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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Princípios de Instrumentação Biomédica
Módulo 6
Steinmetz Tesla Hertz
Westinghouse
Conteúdo
6 - Análise de Regime Permanente Senoidal..............................................................................1
6.1 - Números complexos.......................................................................................................1
6.2 - Fasores e Equações Diferenciais Ordinárias..................................................................1
6.2.1 - Representação de uma senóide por um fasor.........................................................1
6.2.2 - Aplicação do método fasorial às equações diferenciais..........................................3
6.3 - Resposta completa e resposta de regime permanente senoidal......................................7
6.3.1 - Resposta completa..................................................................................................7
6.3.2 - Análise de regime permanente senoidal.................................................................8
6.3.3 - Superposição em regime permanente.....................................................................8
6.4 - Impedância e Admitância...............................................................................................8
6.5 - Ressonância....................................................................................................................9
6.6 - Potência em regime permanente senoidal....................................................................11
6.6.1 - Potência complexa................................................................................................11
6.6.2 - Valor eficaz...........................................................................................................12
6.7 - Máxima transferência de potência...............................................................................12
6.8 - Exercícios.....................................................................................................................13
6 Análise de Regime Permanente Senoidal
6.1 Números complexos
Um número complexo pode ser expresso na forma retangular
A=Aℜ j⋅Aℑ
ou polar
A=∣A∣⋅e j⋅ ou A=∣A∣∢
Onde ∣A∣ é o módulo de A e  é o ângulo de fase ( ∢ ).
Algumas operações importantes com números complexos:
ℜ[ z1t z2t ]=ℜ[ z1t ]ℜ[ z2 t ]
ℜ[a⋅z1t ]=a⋅ℜ[ z1t ]
d ℜ [ A⋅e j⋅⋅t ]
dt
=ℜ[ d  A⋅e j⋅⋅t dt ]
se ℜ[ A⋅e j⋅⋅t ]=ℜ[B⋅e j⋅⋅t ] então A=B
se A=B então ℜ[ A⋅e j⋅⋅t ]=ℜ[B⋅e j⋅⋅t]
6.2 Fasores e Equações Diferenciais Ordinárias
6.2.1 Representação de uma senóide por um fasor
Uma função do tempo definida como Am⋅cos ⋅t possui amplitude Am , 
freqüência angular  e fase  . A soma algébrica desta função com outras de mesma 
freqüência, ou suas derivadas, resultará em uma nova função de mesma freqüência angular. 
Assim, é de se esperar que, uma vez determinada a freqüência da função, ela possa ser tratada 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 1
algebricamente em função da sua amplitude e fase. Isto significa que, uma vez determinado 
 , função Am⋅cos ⋅t pode ser representada por um número complexo A=Am⋅e
j⋅
(observar que Am=∣A∣ ). Da mesma maneira, a partir deste número complexo e da freqüência 
angular  , é possível reconstruir a função original.
Exemplo 1:
x t =ℜ  A⋅e j⋅⋅t 
x t =ℜ Am⋅e j⋅⋅e j⋅⋅t 
x t =ℜ Am⋅e j⋅⋅t⋅
x t =ℜ [ Am⋅cos  j⋅⋅t⋅ j⋅Am⋅sen  j⋅⋅t⋅]
x t =ℜ [ Am⋅cos  j⋅⋅t⋅]
Exemplo 2:
v t =2⋅110⋅cos 2⋅⋅60⋅t/3
A=2⋅110⋅e j⋅/3
v t =ℜ A⋅e j⋅2⋅⋅60⋅t 
O número complexo A que representa a senóide Am⋅cos ⋅t é chamado de fasor. 
Poderíamos ter especificado a senóide em termos da função seno, mas neste caso teríamos que 
obter o sinal no tempo a partir da parte imaginária de A⋅e j⋅⋅t . A especificação de um fasor 
não carrega informação à cerca da freqüência angular do sinal original e por isso, quando se 
trabalha com fasores, é necessário conhecer as freqüências envolvidas no problema.
A representação senoidal de freqüências é usada principalmente para a determinação 
da resposta particular da equação diferencial ordinária com coeficientes reais quando a 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 2
excitação é uma senóide, ou seja, quando a equação diferencial que descreve o problema é da 
forma:
a0⋅
d n x
dt n
a1⋅
d n−1 x
dt n−1
...an−1⋅
d x
dt
an⋅x=Am⋅cos ⋅t
6.2.2 Aplicação do método fasorial às equações diferenciais
Seja
a0⋅
d n x
dt n
a1⋅
d n−1 x
dt n−1
...an−1⋅
d x
dt
an⋅x=Am⋅cos ⋅t
com a0 , a1 , ..., an e Am ,  ,  são constantes reais, os fasores serão
A=Am⋅e
j⋅ e X =X m⋅e
j⋅
Substituindo na equação diferencial
a0⋅
d nℜ X⋅e j⋅⋅t 
dt n
...an−1⋅
d ℜ  X⋅e j⋅⋅t 
dt
an⋅ℜ  X⋅e j⋅⋅t =ℜ  A⋅e j⋅⋅t 
d n ℜa0⋅X⋅e j⋅⋅t
dt n
...
d ℜan−1⋅X⋅e j⋅⋅t
dt
ℜan⋅X⋅e j⋅⋅t=ℜ  A⋅e j⋅⋅t 
ℜ [a0⋅ j⋅n⋅X⋅e j⋅⋅t ]...ℜ [an⋅X⋅e j⋅⋅t ]=ℜ [A⋅e j⋅⋅t ]
ℜ [a0⋅ j⋅n⋅X⋅e j⋅⋅t...an⋅X⋅e j⋅⋅t ]=ℜ [ A⋅e j⋅⋅t ]
a0⋅ j⋅
n⋅X ...an⋅X =A
[a0⋅ j⋅n...an ]⋅X =A
X = A
[a0⋅ j⋅n...an ]
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 3
∣X∣= A
an−an−2⋅2...2an−1⋅−an−3⋅3...2
∢X== – arctan
an−1⋅ – an−3⋅3...
an – an−2⋅2...
Exemplos:
Um circuito RLC série é excitado com uma fonte de tensão v St =∣V∣⋅cos ⋅t . 
Calcule a tensão sobre o capacitor em regime permanente.
L⋅C⋅
d 2 vC t 
dt 2
R⋅C⋅
dvC t 
dt
vC t =vS t 
A solução particular é da forma
vC t =∣V C∣⋅cos ⋅t=ℜ[V C⋅e j⋅⋅t ]
A relação entre o fasor resposta e a excitação é
[L⋅C⋅ j⋅2R⋅C⋅ j⋅1 ]⋅V C=V
V C=
V
1−2⋅L⋅C j⋅⋅R⋅C
∣V C∣=
∣V∣
1−2⋅L⋅C 2⋅R⋅C 2
∢V C== – arctan
⋅R⋅C 
1−2⋅L⋅C 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 4
vC t =∣V C∣⋅cos ⋅t
Para o circuito RLC série com R=2Ω, H=1H, C=1F e v St =10⋅cos t  . Calcular a 
resposta forçada do circuito. Realize os cálculos pela forma tradicional e utilizando fasores.
L⋅dit 
dt
R⋅i t  1
C
⋅∫ i t ⋅dt=10⋅cos t 
d 2 i t 
dt 2
 R
L
⋅dit 
dt
 1
L⋅C
⋅i t =−10
L
⋅sen t 
sem fasores
iF t =A⋅cos t B⋅sen t 
di F t 
dt
=−A⋅sen t B⋅cos t 
d 2 iF t
dt2
=−A⋅cos t – B⋅sen t 
−A⋅cos t −B⋅sen t 2⋅[−A⋅sen t B⋅cos t  ]A⋅cos t B⋅sen t =−10⋅sen t 
−A2⋅BA=0
−B−2⋅AB=−10
A=5 , B=0
iF t =5⋅cost 
d 2 i t 
dt 2
 R
L
⋅di t 
dt
 1
L⋅C
⋅i t =−10
L
⋅sen t 
com fasores
a saída é da forma
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 5
i F t =∣I F∣⋅cos ⋅t=ℜ [ I F⋅e j⋅⋅t ]
I F=∣I F∣⋅e
j⋅
a entrada v é da forma
v=− 10
L
⋅cos⋅t−2 =ℜ [V⋅e j⋅⋅t ]
V =∣V∣⋅e
j⋅
2
[ j⋅2 RL⋅ j⋅ 1L⋅C ]⋅I F=∣V∣L ⋅e
j⋅
2
[ j22⋅ j1]⋅I F=10⋅e
j⋅
2
∣I F∣=
10
∣ j 22⋅ j1∣
=
10
2
=5
∢I F==

2
−arctan 2−11=0
iF t =∣I F∣⋅cos ⋅t=5⋅cost0
Para o circuito RLC série com R=3/2Ω, L=1/2H, C=1F e v St =cos 2⋅t ⋅u t 
v St =10⋅cos t  . Calcular a resposta de regime permantente da tensão sobre o capacitor. As 
condições iniciais são iL 0–= I 0=2A , vC 0– =V 0=1V .
L⋅C⋅
d 2 vC t 
dt 2
R⋅C⋅
dvC t 
dt
vC t =vS t 
1
2
⋅
d 2 vC
dt2
3
2
⋅
dvC
dt
vC=u t ⋅cos 2⋅t 
vC , pt =ℜV⋅e
j⋅2⋅t=∣V∣⋅cos 2⋅t
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 6
v St =ℜE⋅e
j⋅2⋅t=cos 2⋅t 
[ 12⋅ j⋅232⋅ j⋅1]⋅V=E
V = E
[ 12⋅ j⋅232⋅ j⋅1]
=
1
−1 j⋅3
=0,316∢−108,40
vC , pt =0,316⋅cos2⋅t – 108,4
0
6.3 Resposta completa e resposta de regime permanente senoidal
6.3.1 Resposta completa
y t = yh t  pp t  para todo t
onde a solução particular escolhida é uma senóide, e por isso pode ser obtida por 
fasores. A resposta homogênea pode ser obtida pelos métodos descritos nos módulos 
anteriores, em função das condições iniciais.
Para o caso particular, com uma única fonte de excitação senoidal e uma só variável de 
saída y, podemos escrever
y t =k1⋅e
s1⋅tk 2⋅e
s2⋅t...k n⋅e
sn⋅tAm⋅cos ⋅t
onde k1, k2, ..., kn e s1, s2, ..., sn dependem das condições iniciais e Am e  dependem da 
solução particular
Observa-se que, se a resposta é estável as exponenciais tendem a zero quando o tempo 
tende a infinito, restando como resposta y(t), apenas a solução particular que pode ser obtida 
fasorialmente. Esta é definida como sendo a resposta de regime permanente senoidal.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 7
6.3.2 Análise de regime permanente senoidal
Para regime permanente senoidal, analisado por fasores, valem as mesmas regras de 
análise utilizadas circuitos resistivos, pois as leis de Kirchhoff continuam sendo aplicadas. 
Assim sendo são válidas as mesmas considerações sobre linearidade e invariância com o 
tempo, o que inclui os teoremas de superposição, Thèvenin e Norton bem como associações 
de componentes e simplificações e, obviamente, os métodos de análise por correntes de malha 
e tensões de nó.
6.3.3 Superposição em regime permanente
Para os casos de circuitos excitados com fontes senoidais, sejam elas de freqüências 
iguais ou diferentes, podemos utilizar o princípio da superposição para obter a resposta da 
variável de rede desejada. A justificativa aqui é igual a estudada anteriormente porém se as 
senóides possuírem freqüências diferentes não podemos somar diretamente os fasores, pois a 
soma de duas ou mais senoides de freqüências distintas não é uma senóide.
6.4 Impedância e Admitância
Em regime permanente, v t =∣V∣⋅cos ⋅t1 , v t =ℜ [V⋅e j⋅⋅t1] e 
i t =∣I∣⋅cos ⋅t2 i t =ℜ [ I⋅e j⋅⋅t2] então podemos reescrever as relações entre 
corrente e tensão para o resistor, o capacitor e o indutor
Para o resistor v=R⋅i
Substituindo os fasores na equação acima temos
I=G⋅V ou V=R⋅I
A relação também indica que, como R é um número real, o ângulo de fase entre a 
tensão e a corrente é nula.
Para o capacitor i=C⋅
dv
dt
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 8
Substituindo os fasores na equação acima temos
I= j⋅⋅C ⋅V ou V = 1j⋅⋅C ⋅I
Observe que as relações se tornaram semelhantes às relações do resistor. O conceito 
generalizado de resistência no plano complexo é chamado de impedância e o análogo da 
condutância é chamado de admitância. A parte imaginária de uma impedância se chama 
reatância e a parte imaginária de uma admitância se chama susceptância. Sendo assim, em 
regime permanente senoidal o capacitor tem um comportamento de reatância capacitiva 
normalmente representado por XC.
Observe que a reatância do capacitor é um número complexo então os fasores de 
tensão e corrente não terão o mesmo ângulo, ou seja, não estarão em fase. Observe também 
que a corrente sempre estará adiantada em relação a tensão de um ângulo de 90o.
Para o indutor v=L⋅
di
dt
Substituindo os fasores na equação acima temos
I= 1j⋅⋅L⋅V ou V = j⋅⋅L⋅I
Observe novamente que a relação de regime permanente senoidal entre a corrente e a 
tensão no indutor também são semelhantes às encontradas no resistor. Assim o indutor 
também apresenta uma reatância indutiva normalmente representada por XL. Observe também 
que a reatância indutiva também é um número complexo e a fase entre tensão e corrente será 
de 90o, porém neste caso a corrente no indutor está atrasada com relação a tensão.
6.5 Ressonância
Efeito que ocorre quando a impedância é puramente real, ou seja, a reatância 
capacitiva se iguala em módulo à reatância indutiva (circuito série), ou a susceptância 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 9
capacitiva se iguala em módulo a susceptância indutiva (circuito paralelo). Seja o circuito 
RLC paralelo da figura abaixo
cuja admitância, no formato Y=G j⋅B , corresponde a
Y= 1
R
 j⋅⋅C 1
j⋅⋅L
onde
G= 1
R
e
B=⋅C – 1
⋅L
Na ressonância B vale zero, ou seja
⋅C− 1
⋅L
=0
o que ocorre em
0=
1
L⋅C .
Obeserve que num circuito ressonante paralelo a impedância do circuito LC é infinita e 
a impedância de um circuito LC ressonante série é zero.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 10
6.6 Potência em regime permanente senoidal
p t =v t ⋅i t 
p t =V M⋅cos⋅t∢V ⋅I M⋅cos ⋅t∢ I 
p t =
V M⋅I M
2
⋅[cos ∢V−∢ I cos2⋅⋅t∢V ∢ I  ]
Observe que há um nível contínuo somado a uma oscilação de potência com o dobro 
da freqüência de excitação. O nível médio da potência corresponde a
pt =
V M⋅I M
2
⋅cos ∢V −∢ I  .
Dependendo do ângulo de fase é possível que a rede alimentada pela fonte de 
excitação senoidal absorva e forneça energia (sempre que o ângulo de fase entre tensão e 
corrente for diferente de zero).
6.6.1 Potência complexa
S=V⋅I
*
2
onde V e I são fasores
S=
V M⋅e
j⋅∢V⋅I M⋅e
j⋅−∢ I
2
=
V M⋅I M
2
⋅e j⋅∢V−∢ I
∣S∣=
V M⋅I M
2
 é a potência aparente
S=P j⋅Q
onde
S é a potência complexa (VA)
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 11
P=
V M⋅I M
2
⋅cos∢V−∢ I  é a potência média (W).
Q=
V M⋅I M
2
⋅sen ∢V −∢ I  é a potência reativa (VAR).
6.6.2 Valor eficaz
6.7 Máxima transferência de potência
Seja um equivalente Thévenin com fonte de tensão Vs e impedância Zs alimentando 
uma carga ZL. Qual o valor de ZL para a máxima transferência de energia entre o equivalente 
Thévenin e a carga?
p=1
2
⋅∣I∣2⋅ℜZ L 
I=
V S
Z SZ L
p=1
2
⋅∣V S∣
2⋅ℜ
Z L 
∣Z SZ L∣
2
p=1
2
⋅∣V S∣
2⋅
RL
RLRS 
2X L X S 
2
pMÁX=
1
2
⋅∣V S∣
2⋅
RL
RLRS 
2
então X L=−X S
∂ p
∂ RL
=
1
2
⋅∣V S∣
2⋅
RLRS 
2−2⋅RLRS ⋅RL
RLRS 
4
=0
ou seja RL=RS
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 12
pMÁX=
∣V S∣
2
8⋅RS
cuja eficiência máxima chega a 50%.
6.8 Exercícios
1) Considere os dois circuitos abaixo: a) calcule as funções de transferência 
HR(jω) = VR/V e HC(jω) = VC/V; b) esboce os gráficos de módulo e fase de HR(jω) e HC(jω); c) 
determine as freqüências de corte para os dois circuitos.
H R j=
V R j
V  j
=
V  j
1
j⋅⋅C
R
⋅R⋅ 1
V  j
=
j⋅⋅C⋅R
1 j⋅⋅C⋅R
H R j=
j⋅⋅C⋅R
1 j⋅⋅C⋅R
⋅1− j⋅⋅C⋅R
1− j⋅⋅C⋅R
=
2⋅C2⋅R2− j⋅⋅C⋅R
1−2⋅C2⋅R2
H R  j=
⋅C⋅R
1⋅C⋅R2
∢[2 – arctan ⋅C⋅R]
H C  j=
V C j
V  j
=
V  j
1
j⋅⋅C
R
⋅
1
j⋅⋅C
⋅
1
V  j
=
1
1 j⋅⋅R⋅C
H C j=
1
1 j⋅⋅C⋅R
⋅1− j⋅⋅C⋅R
1− j⋅⋅C⋅R
= 1− j⋅⋅C⋅R
1−2⋅C 2⋅R2
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 13
H C  j=
1
1⋅C⋅R2
∢[−arctan⋅C⋅R ]
Compare estas respostas com aquelas obtidas do módulo de circuitos de primeira 
ordem.
2) Calcule a tensão sobre o indutor em regime permanente senoidal.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 14
v L3 j=
V
R2 j⋅⋅L3
⋅ j⋅⋅L3=
0,707− j⋅0,707
40 j⋅200⋅0,06
⋅ j⋅200⋅0,06=∣V L3∣∢
v L3t =∣V L3∣⋅cos 200⋅t
3) Para cada um dos conjuntos voltagem-corrente abaixo, calcule a potência média nos 
terminais entre os circuitos A e B; em cada caso diga em que direção (de A para B ou de B 
paraA) flui a potência média calculada.
a) v t =100⋅cos ⋅t−
4
 , i t =20⋅cos ⋅t 
12

b) v t =100⋅cos ⋅t−
4
 , i t =20⋅cos ⋅t11⋅12

a) P=
1
2
⋅v MAX⋅iMAX⋅cos ∢v−∢i =
100⋅20
2
⋅cos−45o−15o=500W
potência média fornecida por A
b) P=
1
2
⋅v MAX⋅iMAX⋅cos ∢v−∢ i =
100⋅20
2
⋅cos −45o−165o=−866W
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 15
potência média fornecida por B
4) Para o circuito mostrado abaixo: a) Calcule Vo(t) em regime permanente; b) Qual o 
período de Vo(t)? c) A resposta está atrasada ou adiantada com relação a Vs(t)? d) Qual é o 
valor do avanço/atraso?
a) Vo j= Vs
R1
R2⋅X C1
R2X C1
⋅R1=
Vs⋅R1⋅ j⋅⋅R2⋅C1
R1⋅ j⋅⋅R2⋅C1R2
onde =2⋅⋅500
b) Período=T=
1
f
=
1
500
s
5) Para os sinais v t =10⋅2⋅cos10⋅t4  e i t =0,45⋅cos 10⋅t – 0,52 : a) Quem 
está adiantado de quem? b)Quantos graus? c) Quantos segundos?
a) A tensão está adiantada com relação a corrente. Desenhando os fasores que 
representam v e i e girando os fasores no sentido anti horário percebe-se que o fasor de tensão 
cruza o eixo real positivo antes do fasor de corrente (normalmente se escolhe o fasor que leva 
ao menor ângulo entre os dois fasores).
b) 750 ou 1,31 rad (se optarmos por dizer que a corrente está adiantada com relação a 
tensão, o ângulo seria 1050).
c) Uma regra de três resolve o problema. Sabe-se que os cossenos variam a 10rad/s 
então 1,31 radianos demoram 0,31s
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 16
6) Para o circuito abaixo, retire ZL e calcule o equivalente Thévenin do circuito 
restante.
Colocando uma fonte de tensão de valor v no lugar de ZL e considerando que uma 
corrente i entra nesta fonte temos:
Para o nó A, onde se ligam R, C1 e L
v A−V
R1
vA⋅ j⋅⋅C1
v A−v
j⋅⋅L
=0
v A=
j⋅⋅L⋅V v⋅R1
j⋅⋅L−2⋅L⋅C11
Para o nó B, entre L, C2 e v
v−v A
j⋅L
v⋅ j⋅⋅C2i=0
v⋅[ 1j⋅⋅L – R1−⋅L2 j⋅⋅L−3⋅L2⋅C1 j⋅⋅C 2]= V1−2⋅L⋅C1 j⋅⋅L−i
Comparando a equação acima com a de um equivalente Thévenin observa-se que:
v⋅GTH=GTH⋅V TH−i
7) Para o circuito abaixo, calcular Ix e Vx de regime permanente.
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 17
O problema só pode ser resolvido por superposição pois as fontes de corrente e tensão 
apresentam frequências diferentes.
V2 j=10⋅13∢−146,3o , V2=1000
X L2= j e X C1=− j⋅4
IxV2 j=
V2
R1X L2X C1
=10⋅13∢−146,3
o
2− j⋅3
=10⋅13∢−146,3
o
13∢−56,3o
=10∢−90o
VxV2 j=R1X C1⋅IxV2=2⋅5∢−63,4o⋅10∢−90o=20⋅5∢−153,4o
IxV2t =10⋅2⋅sen 1000⋅t 
VxV2t =20⋅10⋅sen 1000⋅t – 63,4o
I2  j=2⋅2∢135o , I2=2000
X C2=− j⋅2
Z EQ=X L2 // R1X C1=2 – j⋅2 //  j⋅2=2 j⋅2
Vx I2 j=I 1⋅Z EQR2X C2=2⋅2∢135o⋅[2 j⋅2– j⋅22]=8⋅2∢135o
Ix I2 j=−
I2⋅Z EQ
X L2
=−2⋅2∢135
o⋅2⋅2∢45o
2∢−90o
=−4∢90o
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 18
Ix I2t =4⋅2sen 2000⋅t 
Vx I2t =16⋅cos2000⋅t135
o
Ix t =IxV2t  IxI2 t 
Vx t =VxV2t Vx I2t 
Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 19