Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
B7-1 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é: Obtenha a resposta em regime estacionário desse sistema quando ele for submetido aos seguintes sinais de entrada: (a) r(t) = sen(t + 30°) (b) r(t) = 2 cos(2t – 45°) (c) r(t) = sen(r + 30°) – 2 cos(2t – 45°) Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Dado o sistema linear e invariante no tempo, tem-se que as respostas às excitações senoidais serão a composição de tais excitações com o ganho e a fase do sistema. Mãos à obra! Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down No sistema dado, a frequência determina a amplitude e a fase que serão relacionadas às entradas. Observa-se que dentre as entradas, há somente duas frequências distintas: e rad/s. Assim, antes de partir para a solução, obtêm-se pelo Matlab as grandezas relacionadas: num = 10; den = [1 1]; g = tf(num,den); %mag: amplitude em unidades arbitrárias %ph: fase em graus %w: frequência angular em radianos por segundo [mag,ph,w]=bode(g,[1 2]) Cuja saída é: mag(:,:,1) = 7.0711 mag(:,:,2) = 4.4721 ph(:,:,1) = -45 ph(:,:,2) = -63.4349 w = 1 2 Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Por fim, calculadas as saídas do Matlab, temos que: (a) (b) (c) B7-2 Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é: Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de entrada r(t) = R sen ωt. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Dado o sistema linear e invariante no tempo, tem-se que as respostas às excitações senoidais serão a composição de tais excitações com o ganho e a fase do sistema. Vamos lá! Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down Temos que o módulo é: E a fase é: Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Por fim, a saída será: B7-3 Utilizando o MATLAB, desenhe os diagramas de Bode das G1(s) e G2(s) dadas a seguir: onde G1(s) é um sistema de fase mínima e G2(s) é um sistema de fase não mínima. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Para resolver este problema, vamos utilizar os conhecimentos adquiridos neste capítulo. O enunciado nos pede para usar o Matlab para desenhar os diagramas de Bode de sistemas de fase mínima e não mínima. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down Vamos usar o seguinte código no Matlab para gerar a Figura 1 mais abaixo. num1 = [1 1]; den1 = [2 1]; num2 = [-1 1]; den2 = [2 1]; g1 = tf(num1,den1); g2 = tf(num2,den2); figure subplot(2,1,1) bode(g1) grid minor subplot(2,1,2) bode(g2) grid minor Figura 1: Curvas de Bode. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down E assim temos os diagramas de Bode de fase mínima e não mínima. B7-4 Desenhe o diagrama de Bode de Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Utilizaremos os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para resolver este exercício. A seguir, será possível avaliar o diagrama de Bode da função de transferência do problema. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = [10 4 10]; den1 = [1 0.8 9 0]; g1 = tf(num1,den1); figure bode(g1) grid minor Figura 1: Diagrama de Bode. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down E assim temos os diagramas de Bode. B7-5 Dada mostre que Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Dado o sistema de segunda ordem, podemos calcular o módulo de sua resposta ao impulso para a frequência natural de oscilação, conforme aprendemos neste capítulo do livro. Vamos lá! Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down Temos que o módulo é dado por: Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Portanto B7-6 Considere um sistema de controle com realimentação unitária que tem a seguinte função de transferencia de malha aberta: Este é um sistema de fase não mínima. Dois dos três polos de malha aberta estão localizados no semiplano direito do plano s, como segue: Desenhe o diagrama de Bode de G(s) com o MATLAB. Explique por que a curva de ângulo de fase começa em 0o e se aproxima de +180°. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Bode da função de transferência de fase não mínima do problema. Mãos à obra! Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = [0 0 1 0.5]; den1 = [1 1 0 1]; g1 = tf(num1,den1); figure bode(g1) grid minor Figura 1: Diagrama de Bode. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down O comportamento da fase pode ser avaliado por meio da análise de frequências. Para baixas frequências, próximas à zero, a contribuição angular dos pólos e do zero é de 0º. Para altas frequências, tendendo ao infinito, a contribuição do zero é +90º, do pólo no semi-plano esquerdo é -90º e dos pólos no semi-plano direito é +180º, totalizando +180º. B7-7 Desenhe os diagramas polares da função de transferência de malha aberta para os seguintes dois casos: (a) Ta > T > 0, Tb > T > 0 (b) T > Ta > 0, T > Tb > 0 Solução passo-a-passo Passo 1 de 1 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema, dados os possíveis casos representados nas letras (a) e (b). Vamos lá! A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. Em ambos os casos, foram arbitrados valores para exemplificar os diagramas. % (a) Ta = 2; Tb = 3; T = 1; num = conv([Ta 1],[Tb 1]); den = conv([1 0 0],[T 1]); ga = tf(num,den); figure nyquist(ga) hold on % (b) Ta = 2; Tb = 1; T = 3; num = conv([Ta 1],[Tb 1]); den = conv([1 0 0],[T 1]); gb = tf(num,den); nyquist(gb) grid minor legend('(a)','(b)') Figura 1: Diagramas de Nyquist. B7-8 Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é: Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, determine a estabilidade do sistema de malha fechada. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema. Mãos à obra! Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = [-1 1]; den1 = [1 1]; g1 = tf(num1,den1); figure nyquist(g1) grid minor Figura 1: Diagrama de Nyquist. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Pelo Critério de estabilidade de Nyquist, os valores do ganho K devem estar entre 0 e 1, visto que a intersecção esquerda do diagrama de Nyquist com o eixo Real ocorre em – K. Tal intersecção não pode ultrapassar o valor -1 para que o sistema seja estável. B7-9 Um sistema com a função de transferência de malha aberta é inerentemente instável. Esse sistema pode ser estabilizado pela adição de um controle derivativo. Esboce os diagramas polares para a função de transferência de malha aberta com e sem o controle derivativo. Solução passo-a-passo Passo 1 de 1 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema, dados os possíveis casos de presença ou ausência de controle derivativo. Vamos lá! A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. Nos casos, foram arbitrados valores para exemplificar os diagramas. % without control T1 = 1; num = 1; den = [T1 1 0 0]; g1 = tf(num,den); figure nyquist(g1) hold on % (b)T2 = 2; num = [T2 1]; den = [T1 1 0 0]; g2 = tf(num,den); nyquist(g2) hold on T2 = 0.5; num = [T2 1]; den = [T1 1 0 0]; g2 = tf(num,den); nyquist(g2) grid minor legend('without','2s+1','0.5s+1') Figura 1: Diagramas de Nyquist. B7-10 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta: Desenhe os diagramas polares tanto diretos como inversos de G(s)H(s) com K = 1 e K = 10. Aplique o critério de estabilidade de Nyquist a esses diagramas e determine a estabilidade do sistema para esses valores de K. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema, dados os casos do diagrama direto e inverso. A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = 10*[1 0.5]; den1 = conv([1 0 0],conv([1 2],[1 10])); num2 = 10*10*[1 0.5]; den2 = conv([1 0 0],conv([1 2],[1 10])); g1 = tf(num1,den1); g2 = 1/g1; g3 = tf(num2,den2); g4 = 1/g2; figure subplot(1,2,1) nyquist(g1,g3) legend('K=1','K=10'); subplot(1,2,2) nyquist(g2,g4) legend('K=1','K=10'); Figura 1: Diagramas de Nyquist. Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down Em ambos os casos, os sistemas são estáveis, visto que não há pólos no semi-plano direito, nem voltas em torno do ponto (-1,j0) B7-11 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta: Determine o máximo valor de K para o qual o sistema é estável. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down Em um sistema com atraso de transporte, pode-se avaliar a estabilidade e determinar o máximo ganho que o estabiliza, por meio do estudo de módulo e fase da função de transferência de malha aberta. Fase: A determinação do ganho máximo é realizada na frequência de limiar de estabilidade. Módulo: Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down Assim, o sistema é estável para ganhos K positivos menores que . B7-12 Desenhe o diagrama de Nyquist para a seguinte G(s): Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema. Mãos à obra! Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = 1; den1 = [1 0.8 1 0]; g1 = tf(num1,den1); figure nyquist(g1) Figura 1: Diagrama de Nyquist. B7-13 Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta: Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s) e examine a estabilidade do sistema. Solução passo-a-passo Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema. Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = [1]; den1 = [1 0.2 1 1]; roots(den1) ans = Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 0.2623 + 1.1451i 0.2623 - 1.1451i -0.7246 + 0.0000i g1 = tf(num1,den1); figure nyquist(g1) grid minor Figura 1: Diagrama de Nyquist. Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down O sistema possui dois pólos no semi-plano direito, na função de malha aberta. Como não há voltas no sentido anti-horário no ponto (-1,j0), a malha fechada possuirá também dois pólos instáveis. Assim, o sistema é instável para qualquer ganho K positivo. B7-14 Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta: Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s) e examine a estabilidade do sistema de malha fechada. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = [1 2 1]; roots(num1) ans = -1 -1 den1 = [1 0.2 1 1]; roots(den1) ans = 0.2623 + 1.1451i 0.2623 - 1.1451i -0.7246 + 0.0000i g1 = tf(num1,den1); figure nyquist(g1) grid minor Figura 1: Diagrama de Nyquist. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down O sistema possui dois pólos no semi-plano direito, na função de malha aberta. Como há duas voltas no sentido anti-horário em torno do ponto (-1,j0), a malha fechada não possuirá pólos instáveis. Assim, o sistema é estáve B7-15 Considere o sistema de controle dotado de realimentação unitária com o seguinte G(s): Suponha que escolhamos o contorno de Nyquist mostrado na Figura 7.156. Desenhe o lugar geométrico correspondente de G(jω) no plano G(s). Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, determine a estabilidade do sistema. FIGURA 7.156 Contorno de Nyquist. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema, levando-se em consideração um laço que contorna a singularidade da origem. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = 1; den1 = conv([1 1e-3],[1 -1]); roots(den1) ans = 1.0000 -0.0010 g1 = tf(num1,den1); figure subplot(2,1,1) nyquist(g1) subplot(2,1,2) nyquist(g1) xlim([-2 0]); Figura 1: Diagrama de Nyquist. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Na Figura 1, tem-se um esboço do resultado para um da ordem de . Percebe-se que o raio do contorno no sentido horário será . No detalhe do gráfico, percebe-se que o ponto (-1,j0) é contornado uma vez no sentido horário. Assim, como há um pólo instável em malha aberta, o enlace adicional contribui com mais um pólo instável, de modo que tal sistema em malha fechada possuirá dois pólos no semi-plano direito. Por fim, o sistema é instável. B7-16 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 7.157. G(s) não possui polos no semiplano direito do plano s. Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7.158(a), esse sistema será estável? Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7.158(b), esse sistema será estável? FIGURA 7.157 Sistema de malha fechada. FIGURA 7.158 Diagramas de Nyquist. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down O problema permite avaliar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária, por meio do Critério de Nyquist. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down Visto que o sistema não possui pólos no semi-plano direito em malha aberta, tem-se que: Pólos de malha fechada (MF) = Pólos de malha aberta (MA) + Enlaces em (-1,j0) (N) (a) (b) Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Logo, o sistema será estável em (a) e instável em (b), em que possuirá dois pólos no semi-plano direito. B7-17 O diagrama de Nyquist de um sistema dotado de realimentação unitária tem a função de transferência G(s) no ramo direto mostrada na Figura 7.159. Se G(s) tiver um polo no semiplano direito do plano s, o sistema será estável? Se G(s) não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano s, mas tiver um zero nesse semiplano, o sistema será estável? FIGURA 7.159 Diagrama de Nyquist. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down O problema permite avaliar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária, por meio do Critério de Nyquist. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down Do Critério de Nyquist, tem-se que: Pólos de malha fechada (MF) = Pólos de malha aberta (MA) + Enlaces em (-1,j0) (N) (a)(b) Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Logo, o sistema será instável em (a) e estável em (b). A presença de zeros de malha aberta no semi-plano direito não interfere na estabilidade do sistema em malha fechada B7-18 Considere o sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta G(s): Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s) para K = 1, 10 e 100. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. figure for K = [1 10 100] num1 = K*[1 2]; den1 = conv([1 0],conv([1 1],[1 10])); g1 = tf(num1,den1); nyquist(g1) hold on end xlim([-2 0]); legend('K=1','K=10','K=100'); Figura 1: Diagrama de Nyquist. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Percebe-se que o sistema é estável para os três valores do ganho K. B7-19 Considere um sistema com realimentação negativa com a seguinte função de transferência de malha aberta: Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s). Se o sistema tivesse realimentação positiva, mas com a mesma função de transferência de malha aberta G(s), como seria o diagrama de Nyquist? Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema, nos casos de feedback negativo e positivo. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. num1 = 2; den1 = conv([1 0],conv([1 1],[1 2])); g1 = tf(num1,den1); nyquist(g1,-g1) hold on xlim([-1 1]); legend('Negative','Positive'); grid minor Figura 1: Diagramas de Nyquist. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down O diagrama de Nyquist para o feedback positivo é simplesmente o simétrico em relação ao eixo imaginário, do diagrama do feedback negativo. B7-20 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 7.160. Desenhe os diagramas de Nyquist de G(s), sendo para k = 0,3; 0,5; e 0,7. FIGURA 7.160 Sistema de controle. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema, nos diferentes ganhos da malha interna. Vamos lá! Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. for k = [0.3 0.5 0.7] num1 = 10; den1 = [1 6 5+10*k 0]; g1 = tf(num1,den1); nyquist(g1) hold on end xlim([-1 0]); ylim([-0.1 0.1]); legend('k=0.3','k=0.5','k=0.7','location','best'); Figura 1: Diagramas de Nyquist. B7-21 Considere o sistema definido por Há quatro diagramas de Nyquist distintos nesse sistema. Desenhe dois diagramas de Nyquist para a entrada u1 em um gráfico e dois diagramas de Nyquist para a entrada u2 em outro gráfico. Escreva um programa em MATLAB para obter esses dois gráficos. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist das funções de transferência do problema. Mãos à obra! Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. A = [-1 -1; 6.5 0]; B = [1 1; 1 0]; C = eye(2); D = zeros(2,2); [num1, den1] = ss2tf(A,B,C,D,1); [num2, den2] = ss2tf(A,B,C,D,2); g11 = tf(num1(1,:),den1); g12 = tf(num1(2,:),den1); g21 = tf(num2(1,:),den2); g22 = tf(num2(2,:),den2); figure subplot(1,2,1) nyquist(g11,g12) legend('u1->y1','u1->y2'); subplot(1,2,2) nyquist(g21,g22) legend('u2->y1','u2->y2'); Figura 1: Diagramas de Nyquist. B7-22 Com relação ao Problema B.7.21, é desejável traçar apenas Y1(jω)/U1(jω) para ω > 0. Escreva um programa em MATLAB para gerar esse diagrama. Se for desejável traçar Y1(jω)/U1(jω) para – ∞ < ω < ∞, que mudanças devem ser feitas no programa em MATLAB? Problema B.7.21 Considere o sistema definido por Há quatro diagramas de Nyquist distintos nesse sistema. Desenhe dois diagramas de Nyquist para a entrada u1 em um gráfico e dois diagramas de Nyquist para a entrada u2 em outro gráfico. Escreva um programa em MATLAB para obter esses dois gráficos. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do problema. Mãos à obra! Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. Percebe-se que o gráfico referente às frequências negativas é o simétrico do gráfico das frequências positivas, em relação ao eixo real. Assim, para obter os resultados de ambas as frequências – negativas e positivas – basta plotá-los separada ou conjuntamente, tal como no código ilustrado. A = [-1 -1; 6.5 0]; B = [1 1; 1 0]; C = eye(2); D = zeros(2,2); [num1, den1] = ss2tf(A,B,C,D,1); g11 = tf(num1(1,:),den1); figure [re,im,w]=nyquist(g11); plot(squeeze(re),squeeze(im),squeeze(re),-squeeze(im),'--') xlabel('Real'); ylabel('Imaginary'); grid minor legend('\omega > 0','\omega < 0') Figura 1: Diagramas de Nyquist. B7-23 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é Determine o valor de a de forma que a margem de fase seja 45°. Solução passo-a-passo Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down Pode-se especificar uma margem de fase ao sistema e impô-la por meio de ajuste adequado dos parâmetros. Vamos, então, utilizar estes conhecimentos para resolvermos esta questão. Mãos à obra! Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down O módulo da função de malha aberta é dado por: Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down A fase da função de malha aberta é dada por: Sendo a frequência aquela que fornece a requerida margem de fase, temos: Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down O módulo da função nessa frequência deve ser unitário, então: Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down Assim, B7-24 Considere o sistema mostrado na Figura 7.161. Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta G(s). Determine a margem de fase e a margem de ganho. FIGURA 7.161 Sistema de controle. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Conforme aprendemos, por meio do diagrama de Bode é possível determinar as margens de fase e de ganho de um sistema. E é exatamente isto que faremos nesta questão. Vamos lá! Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down O diagrama de Bode e as margens de fase e de ganho são obtidos por meio do programa Matlab abaixo. num = 25; den = conv([1 0],conv([1 1],[1 10])); g = tf(num,den); bode(g) grid minor [GM,PM,~,~]=margin(g); GM = 20*log10(GM); Figura 1: Diagrama de Bode. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Portanto as margens de fase (PM) e de ganho (GM) são: dB B7-25 Considere o sistema da Figura 7.162. Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta G(s). Determine a margem de fase e a margem de ganho com o MATLAB. FIGURA 7.162 Sistema de controle. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Conforme estudamos, por meio do diagrama de Bode é possível determinar as margens de fase e de ganho de um sistema. E é exatamente isto que faremos neste exercício. Vamos lá! Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down O diagrama de Bode e como as margens de fase e de ganho são obtidos por meio do programa Matlab abaixo. num = 20*[1 1]; den = conv([1 0],conv([1 5],[12 10])); g = tf(num,den); bode(g) grid minor [GM,PM,~,~]=margin(g); GM = 20*log10(GM); Figura 1: Diagrama de Bode. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down Portanto as margens de fase (PM) e de ganho (GM) são: dB thumb_up B7-26 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é: Determine o valor do ganho K tal que a margem de fase seja de 50°. Qual é a margem de ganho com esse mesmo valor de K? Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Por meio do diagrama de Bode é possível determinar o ganho em malha aberta que fornece uma margem de fase especificada. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down O código Matlab responsável pelo cômputo do ganho K pode ser visualizado abaixo. Ademais, tem-se o diagrama de Bode resultante. K=0.005; num = 1; den = conv([1 0],[1 1 4]); g = tf(num,den); [~,PM,~,~]=margin(K*g); while(PM>=50) K=K+0.005; [~,PM,~,~]=margin(K*g); end K=K-0.005; bode(K*g) grid minor [GM,PM,~,~]=margin(K*g); GM = 20*log10(GM); Figura 1: Diagrama de Bode. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down A margem de ganho (GM) e o ganho são: dB B7-27 Considere o sistema da Figura 7.163. Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta e determine o valor do ganho K para que a margem de fase seja de 50°. Qual é a margem de ganho desse sistema com esse valor de K? FIGURA 7.163 Sistema de controle. Solução passo-a-passo Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down Por meio do diagrama de Bode é possível determinar o ganho em malha aberta que fornece uma margem de fase especificada. Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down O código Matlab responsável pelo cômputo do ganho K pode ser visualizado abaixo. Ademais, tem-se o diagrama de Bode resultante. K=0.005; num = 10*[1 0.1]; den = conv([1 1 0],[1 0.5]); g = tf(num,den); [~,PM,~,~]=margin(K*g); while(PM>=50) K=K+0.005; [~,PM,~,~]=margin(K*g); end K=K-0.005; bode(K*g) grid minor [GM,PM,~,~]=margin(K*g); GM = 20*log10(GM); Figura 1: Diagrama de Bode. Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down A margem de ganho (GM) e o ganho são: dB B7-28 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é: Determine o valor de K tal que o valor do pico de ressonância na resposta em frequência seja de 2 dB ou Mr = 2 dB. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down Por meio do diagrama de Bode, é possível determinar o ganho do ramo direto capaz de produzir o pico de ressonância desejado em malha fechada. O código Matlab responsável pelo cômputo do ganho K pode ser visualizado abaixo. step = 0.001; K = step; num = 1; den = [1 1 0.5 0]; g = tf(num,den); [mag,~,~]=bode(K*g/(1+K*g)); mag = 20*log10(squeeze(mag)); Mr = max(mag); while(Mr<=2); K = K+step; [mag,~,~]=bode(K*g/(1+K*g)); mag = 20*log10(squeeze(mag)); Mr = max(mag); end K=K-step; bode(K*g/(1+K*g)) grid minor Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down O ganho K para o qual dB é: B7-29 A Figura 7.164 mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta G(s) de um sistema de controle com realimentação unitária. Sabe-se que a função de transferência de malha aberta é de fase mínima. Pelo diagrama, pode-se ver que há um par de polos complexos conjugados em ω = 2 rad/s. Determine o cocficientc de amortecimento do termo quadrático que envolve os dois polos complexos conjugados. Determine também a função de transferência G(s). FIGURA 7.164 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação unitária. Solução passo-a-passo Passo 1 de 9 keyboard_arrow_down Por meio do diagrama de Bode, é possível estimar a função de transferência geradora do diagrama. Utilizaremos os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para resolver esta questão. Vamos lá! Do diagrama de Bode, é possível perceber: Passo 2 de 9 keyboard_arrow_down 1. Para baixas frequências, a magnitude decai com 20 dB por década e a fase é -180º. Tal comportamento pode ser devido a dois pólos na origem; 2. Para altas frequências, a magnitude decai em 60 dB por década e a fase é -270º. Há três pólos a mais que zeros; 3. Por volta de 0,5 rad/sec a magnitude e a fase aumentam. Presença de um zero; 4. Ressonância em 2 rad/sec. Presença de um par de pólos complexos; Passo 3 de 9 keyboard_arrow_down Visto que o sistema é de fase mínima, uma possível função de transferência pode envolver: um par de pólos na origem, um zero em 0,5 rad/sec e um par de pólos complexos em 2 rad/sec. Assim, tem-se o seguinte formato: Passo 4 de 9 keyboard_arrow_down Passo 5 de 9 keyboard_arrow_down Além disso, Passo 6 de 9 keyboard_arrow_down dB Passo 7 de 9 keyboard_arrow_down Pela magnitude do pico de ressonância, temos que: Passo 8 de 9 keyboard_arrow_down Passo 9 de 9 keyboard_arrow_down Por fim, uma possível função de transferência em malha aberta é: B7-30 Desenhe os diagramas de Bode para o controlador PI dado por e para o controlador PD dado por Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A seguir, será possível avaliar os diagramas de Bode das funções de transferência dos controladores PI e PD. Mãos à obra! Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. s = tf('s'); gPI = 5*(1+1/2/s); gPD = 5*(1+0.5*s); bode(gPI,gPD) legend('PI','PD'); grid minor Figura 1: Diagramas de Bode. B7-31 A Figura 7.165 mostra o diagrama de blocos do controle de atitude de um veículo espacial. Determine o ganho constante proporcional Kp e o tempo derivativo Td, de forma que a banda passante do sistema de malha fechada seja de 0,4 a 0,5 rad/s. (Note que a banda passante de malha fechada é próxima à frequência de ganho de cruzamento.) O sistema deve ter uma margem de fase adequada. Trace as curvas de resposta em frequência de malha aberta e de malha fechada em diagramas de Bode. FIGURA 7.165 Diagrama de blocos do sistema de controle de atitude de um veículo espacial. Solução passo-a-passo Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down Dada uma planta a ser controlada, computam-se os ganhos proporcional e derivativo do controlador, tendo em vista os requisitos do projeto. Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down É necessário que o sistema tenha uma largura de faixa entre 0,4 e 0,5 rad/sec. Assim, escolhe-se o zero em 0,35 rad/sec e um ganho tal que a curva em malha aberta intercepte a linha de 0 dB em 0,4 rad/sec. Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. É possível visualizar os passos seguidos no projeto: primeiro alocou-se o zero, segundo ajustou-se o ganho. figure subplot(121) bode(g,g*(1+s/0.3),g*(1+s/0.3)*10^(-20/20)) legend('g','g*(1+Tds)','g*(1+Tds)*K','location','best'); grid minor gma = g*(1+s/0.3)*10^(-20/20); gmf = gma/(1+gma); subplot(122) bode(gmf) legend('closed loop'); grid minor Figura 1: Diagramas de Bode. Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down Logo, um controlador capaz de atender aos requisitos possui a seguinte função de transferência: B7-33 Considere o sistema mostrado na Figura 7.167. Deseja-se projetar um compensador com erro estático de velocidade constante de 4,0 s–1, margem de fase de 50° e margem de ganho de 8 dB ou mais. Trace as curvas de resposta ao degrau unitário eà rampa unitária do sistema compensando, utilizando o MATLAB. FIGURA 7.167 Sistema de controle. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A partir de uma planta a ser controlada, é preciso computar os parâmetros do controlador lead, tendo em vista os requisitos do projeto. No caso deste problema, é necessário que o sistema tenha um margem de fase de 50º, margem de ganho não menor que 8 dB e . Veja a resolução! Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código MATLAB abaixo. É possível visualizar os passos seguidos no projeto: cálculo do zero e do pólo e ajuste do ganho. s = tf('s'); % Kv = lim(s->0)s*g*gc % 4 = lim(s->0)s*(2*s+0.1)/(s^2+0.1*s+4)/s*Kc*alpha*(T*s+1)/(alpha*T*s+1) % Kc*alpha = 160 K = 160; g = K*(2*s+0.1)/(s^2+0.1*s+4)/s; [~,pm,~,wcg]=margin(g); phi = 50-pm+5; phi = phi/180*pi; alpha = (1+sin(phi))/(1-sin(phi)); glead = (s+wcg/sqrt(alpha))/(s+wcg*sqrt(alpha)); [magwcg,~,~]=bode(g*glead,wcg); Kc = 1/magwcg; glead = Kc*glead; [mag1,ph1,w]=bode(g);[mag2,ph2,~]=bode(g*glead,w); mag1 = squeeze(mag1); mag2 = squeeze(mag2); ph1 = squeeze(ph1); ph2 = squeeze(ph2); figure subplot(221) semilogx(w,20*log10(mag1),w,20*log10(mag2)) legend('g','g*gc'); grid minor xlabel('Frequência (rad/s)'); ylabel('Amplitude (dB)'); subplot(223) semilogx(w,ph1,w,ph2) legend('g','g*gc'); grid minor xlabel('Frequência (rad/s)');ylabel('Fase (graus)'); subplot(222) [y3,t]=step(g*glead/(1+g*glead),0:0.01:60); plot(t,y3,t,t*0+1); legend('Saída','Entrada');grid minor xlabel('Tempo (s)');ylabel('Amplitude'); subplot(224) [y4,~]=step(g*glead/(1+g*glead)*1/s,t); plot(t,y4,t,t); legend('Saída','Entrada');grid minor xlabel thumb_up B7-34 Considere o sistema mostrado na Figura 7.168. Projete um compensador por atraso e por avanço de fase com erro estático de velocidade constante Kv de 20 s-1, margem de fase de 60° e margem de ganho de pelo menos 8 dB. Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensando, utilizando o MATLAB. FIGURA 7.168 Sistema de controle. Solução passo-a-passo Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down A partir de uma planta a ser controlada, é preciso computar os parâmetros do controlador lead/lag, tendo em vista os requisitos do projeto. No caso deste problema, é necessário que o sistema tenha um margem de fase de 60º, margem de ganho não menor que 8 dB e . Veja a resolução! Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down A Figura 1 exibe o resultado do código MATLAB abaixo. É possível visualizar os passos seguidos no projeto: cálculo do zero e do pólo e ajuste do ganho. s = tf('s'); % Kv = lim(s->0)s*g*gc glag = s+1/(s+0.5); % gc = glag*glead; % 20 = lim(s->0)s*g*2*Kc*alpha*(T*s+1)/(alpha*T*s+1) % Kc*alpha = 10 K = 10; g = K/s/(s+1)/(s+5); [~,pm,~,wcg]=margin(g); phi = 60-pm+5; phi = phi/180*pi; alpha = (1+sin(phi))/(1-sin(phi)); glead = (s+wcg/sqrt(alpha))/(s+wcg*sqrt(alpha)); [magwcg,~,~]=bode(g*glead,wcg); Kc = 1/magwcg; glead = Kc*glead; gc = glag*glead; [mag1,ph1,w]=bode(g);[mag2,ph2,~]=bode(g*gc,w); mag1 = squeeze(mag1); mag2 = squeeze(mag2); ph1 = squeeze(ph1); ph2 = squeeze(ph2); figure subplot(221) semilogx(w,20*log10(mag1),w,20*log10(mag2)) legend('g','g*gc'); grid minor xlabel('Frequência (rad/s)'); ylabel('Amplitude (dB)'); subplot(223) semilogx(w,ph1,w,ph2) legend('g','g*gc'); grid minor xlabel('Frequência (rad/s)');ylabel('Fase (graus)'); subplot(222) [y3,t]=step(g*gc/(1+g*gc),0:0.01:20); plot(t,y3,t,t*0+1); legend('Saída','Entrada');grid minor xlabel('Tempo (s)');ylabel('Amplitude'); subplot(224) [y4,~]=step(g*gc/(1+g*gc)*1/ thumb_up
Compartilhar