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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PROFESSORA: JOANA DARC A. S. DA CRUZ LISTA DE EXERCI´CIOS DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I - SE´RIES DE FUNC¸O˜ES 1. Determine o intervalo de convergeˆncia de cada uma das se´ries abaixo: (a) 1 + ∞∑ n=1 xn 2n (b) ∞∑ n=1 x2n 3nn2 (c) ∞∑ n=0 (2n + 8)3x2n+1 (d) ∞∑ n=0 (2x + 3)n 52n (e) ∞∑ n=0 √ 3n(n + 1) n2 + 1 x2n (f) ∞∑ n=2 xn log n (g) ∞∑ n=1 n!xn (2n)! (h) ∞∑ n=0 (−1)n(x− 1)n (n + 1)2n (i) ∞∑ n=0 (n + 1)!(x− 5)n 10n (j) ∞∑ n=1 (x− e)n lnn nen 2. Mostre que ∞∑ n=1 n 2n = 2 Sugesta˜o: Considere o desenvolvimento, em poteˆncias de x, de xf ′, onde f = (1− x)−1. 3. Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo. (a) 1 x em poteˆncias de (x + 1) Sugesta˜o: 1 x = 1 (x + 1)− 1 = −1 1− (x + 1) . (b) 4 3x em poteˆncias de (x− 2) (c) 3x 2x− 1 em poteˆncias de (x− 1). Sugesta˜o: 3x 2x− 1 = [3(x− 1) + 3] 1 1 + 2(x− 1) (d) (1 + x)−3 em poteˆncias de x. 4. Identifique as func¸o˜es definidas pelas se´ries de poteˆncias dadas. (a) ∞∑ n=1 (n + 1)xn (b) ∞∑ n=1 (n + 2) xn 2n+1 5. Obtenha a se´rie de poteˆncias de x para: (a) f(x) = x 2− 3x (b) 1 x2 − 3x + 2 (c) f(x) = ∫ x 0 ln(1 + t2) dt 6. Expanda as func¸o˜es abaixo em se´ries de poteˆncias de (x− a). (a) f(x) = 1 (1 + x)2 , a = 0 (b) f(x) = e−2x, a = −1 (c) f(x) = ln(x + 2), a = 1. 7. Fac¸am os exerc´ıcios da Sec¸a˜o 2.4 do nosso livro texto.
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