capitulo5 - Diagramas de Equilibrio

Prévia do material em texto

CAPÍTULO V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIAGRAMAS DE EQUILÍBRIO
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 90
DIAGRAMAS DE EQUILÍBRIO DE MATERIAIS CERÂMICOS 
 
5.1. Introdução 
O que foi visto até agora refere-se à estrutura fundamental dos materiais, ou seja, seus átomos 
e suas ligações, bem como o modo como se organizam espacialmente quando ligados. Neste 
capítulo, ampliaremos a visão dos materiais, considerando as situações em que estes são 
constituídos por vários elementos químicos e várias fases co-existem. Isto será feito considerando a 
situação de equilíbrio termodinâmico do material. Esta situação será representada através de um 
diagrama, denominado diagrama de equilíbrio de fases ou simplesmente diagrama de fases. 
O diagrama de fases é uma ferramenta poderosíssima na pesquisa e no projeto de materiais, 
pois ele indica as fases presentes em um dado material a partir de sua composição e de outras 
condições tais como temperatura e pressão. 
Como exemplo simples de um diagrama de equilíbrio, vejamos o caso da água. Sabemos que 
a água é líquida entre 0° e 100°C, em condições de pressão atmosférica. Abaixo de 0°C, ela estaria 
na forma sólida e acima de 100°C, na forma gasosa, nas mesmas condições de pressão. Estas 
temperaturas, entretanto, variam conforme a pressão. A figura 5.1 é um diagrama de equilíbrio da 
água. Ele mostra o estado físico da água em função da temperatura e da pressão a que está 
submetida. 
 
 
Figura 5.1: Diagrama de equilíbrio da água em função da temperatura e pressão. 
 
Antes de falar sobre os diagramas de equilíbrio é necessário que certas definições estejam 
claras. É necessário também que a base termodinâmica para os diagramas seja comentada. 
Neste capítulo, vamos usar certo vocábulos com alguma freqüência, tais como equilíbrio 
termodinâmico, fase, componente de sistema, sistemas ternários e binários, transformação de fase, 
fase estável e meta-estável, o nome de diversas reações tais como eutética, peritética, etc. Em 
seguida, o sentido de alguns destes vocábulos será comentado e nas seções seguintes o restante 
deles será tratado. 
 
• Componentes de um sistema: para os sistemas que iremos estudar, um componente é um elemento 
químico. Por exemplo, se o sistema é a água, H2O, o hidrogênio e o oxigênio são os componentes 
do sistema. No titanato de bário, teremos três componentes, o titânio, o oxigênio e o bário. 
Existem casos em que, por praticidade, substâncias constituídas por mais de um elemento químico 
são consideradas como componentes do sistema. Esta exceção se aplica a casos em que a 
conveniência e a simplicidade se impõem. Como exemplo disso pode ser citado o sistema 
Administrador
Highlight
Administrador
Highlight
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 91
alumínio, oxigênio e silício, que tem três componentes, mas em certos casos pode ser considerado 
como sendo o sistema óxido de alumínio e óxido de silício, que possui dois componentes. Os 
sistemas cerâmicos são tratados desta forma. 
 
• Sistemas unários, binários, ternários etc: estes nomes se referem ao número de componentes que 
possui o sistema. Sistemas com um componente são chamados unários; com dois componentes 
são binários; com três são ternários. O próximo é quaternário. Para o caso em que o componente 
não seja um elemento químico, mas uma substância com mais de um elemento, temos um nome 
especial. Por exemplo, o sistema Al-Si-O é ternário, mas ele pode convenientemente ser tratado 
como um sistema do tipo Al2O3-SiO2. Neste caso, temos dois componentes e o sistema é chamado 
de pseudo-binário, pois os sistema binários são constituídos por componentes que são elementos 
químicos. 
 
• Fases: devemos diferenciar bem os termos fase e componente do sistema. O componente já foi 
explicado. Ele é uma unidade fundamental do sistema. A fase é uma das várias possíveis formas 
que os componentes podem ter. Por exemplo, uma forma líquida, gasosa ou uma determinada 
forma cristalina. Fase é considerada como sendo uma parte uniforme da matéria, possuindo 
composição, estrutura e propriedades específicas. Muitos materiais são constituídos por mais de 
uma fase. Exemplo: o concreto é formado por no mínimo duas fases distintas ao olho nu: o 
cimento e a brita. Uma xícara de chá onde se colocou muito açúcar contém duas fases: o chá e o 
açúcar que não dissolveu. Um copo cheio de água onde se adicionou óleo possui duas fases: o a 
água e o óleo que fica por cima da água. Em todos estes exemplos, as fases são perfeitamente 
identificadas apenas pelo olho humano, pois seus aspectos são diferentes. Existem casos em que 
testes mais sofisticados devem ser empregados para se determinar quantas fases e quais estão 
presentes em um dado material. Adicionalmente, os casos citados são exemplos de fases cujas 
composições são muito diferentes. Por exemplo, o cimento tem composição totalmente diferente 
da composição da brita. O mesmo vale para a água e o óleo. Porém, existem casos onde duas fases 
possuem a mesma composição. Um exemplo disso é dado pelo carbono. Ele pode se apresentar na 
forma de diamante, de grafite ou na forma amorfa, ou ainda de fulereno. Todas estas são fases 
distintas do carbono. 
 
• Solução sólida: este conceito deve ser salientado, pois apesar de sua simplicidade, ele costuma 
provocar alguma confusão. Não há qualquer dificuldade de entender uma solução de um sólido 
em um líquido. Pegamos sal de cozinha, por exemplo, e dissolvemos em água. O solvente é a 
água e o soluto é um sólido. A solução está na forma líquida. Ninguém é capaz de diferenciar o 
sal que foi adicionado. Aquilo continua líquido e transparente, mas agora é uma solução aquosa 
de NaCl. Se continuarmos a adicionar sal àquela solução, vai chegar a um momento em que o sal 
que continuar a ser adicionado não mais dissolverá no líquido. Dizemos que este ponto é o limite 
de solubilidade de sal na água. A partir deste ponto, com a adição de mais sal, teremos uma 
mistura de duas fases no material. Uma delas é sólida, constituída pelo sal que não consegue ser 
dissolvido. A outra é líquida, sendo a solução aquosa saturada de sal. 
O mesmo acontece quando o solvente e o soluto são sólidos. Imaginemos um solvente 
sólido cristalino. Como visto no capítulo anterior, há espaço na rede onde se colocar átomos 
adicionais não pertencentes à rede original. Eles podem ser colocados nos interstícios, ocupar 
vacâncias ou substituir os átomos originais. Quando átomos estranhos à rede são colocados em 
seu interior, diz-se que foram dissolvidos. Neste caso a rede hospedeira é o solvente. O soluto são 
os átomos que foram dissolvidos. Este é o caso da solução sólida. Também existe para este caso 
Administrador
Highlight
Administrador
Highlight
Administrador
Highlight
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 92
um limite além do qual o solvente não conseguirá mais dissolver o soluto. Se este limite for 
excedido, uma nova fase surgirá no material. 
 
• Transformação de fase: quando sujeitas a variações das condições termodinâmicas, tais como a 
composição, temperatura e pressão, as fases podem surgir ou desaparecer. Dizemos que o material 
sofreu uma mudança ou transformação de fase. Como exemplo tome-se o caso da fusão do gelo, 
que ocorre em 0°C. A água muda da fase sólida para a fase líquida. 
 
• Fase intermediária: considere o elemento químico A puro. Ele apresenta-se em uma determinada 
fase em dada temperatura. Vamos supor que esta fase é sólida. Se adicionarmos uma certa 
quantidade de outro elemento B, ele será dissolvido até um certo ponto, seu limitede solubilidade. 
Se B for adicionado além deste limite, uma outra fase deverá aparecer. Não necessariamente esta 
fase pode ser a fase de B puro. Pode acontecer de os elementos A e B formarem uma fase cuja 
composição envolva átomos de ambos em dada proporção. Esta fase é chamada de fase 
intermediária. No caso de átomos metálicos, a fase recebe o nome de intermetálica. Por exemplo, 
Al2O3 é uma fase intermediária no sistema Al e O. 
 
• Equilíbrio termodinâmico: uma situação de equilíbrio pode ser representada por uma condição 
específica. Por exemplo, quando o somatório das forças e dos torques que agem sobre um corpo é 
zero, diz-se que o corpo encontra-se em equilíbrio mecânico. O equivalente a isto é dizer que o 
corpo tem a mínima energia potencial. Existe também o equilíbrio térmico. Um corpo está em 
equilíbrio térmico quando existe um fluxo nulo de calor em seu interior. Para isto é necessário que 
todos os pontos do corpo estejam na mesma temperatura. Por último, podemos ainda falar em 
equilíbrio químico. Tal equilíbrio significa que o fluxo líquido de matéria dentro do corpo é nulo, 
ou seja, a massa que sai de qualquer ponto em um corpo é igual à massa que chega a tal ponto. 
Isto equivale a dizer que não ocorre reação química dentro do corpo ou sistema. Por fim, o corpo 
é dito estar em equilíbrio termodinâmico quando está em equilíbrio térmico, mecânico e químico 
simultaneamente. 
 
Os diagramas de fase que vamos tratar mais adiante representam apenas os sistemas em 
situação de equilíbrio termodinâmico. É verdade que na maioria dos casos do cotidiano do 
processamento dos materiais, as condições de equilíbrio não são atendidas. Diz-se que o material 
está em condições de não equilíbrio. A rigor, o diagrama não é válido nestas condições, porém não 
significa que ele é totalmente inválido e inútil. Muito pelo contrário. Todos os sistemas tendem ao 
equilíbrio, portanto, o diagrama de fase representa uma referência importante. Isto justifica seu 
poder como ferramenta de análise. Obviamente, as condições de não equilíbrio afetarão diferentes 
materiais com intensidades diferentes. Assim, os diagramas de fase representarão melhor a 
realidade em alguns materiais que em outros, quando expostos às mesmas condições de não 
equilíbrio. 
 
5.2. Fundamentação teórica dos diagramas de fase 
Alguns conceitos termodinâmicos precisam ser usados para se entender os diagramas de 
equilíbrio. Um deles é a energia interna de um sistema. A primeira lei da termodinâmica diz que um 
corpo que sofre uma troca de calor δQ com o ambiente e está envolvido com um trabalho δW 
sofrerá uma variação de sua energia interna dada por dU = δQ - δW. 
A entalpia, dada por H = U + PV, é outro conceito importante. A entalpia está relacionada à 
ligação química entre os átomos do sistema. P e V são a pressão e o volume do sistema, 
respectivamente. A entropia S está relacionada ao posicionamento dos átomos no sistema. Duas 
Administrador
Highlight
Administrador
Highlight
Administrador
Highlight
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 93
outras importantes grandezas são a energia livre de Gibbs, dada por G = H – TS, e a energia livre de 
Helmholtz, dada por F = U – TS. 
Em condições de equilíbrio em determinadas temperatura e pressão constantes, a energia livre 
de Gibbs é mínima. Em condições de equilíbrio, a temperatura e volume constantes, a energia livre 
de Helmholtz é mínima. 
O potencial químico de um determinado elemento A em uma certa fase é dado por 
A
A n
G
∂
∂=μ , 
onde G é a energia livre de Gibbs da tal fase e nA é a concentração molar do elemento A na fase em 
questão. Quando temos mais de uma fase em equilíbrio, em condições de temperatura e pressão 
constantes, os potenciais químicos dos elementos químicos que constituem todas as fases são iguais. 
Por exemplo, se temos duas fases α e β em equilíbrio, constituídas pelos elementos A e B, então é 
verdade que βα μμ AA = e que βα μμ BB = . 
Devemos ter em mente que em uma fase constituída por mais de um elemento ocorrem 
ligações químicas entre elementos do mesmo tipo e entre elementos de tipos diferentes. Há uma 
energia associada a cada tipo de ligação. Às vezes é mais vantajoso energeticamente que haja mais 
ligações entre átomos diferentes e vice-versa. A disposição espacial dos átomos está ligada à 
entropia. Tanto a energia de ligação, representada pela entalpia, quanto a disposição espacial dos 
átomos, representada pela entropia, entram no cálculo da energia livre de Gibbs. Outro complicador 
é que a temperatura está multiplicada pela entropia, então o termo entrópico torna-se mais 
importante à medida que aumenta a temperatura. O jogo entre estes termos determina a energia livre 
de Gibbs que deve ter valor mínimo no equilíbrio. 
De considerações envolvendo o equilíbrio, podemos derivar a chamada regra das fases. Ela 
determina que tipo de equilíbrio pode existir entre as fases e o número máximo de fases em 
equilíbrio que pode co-existir para um dado sistema. Imagine um sistema constituído por um 
componente (A) e três fases (α, β e γ). Pelas condições de equilíbrio, sabemos que 
γβα μμμ AAA == 
 
Este conjunto possui duas equações independentes. Mais especificamente, temos βα μμ AA = e 
γβ μμ AA = . A terceira equação envolvendo os potenciais químicos de A em α e γ é dependente das 
duas outras citadas. Como só existe um componente, então estas são as únicas equações 
independentes. No caso de um sistema com mais de um componente, haveria duas equações do tipo 
para cada componente. Neste caso, dois é o número total de equações independentes. Vejamos 
agora o número de variáveis. Cada fase possui um só componente. A concentração do componente 
em cada fase já é conhecida e igual à unidade. Adicione agora a temperatura e a pressão como 
variáveis do sistema, pois elas influenciam a energia livre de Gibbs e, por conseguinte, o potencial 
químico do componente A em cada fase em equilíbrio no sistema. Temos então duas equações 
independentes e duas variáveis. O sistema admite apenas uma solução, ou seja, apenas um conjunto 
de valores para as concentrações, a temperatura e a pressão. Este é o caso do equilíbrio invariante. 
Para o caso mais geral, onde temos um sistema com c componentes e p fases, teremos c-1 
variáveis independentes de composição para cada fase e p(c-1) variáveis independentes de 
composição para todo o sistema. Somando-se a isto a temperatura e a pressão, temos ao todo 
2)1( +−cp variáveis independentes para o sistema. Para cada componente, temos p-1 equações 
independentes. Como são c componentes, teremos c(p-1) equações independentes em todo o 
sistema. O grau de liberdade indica se o sistema possui solução e se há, quantas soluções ele possui. 
Este parâmetro é definido como o número de variáveis independentes menos o número de equações 
independentes. No nosso caso, temos [ ] [ ] 2)1(2)1( +−=−−+−= pcpccpf . Esta equação é 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 94
geralmente escrita como 2+=+ cfp . Em casos de sistemas metálicos ou cerâmicos, o estudo do 
equilíbrio se faz em condições de pressão constante e em valores em que a pressão não exerce 
significante influência. Assim, a regra das fases pode ser escrita como 1+=+ cfp . 
O número de graus de liberdade fornece o tipo de equilíbrio em que o sistema se encontra. 
Como já mencionado, para f=0, temos o equilíbrio invariante. f=1, equilíbrio monovariante e f=2 
equilíbrio bivariante. O que significa isto? no caso do equilíbrio invariante, significa que todas as 
variáveis assumem um valor fixo como solução do sistema de equações. Para o equilíbrio 
univariante, uma variável pode assumir diferentes valores, enquanto as outrassão fixas. Para o 
bivariante, duas variáveis podem assumir diferentes valores, enquanto as outras são fixas. 
Apliquemos esta regra no diagrama da água, mostrada na figura 5.1. Na região identificada 
por sólido, só existe uma fase em equilíbrio (p=1). O sistema possui um único componente (H2O), 
então c=1. Temos então f=2. Isto significa que nesta condição de uma fase em equilíbrio, duas 
variáveis podem assumir diferentes valores. De fato, observando o diagrama, vemos que a região de 
equilíbrio do sólido, bem como a do líquido e a do gás, é uma área, isto é, permite a variação de 
pressão e de temperatura. 
A linha que separa as regiões de equilíbrio da fase sólida e da fase líquida significa que temos 
o equilíbrio destas duas fases (p=2). Aplicando a regra das fases f=1. Significa que apenas uma 
variável pode variar livremente. De fato, agora T é função de P ou vice-versa. O ponto triplo é o 
ponto O. Ele indica o equilíbrio do sólido, do líquido e do gás (p=3). A regra de fases nos diz que 
f=0. De fato, nestas condições, temperatura e pressão são fixos. 
 O mesmo pode ser aplicado ao diagrama pseudo binário do SiO2, mostrado na figura 5.2. No 
diagrama da esquerda, somente as fases estáveis são exibidas. Existem diversos pontos de equilíbrio 
invariante. No diagrama da esquerda, as fases metaestáveis são também incluídas. 
 
 
Figura 5.2: Diagrama de fase do SiO2. (a) fases estáveis e (b) fases estáveis e metaestáveis. Fonte: 
D. Richerson. 
 
Para uma dada condição de composição, temperatura e pressão, pode acontecer que mais de 
uma fase exista. De todas elas, a fase que tiver a menor energia livre de Gibbs será a fase 
termodinamicamente mais estável. As demais são denominadas fases metaestáveis. Alguns 
diagramas trazem indicações das fases metaestáveis presentes em sua respectivas condições de 
composição, temperatura e pressão. Em alguns casos, as fases metaestáveis são mais facilmente 
formadas que as fases estáveis. Isto se deve a razões dinâmicas. Sob certas condições, a dinâmica de 
formação das fases metaestáveis é mais simples que a das estáveis. Isto leva à formação da 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 95
metaestável ao invés da estável. Somente após um certo tempo (dependendo de cada caso) a fase 
estável é formada e substitui a metaestável. O diamante, em condições de temperatura e pressão 
ambientes, é uma fase metaestável do carbono, porém ela resiste e não se transforma em grafite. 
Nas seções seguintes, veremos como interpretar um diagrama de fases binário, veremos as 
principais reações e como devemos calcular a quantidade das fases em equilíbrio pela regra da 
alavanca. 
 
5.3. Diagramas binários. 
Iniciaremos aprendendo a ler e interpretar os diagramas binários, e alguns tipos de reações e 
equilíbrios existentes neste tipo de sistema. Depois veremos exemplos de diagramas binários 
cerâmicos. 
 
5.3.1. A leitura do diagrama. 
Um diagrama binário é representado por um gráfico cujo eixo vertical representa a 
composição do material e o eixo vertical representa a temperatura. A figura 5.3 mostra um diagrama 
hipotético do sistema binário A-B. No extremo esquerdo do eixo das composições, o sistema 
consiste do elemento A puro. No extremo direito consiste de B puro. À medida que se vai da 
esquerda para a direita, aumenta o teor de B na composição do sistema. A composição é geralmente 
apresentada em percentual atômico ou em massa. 
ALFA
LIQUIDO
alfa + l iq .
A BX
T
TA
B
B 
Figura 5.3: diagrama de fases do sistema binário hipotético A-B. As únicas fases presentes são uma 
solução líquida e uma solução sólida dos componentes A e B. 
 
Os diagramas binários consistem de áreas limitadas por linhas. As áreas correspondem à 
regiões de composição e temperatura onde existe equilíbrio de uma ou duas fases. As linhas são 
regiões onde existe equilíbrio de duas fases e/ou três fases. 
Para o sistema binário, a regra das fases nos diz que no máximo três fases podem estar em 
equilíbrio (c=2; f=0; então p=3). O equilíbrio univariante ocorre quando duas fases estão em 
equilíbrio (c=2; f=1; então p=2). O equilíbrio bivariante corresponde ao equilíbrio de apenas uma 
fase, correspondendo às áreas do diagrama. 
Administrador
Highlight
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 96
O diagrama da figura 5.4 é dividido em três regiões por linhas. Existe uma região de equilíbrio 
da fase sólida, que é uma solução sólida dos componentes A e B. Existe uma região de equilíbrio de 
fase líquida, que é uma solução líquida dos componentes A e B. Separando estas duas regiões, há 
uma outra onde as fases sólida e líquida estão em equilíbrio. Existe sempre uma região de duas 
fases separando regiões de equilíbrio de uma fase. Três fases em equilíbrio só existem sobre linhas 
horizontais, neste tipo de diagrama. 
No caso da solução sólida mostrada no diagrama, ela existe em todo o intervalo de 
composições. Isto ocorre quando os elementos A e B possuem redes semelhantes, quando eles 
possuem tamanhos aproximados e propriedades químicas parecidas. Neste caso, podemos substituir 
os átomos de um tipo pelo de outro tipo, sem que a rede sofra transformações que não sejam apenas 
uma mudança dos parâmetros da rede. Este é o caso do sistema Au-Ag e Nb-Ta. 
A temperatura TA é o ponto de fusão de A puro. TB é o ponto de fusão de B puro. Para as 
composições intermediárias, acompanhemos o que ocorre com uma liga de composição X’ que é 
resfriada desde uma temperatura T1, passando por T2, T3 e T4, chegando até T5. Isto segue a linha 
vertical tracejada vista na figura 5.4. Em T1 todo o material se encontra em fase líquida com 
composição X’. A temperatura começa a decrescer, até tocar a linha liquidus, em T2. Neste ponto, a 
fase sólida se nucleia com a composição X2. Quando a temperatura baixa mais ainda, a quantidade 
de sólido aumenta e a de líquido obviamente diminui. A composição destas fases muda 
continuamente, sendo dada pelo encontro da linha horizontal com as curvas liquidus e solidus, 
conforme mostra a linha horizontal que passa em T3. Nesta temperatura, o sólido possui composição 
X3S e o líquido possui composição X3L. Quando a temperatura atinge a linha solidus, em T4, o 
último líquido é solidificado. Para temperaturas inferiores, somente a fase sólida será estável e terá 
a composição X’. 
 
ALFA
LIQUIDO
A BX
T
TA
B
B
T
1
2
3
4
5
X
X
B
B
L
S
T
T
T
T
X'
 
Figura 5.4: Resfriamento de uma liga binária com composição X’. Situação em cinco diferentes 
temperaturas. 
A figura 5.5 mostra esquematicamente o que ocorre às energias internas das fases sólida e 
líquida em função da composição, em cinco temperaturas distintas. Em T1, somente a fase líquida é 
estável em todo o intervalo de composições. Isto se deve ao fato de sua energia livre de Gibbs ser 
sempre inferior à energia da fase sólida. Em TA, vemos que ambas as curvas de energia tocam-se 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 97
para a composição de A puro, enquanto a energia livre do líquido permanece inferior a do sólido 
para todas as demais composições. Esta é a temperatura de fusão do componente A. Nesta 
temperatura, A sólido e líquido convivem. Na temperatura de fusão de B, TB, o mesmo ocorre, só 
que desta vez é a fase sólida a fase estável para todas as demais composições. Em T3, a energia livre 
da fase sólida é inferior aquela da fase líquida em todo o intervalo de composição. Por isso ela é a 
fase estável. Em T2, ocorre algo distinto. Vemos que cada uma das curvas de energia livre tem 
menor valorem certos intervalos de composição. A curva do líquido possui um mínimo na 
composição XBL e a curva de sólido possui um mínimo em XBS. Entre X=0 e X= XBS, a energia 
livre do sólido é menor. Portanto, neste intervalo, a fase sólida é a fase estável. Entre X= XBL e X=1, 
a energia da fase líquida é inferior. Portanto, neste intervalo, o líquido é a fase estável. No intervalo 
entre XBS e XBL, ocorre algo distinto. Para o sistema, como um todo, é energeticamente mais 
favorável que haja uma mistura de fases que uma fase apenas em equilíbrio. Se houver uma dada 
quantidade da fase sólida, como composição XBS e uma dada quantidade da fase líquida com 
composição XBL, a energia do sistema, que é a soma das energias de cada fase, será menor que a 
energia livre do sistema, se ele fosse constituído por apenas uma das fases, líquida ou sólida. 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 98
B
B
A
1
2
3
A
B
B
s l
Liquido
Sol i do
S + L
1
B
BB
B
B
B
2
Sol i do
Sol i do
A
B
3
Sol i do
Sol i do
Sol i do
Liquido
Liquido
Liquido
Liquido
Liquido
G
G
G G
G
A B
T
T
X
T
T
T
T
X X
XA B
XA B
XA B
XA B
XA B
T
T T
T T
 
Figura 5.5: curvas de energia livre de Gibbs para as cinco diferentes temperaturas, segundo o 
diagrama mostrado. 
 
No intervalo de composições mencionado, as duas fases co-existem em certas quantidades, 
determinadas pela regra da alavanca. Neste intervalo, a energia total do sistema segue a reta que une 
os mínimos das curvas de energia do sólido e do líquido e que é tangente a ambas as curvas. O fato 
desta reta ser tangente a ambas as curvas possui um significado físico. A tangente está ligada ao 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 99
potencial químico. Como visto antes, o potencial químico de cada componente do sistema deve sr 
igual para cada fase. 
 
A BX
B
XXB B
LS
n
m
X'
 
Figura 5.6: esquema associado à regra da alavanca. 
 
A quantidade de cada fase na mistura é determinada pela regra da alavanca. A figura 5.6 
ajudará a derivar esta regra. Imagine uma liga de composição X’ em tal temperatura que exista um 
equilíbrio entre uma fase sólida e uma fase líquida. Sejam: 
• N → número total de átomos da liga 
• NB → número total de átomos B na liga 
• NS → número total de átomos da fase S 
• NL → número total de átomos da fase L 
• NBS → número de átomos B na fase S 
• NBL → número de átomos B na fase L 
• XB → fração atômica de B na liga, N
N
X BB = 
• XS → fração atômica da fase S, 
N
NX
S
S = 
• XL → fração atômica da fase L, )1( S
L
L X
N
NX −== 
• XBS → fração de átomos B na fase S, S
S
BS
B N
N
X = 
• XBL → fração de átomos B na fase L, L
L
BL
B N
N
X = 
• Temos ainda que LS NNN += e que LBSBB NNN += 
 
Deste modo, reescrevemos a última expressão como 
LL
B
SS
BB NXNXNX += 
dividindo por N, obtemos 
LL
B
SS
BB XXXXX += 
notando que )1( SL XX −= , reescrevemos a equação definitivamente como 
nm
n
XX
XX
X L
B
S
B
L
BBS
+=−
−= 
igualmente, podemos escrever 
nm
mX L += e m
n
X
X
L
S
= 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 100
 
5.3.2. Equilíbrio de três fases. Reações no sistema binário. 
Como visto, um número máximo de três fases pode estar em equilíbrio em um sistema 
binário. Diversas são as reações que ocorrem e levam ao equilíbrio de três fases. Elas são 
sintetizadas na tabela 5.1. 
 
Tabela 5.1: reações no sistema binários com equilíbrio de três fases. 
Reação Fases em equilíbrio 
Eutética L ↔ α + β 
Eutetoide γ ↔ α + β 
Monotética L1 ↔ α + L2 
Metatética α ↔ β + L 
Peritética L + α ↔ β 
Peritetoide α + β ↔ γ 
sintética L1 + L2 ↔ α 
 
Note que as reações com terminação ética envolvem sempre ao menos uma fase líquida e as 
reações com terminação tóide envolvem somente fases sólidas. A transformações de fase ocorrem 
da esquerda para a direita, quando a temperatura diminui e em sentido inverso, quando a amostra é 
aquecida. 
 
5.3.3. Formação de estruturas com reação eutética. 
A figura 5.7 mostra um diagrama do sistema A-B, onde aparece uma reação eutética. Vamos 
analisar o que acontece quando ligas de três diferentes composições sofrem resfriamento lento 
(sistema em equilíbrio). A figura 5.8 exibe mais detalhadamente o diagrama, onde o resfriamento de 
uma liga de composição X1 é acompanhado. 
• Na temperatura T1 há somente líquido em equilíbrio. Sua composição é a composição da liga, 
X1. Quando a temperatura abaixa e iguala a curva liquidus, a fase α é nucleada com composição 
igual a da linha de ligação com a curva solidus. Os núcleos da fase alfa aumentam de tamanho, 
ao mesmo tempo em que sua composição muda. 
• Ao chegar em T2, há um equilíbrio entre as fases alfa e líquida. A fase alfa tem composição X2a 
e a fase líquida tem composição X2L. Quando a temperatura baixa ainda mais e toca a linha 
solidus, o restante do líquido transforma-se na fase α. A composição da fase α é X1. A 
composição da fase líquida residual é aquela do encontro da linha de ligação com a linha 
liquidus. 
• Na temperatura T3, que é a temperatura da reação eutética, α é a única fase em equilíbrio. Sua 
composição é X1. Quando a temperatura é diminuída ainda mais e encontra a linha que divide as 
regiões de predomínio da fase α com a região das fases α e β em equilíbrio, chamada linha 
solvus porque marca o limite de solubilidade da fase α para o componente B, a fase β é 
nucleada nos contorno de grão da fase α. A composição dos primeiros núcleos da fase β é dada 
pelo encontro da linha de ligação com a linha solvus desta fase. 
• Na temperatura T4, as fases α e β estão em equilíbrio. Suas respectivas composições, 
determinadas pelo encontro da linha de ligação com as linhas solvus, são X4a e X4b. 
 
Administrador
Highlight
Administrador
Highlight
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 101
A BX X X1 2 3 
Figura 5.7: Diagrama de fase do sistema hipotético A-B, contendo uma reação eutética. Três 
composições diferentes são selecionadas para análise. 
 
 
Figura 5.8: Diagrama do sistema A-B. Acompanhamento da formação da estrutura de composição 
X1, durante o resfriamento. 
 
O uso da regra da alavanca nos permite calcular as quantidades relativas de cada fase na 
amostra, em condições de equilíbrio. Na temperatura T1, temos 100% fase líquida. Na temperatura 
T2, temos aL
L
XX
XX
alfa
22
12% −
−= . A fração da fase líquida é um menos a fração da fase alfa obtida pela 
fórmula indicada.Se X1= 15%, X2a=12% e X2L=42%, então a percentagem de alfa é 90% e a de 
líquido é dez por cento. Na temperatura T3, a fase alfa é a única em equilíbrio. Na temperatura T4, a 
fração da fase alfa é dada por ab
b
XX
XX
alfração
44
14
−
−= . A fração de beta é a subtração da unidade da 
fração da fase alfa. Se as composições forem Xa4=5 e X4b=98, a percentagem de alfa é 89% e a de 
beta é 11%. 
O aspecto da estrutura do material nas quatro temperaturas é mostrado nos detalhes. 
A figura 5.9 mostra o que ocorre no resfriamento na liga de composição X2. 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 102
 
Figura 5.9: Diagrama do sistema A-B. Acompanhamento da formação da estrutura de composição 
X2, durante o resfriamento. 
 
• Na temperaturaT1, o material é completamente líquido, tendo a mesma composição. Quando a 
temperatura diminui e encontra a linha liquidus, núcleos da fase alfa são formados. A 
composição destes núcleos é dada pelo encontro da linha de ligação com a linha solvus da fase 
alfa. O aspecto da estrutura é esquematizado na ilustração inserida na figura. 
• Na temperatura T2, as fases alfa e líquida estão em equilíbrio. Pela regra da alavanca, temos que 
a fração da fase alfa é aL
L
XX
XX
alfração
22
22
−
−= . A fração de líquido é obtida subtraindo-se este 
valor da unidade. Se X2=35%, X2a=12% e X2L=42%, a fração de alfa será 23% e a de líquido 
será 77%. O aspecto da estrutura é ilustrado no detalhe da figura. 
• Na temperatura eutética, T3, temos uma situação mais complicada. Pouquíssimo acima desta 
temperatura, há líquido e alfa em equilíbrio. As composições destas fases são aproximadamente 
X3L e X3a, para o líquido e para o sólido alfa. A fração de líquido na estrutura é dada por 
aL
a
XX
XX
liqfração
33
32
−
−= . Se X3L=65% e X3a=20%, então a percentagem de líquido é 33% e a da 
fase alfa é 67%. A fase alfa solidificada no processo de resfriamento a partir da linha liquidus é 
chamada primária. Isto é necessário para diferencia-la da fase alfa que irá ser produzida na 
reação eutética, que tem aspecto bastante diferente, embora possua a mesma composição. 
Exatamente na temperatura eutética (equilíbrio invariante), existe o equilíbrio das fases alfa, 
líquida e beta. Nesta temperatura, parte do líquido que ainda resta se transforma 
simultaneamente nas duas fases sólidas. Estes são os sólidos eutéticos. Eles aparecem na forma 
lamelar na estrutura. Quando a temperatura é pouquíssimo inferior à temperatura eutética, todo 
o líquido que ainda restava é transformado em mais alfa e beta. Em uma temperatura levemente 
inferior a T3, a composição de alfa é X3b=90%, a de alfa é X3a=20%. A fração de beta na 
estrutura é 21%. Portanto, a soma de alfa primário e eutético é 79%. Como o alfa primário tinha 
67%, então o alfa eutético tem 12% da estrutura. 
• A queda da temperatura faz com que a quantidade e a composição das fases alfa e beta variem 
continuamente. Em T4, a fase alfa tem composição X4a=5% e a fase beta tem composição 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 103
X4b=98%. A fração de alfa é dada por ab
b
XX
XX
afração
44
24
−
−= . Isto dá 65% para alfa e 35% para a 
fase beta. O aspecto da estrutura é dado no detalhe. 
 
A figura 5.10 apresenta a formação da estrutura para a liga de composição X3. 
 
 
Figura 5.10: Diagrama do sistema A-B. Acompanhamento da formação da estrutura de composição 
X3, durante o resfriamento. 
 
• Em T1 e T2, somente a fase líquida é estável. Elas têm a composição nominal da liga, que é 
exatamente a composição eutética 65% de B. 
• Quando a temperatura atinge T3, parte do líquido se transforma nas duas fases sólidas alfa e 
beta. Nesta temperatura, as três fases estão em equilíbrio. Em uma temperatura ligeiramente 
inferior a esta, toda a fase líquida restante se transforma nas fases alfa e beta. A percentagem 
delas novamente pode ser calculada pela regra da alavanca, como mostrado no caso anterior. A 
estrutura eutética tem aspecto característico. As fases estão no formato de lamelas que se 
intercalam. 
• Na temperatura T4, a fase alfa tem composição X4a=5% e X4b=98%. A fração da fase alfa na 
estrutura é ab
b
XX
XX
afração
44
34
−
−= . Isto dá 35% de alfa e 65% de beta. 
 
5.3.4. Diagramas cerâmicos binários. 
Veremos agora uma série de diagramas de sistemas cerâmicos binários. Rigorosamente 
falando, eles são pseudo binários, uma vez que contêm mais de dois elementos químicos, mas por 
comodidade e simplicidade são expressos como binários. 
 
5.3.4.1. Diagramas NiO-MgO e Al2O3-Cr2O3. Completa solubilidade. 
A formação de soluções sólidas é dependente de alguns fatores. Inicialmente, a presença de 
átomos de um elemento na rede de outro é energeticamente favorável, pois aumenta o termo de 
entropia, diminuindo a energia livre de Gibbs. No entanto, geralmente, há um limite de 
solubilidade, além do qual a introdução de mais átomos daquela impureza acarretaria em 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 104
transformação de fase. Este limite depende de alguns fatores. Estes fatores são: raios atômicos, 
valência e similaridade de estrutura cristalina. 
No caso do raio atômico, quando um átomo está substituindo outro, ele necessariamente 
introduzirá tensões e deformações nesta rede, devido à diferença de tamanho destes átomos. Quanto 
maior a diferença de tamanho maior será a deformação. É de se esperar que a rede cristalina se 
desestabilize a partir de um certo nível de deformação da rede. Portanto, quanto mais próximos 
forem os raios dos componentes, mais tolerante será a rede cristalina para a substituição. Para 
metais, é registrado que uma diferença de raio superior a 14% é desfavorável à formação de 
soluções sólidas contínuas. 
A valência é outro fator importante. Átomos de mesma valência têm condições de substituir 
mais que átomos de valência diferente. Átomos com eletronegatividades muito diferentes tendem a 
formar fases intermediárias. Finalmente, o terceiro fator determinante é a estrutura cristalina. Se o 
átomo substituído tem a mesma estrutura cristalina que o átomo substituto, ou forma a mesma 
estrutura com um terceiro átomo comum, então a probabilidade de uma substituição mais extensiva 
é maior. Por exemplo NiO e MgO têm a mesma estrutura, a estrutura do NaCl. Isto é uma boa 
razão, mas não a razão suficiente, para a substituição do Ni pelo Mg e vice-versa. 
A combinação favorável dos três fatores citados contribui para a formação de soluções sólidas 
contínuas. A existência de apenas um ou dois dos fatores favoráveis não é suficiente para garantir 
uma solução sólida contínua, porém pode aumentar o limite de solubilidade do composto. 
 
 
Figura 5.11: Diagrama do sistema NiO-MgO. Solução sólida contínua. Fonte: D. Richerson 
 
A figura 5.11 mostra o diagrama do sistema NiO-MgO e a figura 5.12 mostra o diagrama do 
sistema Al2O3-Cr2O3. Ambos os sistemas exibem uma solução sólida contínua. As estruturas 
cristalinas de cada par de óxidos é a mesma. Os íons possuem a mesma valência e os raios iônicos 
são aproximados (Al+3 – 67,5pm e Cr+3 – 75,5pm; Mg+2 – 86pm e Ni+2 – 83pm). Isto possibilita a 
formação da solução sólida contínua. 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 105
 
Figura 5.12: Diagrama do sistema Al2O3-Cr2O3. Solução sólida contínua. Fonte: W. Callister. 
 
5.3.4.2. Diagramas NaCl-NaF e MgO-CaO. Eutéticas com nenhuma solubilidade ou 
solubilidade limitada. 
A figura 5.13 mostra o diagrama do sistema NaCl-NaF. Note que não há formação de fases 
intermediárias. Também não há possibilidade de formação de solução sólida em nenhuma das 
partes. Ou seja, os limites de solubilidade são nulos para o NaCl e para o NaF. Há uma reação 
eutética na composição 33,5mol% de NaF. A temperatura eutética é de 680°C, o que é bastante 
inferior às temperaturas de fusão do NaCl e NaF puros. Isto significa que uma fase líquida é 
formada em baixa temperatura, comparativamente aos pontos de fusão, mesmo se uma pequena 
quantidade de uma das fases for adicionada à outra. Este comportamento se repete em maior ou 
menor intensidade em vários outros sistemas, e é usado como artifício para sinterizar mais 
eficientemente certos sistemas difíceis de serem sinterizados quando puros. 
A figura 5.14 mostra o diagrama do sistema MgO-CaO. A diferença aqui é quecada uma dos 
componentes puros admite a solução de uma certa quantidade do outro componente, formando uma 
solução sólida. Novamente há diminuição da temperatura de formação de uma fase líquida devido à 
reação eutética. Note também um comportamento muito comum dos limites de solubilidade para 
ambas as fases: o limite de solubilidade diminui com o decréscimo da temperatura. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 106
 
Figura 5.13: Diagrama do sistema NaCl-NaF. Reação eutética e solubilidade zero. Fonte: D. 
Richerson. 
 
 
Figura 5.14: Diagrama do sistema MgO-CaO. Reação eutética e solubilidade limitada. Fonte: D. 
Richerson. 
 
 
 
 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 107
5.3.4.3. Diagrama MgO-Al2O3. Fase intermediária com fusão congruente. 
 
A figura 5.15 mostra o diagrama MgO-Al2O3. Vê-se nele uma reação eutética em quase 
2000°C, na composição de aproximadamente 55w/oAl2O3. Nota-se também a existência de uma 
fase intermediária identificada como MgAl2O4. Entretanto, esta fase não é estequiométrica, uma vez 
que ela é estável em um razoável intervalo de composições, dependendo da temperatura. Sua 
solubilidade chega a se estender por 30 pontos percentuais acima de 1800°C. Isto significa que 
nesta temperatura, íons magnésio podem substituir um número razoável de íons Al e vice-versa. 
Nota-se também que esta fase intermediária passa diretamente do estado sólido para o estado 
líquido na composição de aproximadamente 72w/o Al2O3, na temperatura de aproximadamente 
2100°C. Comporta-se, portanto, como se fosse um componente puro. Nestas condições de 
composição e temperatura, fases sólida e líquida estão em equilíbrio. A este comportamento dá-se o 
nome de fusão congruente. Isto diferencia o caso em que uma fase intermediária não se funde desta 
forma, mas se transforma em outras fases de composições distintas. Como veremos mais adiante. 
Finalmente, note que as fases MgO e Al2O3 têm limite de solubilidade nulo. 
 
 
Figura 5.15: Diagrama de fase do sistema MgO-Al2O3. Fusão incongruente de fase intermediária. 
Fonte: W. Callister 
 
5.3.4.4. Diagramas Al2O3-SiO2 e V2O5-Cr2O3. Fusão incongruente. Reação peritética. 
A figura 5.16 mostra o diagrama SiO2-Al2O3. Este sistema é importante e merece atenção 
especial. Há apenas uma fase intermediária, a mulita, que é estável em um estreito intervalo de 
composição. O SiO2 e o Al2O3 têm limite de solubilidade nulo. Há uma reação eutética de 
composição um pouco inferior a 10w/oAl2O3. Nota-se também uma outra reação, uma reação 
peritética, cuja composição está por volta de 73w/oAl2O3, na temperatura de 1828°C. 
Angelo
Highlight
Administrador
Highlight
Administrador
Highlight
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 108
 
Figura 5.16: Diagrama do sistema SiO2-Al2O3. Fase intermediária com fusão incongruente. Reação 
peritética. Fonte: W. Callister. 
 
 
 
 
Figura 5.17: Diagrama do sistema V2O5-Cr2O3. Fonte: D. Richerson. 
 
Veja que se tivermos uma composição da fase mulita e a aquecermos lentamente. Ao 
chegarmos à temperatura peritética, esta fase não se fundirá como um componente puro. Ao invés 
disso, ela se decomporá em uma fase líquida com quase 53w/oAl2O3 e em uma fase sólida, puro 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 109
Al2O3. Isto se chama fusão incongruente, para contrastar com a já mencionada fusão congruente. 
Examinando melhor o que se passa com uma composição dentro do intervalo de ocorrência da 
reação peritética, vejamos três casos. Considere uma composição da fase mulita em uma 
temperatura acima da linha liquidus. A estrutura é completamente líquida. A temperatura diminui 
lentamente. Quando atinge a temperatura da curva liquidus, ocorre a nucleação de Al2O3. Com mais 
decréscimo da temperatura, uma quantidade maior de pura Al2O3 é formada e a composição da fase 
líquida varia de acordo com o encontro da linha de ligação com a curva liquidus. Quando a 
temperatura atinge a peritética, imediatamente, o líquido e o Al2O3 se transformam na mulita. A 
partir daí, somente esta fase constitui a estrutura. 
Tomando uma composição à esquerda da composição da mulita em uma temperatura acima da 
liquidus, temos somente a fase líquida. Cruzando a linha liquidus, a fase Al2O3 é nucleada. A 
composição da fase líquida varia com a diminuição da temperatura, sendo determinada pelo método 
citado no caso anterior. Quando a temperatura atinge a temperatura peritética, a mulita é formada e 
existem três fases em equilíbrio. Imediatamente abaixo da peritética, a fase Al2O3 desaparece e 
somente o líquido e a mulita permanecem em equilíbrio até a reação eutética. A composição do 
líquido é determinada pelo encontro da linha de ligação com a curva liquidus. Quando a 
temperatura chega à temperatura eutética, o comportamento já foi descrito. 
Tomando agora uma composição à direita da eutética e acima da curva liquidus, temos a fase 
líquida como a única em equilíbrio. Ao cruzar a curva liquidus e diminuir mais ainda a 
temperatura, ocorrerá o mesmo já descrito nos casos anteriores. Quando se chega à peritética, 
líquido e Al2O3 parcialmente se transformam em mulita. Assim, novamente, as três fases em 
equilíbrio. Um pouco abaixo, a fase líquida desaparece e somente a mulita e Al2O3 permanecem em 
equilíbrio. Deve-se salientar que a mulita surge da transformação das duas fases e não apenas de 
uma delas. 
A figura 5.17 mostra o diagrama do sistema V2O5-Cr2O3. Temos novamente uma fase 
intermediária, a CrVO4. Esta fase é estequiométrica, ou seja, possui um finíssimo intervalo de 
estabilidade. Ela funde-se incongruentemente em uma peritética. Há também uma reação eutética á 
esquerda da reação peritética. 
 
5.3.4.5. Diagramas La2O3-Nb2O5 e CaO-Al2O3. Diversas fases intermediárias e reações. 
O diagrama do sistema La2O3-Nb2O5 está mostrado na figura 5.18. Existem quatro fases 
intermediárias e cinco reações eutéticas. É como se tivéssemos cinco diagramas eutéticos simples 
lado a lado. Todas as fases intermediárias têm fusão congruente e todas as fases sólidas não 
permitem composição além da estequiométrica, ou seja, zero de limite de solubilidade. 
A figura 5.19 mostra o diagrama do sistema CaO-Al2O3. Vê-se cinco fases intermediárias com 
limite de solubilidade zero. Temos duas reações peritéticas (a primeira à esquerda e a primeira à 
direita). Ligadas a estas reações existem duas fases intermediárias com fusão incongruente. Existem 
quatro reações eutéticas e três fases intermediárias com fusão congruente. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 110
 
Figura 5.18: Diagrama do sistema La2O3-Nb2O5. Várias fases intermediárias e reações. Fonte: D. 
Richerson. 
 
 
 
Figura 5.19: Diagrama do sistema CaO-Al2O3. Fases intermediárias, reações eutéticas e peritéticas. 
Fonte: D. Richerson. 
 
 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 111
5.3.4.6. Diagramas Cu2O-PbO, ZrO2-TiO2 e ZrO2-CaO. Poliformas e fases intermediárias 
estáveis em baixas e em altas temperaturas. 
A figura 5.20 mostra o diagrama do sistema ZrO2-CaO parcialmente. Vemos apenas a parte 
mais rica em zircônia. A zircônia possui três poliformas, a cúbica, a monoclínica e a tetragonal. Na 
parte mais rica em zircônia, ocorrem as fases monoclínica e tetragonal. A primeira estável em baixa 
temperatura e a última em alta temperatura. A temperaturade transição é 1000°C. Durante esta 
transformação, ocorre uma grande variação de volume. Isto provoca grandes tensões na estrutura, 
podendo levar à formação de trincas e à falha da peça. Este problema pode ser superado dopando-se 
a zircônia com uma certa quantidade de CaO. A fase cúbica passa a ser a mais estável e não sofre 
transformações. Com isto, a zircônia não sofre mais o problema relatado durante o aquecimento. 
 
 
Figura 5.20: Diagrama do sistema ZrO2-CaO. Fonte: W. Callister. 
 
O diagrama ZrO2-TiO2 é mostrado na figura 5.21. Vemos na parte rica em zircônia a 
ocorrência de suas poliformas, as fases monoclínica e tetragonal. Existem ainda mais duas fases 
intermediárias, ZrTiO4(ss) e ZrTi2O6(ss). A última é estável em um curto intervalo de composição e 
em baixa temperatura. Em 1200°C se decompõe em TiO2(ss) e em ZrTiO4(ss) em uma reação 
peritetóide. A fase ZrTiO4(ss) só é estável em alta temperatura, mas possui um intervalo de 
estabilidade mais largo. Esta fase se decompõe em uma reação peritética. 
O diagrama do sistema Cu2O-PbO é mostrado na figura 5.22. Este é um diagrama simples, 
contendo uma fase intermediária e duas reações: uma eutética e outra peritetóide. A fase 
intermediária é estequiométrica, mas somente estável em baixa temperatura. Em 580°C, ela se 
decompõe em Cu2O e PbO. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 112
 
 
Figura 5.21: Diagrama do sistema ZrO2-TiO2. Poliformas e reação peritetóide. Fonte: D. Richerson. 
 
 
 
 
Figura 5.22: Diagrama do sistema Cu2O-PbO. Estabilidade de fase intermediária em baixa 
temperatura. Reação peritetóide. Fonte: A.M. Segadães. 
 
 
 
 
 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 113
5.3.4.7. Diagrama SiO2-CaO. Imiscibilidade líquida ou exsolução. 
 
A figura 5.23 mostra o diagrama do sistema SiO2-CaO. Este é um diagrama muito complexo, 
onde existem diversas fases intermediárias. A maioria destas possui poliformas. Algumas delas 
fundem-se congruente. Outras, incongruentemente. Existem reações eutéticas, peritéticas e 
peritetóide. Portanto, vários elementos vistos em situações anteriores acontecem juntos neste 
diagrama, fazendo sua complexidade. O que há de novo neste diagrama aparece circundado do lado 
rico em SiO2, em temperatura elevada, e detalhadamente na figura menor á direita. Vemos o que é 
chamado imiscibilidade de líquidos ou exsolução. Olhando para a figura menor à direita, 
imaginemos uma composição de 10% de CaO em 2200°C. Somente existe uma fase líquida com 
esta composição citada. Se a temperatura começa a diminuir e atinge a curva côncava, esta fase 
líquida se transforma em duas outras fases líquidas, cada uma de composição diferente. A 
composição de cada fase líquida é encontrada com a interseção da linha de ligação com os dois 
lados da curva. Os dois líquidos são imiscíveis, como água e óleo. A quantidade deles na estrutura 
pode ser determinada pela regra da alavanca. Quando a temperatura atinge 1698°C, o líquido da 
direita tem quase todo o Ca em solução e o da esquerda é praticamente formado por SiO2. Este 
líquido então se solidifica em tridimita. O líquido da direita continua a existir. 
 
 
Figura 5.23: Diagrama do sistema SiO2-CaO. Exsolução de fase líquida. Fonte: D. Richerson. 
 
A exsolução de líquidos ocorre com a separação dos líquidos. Neste caso, um deles aparece 
como bolhas no líquido de maior volume. Se há diferença de densidade, o mais denso tenderá a 
ficar embaixo, havendo uma separação física maior devido à gravidade. A exsolução pode ocorrer 
também em fase sólida. Pode ocorrer que uma solução sólida fique instável em baixa temperatura e 
se divida em duas soluções sólidas de composições distintas. 
 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 114
5.3.4.8. Algumas aplicações de diagramas de fase. 
Estes casos ilustram a importância do uso de diagramas de fase em aplicações tecnológicas. 
Em cerâmica vermelha, revestimentos cerâmicos, tijolos refratários e vidros é comum o uso de 
certos elementos ditos fundentes para facilitar o processamento. Nos casos da cerâmica vermelha e 
dos tijolos refratários, ocorre o aparecimento de uma fase líquida. No caso do vidro, a viscosidade é 
abaixada. 
O feldspato é usado como fundente em revestimentos cerâmicos. Vejamos no diagrama 
leucita-sílica, mostrado na figura 5.24, o efeito do feldspato, quando adicionado à sílica. Vemos que 
o feldspato é uma fase intermediária do diagrama. Se fizermos uma mistura dos pós de sílica e 
feldspato, em aproximadamente 990°C ocorrerá uma eutética, com a formação de uma fase líquida. 
Geralmente o feldspato é adicionado em pequenas quantidades (lado rico em sílica no diagrama). 
Na ocorrência da eutética, o líquido é formado e existirão a fase estável da sílica, a tridimita, e o 
líquido eutético. Este líquido é o responsável pela densificação do corpo, se a sinterização está 
sendo feita. 
 
 
Figura 5.24: Diagrama do sistema leucita-sílica. O efeito benéfico da reação eutética para a 
densificação através de sinterização por fase líquida. Fonte: A.N. Segadães. 
 
Um caso a mais sobre o uso de diagramas de fase na compreensão das reações e estruturas que 
ocorrem no processamento de materiais é a formação das fases em produtos feitos a partir de 
argilominerais, como alguns produtos cerâmicos. A figura 5.25 mostra o diagrama SiO2-Al2O3, já 
mostrado anteriormente. Os argilominerais caulinita e montmorilonita são matérias primas bastante 
comuns. Elas diferem na seqüência de folhas para formar as camadas e na existência de água entre 
as camadas, para o caso da montmorilonita. As folhas tetraédricas consistem de sílica e a 
octaédricas de gibsita. Com a elevação da temperatura, a água contida na estrutura sai da estrutura e 
é evaporada. O sistema consiste então de sílica e alumina e pode ser descrito pelo diagrama. A 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 115
caulinita tem composição Al2O3.2SiO2.2H2O, a montmorilonita tem composição Al2O3.4SiO2.H2O. 
Sem a água estrutural, estes argilominerais têm a composição especificadas na figura 5.25. Este 
digrama mostra que em 1546°C há uma reação eutética. Ao serem aquecidos além desta 
temperatura, estes argilominerais sofrem uma reação e surge fase líquida. A mulita também é uma 
das fases formadas. É daí que surge a mulita presente em alguns produtos cerâmicos. A fase líquida 
tem a mesma composição para ambos os casos, porém sua quantidade depende de que argilomineral 
está sendo processado. O diagrama mostra que a montmorilonita leva à formação de mais líquido 
que a caulinita. Isto é um outro fator a ser observado no processamento destes materiais. 
 
 
Figura 5.25: a calcinação de caulinita e montmorilonita acima de 1546°C leva ao aparecimento de 
uma fase líquida. O volume de líquido é maior para a montmorilonita, embora a composição deste 
seja igual para os dois argilominerais. 
 
 
Outra aplicação de diagrama de fases pode ser visto no mesmo diagrama. Imagine que se 
queira moer sílica em um moinho, usando corpos de moagem feitos de alumina. Inevitavelmente, os 
corpos de moagem irão se desgastar e contaminar o pó de sílica. Vemos que mesmo uma pequena 
contaminação de alumina na sílica já provoca o aparecimento de uma fase líquida na temperatura 
eutética. Este efeito pode ser altamente indesejável. Portanto, o diagrama nos diz que moer sílica 
com esferas de alumina pode ser uma péssima idéia. 
Tijolos refratários de sílica são feitos por sinterização de fase líquida, usando CaO como 
aditivo à sílica (cercade 3% em peso). A figura 5.23 mostra o diagrama do sistema SiO2-CaO. Vê-
se que existe uma eutética em 1436°C que garante a formação de uma fase líquida. É interessante 
também que a curva liquidus se inclina de tal modo que a quantidade desta fase líquida varia muito 
pouco com a variação da temperatura, entre 1436° a 1705°C. Isto faz do CaO um excelente 
fundente para a sílica. O líquido formado, cerca de 10%, densifica a estrutura. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 116
 
 
Figura 5.26: Diagrama do sistema SiO2-FeO.Fe2O3. O líquido eutético é o responsável pela corrosão 
dos tijolos de sílica. 
 
 
Figura 5.27: Diagrama parcial do sistema MgO-Fe2O3. A magnésia não é corroída porque não se 
forma fase líquida. A magnésia dissolve óxido de ferro. 
 
Outro uso do diagrama de fase está na explicação da corrosão existente em tijolos refratários 
de sílica, quando usados em alto-fornos na indústria siderúrgica e porque refratários à base de MgO 
(magnésia). Nos alto-fornos, existem óxidos de ferro em alta temperatura. Eles reagem com a sílica. 
O diagrama do sistema SiO2-FeO.Fe2O3, mostrado na figura 5.26, revela que a partir de 1455°C 
ocorre a formação de uma fase líquida devido a uma eutética. Portanto a sílica transforma-se 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 117
parcialmente em líquido. O continuado uso do forno vai desgastando o refratário. Quando a 
magnésia é usada, ao invés da sílica, o mesmo não ocorre. O diagrama MgO-Fe2O3 é parcialmente 
mostrado na figura 5.27. Vemos que a partir de 1100°C, a solubilidade do MgO por óxido de ferro 
aumenta muito. Isto significa que o refratário dissolve o óxido e nenhuma fase líquida é formada 
para causar sua corrosão. 
 
5.3.5. Conversão de valores de composição. 
As composições em diagramas de fase são geralmente expressas em percentual de atômico, 
molar ou em massa (peso). Para sistemas em que os componentes são elementos químicos, os 
percentuais atômicos ou de massa são usados. Para sistemas cujos elementos são substâncias, os 
percentuais são de massa ou molar. A conversão de percentual em massa para percentual atômico 
(ou molar) e vice-versa é dada pelas relações abaixo: 
∑
=
j j
j
i
i
i
M
M
ω
ω
α e ∑=
j
jj
ii
i M
M
α
αω 
onde αi é o percentual atômico ou molar do i-ésimo componente do sistema e ωi é o percentual em 
massa do i-ésimo componente do sistema. Mi é a massa atômica do i-ésimo componente do sistema, 
se ele for um elemento químico, ou é a massa molecular deste componente, se ele for uma 
substância química. 
 
 
5.4. Diagramas ternários. 
São diagramas de sistemas ternários (três componentes). Aplicando-se as regras das fases para 
este sistema, p + f = c + 1, onde c=3, tem-se que no máximo quatro fases podem estar em equilíbrio. 
A tabela abaixo mostra os equilíbrios existentes. Deve-se ressaltar que neste sistema existem duas 
variáveis de composição e uma de temperatura, perfazendo três variáveis. 
 
Tabela 5.2: Equilíbrios possíveis para o sistema ternários. 
Tipo de equilíbrio Número de fases em 
equilíbrio 
Forma geométrica da região de 
equilíbrio 
Invariante, f=0 4 Pontos no diagrama 
Univariante, f-1 3 Uma linha 
Bivariante, f=2 2 Uma superfície 
Trivariante, f=3 1 Um volume 
 
 
5.4.1. Exibição de um diagrama ternário. 
Para exibir um diagrama ternário, devemos ter três eixos de composições (um deles deve ser 
dependente dos outros dois) e um eixo de temperatura. Ou seja, devemos ter três eixos 
independentes. Isto caracteriza um espaço tridimensional. O diagrama ternário é exibido como um 
prisma reto de base triangular equilateral. A figura 5.28 mostra o aspecto do diagrama. A aresta 
lateral do prisma, relativa à altura do sólido, é o eixo de temperatura. Os lados do triângulo 
eqüilátero são os eixos de composição. 
 
 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 118
5.4.2. Triângulo das composições 
A figura 5.29 mostra a base do prisma, relacionada às composições das ligas. Cada lado é um 
eixo de composição. Os vértices correspondem aos componentes puros. Por exemplo, o lado que 
une os vértices A e B, correspondentes aos componentes A e B é o eixo de composições do sistema 
A-B. Sobre este eixo, a liga é composta apenas por estes dois componentes. O percentual de cada 
um destes componentes na liga é lido exatamente como no caso do diagrama de sistema binário. 
Uma face do prisma é definida pelo lado A-B e pelo eixo da temperatura. Esta face corresponde 
exatamente ao diagrama binário A-B. O mesmo vale para os lados A-C e B-C e para as faces 
formadas por eles e o eixo da temperatura, ou seja, estas faces correspondem aos diagramas binários 
A-C e B-C. 
 
Figura 5.28: Prisma que representa o diagrama ternário. A base triangular representa a composição 
e a altura representa a temperatura. 
 
 
Figura 5.29: Triângulo das composições. Os lados correspondem a composições de sistema com 
dois componentes. As composições de três fases estão no interior do triângulo. 
 
Qualquer liga que contenha em sua composição os três componentes A, B e C só pode ser 
representado por um ponto no interior do triângulo. Isto pode ser feito graças ao fato que a soma 
dos comprimentos das linhas que unem um ponto no interior do triângulo perpendicularmente aos 
lados do triângulo é constante para qualquer ponto. Isto nos dá o primeiro método para determinar a 
composição. Veja a figura 5.30(a). A composição de uma liga representada pelo ponto Y é 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 119
determinada. O comprimento da linha que une este ponto ao lado do triângulo oposto ao vértice A 
dá a composição do componente A na liga. O mesmo vale para encontrar o teor de B e de C. 
Um método derivado deste é mostrado na figura 5.30(b). Linhas que passam pelo ponto em se 
deseja determinar a composição e que são paralelas aos lados do triângulo são traçadas. O encontro 
da linha paralela ao lado B-C, por exemplo, toca a linha A-B em 60% de B. A composição de A é, 
portanto, 40%, pois esta linha é oposta ao vértice A. 
 
 
Figuras 5.30 (a) e (b): Os dois modos de se determinar a composição de uma liga. 
 
O triângulo da base tem ainda outra propriedade interessante que é usada em diagramas de 
fase. Se for traçada uma reta que une um dos vértices ao lado oposto a este vértice, por exemplo, 
ligando o vértice A ao lado B-C, então, ao longo desta reta, a composição dos três componentes 
varia ponto a ponto, mas a composição dos componentes B e C mantém uma razão constante entre 
si. Como exemplo, tome a figura 5.31. A composição de qualquer ponto sobre a linha A-L mantém 
uma razão constante de 1:1 dos componentes B e C. Se a reta é traçada paralela a um dos lados, 
então a composição de qualquer liga sobre esta reta varia ponto a ponto para dois componentes, mas 
a composição do terceiro componente mantém-se constante. Por exemplo, veja a reta que une os 
pontos D-E. A composição do componente A é sempre constante em qualquer ponto desta reta. 
 
Figura 5.31: Linhas isopléticas. Sobre D-E, toda composição tem teor igual de A (30%). Sobre A-L, 
A razão entre os teores de B e C é sempre constante e igual a 1:1. 
 
5.4.3. Seções isotérmicas e seções isopléticas. 
O prisma pode ser cortado por planos, gerando seções de corte. As seções de corte 
interessantes em diagramas de fase ternários são aquelas paralelas à base do prisma ou paralelas ao 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de EquilíbrioProf. Angelus G. P. da Silva 
 
 120
eixo da temperatura. As primeiras são denominadas seções isotérmicas, por representarem a 
situação em uma única temperatura. As últimas são chamadas seções isopléticas. A utilidade das 
seções isotérmicas consiste no fato que seu exame revela que fases estão presentes em dada 
temperatura. No caso das seções isopléticas, revela que fases estão presentes para certas 
composições de interesse, quando a temperatura varia. As figuras 5.32 e 5.33 mostram uma seção 
isotérmica e isoplética, respectivamente. É verdade que podemos falar também em linhas 
isopléticas. Estas são linhas paralelas ao eixo vertical do prisma, eixo de temperatura, e toca a base 
em um ponto. Neste caso, pode-se acompanhar o que acontece a uma composição, quando varia a 
temperatura. Uma linha isoplética é mostrada na figura 5.33. 
 
Figura 5.32: Seção isotérmica. Figura 5.33: Seção isoplética e linha isoplética 
 
 
5.4.4. Exemplo de diagrama ternário com reação eutética simples. 
A figura 5.34 mostra um diagrama ternário com uma reação eutética somente, sem fases 
intermediárias nem solubilidade entre os componentes. Cada face do prisma é um diagrama binário 
e cada um deles possui uma reação eutética binária. Vê-se superfícies curvas que saem de cada face 
do prisma, das linhas liquidus. E mergulham no interior do prisma. Estas superfícies são chamadas 
superfícies liquidus, equivalentes às linhas liquidus dos diagramas binários. Estas superfícies 
convergem para um ponto, identificado pela letra E. Este é o ponto eutético ternário. Note também 
que as superfícies liquidus estão hachuradas com linhas curvas. Estas linhas são isotermas. 
As figura 5.35 e 5.36 mostram seções isotérmica e isoplética deste diagrama. Ambas as seções 
cortam diferentes regiões volumétricas do diagrama ternário. Logo, estas seções revelam, naquelas 
condições de temperatura ou composição, quais fases estão em equilíbrio. Estas seções não estão 
completas, pois as curvas solidus não estão mostradas. A figura 5.37 mostra um diagrama mais 
complexo, com uma isotérmica em detalhe, e esta mesma isotérmica ao lado. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 121
 
Figura 5.34: Diagrama ternário hipotético do sistema A-B-C mostrando uma reação eutética 
ternária. Não há solubilidade entre as fases. As superfícies liquidus mergulham no interior do 
prisma. As faces são diagramas binários com reações eutéticas binárias. Fonte: D. Richerson. 
 
 
 
Figura 5.35: Diagrama mostrado em 5.34 com duas seções isotérmicas. Uma na temperatura da 
eutética ternária e a outra cortando as superfícies liquidus, linhas azuis. 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 122
 
Figura 5.36: Diagrama da figura 5.34 mostrando uma seção isoplética. Em azul estão as interseções 
desta seção com as superfícies liquidus. As interseções com a superfície solidus da eutética binária 
e1 não são mostradas. 
 
 
Figuras 5.37: (a) diagrama ternário hipotético mostrando isotérmica. (b) seção isotérmica em 
detalhe. Fonte: D. Richerson. 
 
 
 
 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 123
5.4.5. Equilíbrios em sistemas ternários. 
A tabela 5.2 Mostra que tipos de equilíbrios podem existir em um sistema ternário, assim 
como o número de fases em equilíbrio e o tipo de região associada a cada tipo de equilíbrio. Vamos 
ver agora o que isto significa na prática. 
Um diagrama ternário é dividido em regiões tridimensionais, ou seja, que ocupam volumes. 
Estas regiões, por sua vez, são separadas umas das outras por superfícies. Elas são superfícies 
liquidus, solidus, solvus e planos de reações invariantes. Vamos examinar as condições de equilíbrio 
resumidas na tabela 5.2. 
Para o equilíbrio invariante (f=0) temos quatro fases em equilíbrio. Isto significa que as 
composições de todas as fases e a temperatura são fixas. Ou seja, esta condição é representada por 
pontos. 
Para o equilíbrio univariante (f=1), temos três fases em equilíbrio e uma das variáveis pode 
variar. Se esta é a temperatura, significa que para cada temperatura no campo tridimensional de três 
fases, as composições de cada fase em equilíbrio são determinadas. A composição de cada fase está 
sobre uma linha. 
Para o equilíbrio bivariante (f=2), temos duas fases em equilíbrio e duas variáveis podem 
variar. Se estas variáveis forem a temperatura e a composição de uma das fases, a composição da 
outra fase é automaticamente determinada, para cada valor de temperatura e de composição da outra 
fase. Isto faz com que uma superfície seja formada associada a este equilíbrio. A superfície é 
justamente as faces das regiões tridimensionais de equilíbrio de uma fase, que é o próximo tipo de 
equilíbrio a ser visto. 
Para o equilíbrio trivariante (f=3), temos apenas uma fase em equilíbrio. Isto significa que as 
variáveis de composição desta fase e temperatura podem variar livremente, o que gera uma região 
tridimensional. 
Todos estes detalhes determinam, de certa forma, o modo como as regiões estão mostradas 
nas seções isotérmicas e isopléticas do diagrama ternário. 
 
 
5.4.6. Formas de exibir as seções de um diagrama ternário. 
Como já pode ser sentido, a visualização do diagrama ternário em sua forma tridimensional 
não é simples. Exige muita capacidade de abstração e muita informação lá contida não é útil para 
uma análise mais específica, apenas dificultando a visão da informação realmente necessária. Deste 
modo, em muitas ocasiões, é recomendável ver e apresentar partes do diagrama. São três as formas 
de se exibir informação apenas referentes a partes do diagrama ternário. Pode-se exibir apenas as 
seções isotérmicas, a projeção de detalhes sobre o plano horizontal de composição ou pode-se exibir 
uma seção isoplética. 
Uma seção isotérmica é uma seção paralela à base do prisma. Como o nome diz, ela 
corresponde à estrutura de equilíbrio em uma temperatura fixa. Esta seção é constituída por regiões 
de equilíbrio de uma, duas, três e quatro fases, sendo esta última apenas um ponto. Linhas separam 
estas regiões. Estas linhas são exatamente as interseções das superfícies liquidus, solidus e solvus 
com a seção isotérmica. A figura 5.37(b) mostra uma seção isotérmica de um diagrama ternário 
hipotético. Note que as regiões com equilíbrio de uma fase não se tocam. Elas são separadas umas 
das outras por uma região de equilíbrio de duas fases. As regiões de equilíbrio de três fases só 
tocam as regiões de uma fase em cantos. As faces somente tocam as regiões de duas fases. As 
muitas linhas vistas nas regiões de duas fases são linhas de ligação, usadas para a determinação da 
composição das duas fases, como será visto adiante. Estas linhas são desenhadas apenas nas regiões 
de duas fases. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 124
Uma projeção horizontal apresenta as superfícies líquidus projetadas sobre a base do prisma 
na forma de linhas isotérmicas. Deste modo, pode-se visualizar como estas superfícies se inclinam e 
em que temperaturas estão. Esta projeção desenha ainda as chamadas linhas de contorno, que nada 
mais são que as linhas de interseção entre superfícies liquidus. Estas linhas de contorno são 
orientadas por uma seta, apontando para a direção na qual a temperatura decresce. Estas linhas de 
contorno delimitam o chamado espaço de cristalização das fases sólidas, que são as regiões onde 
diferentes fases sólidas se cristalizam a partir do líquido. 
A figura 5.38 mostra um diagrama ternário eutético. Nele, linhas isotérmicas são traçadas nasuperfície liquidus, denotando o campo de cristalização do sólido cristalino ligado ao componente 
C. Na base do prisma estão projetadas todas as informações referentes ao comportamento da 
superfície liquidus (as linhas isotérmicas) e das linhas de contorno. Note também que uma seção 
isoplética ligando os pontos C e S na base do prisma também é desenhada. A figura 5.39(a) mostra 
a projeção horizontal em detalhe, mostrando apenas as linhas isotérmicas do campo de cristalização 
C e as linhas de contorno. A figura 5.39(b) mostra a seção isoplética S-C. Note que as linhas solidus 
estão mostradas. Estas linhas nascem das reações eutéticas nos diagramas binários das faces. 
 
Figura 5.38: Diagrama ternário A-B-C com reação eutética. Superfície liquidus de cristalização da 
fase C exibindo linhas isotérmicas. As projeções destas linhas e das linhas de junção estão na base 
do prisma. Fonte: Bergeron e Risbud. 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 125
 
 
Figura 5.39(a): projeção horizontal da superfície 
liquidus de cristalização de C e das linhas de 
junção. Fonte: Bergeron e Risbud. 
Figura 5.39(c): seção isoplética S-C. Fonte: 
Bergeron e Risbud. 
 
5.4.7. Determinação de composições de fases em equilíbrio. 
A determinação das composições das fases em equilíbrio em um diagrama ternário é feita de 
diferentes maneiras, dependendo do número de fases em equilíbrio. A determinação das 
composições é feita em uma seção isotérmica do diagrama. Na verdade, trata-se de determinar a 
composição das fases em uma dada temperatura. 
Para o equilíbrio invariante (quatro fases em equilíbrio), as composições das fases são fixas e 
a reação acontece em apenas uma temperatura. A figura 5.40 mostra uma seção isotérmica na 
temperatura eutética. O ponto E representa a composição eutética. Nesta seção existem quatro fases 
em equilíbrio. São elas: a fase líquida com a composição eutética, a fase alfa com a composição do 
ponto X, a fase beta com a composição do ponto Y e a fase gama com a composição do ponto Z. 
No equilíbrio trivariante, onde existe apenas uma fase em equilíbrio, a composição da fase é 
lida diretamente pelo método das retas paralelas, mostrado na figura 5.30(b). 
 
Figura 5.40: Seção isotérmica eutética. As quatro fases em equilíbrio possuem composições dos 
pontos E, X, Y e Z. 
 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 126
No equilíbrio univariante, com três fases em equilíbrio, a composição de cada fase é também 
diretamente fixada. Neste tipo de equilíbrio, tem-se ao todo sete variáveis. Duas em cada fase e a 
temperatura. Temos liberdade de fixar uma delas e as demais estarão automaticamente amarradas a 
ela. Por isto que ao fixarmos uma seção isotérmica (fixamos a temperatura) as composições das três 
fases estarão automaticamente fixadas. A figura 5.41 mostra uma seção isotérmica de um diagrama 
ternário A-B-C. A liga de composição no ponto X está em um campo de equilíbrio de três fases (A, 
C e L). A composição de cada fase é dada pelas extremidades das linhas de ligação desenhadas. 
No equilíbrio bivariante duas fases estão em equilíbrio. Tem-se quatro variáveis de 
composição e a temperatura. Temos liberdade de variar duas variáveis. Uma delas é a temperatura. 
Isto significa que temos ainda a liberdade de fixar uma variável de composição. Fixadas estas duas 
variáveis, as demais estão amarradas. Isto explica o fato que as regiões de duas fases estão sempre 
em contato com regiões de uma fase, compartilhando uma face. Como uma face contêm muitas 
composições, ela representa a liberdade que se tem de variar uma das variáveis de composição. É 
por isto também que as linhas de ligação são traçadas nas regiões de equilíbrio de duas fases. Estas 
linhas ligam as composições das fases em equilíbrio. Isto significa que uma vez determinada a 
composição de uma das fases, a composição da outra já está determinada. Na prática, as 
composições das fases são os extremos das linhas de ligação. A figura 5.42 ilustra o processo, em 
que a liga de composição X tem em sua estrutura as fases A e L em equilíbrio. 
 
 
Figura 5.41: Composição das três fases em equilíbrio em uma liga de composição X. As 
composições das fases L, A e C são dadas pelas extremidades das linhas azuis. Fonte: Begeron e 
Risbud. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 127
 
Figura 5.42: Determinação da composição das fases A e L em equilíbrio na estrutura da liga de 
composição X. Fonte: Bergeron e Risbud. 
 
5.4.8. Determinação das quantidades de cada fase. 
No caso dos diagramas binários, a quantidade relativa de cada fase em equilíbrio de duas 
fases era determinada pela regrada alavanca. Para o equilíbrio de três fases (invariante) era 
impossível determinar, a não ser por aproximação. No caso do diagrama ternário existem 
semelhanças e algumas diferenças. No caso do equilíbrio de uma fase, aquela fase é 100% da 
estrutura. No caso do equilíbrio de quatro fases (invariante) não é possível se determinar a 
quantidade relativa de cada fase, assim como no equilíbrio invariante do sistema binário. 
Para o caso do equilíbrio de duas fases, usamos a regra da alavanca do sistema binário. A 
figura 5.42 ilustra o processo. Uma liga de composição X possui duas fases em equilíbrio A e L. A 
fase A tem composição A e a fase L tem a composição do outro extremo da linha de ligação que 
une os pontos A e X. Uma vez conhecidas as composições das fases, dividimos o comprimento A-X 
pelo comprimento A-L para determinar a quantidade relativa da fase L. Ou dividimos X-L por A-L 
para sabermos a fração da fase A na estrutura. Exatamente como na regra da alavanca de sistemas 
binários. Para isto, é essencial que se conheçam as linhas de ligação nas regiões de duas fases. 
No caso do equilíbrio de três fases, devemos proceder como mostra a figura 5.43. Imagine 
que uma liga de composição X esteja em um campo de equilíbrio de três fases cujas composições 
sejam os pontos S, R e Q. Podemos fazer um triângulo unindo estes três pontos e tendo-os como 
vértice do triângulo. Em seguida, traçamos linhas unindo os vértices ao ponto X. Cada linha toca o 
lado oposto a cada vértice nos pontos s, r e q. A quantidade da fase S na estrutura é dada pela razão 
X-s/S-s. A quantidade da fase R é dada por X-r/R-r e a da fase Q é X-q/Q-q. 
 
Estrutura e Propriedades de Materiais Cerâmicos 
Capítulo V: Diagramas de Equilíbrio 
Prof. Angelus G. P. da Silva 
 
 128
 
Figura 5.43: Determinação das quantidades relativas de cada fase para o caso de equilíbrio de três 
fases. A liga de composição X possui em sua estrutura as fases de composições S, R e Q. Suas 
quantidades relativas são dadas pelo centro de gravidade do triângulo. 
 
5.4.9. Exemplos de diagramas ternários cerâmicos. 
Em seguida, veremos, na prática, três exemplos de diagramas de equilíbrio de sistemas 
ternários cerâmicos, mas apenas os mais simples, mostrando seções isotérmicas, projetadas e 
isopléticas, além dos campos de equilíbrio em três dimensões. 
 
5.4.9.1. Sistema 2MgO.SiO2 – 2FeO.SiO2 – 2MnO.SiO2. Sistema com até duas fases em 
equilíbrio. 
Para este sistema, temos que os três componentes devem obrigatoriamente apresentar 
solubilidade contínua. O diagrama é constituído por três regiões apenas: somente líquido, um 
campo de equilíbrio de duas fases, líquido e solução sólida e somente a solução sólida contínua. A 
figura 5.44 mostra o diagrama. As superfícies liquidus e solidus são exibidas com linhas isotérmicas 
sobre elas. O campo entre estas duas superfícies é o campo das duas fases. A solução sólida 
contínua é a olivina. 
A figura 5.45