Matematica Conhecimentos Numéricos, estatística e probabilidade

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Módulo 01
 Conhecimentos Numéricos, 
Estatística e Probabilidade
Matemática e
 suas Tecnologias 
matematica.indb 1 5/3/12 11:08 PM
Elaboração de Originais - Módulo 01 
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Alfredo C. de Souza Rosa , Carlos Eduardo Bastos, 
Josemir Cunha, Rui Alcides da Costa
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Fernando de Sá Moreira, Francisco Alice, 
Francislan Eduardo Isotton, Paulo Cesar 
Penteado, Williann L. Volpato 
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Alencar Schueroff, Fatima Duarte Goulart, 
Mauricio Pierucci Sobrinho, Regina Brasil
Matemática e suas Tecnologias 
Jorge Paulino da Silva Filho, Henrique Geraldo 
Folster Jr. Sergio Luis Sarkis
Projeto Gráfico
Vilson Martins Filho
Diagramação
Alice Demaria - Escritório de Design
Rede Passaporte Educacional
Direção
Fatima Rosane Genovez
João Vianney Valle dos Santos
Gerencia Administrativa e Financeira
Miraci José Valle
Gerência Pedagógica
Jane Motta
Gerência de EaD
Vilson Martins Filho
Gerência de Operações
Arthur E. F. Silveira
Gerência de 
Relacionamento com o Mercado
Jeferson Pandolfo
Coordenação de Tutoria
Patrícia Nunes Martins
Coordenação de 
Relacionamento com Polos
Maria Eduarda Klann Baptistoti
Redes Sociais
Thiago Jose Loch
Assistente Financeiro e Secretaria
Rosemary de Oliveira Leite
Assistentes Administrativos
Samoel Raulino
Marina Rupp
Assistente de Operações
Francisco Asp
Equipe de Estúdio
Lucas Giron, Sergio Flores,
Luiz Fernando Maciel, Cleber Magri
Rede Passaporte Educacional
Direção
Fatima Rosane Genovez
João Vianney Valle dos Santos
Gerencia Administrativa e Financeira
Miraci José Valle
Gerência Pedagógica
Jane Motta
Gerência de EaD
Vilson Martins Filho
Gerência de Operações
Arthur E. F. Silveira
Gerência de 
Relacionamento com o Mercado
Jeferson Pandolfo
Coordenação de Tutoria
Patrícia Nunes Martins
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Relacionamento com Polos
Maria Eduarda Klann Baptistoti
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Thiago Jose Loch
Assistente Financeiro e Secretaria
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Lucas Giron, Sergio Flores,
Luiz Fernando Maciel, Cleber Magri
matematica.indb 2 5/3/12 11:08 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
3
Números Naturais
A primeira linguagem numérica que uma criança 
adquire é a dos números Naturais. Ela aprende 
a contar o número de chocolates que ganha de 
presente e sabe a diferença entre ter dois ou 
cinco brinquedos. Na linguagem matemática, 
simbolizamos esse conjunto pela letra e 
definimos: 
Obs: . Esse padrão de represen-
tação se manterá para os demais conjuntos, isto é, 
sempre que ouver um asterisco sobreescrito, o zero 
não fará parte do conjunto.
Números Inteiros
Obs:
1) 
2) 
3) (conjunto dos Inteiros 
não negativos)
4) (conjunto dos 
Inteiros não positivos)
5) (conjunto dos Inteiros 
positivos)
Números Racionais
. 
Ou seja, é o conjunto de todos os números que 
podem ser escritos em forma de fração, com 
numerador e denominador inteiros, mas com 
denominador não nulo.
Exemplos:
1)  
2) 
-

2
5
�
3) (aqui já fica claro que ).
E os números representados na forma decimal?
Representação decimal finita
Número com representação decimal finita é 
Racional.
Exemplos:
1) 
2) 
Representação decimal infinita
 • Dízima Períódica é Racional
 • Dízima Não Períódica não é Racional
Dízima Periódica
Exemplos:
1) . A parte periódica é 7
2) . A parte periódica é 25.
Para transformarmos dízimas periódicas em frações, 
vemos primeiro a quantidade de algarismos do 
período. No exemplo 1 o período era 7. Como tem 
apenas um algarismo, dividimos por 9, ou seja, 
0,777… = 7/9.
matematica.indb 3 5/3/12 11:09 PM
4
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
No segundo exemplo o período era 25, número 
com dois algarismos. Neste caso dividimos por 99, 
isto é, 0,252525… = 25/99.
A justificativa para o uso de 9 ou 99 ou 999 e assim 
por diante será dada mais tarde, quando tratarmos 
do tema Progressão Geométrica.
Dízima Não Periódica
A mais famosa delas é o número 
 .
Além do Pi, também são dízimas não periódicas os 
números 
Como esses números não são Racionais, foi criado 
um novo conjunto, chamado de:
Números Irracionais
De forma mais palpável, é o conjunto de todos os 
números cuja representação decimal é infinita e 
não periódica.
Números Reais
Esquematicamente, temos:
R
Q Z N
I
Exercício Resolvido
(Uff 2010) Segundo o matemático Leopold Kronecker 
(1823-1891),
“Deus fez os números inteiros, 
o resto é trabalho do homem.”
Os conjuntos numéricos são, como afirma o 
matemático, uma das grandes invenções humanas.
Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é 
correto afirmar que: 
a) o produto de dois números irracionais é sempre um 
número irracional. 
b) a soma de dois números irracionais é sempre um 
número irracional. 
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um 
número irracional. 
d) entre dois números racionais distintos existe pelo 
menos um número racional. 
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é 
sempre um número inteiro negativo. 
Gabarito: D 
Exercícios 
Questão 1 
(Puccamp 2000) Considere os conjuntos:
IN, dos números naturais,
Q, dos números racionais,
Q+, dos números racionais não negativos,
lR, dos números reais.
O número que expressa 
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um 
elemento de Q+, mas não de IN. 
b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento 
de IN. 
c) a velocidade média de um veículo é um elemento de 
Q, mas não de Q+. 
d) o valor pago, em reais, por um sorvete é um 
elemento de Q+. 
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento 
de Q. 
matematica.indb 4 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
5
Questão 2 
(FGV) Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada 
uma das sentenças a seguir: 
( ) Todo número inteiro positivo é racional. 
( ) O número zero é inteiro, natural e racional. 
( ) Todo número racional é inteiro. 
( ) Todo número racional exato é racional. 
( ) Toda dízima periódica é número racional. 
Questão 3
(Enem 2ª aplicação 2010) Para dificultar o trabalho 
de falsificadores, foi lançada uma nova família de 
cédulas do real. Com tamanho variável – quanto 
maior o valor, maior a nota – o dinheiro novo terá 
vários elementos de segurança. A estreia será entre 
abril e maio, quando começam a circular as notas de 
R$ 50,00 e R$ 100,00. As cédulas atuais têm 14 cm de 
comprimento e 6,5 cm de largura. A maior cédula será 
a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 
0,5 cm maior na largura.
Disponível em: http://br.noticias.yahoo.com. Acesso 
em: 20 abr. 2010 (adaptado).
Quais serão as dimensões da nova nota de R$ 100,00? 
a) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura. 
b) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. 
c) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura. 
d) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. 
e) 15,9 cm de comprimento e 7 cm de largura. 
Questão 4
(Uepg 2010 - adaptado) Assinale V para Verdadeiro ou 
F para Falso. 
( ) O número real representado por 0,5222... é um 
número racional. 
( ) O quadrado de qualquer número irracional é um 
número racional. 
( ) Se m e n são números irracionais então m.n pode 
ser racional. 
( ) O número real pode ser escrito sob a forma , 
onde a e b são inteiros e b 0.
( ) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é 
um número real.Questão 5
(Puc-rio 2007) Os números m e n são tais que 4 ≤ m ≤ 8 
e 24 ≤ n ≤ 32. O maior valor possível de m/n é: 
a) 1/2 
b) 1/3
c) 1/6 
d) 1/5
e) 1/8 
Anotações
matematica.indb 5 5/3/12 11:09 PM
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Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
Anexos – Texto Complementar
Maior memorização de dígitos do PI
Quarta-feira, 9 de setembro de 2009
Matheus Norberto de Moraes memorizou 16.110 
dígitos em duas horas e 54 minutos, sem nenhuma 
margem de erro. 
Maior memorização de dígitos do PI
O recorde foi conquistado na capital paranaense e 
acompanhado pelos auditores do Livro dos Recordes 
Brasileiros. Em duas horas e 54 minutos, Matheus 
Norberto de Moraes memorizou 16.110 dígitos PI sem 
nenhuma margem de erro. A cada mil dígitos falados, 
o recordista fazia uma pausa de 50 segundos para um 
descanso.
O recordista praticou a memorização de dígitos PI 
durante três meses e contou com a ajuda de amigos 
no treinamento. Segundo ele, muitos mnemonistas 
utilizam a técnica de associação de imagens, 
figuras, cores, etc., aos números, o que auxilia na 
memorização. “Cada número que você memorizar é 
associado a uma imagem, o que possibilita a criação 
de uma ‘história com os números’. Tudo o que mexe 
com a nossa emoção, nosso cérebro guarda com 
mais facilidade”.
Matheus conta também que tem grande facilidade 
para decorar números e que entrar para o RankBrasil 
foi um desafio e uma grande conquista em sua vida.
O que é o número PI?
O número PI é a constante matemática que representa 
a relação entre extensão da circunferência de um 
círculo e seu diâmetro. Por isto, sempre que dividimos 
a extensão de qualquer circunferência entre seu 
diâmetro, obtemos como resultado o número PI.
O PI é um número irracional, que não pode ser escrito 
como um número finito ou repetindo decimais. O 
valor aproximado é 3,1416, lembrando que este não 
é seu valor exato, pois ele continua.
O PI é um dos poucos objetos matemáticos reconhe-
cidos pelo grande público e, apesar de ser conhecido 
há milhares de anos, ainda é fonte de pesquisas em 
diversas áreas. Suas propriedades continuam a ser 
investigadas e novos métodos para calcular seu valor 
seguem sendo apresentados.
O PI aparece em todas as fórmulas de linhas ou corpos 
curvos e nos casos mais inesperados, podendo ser 
usado em áreas que vão da Estatística à Mecânica 
Quântica.
São conhecidas quatro constantes que podem ser 
chamadas de PI:
 • PI de circunferências: a constante de 
proporcionalidade na relação entre a 
circunferência de um círculo e seu diâmetro;
 • PI de áreas de círculos: a constante de proporciona-
lidade na relação entre a área de um círculo e o 
quadrado de seu diâmetro;
 • PI de áreas de esferas: a constante de 
proporcionalidade na relação entre a área de 
uma esfera e o quadrado de seu diâmetro;
 • PI de volumes de esferas: a constante de 
proporciona lidade na relação entre o volume de 
uma esfera e o cubo de seu diâmetro;
Por que é difícil calcular o PI?
A maior dificuldade em calcular o número PI é por se 
tratar de um número irracional, isto é, que não pode 
ser expresso como fração entre números inteiros.
Se pudéssemos escrever o PI como fração, na 
forma m/n, bastaria que definíssemos quais são os 
números inteiros m e n e, a partir disto, determinar a 
periodicidade de sua representação decimal.
Existem números irracionais de representação decimal 
previsível, e então fáceis de calcular, mas PI é um 
irracional imprevisível e sua representação decimal 
não mostra nenhuma previsibilidade. Acredita-se que 
seus algarismos se distribuam aleatoriamente.
Redação: Raquel Susin
http://www.rankbrasil.com.br/Recordes/Materias/04Ed/
Maior_Memorizacao_De_Digitos_Do_Pi 
matematica.indb 6 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
7
Todos os conceitos que virão a seguir serão 
feitos dentro do universo dos números Naturais 
. 
Múltiplos
Os múltiplos de um número natural n são todos 
aqueles números cuja divisão por n é exata, ou seja, 
resto zero.
Exemplo
1) Múltiplos de 3: M(3) = {0,3,6,9,12,15,...}
2) Múltiplos de 7: M(7) = {0,7,14,21,28,...}
Divisores
Os divisores de um número natural n são todos 
aqueles pelos quais n pode ser dividido (divisão exata).
Exemplo
1) Divisores de 12: D(12) = {1,2,3,4,6,12}
2) Divisores de 7: D(7) = {1, 7}
Veremos a seguir um conceito fundamental para 
o estudo dos múltiplos e divisores: os números 
Primos. Eles podem ser comparados aos alicerces 
de uma casa. Veremos que qualquer número natural 
pode ser escrito apenas com o uso deles. 
Números primos
Um número natural p é chamado de primo se ele 
admitir exatamente dois divisores: ele mesmo e o 
número 1.
Exemplos
1) 2 é primo, pois é divisível apenas por 2 e por 1
2) 7 é primo, pois é divisível apenas por 7 e por 1
3) 9 não é primo, pois admite, além do próprio 9 e 
do 1, o número 3 como divisor.
Obs: 1 não é primo, pois admite apenas um divisor, 
o próprio número 1.
Os primeiros números primos são: 2,3,5,7,11,13,17,
19,23,29,31,37,...
O conjunto dos números Primos é infinito. Isso foi 
provado pelo matemático grego Euclides (360 a.C. 
— 295 a.C.), considerado o pai da geometria. 
Outro fato curioso acerca dos números primos 
é que à medida em que vão ficando maiores, 
também ficam mais “raros” . Atualmente, os primos 
tem uma importância muito grande numa área 
chamada Criptografia, ciência que estuda métodos 
de codificação e decodificação de mensagens, com 
muitas aplicações, por exemplo, em transações 
comerciais via internet. 
Número Composto
Todo número Natural que não é primo é chamado 
de composto. Decorre desse conceito que todo 
número composto tem 3 ou mais divisores distintos.
Exemplo
12 é composto, pois admite os números 1, 2, 3, 4, 6, 
e 12 como divisores.
O Teorema Fundamental da Aritmética 
(fatoração única)
Todo número natural n>1 pode ser fatorado, de 
maneira única, através de potências onde as bases 
são números primos e os expoentes são números 
naturais não nulos.
Exemplos
1) 18 = 21.32 2) 8 = 23 
3) 7350 = 21.31.52.72 4) 19 = 191
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Observe o conjunto dos múltiplos de 6 e 8.
M(6) = {0,6,12,18,24,,30,36,40,48,54,60,66,72,78,84,
90,96, ...}
M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96,...}
Os divisores comuns a 6 e 8 são: 0,24,48,72,96,...
Podemos concluir assim que o menor múltiplo 
comum (MMC) positivo de 6 e de 8 é 24.
Um modo mais prático de se obter o MMC é através 
da fatoração simultânea.
Múltiplos e Divisores
matematica.indb 7 5/3/12 11:09 PM
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Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
6, 8 2
3, 4 2
3, 2 2
3, 1 3
1, 1 MMC = 2.2.2.3 = 24
Máximo Divisor Comum (MDC)
Ilustraremos o conceito obtendo o MDC entre os 
números 36 e 120.
Os divisores de 36 e 120 são:
D(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
D(120) = {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}
Os divisores comuns são 1,2,3,4,6 e 12. 
Logo, o maior divisor comum (MDC) vale 12.
Métodos práticos para obter o MDC
Método 1 – Fatoração simultânea
Usando novamente os números 36 e 120, temos:
36, 120 2
18, 60 2
 9, 30 2
 9, 15 3
 3, 5 3
 1, 5 5
 1, 1 
Observe que os números circulados foram aqueles 
que dividiram simultaneamente 36 e 120. O MDC 
é o produto desses números circulados (divisores 
simultâneos).
MDC(36,120) = 2.2.3 = 12
Método 2 – Método de Euclides (divisões 
sucessivas)
Novamente vamos usar como exemplo os números 
36 e 120.
Começamos dividindo 120 por 36 e pondo em 
destaque o quociente e o resto.
 
120 36
 120 36
 3
 123 quociente
 120 36 
 
 12 resto 
A seguir, repetimos o processo, agora dividindo o 
número 36 pelo resto 12.
 
 36 12
 3
 0 
 3
 120 36 12 
 
 12 
Quando chegamos no resto = 0, o MDC é o 
penúltimo resto obtido.
 3 3
 20 36 12 
 
 12 0 resto = 0
MDC = 12
Teorema
O produto de dois números Naturais não nulos 
é igual ao produto entre o MDC e o MMC desses 
números.
a.b = MDC(a,b).MMC(a,b)
Exemplo
Os números 6 e 8 tem MDC = 2 e MMC = 24. Logo,
 6.8 = MDC(6,8).MMC(6,8)
 6.8 = 2.24
matematica.indb 8 5/3/12 11:09 PM
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Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
9
Exercício Resolvido
1) Numa estação rodoviária os ônibus para a cidade 
A partem de 6 em 6 horas e para a cidade B, de 8 em 
8 horas. Numa ocasião, um ônibus para a cidade A 
partiu junto com outro para a cidade B. Qual o menor 
tempo possível para que isso aconteça de novo?
Gabarito: 24hs
2) Três rolos de barbante que medem, respectivamente, 
24m, 84m e 90m, foram cortados em pedaços iguais e 
de maior comprimento possível. Então o comprimento 
de cada um desses pedaços vale:
Gabarito: 6m
Exercícios 
Questão 1
Aline toma um comprimido de 4 em 4 horas e um 
xarope de 6 em 6 horas. Às 10 horas da manhã ele 
ingeriu os dois remédios. A que horas ela voltará a 
tomar os dois remédios juntos?
a) 16hs b) 18hs c)20hs 
d)22hs e) 24hs
Questão 2
(Enem 2005) Os números de identificação utilizados 
no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira 
de Identidade etc) usualmente possuem um dígito 
de verificação, normalmente representado após o 
hífen, como em 17326-9. Esse dígito adicional tem 
a finalidade de evitar erros no preenchimento ou 
digitação de documentos. Um dos métodos usados 
para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos:
 • multiplica-se o último algarismo do número por 1, 
o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim 
por diante, sempre alternando multiplicações por 
1 e por 2.
 • soma-se 1 a cada um dos resultados dessas 
multiplicações que for maior do que ou igual a 10.
 • somam-se os resultados obtidos.
 • calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, 
obtendo-se assim o dígito verificador.
O dígito de verificação fornecido pelo processo acima 
para o número 24685 é 
a) 1. b) 2. c) 4. 
d) 6. e) 8. 
Questão 3
(Enem 2ª aplicação 2010) Nosso calendário atual é 
embasado no antigo calendário romano, que, por 
sua vez, tinha como base as fases da lua. Os meses 
de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e 
dezembro possuem 31 dias, e os demais, com exceção 
de fevereiro, possuem 30 dias. O dia 31 de março de 
certo ano ocorreu em uma terça-feira.
Nesse mesmo ano, qual dia da semana será o dia 12 
de outubro? 
a) Domingo. b) Segunda-feira. c) Terça-feira. 
d) Quinta-feira. e) Sexta-feira. 
Questão 4
Três rolos de barbante que medem, respectivamente, 
24m, 84m e 90m, foram cortados em pedaços iguais e 
de maior comprimento possível. Então o comprimento 
de cada um desses pedaços vale:
a) 6 b) 12 c) 14 
d) 18 e) 24
Questão 5
(G1 - cps 2010) Pensando em contribuir com uma 
alimentação mais saudável para a sua família, o 
Sr. João está planejando uma horta em um espaço 
retangular de 1,56 m por 84 cm, disponível em seu 
quintal.
Ele inicia o preparo da horta dividindo o comprimento 
e a largura do terreno em partes iguais, todas 
de mesma medida inteira, quando expressas em 
centímetros.
Dessa maneira, o Sr. João formou, na superfície do 
terreno, um quadriculado composto por quadrados 
congruentes de modo que as medidas das arestas 
de cada quadrado tivessem o maior valor possível.
Sua intenção é plantar, no centro de cada quadrado 
obtido, uma única muda.
Nessas condições, a quantidade máxima de mudas 
que pode ser plantada é 
a) 54. b) 76. c) 91. 
d) 120. e) 144. 
matematica.indb 9 5/3/12 11:09 PM
10
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
Anexos – Texto Complementar
Novos números primos gigantes 
são anunciados
Concurso quer premiar interessados em descobrir um 
número primo com pelo menos 10 milhões de dígitos
por John Matson
Concurso quer premiar interessados em descobrir um 
número primo com pelo menos 10 milhões de dígitos. 
O prêmio pode ser ainda maior para quem encontrar 
um primo com 100 milhões de dígitos.
Números primos sempre tiveram um apelo especial 
para os amantes da matemática, desde o astrônomo 
grego Eratóstenes, que desenvolveu um método 
para encontrar números primos, há 2.200 anos, até 
os criptógrafos de hoje, que fizeram deles a base 
dos protocolos modernos de criptografia. Números 
primos, divisíveis somente por um e por eles mesmos, 
têm até sido disputados como direito de propriedade 
numérica: Roger Schlafly, consultor de informática da 
Califórnia, patenteou dois números primos em 1994.
O consórcio que descobriu os seis maiores números 
primos conhecidos está prestes a revelar mais dois – 
incluindo, talvez, um gigante ganhador de um prêmio 
de US$ 100 mil.
Descobertas preliminares foram noticiadas em 
outubro. O concurso, denominado Grande Busca pelo 
Primo Mersenne na Internet (GIMPS em inglês), teve 
início em 1996 e procura números primos do tipo 2n – 
1, conhecidos como primos de Mersenne, dos quais 44 
já foram identificados (as novas descobertas seriam 
as de números 45 e 46).
A busca, utilizando recursos de centenas de 
computadores em todo o mundo, é lenta. Segundo 
a GIMPS, os testes com apenas um número, usando 
um Pentium 4, de 2 GHz pode levar dois meses. 
Portanto, pode-se comemorar, depois de dois anos 
sem novidades, a descoberta quase simultânea de 
dois primos de Mersenne – um no dia 23 de agosto e 
outro no dia 6 de setembro.
Há uma boa chance de que um desses recém-nascidos 
primos concorra ao prêmio de US$ 100 mil da 
Electronic Frontier Foundation, que será oferecido ao 
descobridor de um número primo com pelo menos 10 
milhões de dígitos. O recorde atual, o número 232582657 
– 1, descoberto em 2006, não se qualificou porque tem 
apenas 9.808.358 dígitos.
De qualquer forma, os novos números certamente 
ficarão entre os sete maiores de todos os números 
primos conhecidos. Já foi demonstrado que os primos 
de Mersenne menores que pa o sexto lugar do ranking 
são todos conhecidos. Qualquer que seja o resultado, 
a GIMPS oferecerá um prêmio ainda maior, de US$ 150 
mil, para quem descobrir um número primo de 100 
milhões de dígitos ou mais.
http://www2.uol.com.br/sciam/noticias/novos_
numeros_primos_gigantes_sao_anunciados.html
Anotações
matematica.indb 10 5/3/12 11:09 PM
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Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
11
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 
quando é par.
Exemplos: 48, 2854, 35986, etc.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 
quando a soma de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplos:
1) 12981 é divisível por 3, pois 1+2+9+8+1 = 21 é 
divisível por 3.
2) 3403 não é divisível por 3, porque 3+4+0+3 =10 
não é divisível por 3
Divisibilidadepor 4: Um número é divisível por 
4 se o número formado pelos seus dois últimos 
algarismos é divisível por 4.
Exemplos:
1) 5508728 é divisível por 4, pois 28 é divisível por 4;
2) 2200 é divisível por 4, pois 00 é divisível por 4;
3) 237550 não é divisível por 4, porque 50 não é 
divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 
quando o seu algarismo das unidades é 0 ou 5.
Exemplos: 3120, 1275, 65, etc.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 
quando for simultaneamente divisível por 2 e por 
3, isto é, quando for par e tiver a soma dos seus 
algarismos divisível por 3.
Exemplos:
1) 3483 não é divisível por 6, porque não é par;
2) 9824 não é divisível por 6, porque 9+8+2+4 = 23 
não é divisível por 3.
3) 624 é divisível por 6, porque além de ser par, tem 
a soma dos seus algarismos divisível por 3.
Divisibilidade por 7: Um número x é divisível por 
7 se a subtração entre o número que se obtém de x 
suprimindo o seu algarismo das unidades e o dobro 
desse algarismo (unidade) for divisível por 7.
Exemplos:
1) 385 é divisível por 7, pois 38 – 2.5 = 28 é divisível 
por 7;
2) 93 não é divisível por 7, pois 9 – 2.3 = 3 não é 
divisível por 7.
3) Vamos considerar agora um número maior, de 5 
dígitos, por exemplo, 43.234.
Em princípio faremos a diferença 4323 – 2.4 = 
4315. Para verificar se esse número é divisível 
por 7 devemos aplicar novamente o critério de 
divisibilidade, ou seja, 431 – 2.5 = 421. Novamente 
aplicando o critério, 42 – 2.1 = 40 que não é divisível 
por 7. Assim, o número inicial também não é 
divisível por 7.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 
8 se o número formado pelos seus três últimos 
algarismos é divisível por 8.
Exemplos:
1) 54872 é divisível por 8, porque 872 é divisível por 8.
2) 1844 não é divisível por 8, pois 844 não é divisível 
por 8.
3) 10188 não é divisível por 8, porque 188 não é 
divisível por 8. 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 
quando a soma de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplos:
1) 12981 não é divisível por 9, pois 1+2+9+8+1 = 21 
não é divisível por 9.
2) 52821 é divisível por 8, porque 5+2+8+2+1 = 18 
é divisível por 9
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 
10 quando o seu algarismo das unidades é 0.
Exemplos: 100, 640, 1870 são divisíveis por 10
Divisibilidade por 11: Basta atribuir aos 
algarismos do número considerado sinais de + 
e de -, alternadamente, da esquerda para direita 
(ou direita para a esquerda) e efetuar essa soma 
algébrica. Se o resultado obtido for divisível 
por 11, então o número inicial também será 
divisível por 11.
Critérios de Divisibilidade em 
matematica.indb 11 5/3/12 11:09 PM
12
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
Exemplos:
1) 192918 é divisível por 11, pois 1-9+2-9+1-8 = -22, 
que é divisível por 11.
2) 3192 não é divisível por 11, porque 3-1+9-2 =9 
não é divisível por 11.
Exercício Resolvido
Qual o maior valor do algarismo a a fim de que o 
número 27a5 seja divisível por 3?
Gabarito: 7
Operações com Frações: Adição e 
Subtração
1o caso: denominadores iguais – basta manter os 
denominadores e somar os numeradores.
Exemplos:
1) 
2) 
2o caso: denominadores diferentes – inicialmente 
devemos tirar o m.m.c. dos denominadores. Em 
seguida dividimos esse denominador pelo antigo e 
multiplicamos o resultado pelo numerador, a fim de 
obtermos frações com denominadores iguais.
Exemplos:
1) . O m.m.c. entre 8 e 12 é 24. 
Assim, 
2) 
Operações com Frações: Multiplicação
Neste caso basta multiplicar numerador com 
numerador e denominador com denominador.
Exemplo: 
1) 
2) 
Operações com Frações: Divisão
Mantemos a primeira fração e invertemos a 
segunda, invertendo também a operação para 
multiplicação.
Exemplos: 
1) 
2) 
Operações com Frações: Número 
Misto
É comum encontrarmos em livros de receita 
expressões do tipo “1½ xícara de leite” ou “3½ 
copos de água”, etc. Esses são exemplos de números 
mistos. Na verdade é apenas uma representação 
diferente para a soma de um número inteiro com 
uma fração.
Exemplos:
1) 1½ = 
2) 3½ = 
3) 73/4 = 
matematica.indb 12 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
13
Exercícios 
Questão 1
O maior valor do algarismo a a fim de que o número 
385a seja divisível por 3 é: 
a) 2 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 8
Questão 2
(Enem 2008)
A contagem de bois
Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, 
os bois são contados, tanto na chegada quanto 
na saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, 
ou seja, determinada área de pasto cercada 
de arame, ou mangueira, quando a cerca é de 
madeira. Na porteira de entrada do potreiro, 
rente à cerca, os peões formam a seringa ou funil, 
para afinar a fila, e então os bois vão entrando 
aos poucos na área cercada. Do lado interno, o 
condutor vai contando; em frente a ele, está o 
marcador, peão que marca as reses. O condutor 
conta 50 cabeças e grita: - Talha! O marcador, 
com o auxílio dos dedos das mãos, vai marcando 
as talhas. Cada dedo da mão direita corresponde 
a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. Quando 
entra o último boi, o marcador diz: - Vinte e 
cinco talhas! E o condutor completa: - E dezoito 
cabeças. Isso significa 1.268 bois.
Boiada, comitivas e seus peões. In: O Estado 
de São Paulo, ano VI. ed. 63. 21/12/1952 (com 
adaptações).
Para contar os 1.268 bois de acordo com o processo 
descrito no texto, o marcador utilizou 
a) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda. 
b) 20 vezes todos os dedos da mão direita. 
c) todos os dedos da mão direita apenas uma vez. 
d) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez. 
e) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes 
todos os dedos da mão direita. 
Questão 3
(Enem 2010) A disparidade de volume entre os 
planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns 
dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de 
todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem 
três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela 
cabem sete Martes. Netuno e o quarto maior: dentro 
dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: 
dentro dele cabem 23 Netunos. Revista Veja. Ano 41, 
nº. 26, 25 jun. 2008 (adaptado)
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras 
cabem dentro de Júpiter? 
a) 406 b) 1 334 c) 4 002 d) 9 338 e) 28 014 
Questão 4
(Enem 2009) Nos últimos anos, o volume de petróleo 
exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva 
tendência de crescimento, ultrapassando as 
importações em 2008.
Entretanto, apesar de as importações terem se 
mantido praticamente no mesmo patamar desde 
2001, os recursos gerados com as exportações 
ainda são inferiores àqueles despendidos com as 
importações, uma vez que o preço médio por metro 
cúbico do petróleo importado é superior ao do 
petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, 
foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações 
e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as 
exportações. O preço médio por metro cúbico em maio 
de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e 
de 230 dólares para o petróleo exportado.
O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 
2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.
Comércio exterior de petróleo 
(milhões de metros cúbicos)
Ano Importação Exportação
2001 24,19 6,43
2002 22,06 13,63
2003 19,96 14,03
2004 26,91 13,39
2005 21,97 15,93
2006 20,91 21,36
2007 25,38 24,45
2008 23,53 25,14
2009* 9,00 11,00
*Valores apurados de janeiro a maio de 2009.
Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 
jul. 2009 (adaptado).
matematica.indb 13 5/3/12 11:09 PM
14
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatísticae Probabilidade
Considere que as importações e exportações de 
petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais 
a das importações e exportações, respectivamente, 
ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse 
caso, supondo que os preços para importação e 
exportação não sofram alterações, qual seria o valor 
mais aproximado da diferença entre os recursos 
despendidos com as importações e os recursos 
gerados com as exportações em 2009? 
a) 600 milhões de dólares. 
b) 840 milhões de dólares. 
c) 1,34 bilhão de dólares. 
d) 1,44 bilhão de dólares. 
e) 2,00 bilhões de dólares. 
Questão 5 
(FGV) Simplificando a fração
 3
4 + 1
3 + 2
5
 obteremos:
a) 51/73 
b) 47/69 
c) 49/71 
d) 45/67 
e) 53/75
Anotações
matematica.indb 14 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
15
Adição e Subtração
Exemplo: Para ser aprovado numa disciplina numa 
certa universidade, você precisa somar, nas três 
provas aplicadas, 21 pontos. Se você teve nota 7,4 
na primeira, 8,33 na segunda, e 6 na terceira, você 
será aprovado?
Para somar ou diminuir números decimais basta 
colocar vírgula embaixo de vírgula e igualar as casas 
decimais completando-as com números zero. Após 
isso basta somar (diminuir) normalmente como se 
fossem números inteiros.
Somando as notas das três provas:
7,4
⇒
7,40
8,33 + 8,33 +
6 6,00
21,73
Como a soma foi maior do que 21, você pode se 
considerar aprovado.
Multiplicação
Exemplo: O Pai de André propôs pagar-lhe R$ 3,45 
por cada hora que ele se dedicasse estudando para 
as provas finais ao longo de uma semana. No fim 
desse período André somou suas horas de estudo 
e conclui que deu 20,3 horas. Dessa forma, quanto 
recebeu de seu pai?
Para multiplicar números decimais basta efetuar 
normalmente a operação fazendo de conta que as 
vírgulas não existem. Ao final, o número de casas 
decimais do produto é igual à soma dos números 
de casas decimais de cada fator.
Para calcular o valor recebido por André, basta 
multiplicar:
 3,45
 20,3
 1035
 000 +
 690
R$70,035 3 casas decimais, 
 pois existem 3 casas 
 nos dois fatores.
Divisão
Exemplo: Ao passar no caixa de um supermercado, 
Antônio paga R$14,70 por um pacote de maçã cujo 
peso é de 4,2Kg. Quanto custa cada quilo dessa maçã?
Para efetuar a divisão de dois números decimais 
basta igualar o número de casas depois da vírgula 
(caso essas sejam diferentes) e abandonarmos as 
vírgulas. Em seguida dividimos normalmente como 
se fossem números naturais.
Voltando ao exemplo anterior, temos que dividir 
14,70 por 4,2:
14,70 4,2
Igualando o número de casas decimais
Cortanto as vírgulas
14,70 4,20
1470 420
2100 3,5
0
Portanto, cada quilo de maçã custa R$3,50.
Operações com números na 
forma decimal
matematica.indb 15 5/3/12 11:09 PM
16
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
Transformação de Decimais em 
Frações
Decimais finitos
Observe que:
1) 7/10 = 0,7
2) 7/100 = 0,07
3) 7/1000 = 0,007
4) 216/100 = 2,16
Todo número cuja representação decimal for finita 
pode ser escrito na forma de uma fração com 
denominador 10, 100, 1000, etc.
O numerador da fração é o número inteiro que se obtém 
abandonando a vírgula e o denominador é formado 
pelo número 1 acrescido de tantos zeros quanto forem 
as casas após a vírgula do número fornecido.
Dízimas periódicas
Observe as divisões:
1) 5/9 = 0,55555....
2) 32/99 = 0,32323232...
3) 121/999 = 0,121121121...
Note que estes números têm uma representação 
decimal infinita e periódica e são chamados 
de dízimas periódicas simples. A fração que 
os representa (Fração Geratriz) tem como 
denominador números 9.
Podemos estabelecer a seguinte regra para dízimas 
periódicas simples: o numerador da fração geratriz 
será o número do período e o denominador será 9 
ou 99 ou 999, etc..., ou seja, será formado por tantos 
nove quanto forem os algarismos do período.
Exemplos:
1) 0,454545... = 45/99
2) 0,761576157615... = 7615/9999
3) 0,222222... = 2/9
E se o número for, por exemplo, 2,3222222.... ou 
0,43717171...?
Neste caso será chamado de dízima periódica 
composta e a sua transformação em fração pode 
ser feita da seguinte maneira: 
Exemplos:
1) 2,3222222... =
 
 
2) 0,43717171... = 
Exercício Resolvido
1) No tanque do seu carro cabem 50 litros de gasolina. 
Num certo momento, o marcador indica que ainda 
resta 1/4 do tanque. Se você quiser completar, quantos 
litros de gasolina deverá comprar? Se a gasolina custa 
R$2,58 o litro, quanto você pagará para completar o 
tanque?
Gabarito: 37,5 litros e R$ 96,75 para completar o 
tanque.
Exercícios 
Questão 1
(Enem cancelado 2009) Três empresas de táxi W, K 
e L estão fazendo promoções: a empresa W cobra 
R$ 2,40 a cada quilômetro rodado e com um custo 
inicial de R$ 3,00; a empresa K cobra R$ 2,25 a cada 
quilômetro rodado e uma taxa inicial de R$ 3,80 e, por 
fim, a empresa L, que cobra R$ 2,50 a cada quilômetro 
rodado e com taxa inicial de R$ 2,80. Um executivo 
está saindo de casa e vai de táxi para uma reunião 
que é a 5 km do ponto de táxi, e sua esposa sairá do 
hotel e irá para o aeroporto, que fica a 15 km do ponto 
de táxi.
Assim, os táxis que o executivo e sua esposa deverão 
pegar, respectivamente, para terem a maior economia 
são das empresas 
a) W e L. b) W e K. c) K e L. 
d) K e W. e) K e K.
matematica.indb 16 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
17
Questão 2 
(Enem 2003) Os acidentes de trânsito, no Brasil, em 
sua maior parte são causados por erro do motorista. 
Em boa parte deles, o motivo é o fato de dirigir 
após o consumo de bebida alcoólica. A ingestão de 
uma lata de cerveja provoca uma concentração de 
aproximadamente 0,3 g/L de álcool no sangue.
A tabela a seguir mostra os efeitos sobre o corpo 
humano provocados por bebidas alcoólicas em 
função de níveis de concentração de álcool no sangue:
Uma pessoa que tenha tomado três latas de cerveja 
provavelmente apresenta 
a) queda de atenção, de sensibilidade e das reações 
motoras. 
b) aparente normalidade, mas com alterações clínicas. 
c) confusão mental e falta de coordenação motora. 
d) disfunção digestiva e desequilíbrio ao andar. 
e) estupor e risco de parada respiratória. 
Questão 3
(Enem 2009) A resolução das câmeras digitais 
modernas é dada em megapixels, unidade de medida 
que representa um milhão de pontos. As informações 
sobre cada um desses pontos são armazenadas, em 
geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens 
ocupem muito espaço, elas são submetidas a 
algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% 
a quantidade de bytes necessários para armazená-
las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 
GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo 
algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 
150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja 
armazená-las de modo que o espaço restante no 
dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve 
utilizar 
a) um CD de 700 MB. 
b) um pendrive de 1 GB. 
c) um HD externo de 16 GB. 
d) um memory stick de 16 MB. 
e) um cartão de memória de 64 MB. 
Questão 4
(Enem 1998) No quadro a seguir estão as contas de 
luz e água de uma mesma residência. Além do valor a 
pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função 
do consumo de água (em m3) e de eletricidade (em 
kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar 
é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. 
Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e 
diferentes faixas de tarifação. 
Suponha que dobre o consumo d’água. O novo valor 
da conta será de: 
a)R$ 22,90 b) R$ 106,46 c) R$ 43,82 
d) R$ 17,40 e) R$ 22,52 
Questão 5 
(UFES) Antônio compra abacaxis de um fornecedor ao 
preço de R$ 1,00 o lote de 3 unidades. Ele os revende 
na feira em amarrados com 5 unidades. Se o preço de 
cada amarrado é de R$ 2,00, quantos abacaxis deverá 
vender para ter um lucro de R$ 100,00?
a) 1.300 b) 1.400 c) 1.500
d) 1.600 e) 1.700
matematica.indb 17 5/3/12 11:09 PM
18
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
Nem toda solução de um problema matemático 
é um número. Muitas vezes essa solução é um 
conjunto numérico contido em .
Definição
Considere duas números reais a e b, com a<b.
I) Intervalo aberto de extremos a e b
É o conjunto . 
Além da representação também utilizamos 
.
Geometricamente representamos
a b
II) Intervalo fechado de extremos a e b
É o conjunto .
Geometricamente representamos
a b
III) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita 
extremos a e b
É o conjunto .
Geometricamente representamos
a b
IV) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita 
extremos a e b
É o conjunto .
Geometricamente representamos
a b
V) Intervalos infinitos
a) 
b
b) 
b
c) 
b
d) 
b
Exemplo: Suponha que seu intervalo para almoço 
comece às 12hs e termine às 14:00hs . Usando 
a linguagem matemática teríamos 3 formas de 
representação:
1a) Almoço = 
2a) Almoço = 
3a) Almoço : 
12 14
União e Intersecção de Intervalos
Considere como exemplo os intervalos A = [3,5] e 
B = ]3,7].
União de A e B
3 7
3 7
3
A
B
A ∪ B
5
Intersecção de A e B
3 7
3
3
A
B
A ∩ B
5
5
Intervalos em R
matematica.indb 18 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
19
Desigualdades
Exemplo: Obtenha o conjunto solução das seguintes 
desigualdades abaixo.
1) 
Resolução:
2) 
Resolução: 
Chamamos essa desigualdade de inequação 
simultânea e resolvemos desse modo:
3) 
Resolução: 
Como temos um sistema com duas inequações, 
obteremos o conjunto solução de cada uma delas. 
A solução geral será um conjunto que satisfaz às 
duas simultaneamente, portanto, a intersecção das 
soluções individuais.
(I) 
(II) 
Solução Final: 
Exercícios 
Questão 1
Em qual das alternativas abaixo está representada 
a intersecção entre os intervalos A = (1,9] e 
?
a) 
5 9
b) 
5 9
 
c) 
5 9
d) 
5 9
e) 
5
Questão 2
(G1 - cps 2005) Dois jovens viveram concomitante-
mente durante um certo tempo na cidade de São 
Paulo. O primeiro jovem afirmou que mora na cidade 
a partir do ano indicado na inequação 2t - 3960 ≥ 0 
e o segundo jovem morou na cidade antes do ano 
indicado na inequação 3t - 6000 ≤ 0, onde t é o ano 
do calendário.
Com estas informações pode-se dizer que os jovens 
viveram simultaneamente na cidade de São Paulo 
durante 
a) 30 anos. b) 25 anos. c) 20 anos. 
d) 15 anos. e) 10 anos. 
Questão 3
(Pucmg 2004) Para se tornar rentável, uma granja 
deve enviar para o abate x frangos por dia, de modo 
que seja satisfeita a desigualdade 1,5x + 80 ≤ 2,5x - 20. 
Nessas condições, pode-se afirmar que o menor valor 
de x é: 
a) 100 b) 200 
c) 300 d) 400 
matematica.indb 19 5/3/12 11:09 PM
20
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
Questão 4
(Enem 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de 
produto e sempre vende tudo o que produz. O custo 
total para fabricar uma quantidade q de produtos é 
dado por uma função, simbolizada por , enquanto 
o faturamento que a empresa obtém com a venda da 
quantidade q também é uma função, simbolizada 
por . O lucro total obtido pela venda da 
quantidade q de produtos é dado pela expressão 
. Considerando-se as funções 
 e como faturamento e 
custo, qual a quantidade mínima de produtos que a 
indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? 
a) 0 b) 1 c) 3 
d) 4 e) 5 
Questão 5 
(Enem 2005) O gás natural veicular (GNV) pode 
substituir a gasolina ou álcool nos veículos 
automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade 
tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, 
que recuperam em um tempo relativamente curto 
o investimento feito com a conversão por meio da 
economia proporcionada pelo uso do gás natural. 
Atualmente, a conversão para gás natural do motor 
de um automóvel que utiliza a gasolina custa 
 Um litro de gasolina permite percorrer 
cerca de e custa enquanto um metro 
cúbico de GNV permite percorrer cerca de e 
custa Desse modo, um taxista que percorra 
 por mês recupera o investimento da 
conversão em aproximadamente: 
a) 2 meses. b) 4 meses. c) 6 meses. 
d) 8 meses. e) 10 meses. 
Anotações
matematica.indb 20 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
21
Dizemos que a Razão entre dois números e é 
o quociente . Também podemos simbolizar por a:b.
Chamamos de Proporção à igualdade entre duas 
razões .
A propriedade mais importante das proporções é 
a de que “o produdo dos extremos (a.d) é igual ao 
produto dos meios (b.c)”, ou seja
Exemplo
Numa sala há 10 mulheres a mais do que homens. 
Se a razão entre o número de mulheres e o número 
de homens é de 3 para 2, determine o total de 
alunos dessa sala.
Resolução:
Número de homens: x
Número de mulheres: x + 10
Assim, há 20 homens e 30 mulheres e o total de 
alunos é 50.
Grandezas diretamente proporcionais
Se 1kg de feijão custa R$2,00, naturalmente 2kg 
custará R$4,00, 3kg custará R$6,00 e assim por 
diante. Dizemos que essas duas grandezas são 
diretamente proporcionais. Observe na tabela a 
seguir a relação entre elas.
Quilo Preço
 1 2
 2 4
 3 6
O quociente é constante: 
2 4 6
1 2 3
= = = . . .
...
...
Grandezas inversamente proporcionais
Imagine você faça uma viagem de uma cidade 
A até uma cidade B em 20 minutos, com um 
automóvel com velocidade média de 80Km/h. Se 
você dobrar a grandeza velocidade (160Km/h), o 
tempo se reduzirá à metade, isto é, 10 minutos. E se 
você reduzir a velocidade pela metade, ou seja, se 
você for a 40Km/h, o tempo certamente duplicará 
(40minutos). Esse comportamento faz com que 
essas grandezas sejam chamadas de inversamente 
proporcionais. Observe na tabela.
Velocidade Tempo
 80 20
 160 10
 40 40
O produto é constante: 
80•20 = 160•10 = 40•40 = ...
. . ....
Exercícios Resolvidos
1) (FAAP) Duas grandezas L e M são diretamente 
proporcionais e têm suas medidas relacionadas 
conforme a tabela:
L 2 4 Y 8 t
M x 36 54 z 108
A soma dos valores de x, y, z e t é:
a) 66 b) 36 c) 72 
d) 54 e) 108
Resolução:
Grandezas diretamente proporcionais têm divisão 
constante. Assim:
 e 
 e
Razões e Proporções
matematica.indb 21 5/3/12 11:09 PM
22
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
 e
Portanto, . Gabarito: E
2) (Enem 1999) Muitas usinas hidroelétricas estão 
situadas em barragens. As características de algumas 
das grandes represas e usinas brasileiras estão 
apresentadas no quadro a seguir.
A razão entre a área da região alagada por uma 
represa e a potência produzida pela usina nela 
instalada é uma das formas de estimar a relação 
ente o dano e o benefício trazidos por um projeto 
hidroelétrico. A partir dos dados apresentados no 
quadro, o projeto que mais onerou o ambiente em 
termos de área alagada por potência foi 
a) Tucuruí b) Furnas c) Itaipu 
d) Ilha Solteira e) Sobradinho 
Gabarito: E
3) (Enem 2011) Cerca de 20 milhões de brasileiros 
vivem na região coberta pela caatinga, em quase800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem 
do sertão precisa e sua família precisam caminhar 
quilômetros em busca da água dos açudes. A 
irregularidade climática é um dos fatores que mais 
interferem na vida do sertanejo.
Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso em: 23 
abr. 2010.
Segundo este levantamento, a densidade demográfica 
da região coberta pela caatinga, em habitantes por 
km2, é de 
a) 250. b) 25. c) 2,5. 
d) 0,25. e) 0,025. 
Gabarito: B
Exercícios 
Questão 1
(Enem 2010) No monte de Cerro Armazones, no 
deserto de Atacama, no Chile, ficara o maior 
telescópio da superfície terrestre, o Telescópio 
Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá 
um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior 
olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso 
em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora 
fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano 
mede aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho 
humano, suposto pela professora, e o diâmetro do 
espelho primário do telescópio citado? 
a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 
d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000 
Questão 2 
(Enem 2ª aplicação 2010) Fontes alternativas
Há um novo impulso para produzir combustível a 
partir de gordura animal. Em abril, a High Plains 
Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria próxima a 
uma fábrica de processamento de carne suína em 
Guymon, Oklahoma. A refinaria converte a gordura 
do porco, juntamente com o o óleo vegetal, em 
biodiesel. A expectativa da fábrica é transformar 14 
milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de 
litros de biodiesel.
Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 
(adaptado).
Considere que haja uma proporção direta entre 
a massa de banha transformada e o volume de 
biodiesel produzido.
Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a 
massa de banha necessária, em quilogramas, será de, 
aproximadamente, 
a) 6 milhões. 
b) 33 milhões. 
c) 78 milhões. 
d) 146 milhões. 
e) 384 milhões. 
matematica.indb 22 5/3/12 11:09 PM
Matemática e suas Tecnologias 
Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
23
Questão 3
(Enem 2010) A relação da 
resistência elétrica com as 
dimensões do condutor foi 
estudada por um grupo de 
cientistas por meio de vários 
experimentos de eletricidade. 
Eles verificaram que existe 
proporcionalidade entre:
 • resistência (R) e comprimento 
(ℓ), dada a mesma secção 
transversal (A);
 • resistência (R) e área da 
secção transversal (A), dado o 
mesmo comprimento (ℓ) e
 • comprimento (ℓ) e área da secção 
transversal (A), dada a mesma resistência 
(R).
Considerando os resistores como fios, pode-
se exemplificar o estudo das grandezas que 
influem na resistência elétrica utilizando as 
figuras seguintes.
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes 
entre resistência (R) e comprimento (ℓ), resistência (R) e área 
da secção transversal (A), e entre comprimento (ℓ) e área da 
secção transversal (A) são, respectivamente, 
a) direta, direta e direta. 
b) direta, direta e inversa. 
c) direta, inversa e direta. 
d) inversa, direta e direta. 
e) inversa, direta e inversa. 
Anotações
matematica.indb 23 5/3/12 11:09 PM
24
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Conhecimentos Numéricos, Estatística e Probabilidade
Questão 4 
(Enem 2009) A suspeita de 
que haveria uma relação 
causal entre tabagismo 
e câncer de pulmão foi 
levantada pela primeira 
vez a partir de observações 
clínicas. Para testar essa 
possível associação, foram 
conduzidos inúmeros estudos 
epidemiológicos. Dentre esses, 
houve o estudo do número de 
casos de câncer em relação 
ao número de cigarros consumidos por dia, cujos 
resultados são mostrados no gráfico a seguir.
De acordo com as informações do gráfico, 
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas inversamente 
proporcionais. 
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que não se 
relacionam. 
Questão 5 
(Enem 2011) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres 
de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do 
SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma 
faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo 
motivo.Época. 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um 
acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o 
acréscimo de internações de homens por AVC ocorra 
na mesma proporção.
De acordo com as informações dadas, o número de 
homens que seriam internados por AVC, nos próximos 
cinco anos, corresponderia a 
a) 4 mil. b) 9 mil. c) 21 mil. 
d) 35 mil. e) 39 mil. 
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas diretamente 
proporcionais. 
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será 
diagnosticada com câncer de pulmão. 
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos 
de câncer de pulmão são grandezas que estão 
relacionadas, mas sem proporcionalidade. 
Anotações
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