Lista3 EDO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MAT 029 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I – Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Terceira Lista de Exerc´ıcios - EDO’s
1. Resolva
(a) y′ =
1 + 3t2
3y2 − 6y , y(0) = 1
(b) xy′ = −2y + x2 − x+ 1
(c) y = ex − xy′, y(1) = 1
(d) (x+ 1)y + (x2 − 1)y′ − 1 = 0, y(0) = 1
(e) 2y dy + sen(x) dx = 0
(f) y3
dy
dx
= (y4 + 1) cos(x)
(g) (x− xy) dy + (y + xy) dx = 0
(h)
t
(t2 + y2)3/2
+
y
(t2 + y2)3/2
y′ = 0, y(0) = 2
(i) 1 + (
t
y
− sen(y))y′ = 0, y(0) = pi
2
(j) y′ − y = (x− 1)sen(x) + (x+ 1) cos(x)
(k) yy′′ + (y′)2 = yy′
(l) y′′ = 2y(y′)3
(m) y′′ = (x+ y′)2
(n)
(1 + (y′)2)3/2
y′′
= 2y
√
1 + (y′)2
(o) y′′ + 2y′ + 5y = 15e−2x, y(0) = 0, y′(0) = 0
(p) y′′ + 4y = 3sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = −1
(q) y′′′ − 3y′′ + 2y′ = 0
(r) y′′ − 4y′ + 4 = 2x2 + 4xe2x + xsen(2x)
(s) 9y(3) + 12y′′ + 4y′ = 0
(t) 3y(3) − 2y′′ + 12y′ − 8y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 0
1
2. Mostre que y1(x) = x e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Legendre (1−x2)y′′−2xy′+
2y = 0, e determine um Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es, desta equac¸a˜o.
Sugesta˜o: y2(x) = u(x)y1(x) (me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem).
3. Mostre que a substituic¸a˜o v = ln(y) transforma a equac¸a˜o diferencial y′+p(x)y =
q(x)y ln(y) na equac¸a˜o linear v′ + p(x) = q(x)v.
4. Resolva a equac¸a˜o xy′ − 4x2y + 2y ln(y) = 0.
5. Determinar a equac¸a˜o da curva que passa pelo ponto (3, 4) sabendo que o declive
da tangente num ponto qualquer e´ igual a −x
y
.
6. Determine para que valores de r a equac¸a˜o linear y′+2y = 0 tem soluc¸a˜o do tipo
y = erx.
7. Seja y = y1(x) soluc¸a˜o de y
′ + p(x)y = 0 e seja y = y2(x) soluc¸a˜o de y′ + p(x)y =
g(x). Mostre que y = y1(x) + y2(x) e´ tambe´m soluc¸a˜o de y
′ + p(x)y = g(x).
8. Determinar a equac¸a˜o da curva cuja segunda derivada e´ igual a
3
4
sabendo que a
curva passa pelos pontos (3, 2) e (6,−4).
9. Determinar a equac¸a˜o da curva cuja segunda derivada e´ igual a
1
x3
sabendo que a
curva passa pelo ponto (1, 4) e tem por tangente neste ponto a reta 2y = 3x+ 2.
10. Mostre que se p(x) e´ um polinoˆmio de grau n enta˜o a equac¸a˜o diferencial xy′+y =
p(x) tem exatamente uma soluc¸a˜o polinoˆmial de grau n.
11. Um peso atado a uma mola oscila para baixo e para cima com um movimento
perio´dico. A equac¸a˜o do movimento e´
d2s
dt2
+16s = 0 onde s e´ a distensa˜o da mola
no instante t. Se s = 2 e
ds
dt
= 1 quando t = 0, determine s como func¸a˜o de t.
12. Quando ac¸u´car e´ dissolvido em a´gua, a quantidadeA que permanece na˜o-dissolvida
apo´s t minutos satisfaz a equac¸a˜o diferencial
dA
dt
= −kA (k > 0). Se 25% do
ac¸u´car sa˜o dissolvidos apo´s 1 minuto, quanto se passa ate´ que metade do ac¸u´car
se dissolva?
2