔ 
ݕ 
Tal variação só pode ocorrer se existir um fluxo de carga, ou 
seja, uma corrente elétrica. A variação será positiva se a 
quantidade de carga aumentar, ou seja, se houver uma 
corrente elétrica entrando através da superfície que limita o 
volume. Caso contrário, a variação será negativa, ou seja, a 
quantidade total de carga diminui. A intensidade de corrente 
elétrica é dada por: ݅ ൌ ݀ܳ݀ݐ 
(17.3) 
A intensidade de corrente também é dada por: ݅ ൌ ۸ ή ܁ 
(17.4) 
Em que J é a densidade de corrente e S é a área por onde 
ocorre o fluxo de carga. No caso, se o fluxo ocorre para 
dentro do volume, o produto escalar em (17.4) será 
negativo, caso contrário, positivo. O fluxo total é dado por: 
݅ ൌ ඾ሺ۸ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ή ݀܁ሻௌ 
(17.5) 
Então, com o uso dasexpressões em (17.2) – (17.5), e 
lembrando que a variação de carga possui o sinal contrário 
ao do fluxo total, podemos escrever: ݀݀ݐමߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻܸ݀௏ ൌ െ඾ሺ۸ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ή ݀܁ሻௌ 
(17.6) 
Utilizando o teorema do divergente em (17.6), teremos: ݀݀ݐමߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻܸ݀௏ ൌ െ඾ሺ۸ሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ή ݀܁ሻௌ ൌ െම݀݅ݒ�۸�ܸ݀௏ 
 ම ݀݀ݐ ߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻܸ݀௏ ൅ම݀݅ݒ�۸�ܸ݀௏ ൌ Ͳ 
 ׵ ݀݀ݐ ߩሺݔǡ ݕǡ ݖሻ ൅ ݀݅ݒ�۸ ൌ ૙ 
(17.7) 
 Questão 18
Esboce demonstrações possíveis para as afirmativas 
seguintes: 
݃ݎܽ݀�߮ ൌ Ž‹οௌ՜଴ׯ߮݀ܖοܵ �ሺ‘�’Žƒ‘ሻ 
 
 
݃ݎܽ݀�߮ ൌ Ž‹ο௏՜଴ׯ߮݀܁οܸ �ሺ‘�‡•’ƒ­‘ሻ 
 
Resolução: 
Vamos escolher um ponto “P” no plano, conforme mostra a 
figura 18.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18.1 
 
A ideia é percorrer o caminho fechado, no sentido anti-
horário, partindo do ponto A e tomar o limite quanto a área 
delimitada pelo referido caminho tende a zero. Assim, 
teremos: 
 ߮஺ ؆ ߮௉ ൅ ߲߲߮ݔฬ௉ ሺݔ െ ߳ሻ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉ ሺݕ െ ߪሻ 
(18.1) 
 
Admitindo que a função ߮ tenha derivadas parciais em P. 
Pode-se observar de (18.1) que: 
 ݀߮ ൌ ߲߲߮ݔฬ௉ ሺݔ െ ߳ሻ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉ ሺݕ െ ߪሻ 
(18.2) 
 
É a expressão da diferencial total. A integral no plano é dada 
por: 
 ර߮݀ܖ ൌ ර߮݀ݕܑ െ ර߮݀ݔܒ 
(18.3) 
 
Aqui, ݀ܖ ൌ ݀ݕܑ െ ݀ݔܒ é o vetor normal à trajetória e aponta 
para fora. Utilizando a expressão de (18.1) em (18.3), 
teremos: 
 ර߮݀ܖ ൌ ߮௉ර݀ݕܑ ൅ ߲߲߮ݔฬ௉රݔ݀ݕܑ െ ߲߲߮ݔฬ௉ ߳ර݀ݕܑ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉රݕ݀ݕܑ െ ߲߲߮ݕฬ௉ ߪර݀ݕܑ 
 െ߮௉ර݀ݔܒ െ ߲߲߮ݔฬ௉රݔ݀ݔܒ ൅ ߲߲߮ݔฬ௉ ߳ ර݀ݔܒ െ ߲߲߮ݕฬ௉රݕ݀ݔܒ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉ ߪ ර݀ݔܒ 
(18.4) 
 
Agora vamos analisar as integrais: 
 
 
 
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15 
ර݀ݕ ൌ ͲǢ�ර ݕ݀ݕ ൌ ͲǢ�ර݀ݔ ൌ ͲǢ�රݔ݀ݔ ൌ Ͳ 
(18.5) 
As integrais em (18.5) são nulas no caminho fechado. රݔ݀ݕ ൌ οݔ ή οݕ ൌ οܵǢ�රݕ݀ݔ ൌ െοݔ ή οݕ ൌ െοܵ 
(18.6) 
As integrais em (18.6) fornecem a área. Assim, substituindo 
(18.5) e (18.6) em (18.4), teremos: ර߮݀ܖ ؆ ቆ߲߲߮ݔฬ௉ ܑ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉ ܒቇ οܵ 
(18.7) 
Agora, calculando o limite, o ponto A tende ao ponto P e 
assim teremos: ݃ݎܽ݀�߮ ൌ Ž‹οௌ՜଴ ͳοܵ ቆ߲߲߮ݔฬ௉ ܑ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉ ܒቇοܵ ൌ ߲߲߮ݔ ܑ ൅ ߲߲߮ݕ ܒ 
(18.8) 
Estender esse raciocínio para o espaço não é difícil, basta 
utilizar a relação (18.1) acrescida de mais uma coordenada, 
ou seja: ߮஺ ؆ ߮௉ ൅ ߲߲߮ݔฬ௉ ሺݔ െ ߳ሻ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉ ሺݕ െ ߪሻ ൅ ߲߲߮ݖฬ௉ ሺݖ െ ߜሻ 
(18.9) 
O nosso ponto P, agora, pertence ao espaço e possui 
coordenadas ሺ߳ǡ ߪǡ ߜሻ. Vamos calcular a integração sobre 
uma superfície fechada, sendo que o vetor normal à 
superfície, que aponta para fora da mesma, será dado por: ݀܁ ൌ ݀ݕ݀ݖܑ ൅ ݀ݖ݀ݔܒ ൅ ݀ݔ݀ݕܓ. Assim, obtemos a seguinte 
integral sobre a referida superfície: ර߮஺݀܁ ؆ ߮௉ර݀܁ ൅ ߲߲߮ݔฬ௉රݔሺ݀ݕ݀ݖܑ ൅ ݀ݖ݀ݔܒ ൅ ݀ݔ݀ݕܓሻ െ ߲߲߮ݔฬ௉ ߳ ර݀܁ ൅߲߲߮ݕฬ௉රݕሺ݀ݕ݀ݖܑ ൅ ݀ݖ݀ݔܒ ൅ ݀ݔ݀ݕܓሻ െ ߲߲߮ݕฬ௉ ߪර݀܁ ൅߲߲߮ݖฬ௉රݖሺ݀ݕ݀ݖܑ ൅ ݀ݖ݀ݔܒ ൅ ݀ݔ݀ݕܓሻ െ ߲߲߮ݖฬ௉ ߜ ර݀܁ 
(18.10) 
Analisando as seguintes integrais: රݔ݀ݕ݀ݖ ൌ οܸǢ�රݕ݀ݖ݀ݔ ൌ οܸ�‡�ර ݖ݀ݔ݀ݕ ൌ οܸ 
(18.11) 
 
As demais integrais são nulas. Assim, teremos: ݃ݎܽ݀�߮ ൌ Ž‹ο௏՜଴ ͳοܸ ቆ߲߲߮ݔฬ௉ ܑ ൅ ߲߲߮ݕฬ௉ ܒ ൅ ߲߲߮ݖ ฬ௉ ܓቇοܸ 
 
׵ ݃ݎܽ݀�߮ ൌ ߲߲߮ݔ ܑ ൅ ߲߲߮ݕ ܒ ߲߲߮ݖ ܓ 
(18.12) 
 
 Questão 19
 
Calcule as quantidades ݄௥ ǡ ݄ఏ�‡�݄௭ no sistema de 
coordenadas cilíndricas. Escreva as expressões para o 
gradiente, a divergência, o rotacional e o Laplaciano em 
coordenadas cilíndricas. 
Resolução: 
Para a conversão das coordenas Cartesianas para as 
coordenadas cilíndricas temos: 
 ݔ ൌ ݎ …‘• ߠ Ǣ ݕ ൌ ݎ •‡ ߠ Ǣ ݖ ൌ ݖ 
(19.1) 
 
As quantidades requeridas são dadas por: 
 ݄௟ ൌ ቈ൬߲߲݈ݔ൰ଶ ൅ ൬߲߲݈ݕ൰ଶ ൅ ൬߲߲݈ݕ൰ଶ቉ଵଶ 
(19.2) 
 
Logo, teremos: 
 ݄௥ ൌ ሾ…‘•ଶ ߠ ൅ •‡ଶ ߠ ൅ Ͳሿభమ ൌ ͳ 
(19.3) 
 ݄ఏ ൌ ሾݎଶሺ•‡ଶ ߠ ൅ …‘•ଶ ߠሻ ൅ Ͳሿభమ ൌ ݎ 
(19.4) 
 ݄௭ ൌ ͳ 
(19.5) 
 
O gradiente é dado por: 
 ݃ݎܽ݀�߮ ൌ ͳ݄௥ ή ߲߲߮ݎ ܚ ൅ ͳ݄ఏ ή ߲߲߮ߠ ી ൅ ͳ݄௭ ή ߲߲߮ݖ ܢ 
(19.6) 
 
Em que ܚǡ ી�‡�ܢ são o vetores unitários. Assim, teremos: 
 ݃ݎܽ݀�߮ ൌ ߲߲߮ݎ ܚ ൅ ͳݎ ή ߲߲߮ߠ ી ൅ ߲߲߮ݖ ܢ 
(19.7) 
 
O divergente é dado por: 
 ݀݅ݒ�ܝ ൌ ͳ݄௥݄ఏ݄௭ ൤ ߲߲ݎ ሺݑ௥݄ఏ݄௭ሻ ൅ ߲߲ߠ ሺݑఏ݄௥݄௭ሻ ൅ ߲߲ݖ ሺݑ௭݄௥݄ఏሻ൨ 
(19.8) 
 
Logo, teremos: 
 ݀݅ݒ�ܝ ൌ μݑ௥μݎ ൅ ݑ௥ݎ ൅ ͳݎ μݑఏμߠ ൅ ߲ݑ௭߲ݖ 
(19.9) 
 
O rotacional é dado por: 
 
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16 
ݎ݋ݐ�ܝ ൌ ͳ݄ఏ݄௭ ൤ ߲߲ߠ ሺݑ௭݄௭ሻ െ ߲߲ݖ ሺݑఏ݄ఏሻ൨ ܚ ൅ ͳ݄௥݄௭ ൤ ߲߲ݖ ሺݑ௥݄௥ሻ െ ߲߲ݎ ሺݑ௭݄௭ሻ൨ી ൅ ͳ݄௥݄ఏ ൤ ߲߲ݎ ሺݑఏ݄ఏሻ െ ߲߲ߠ ሺݑ௥݄௥ሻ൨ ܢ 
(19.10) 
Logo, teremos: ݎ݋ݐ�ܝ ൌ ͳݎ ൤μݑ௭μߠ െ ݎ ߲ݑఏ߲ݖ ൨ ܚ ൅ ൤μݑ௥μݖ െ ߲ݑ௭߲ݎ ൨ ી ൅ͳݎ ቈμሺݎݑఏሻμݎ െ ߲ݑ௥߲ߠ ቉ ܢ 
(19.11) 
O Laplaciano é dado por: ׏ଶ߮ ൌ ݀݅ݒ�݃ݎܽ݀�߮ ൌ ൌ ͳ݄௥݄ఏ݄௭ ൤ ߲߲ݎ ൬݄ఏ݄௭݄௥ ߲߲߮ݎ൰ ൅ ߲߲ߠ ൬݄௥݄௭݄ఏ ߲߲߮ߠ൰ ൅ ߲߲ݖ ൬݄௥݄ఏ݄௭ ߲߲߮ݖ൰൨ 
(19.12) 
Logo, teremos: 
׏ଶ߮ ൌ ݀݅ݒ�݃ݎܽ݀�߮ ൌ ߲ଶ߲߮ݎଶ ൅ ͳݎ ߲߲߮ݎ ൅ ͳݎଶ ߲ଶ߲߮ߠଶ ൅ ߲ଶ߲߮ݖଶ 
(19.13) 
Em que ׏ é o operado nabla, que em coordenadas 
Cartesianas é dado por: ׏ؠ ܑ ߲߲ݔ ൅ ܒ ߲߲ݕ ൅ ܓ ߲߲ݖ 
(19.14)