Aula Exercicios EDO 2a Ordem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
AULA 4 - TUTORIA DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I
Questa˜o 1. Encontre a soluc¸a˜o particular para o seguinte problema usando o me´todo
dos coeficientes a determinar:
y′′ + 2y′ + 3y = t2e2t.
A equac¸a˜o caracter´ıstica da equac¸a˜o homogeˆnea
y′′ + 2y′ + 3y = 0
e´
r2 + 2r + 3 = 0,
cujas ra´ızes sa˜o r1 = −1 + i
√
2 e r2 = −1 − i
√
2. Logo a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
homogeˆnea e´
y(t) = c1e
−t cos(
√
2 t) + c2e
−tsen(
√
2 t).
Portanto a equac¸a˜o na˜o homogeˆnea tem uma soluc¸a˜o da forma
yp(t) = (A + Bt + Ct
2)e2t.
Como
y′p(t) = (B + 2Ct)e
2t + 2(A + Bt + Ct2)e2t = [(2A + B) + (2B + 2C)t + 2Ct2]e2t
e
y′′p(t) = [(4A + 4B + 2C) + (4B + 8C)t + 4Ct
2]e2t.
Logo yp e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial se e somente se
{[(4A+4B+2C)+(4B+8C)t+4Ct2]+2[(2A+B)+(2B+2C)t+2Ct2]+3(A+Bt+Ct2)}e2t =
= t2e2t.
Ou seja, se e somente se 
11A + 6B + 2C = 0
11B + 12C = 0
11C = 1
Portanto A = 50/1331, B = −12/121 e C = 1/11 e uma soluc¸a˜o particular e´
yp(t) =
(
50
1331
− 12
121
t +
1
11
t2
)
e2t.
Questa˜o 2. Use o me´todo de reduc¸a˜o de ordem para encontrar o conjunto fundamental
de soluc¸o˜es da EDO:
x2y′′ + xy′ + (x2 − 1/4)y = 0.
onde y1(x) = sen(x)/
√
x e´ uma soluc¸a˜o (verifique isso).
Vamos supor que x > 0. Como
y′1(x) =
2x cos(x)− sen(x)
2(
√
x)3
e
y′′1(x) =
(3− 4x2)sen(x)− 4x cos(x)
4(
√
x)5
x2
(
(3− 4x2)sen(x)− 4x cos(x)
4(
√
x)5
)
+ x
(
2x cos(x)− sen(x)
2(
√
x)3
)
+ (x2 − 1/4)
(
sen(x)√
x
)
= 0.
donde segue que y1(x) = sen(x)/
√
x e´ uma soluc¸a˜o.
Para determinarmos uma segunda soluc¸a˜o devemos encontrar uma func¸a˜o v(x) tal que
y(x) = (u(x)sen(x))/
√
x seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial dada. Derivando-se tal func¸a˜o
duas vezes e substituindo as derivadas na equac¸a˜o diferencial obtemos a relac¸a˜o
sen(x)√
x
v′′ +
2 cos(x)√
x
v′ = 0.
Fazendo-se w = v′ obtemos
sen(x)w′ + 2 cos(x)w = 0,
cuja soluc¸a˜o e´ w(x) = sen2(x). Portanto v(x) = [2x− sen(2x)]/4 e uma segunda soluc¸a˜o e´
y2 =
sen(x)[2x− sen(2x)]
4
√
x
.
Basta observar que com esta construc¸a˜o y1(x) e y2(x) formam um conjunto de soluc¸o˜es
fundamentais.
Questa˜o 3. Use o me´todo de reduc¸a˜o de ordem para resolver o PVI:
(x− 1)y′′ − xy′ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.
onde y1(x) = e
x e´ uma soluc¸a˜o da EDO (verifique isso).
Observemos inicialmente que como y′1(x) = y
′′
1(x) = y1(x) = e
x, enta˜o
(x− 1)y′′1 − xy′1 + y1 = 0.
Portanto y1(x) = e
x e´ uma soluc¸a˜o da EDO.
Para determinarmos uma segunda soluc¸a˜o devemos encontrar uma func¸a˜o v(t) tal que
y(t) = u(t)ex seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial dada. Derivando-se tal func¸a˜o duas
vezes e substituindo-se na equac¸a˜o diferencial obtemos a relac¸a˜o
(x− 1)v′′ + (x− 2)v′ = 0.
Logo fazendo-se w = v′ obtemos
(x− 1)w′ + (x− 2)w = 0,
cuja soluc¸a˜o e´ w(x) = −e−x(x− 1), se x ≤ 1. Portanto
v(x) = xe−x.
Logo a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´
y(x) = c1e
x + c2xe
−xex = c1ex + c2x
e a soluc¸a˜o do PVI e´
y(x) = x.