Resolução de EDO's por séries

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Departamento de Matemática / 2o. Fund / 2007
.
RESOLUÇÃO DE EDO’S POR SÉRIES
(RESUMO)
.
EXEMPLOS DE EDO’S IMPORTANTES NESSE CONTEXTO:
Equação de Bessel de ordem p:
x2y00 + xy0 + (x2 � p2)y = 0 ; p > 0
Equação de Legendre de grau p:
(1� x2)y00 � 2xy0 + p(p+ 1)y = 0
Equação de Hermite de ordem p:
y00 � 2xy0 + 2py = 0
Equação de Chebyshev:
(1� x2)y00 � xy0 +m2y = 0 ; m = 1; 2; : : :
Equação de Airy:
y00 � xy = 0
Equação de Euler:
x2y00 + �xy0 + �y = 0 ; �; � constantes reais
Equação Hipergeométrica (ou de Gauss):
x(1� x)y00 + [
 � (1 + �+ �)x] y0 + ��y = 0 ; �; �; 
 constantes reais
Equação de Laguerre:
xy00 + (1� x)y0 +my = 0
Equação de Jacobi:
x(1� x)y00 + [a� (1 + b)x] y0 +m(b+m)y = 0
§. CLASSIFICAÇÃO DOS PONTOS DO DOMÍNIO DA EDO:
1
Lembramos dos cursos de cálculo que dizemos que uma função f é analítica em um
ponto xo se existir um raio de convergência � > 0 tal que vale a convergência
f(x) =
1X
n=0
an(x� xo)n =
1X
n=0
f (n)(xo)
n!
(x� xo)n ; jx� xoj < �
De…nição 1. Um ponto xo é ponto ordinário da equação
y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0
se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo. Caso contrário, dizemos que xo é um
ponto singular.
Além disto, xo é chamado de ponto singular regular se xo não é um ponto ordinário
e as funções dadas por (x � xo)p(x) e (x � xo)2q(x) são analíticas em xo. Se xo
não é um ponto ordinário e pelo menos uma destas funções não for analítica em xo,
diremos que ele é um ponto singular irregular.
No caso da equação com coe…cientes polinomiais, esta de…nição pode ser reformulada
de maneira mais especí…ca como:
De…nição 2.
Considere
P (x)y00(x) +Q(x)y0(x) +R(x)y(x) = 0
onde P (:); Q(:) e R(:) são polinômios.
(i) xo é um ponto singular da equação acima se P (xo) = 0:
(ii) Um ponto singular xo é dito regular se existem os limites
lim
x!xo
(x� xo)Q(x)
P (x)
e lim
x!xo
(x� xo)2 R(x)
P (x)
(iii) Se um ponto singular não é regular, dizemos que ele é um ponto singular irre-
gular.
§. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO ORDINÁRIO
Se os coe…cientes são analíticos, procurar solução analítica em torno de um ponto
ordinário xo, ou seja: Supor solução formalmente representada por uma série de
potências
y(x) =
1X
n=0
an(x� xo)n
e tentar identi…car os coe…cientes an’s e validar o resultado.
Exemplo CB
Resolver a equação de Airy
y00 � xy = 0 ; x 2 R
fazendo expansão em série de potências na vizinhança de xo = 1:
2
Temos:
y(x) =
1X
n=0
an(x� 1)n
y0(x) =
1X
n=1
nan(x� 1)n�1 =
1X
n=0
(n+ 1)an+1(x� 1)n
y00(x) =
1X
n=2
n(n� 1)an(x� 1)n�2 =
1X
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n
Substituindo na equação,
1X
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � x
1X
n=0
an(x� 1)n = 0
Fazendo x = 1 + (x� 1), que é a série de Taylor de f(x) = x em torno de xo = 1,
1X
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n � [1 + (x� 1)]
1X
n=0
an(x� 1)n = 0
1X
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n �
 1X
n=0
an(x� 1)n +
1X
n=0
an(x� 1)n+1
!
= 0
1X
n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2(x� 1)n �
 1X
n=0
an(x� 1)n +
1X
n=1
an�1(x� 1)n
!
= 0
Igualando os coe…cientes de mesma potência de (x� 1), obtemos
2a2 = ao
(3 � 2)a3 = a1 + ao
(4 � 3)a4 = a2 + a1
(5 � 4)a5 = a3 + a2
...
o que fornece a seguinte fórmula de recorrência (equação indicial):
(n+ 2)(n+ 1)an+2 = an + an�1 ; n � 1
Resolvendo para os primeiros an em termos de ao e a1, resulta
y(x) = aoy1(x) + a1y2(x)
onde
y1(x) = 1 +
(x� 1)2
2
+
(x� 1)3
6
+
(x� 1)4
24
+
(x� 1)5
30
+ � � �
y2(x) = (x� 1) + (x� 1)
3
6
+
(x� 1)4
12
+
(x� 1)5
120
+ � � �
Único senão: estamos em di…culdade para estabelecer — através do critério da razão,
por exemplo — a convergência das séries, pois não temos uma fórmula geral para
os an’s. Isto, porém, …ca resolvido por causa do chamado teorema de Fuchs.
3
. CB
Teorema 1 (Teorema de existência, de Fuchs)
Se p(.) e q(.) são funções analíticas em xo, então a solução geral de
y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x) = 0
é dada por
y =
1X
n=0
an(x� xo)n = aoy1(x) + a1y2(x) ;
onde ao e a1 são constantes arbitrárias e y1 = y1(x) e y2 = y2(x) são duas soluções
em séries linearmente independentes que são analíticas em xo:
Além disto, o raio de convergência para cada uma das soluções em séries y1 e y2 é
no mínimo igual ao menor dos raios de convergência das séries de p(.) e q(.).
� Prova. (v. ref.).
Exercício 1 Analisar, sob o ponto de vista do teorema 2.1, a equação
y00 + (senx)y0 + (1 + x2)y = 0
Este teorema nos motiva a proceder à seguinte generalização da de…nição de pontos
ordinários e singulares:
Exercício 2 Analisar a equação
x2y00 � 2y = 0
§. RESOLUÇÃO NA VIZINHANÇA DE UM PONTO SINGULAR
REGULAR:
Conforme desenvolvida no curso MAT-31, a resolução de equação de Cauchy-Euler
pode ser assim resumida:
Para a resolução equação de Cauchy-Euler
x2y00 + �xy0 + �xy = 0
em qualquer intervalo que não contenha a origem, procuramos solução na forma
y = xr, para r conveniente. A…nal, não seria este o tipo de função que se poderia
esperar de maneira que a soma dela e suas derivadas, multiplicadas por polinômios,
desse zero? Seguindo este procedimento, pudemos obter que a solução geral da EDO
é determinada pelas raízes r1 e r2 da equação algébrica
r(r � 1) + �r + � = 0
Se as raízes são reais e distintas, então a solução geral é dada por
y = c1jxjr1 + c2jxjr2
4
Se as raízes são reais iguais, então
y = (c1 + c2 ln jxj) jxjr1
Se as raízes são complexas, r1; r2 = �� i�, então
y = jxj� [c1 cos(� ln jxj) + c2sen (� ln jxj)]
Aqui, nada mais vamos fazer do que uma generalização deste procedimento. Assim,
vamos supor que xo é um ponto de singularidade regular de
P (x)y00 +Q(x)y0 +R(x)y = 0
que pode ser escrita na forma normal
y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 (1)
fazendo
p(x) =
Q(x)
P (x)
e q(x) =
R(x)
P (x)
Como xo é ponto singular regular da equação, temos que pelo menos uma das funções
p(:) e/ou q(:) não é analítica em xo, mas as funções dadas por
(x� xo)p(x) = (x� xo)Q(x)
P (x)
e (x� xo)2q(x) = (x� xo)2R(x)
P (x)
são analíticas em xo: Sem perda de generalidade, vamos supor que xo = 0 (a…nal, se
este não for o caso, basta fazer uma mudança de variáveis conveniente para termos
a singularidade na origem). Assim, temos que xp(x) e x2q(x) são representadas por
suas séries de Taylor
xp(x) =
P1
n=0 pnx
n
x2q(x) =
P1
n=0 qnx
n (2)
Note que se multiplicarmos (1) por x2, …camos com
x2y00 + x(xp(x))y0 + x2q(x)y = 0 (3)
que, no caso particular de po; qo 6= 0 e pn = qn = 0 ; 8n � 1 ; recai na equação de
Cauchy-Euler
x2y00 + xpoy0 + qoy = 0
Esta particularização traz alguma luz sobre por que fazemos menção aos termos
xp(x) e x2q(x) na classi…cação de um ponto singular regular.
Vamos, agora, desenvolver um algoritmo para resolver (3) numa vizinhança do ponto
singular regular xo = 0, conhecido como método de Frobenius. O método consiste
em procurar solução na forma
y = xr
1X
n=0
anx
n =
1X
n=0
anx
r+n ; ao 6= 0 (4)
Substituindo (4) e suas derivadas em (3), vemP1
n=0(r + n)(r + n� 1)anxr+n (
P1
n=0 pnx
n) (
P1
n=0(r + n)anx
r+n)+
+ (
P1
n=0 qnx
n) (
P1
n=0 anx
r+n) = 0
5
Multiplicando as séries e separando os termos, obtemos
aoF (r)x
r +
1X
n=1
(
F (r + n)an +
nX
k=0
ak [(r + k)pn�k + qn�k]
)
xr+n = 0 (5)
onde
F (r) = r(r � 1) + por + qo
Como ao 6= 0, igualando a zero o coe…ciente de xr fornece a equação
r(r � 1) + por + qo = 0 (6)
a qual chamaremos de equação indicial. (Note que ela é exatamente a mesma
equação em r obtida no estudo da equação de Cauchy-Euler). As raízes de (6) são
chamadas de expoentes da equação na singularidade. Elas fornecem uma condição
necessária para a EDO possuir solução na forma (4),no sentido de que somente
para estas raízes podemos esperar encontrar soluções do tipo (4).
1. Se a equação indicial possui raízes reais r1 e r2 , r1 � r2 , procedemos como segue.
Igualando a zero os coe…cientes de xr+n em (5) resulta na relação de recorrência
F (r + n)an +
n�1X
k=0
ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1 (7)
que fornece, em princípio, os valores de an em função do valor de r e de todos os
coe…cientes precedentes ao; a1; : : : ; an; : : : , desde que F (r + n) 6= 0 ; 8n � 1.
Como as únicas possibilidades do trinômio do 2o. grau se anular é F (r1) = F (r2) = 0
e como r1 � r2 , então r1 + n nunca é igual a r1 ou r2, para n � 1. Portanto,
F (r1 + n) 6= 0 ; 8n � 1 , e, consequentemente, sempre podemos
determinar uma solução de (1) na forma
y = y1(x) = x
r1
"
1 +
1X
n=1
an(r1)x
n
#
; x > 0
Usamos a notação an(r1) para indicar que os coe…cientes an’s são obtidos de (7)
com r = r1. Também, usamos 1 em vez de ao na expressão acima porque todos os
an’s terão ao como fator em sua determinação, de forma que podemos colocá-lo em
evidência e deixá-lo para a especi…cação da constante arbitrária na solução geral.
Se r2 6= r1 e r1 � r2 não é um inteiro positivo, então r2 + n 6= r1 ; 8n � 1 ; e
portanto F (r2 + n) 6= 0 ; 8n � 1 ; de forma que podemos também obter uma
segunada solução
y = y2(x) = x
r2
"
1 +
1X
n=1
an(r2)x
n
#
; x > 0
Pode-se mostrar que as duas séries de potências que aparecem nas expressões de
y1(:) e y2(:) convergem, no mínimo no intervalo jxj < � de convergência onde ambas
as séries de xp(x) e x2q(x) convergem, e de…nem funções analíticas em xo = 0.
Desta forma, qualquer eventual comportamento singular das soluções estará ligado
aos fatores xr1 e xr2.
6
Para obter soluções reais para x < 0, basta fazer a substituição x = �� , com � > 0;
obtendo os mesmos coe…cientes an(r1) e an(r2).
2. Se a equação indicial possui raízes complexas (conjugadas), então r1 � r2 nunca
é um inteiro positivo. Neste caso, sempre poderemos achar duas soluções do tipo
(4), embora sejam funções complexas. Para obter soluções reais, basta tomar as
partes real e imaginária das soluções complexas. (Ummelhor desenvolvimento destas
considerações …cam como sugestão para parte de um trabalhinho).
3. Se r1 = r2 = r 2 R, então um procedimento análogo ao que foi feito no estudo
da equação de Cauchy-Euler fornece a segunda solução como sendo
y2(x) = y1(x) ln jxj+ jxjr
1X
n=1
bn(r)x
n
Os coe…cientes bn’s são calculados substituindo-se a expressão acima na EDO, sepa-
rando os termos e igualando â zero os coe…cientes de cada potência de x. (Também
vale como sugestão para parte de um trabalhinho desenvolver estas considerações).
4. Se r1 � r2 = N , um inteiro positivo, o caso é estudado em livros avançados e
não veremos aqui. Mas podemos adiantar que a segunda solução vai ser da forma
y2(x) = ay1(x) ln jxj+ jxjr2
"
1 +
1X
n=1
cn(r2)x
n
#
EXERCÍCIOS
1. Resolver a seguinte equação na vizinhança de xo = 0:
2x2y00 � xy0 + (1 + x)y = 0
(Soluções linearmente independentes:
y1(x) = x
"
1 +
1X
n=1
(�1)nxn
[3 � 5 � 7 � : : : � (2n+ 1)]n!
#
; x > 0
y2(x) = x
1=2
"
1 +
1X
n=1
(�1)nxn
[1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1)]n!
#
; x > 0 )
2. Discuta a natureza das soluções da equação
2x(1 + x)y00 + (3 + x)y0 � xy = 0
perto dos pontos singulares.
§. EQUAÇÃO DE BESSEL:
7
Friedrich Wilhelm Bessel (alemão, 1784-1846), matemático e astrônomo, introduziu
em 1824 as agora chamadas funções de Bessel em seu trabalho sobre as perturbações
observadas nos sistemas planetários. Estas funções, porém, aparecem numa ampla
variedade de problemas físicos, tais como:
� separação da equação de Helmholtz ou da onda em coordenadas cilíndricas
circulares;
� equação de Helmholtz em coordenadas polares.
Embora o estudo das funções de Bessel pode ser introduzido de maneira bastante
instrutiva através do conceito de funções geradoras, vamos aqui priviligiar seu estudo
como soluções da equação diferencial
x2y00 + xy0 + (x2 � p2)y = 0 ; p � 0 (8)
chamada de equação de Bessel de ordem p, onde p é um número real não-
negativo. Por simplicidade, vamos considerar apenas o intervalo x > 0.
Note que
xp(x) = 1 e x2q(x) = �p2 + x2
de forma que xo = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel. Desta foma,
o método de Frobenius visto no capítulo III, que consiste em procurar soluções da
forma
y = xr
1X
n=0
anx
n =
1X
n=0
anx
r+n ; ao 6= 0 ;
fornece a equação indicial
r(r � 1) + por + qo = 0
r(r � 1) + r � p2 = 0
r2 � p2 = 0
com os expoentes (raízes características) reais
r1 = p � 0 e r2 = �p � 0
Primeira solução da equação de Bessel. Função de Bessel de primeira
espécie.
Substituindo r1 = p na fórmula de recorrência
F (r + n)an +
n�1X
k=0
ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1
obtemos, para n = 1;
((p+ 1)2 � p2)a1 + ao [(p+ 1)p1 + q1] = 0
(2p+ 1)a1 + ao [(p+ 1)� 0 + 0] = 0
a1(r1) = 0
8
Para n = 2;�
(p+ 2)2 � p2� a2 + ao [(p+ 0)p2 + q2] + a1 [(p+ 1)p1 + q1] = 0
4(p+ 1)a2 + ao [p� 0 + 1] + a1 [(p+ 1)� 0 + 0] = 0
a2(r1) = � 1
2(2p+ 2)
ao
Para n = 3; �
(p+ 3)2 � p2� a3 + ao [(p+ 0)p3 + q3] +
+a1 [(p+ 1)p2 + q2] + a2 [(p+ 2)p1 + q1] = 0
3(2p+ 3)a3 + ao � 0 + a1 [0 + 1] + a2 � 0 = 0
a3(r1) = � 1
3(2p+ 3)
a1 = 0
Assim, sucessivamente, podemos chegar a a1 = a3 = � � � = a2n+1 = � � � = 0 e, para
os termos pares
an(r1) = � 1
n(2p+ n)
an�2 ; n � 1
o que fornece
a2n(r1) =
(�1)nao
22n:n!(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n) ; n = 1; 2; : : :
Assim, a primeira solução da equação de Bessel …ca sendo
y1(x) = aox
p
�
1� x
2
22(p+ 1)
+
x4
242!(p+ 1)(p+ 2)
� x
6
263!(p+ 1)(p+ 2)(p+ 3)
+ � � �
�
o que pode ser reescrito numa forma compacta como
y1(x) = aox
p
"
1 +
1X
n=1
(�1)nx2n
n!22n(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n)
#
(9)
Vamos escolher ao como sendo
ao =
1
2p�(p+ 1)
(10)
onde �(:) denota a função gama de…nida por
�(p) =
Z 1
0
xp�1e�xdx ; p > 0
e
�(p) =
�(p+ n)
p(p+ 1)(p+ 2) � � � (p+ n� 1) ; �n < p < 0 ; p 6= �1;�2; : : : ;�n+ 1
Lembrar do curso de integrais impróprias que a função gama aparece ocasionalmente
em problemas físicos tais como a normalização das funções de onda de Coulomb
e o cômputo de probabilidades em mecânica estatística, embora sua importância,
na verdade, é derivada de sua utilidade no desenvolvimento de outras funções que
9
apresentam aplicações físicas diretas, como a de Bessel. Além desta de…nição em
termos de integral imprópria, devida a Euler, temos no mínimo outras duas de…nições
equivalentes da função gama, uma através de um limite in…nito (também devida
a Euler) e outra através de um produto in…nito (devida a Weierstrass) (ver, por
exemplo, Arfken[4]). Muito da importância da função gama provem da seguinte
fórmula facilmente demonstrável usando-se integração por partes,
�(p) = (p� 1)�(p� 1)
Daí resulta que, quando p = n é um inteiro não-negativo,
�(n+ 1) = n! ;
de maneira que a função gama generaliza o fatorial de números inteiros
positivos para valores reais. A …gura seguinte mostra o grá…co da função gama.
Figura . Grá…co da função gama.
Pode-se provar que, para qualquer N inteiro positivo,
lim
p!�N
1
�(p)
= 0
Assim, a função dada por
f(p) =
�
1 =�(p) ; se p 6= �N
0 ; se p = �N
é de…nida e contínua, de forma que podemos adotar a seguinte fórmula:
1
�(�p) = 0 ; p = 0; 1; 2; : : : (11)
Voltemos à expressão da solução da equação de Bessel para a raiz característica
r1 = p. Substituindo (10) em (9), temos …nalmente
y1(x) = Jp(x) =
1X
n=0
(�1)n
n!�(n+ p+ 1)
�x
2
�2n+p
(12)
que é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem p, denotada
Jp(:): Aplicando o teste da razão, é fácil ver que esta série converge absolutamente
10
em toda a reta. Emparticular, quando p é um inteiro positivo, a série representa
uma função analítica na origem.
As funções de Bessel mais importantes são os casos particulares p = 0 e p = 1, que
fornecem:
J0(x) = 1� x
2
22
+
x4
24(2!)2
� x
6
26(3!)2
+ � � �
J1(x) =
x
2
� x
3
23:2!
+
x5
25:2!:3!
� � � �
Notem a semelhança com as expansões em séries de Taylor de cosx e senx :
cosx = 1� x
2
22
+
x4
4!
� x
6
6!
+ � � �
senx = x� x
3
3!
+
x5
5!
� � � �
Assim, é de se esperar que estas funções de Bessel de 1
a
espécie compartilhem
algumas das propriedades destas funções trigonométricas. De fato, pode-se mostrar
(ou, no mínimo, observar plotando-se os grá…cos) as seguintes propriedades das
funções de Bessel de 1
a
espécie de ordem p:
1. As funções Jp(:) possuem uma in…nidade de zeros. Além disso, cada zero de
Jp(:) situa-se entre dois zeros consecutivos de Jp+1(:):
2. J0(x) = 1 e Jp(x) = 0 ;8 p > 0 , de forma que toda Jp(:) é …nita na origem
para p � 0.
3. Embora as funções Jp(:) não sejam periódicas, elas no entanto apresentam
comportamento oscilatório amortecido.
Figura .Grá…co das funções Jp(:) para p = 0 ; p = 1 e p = 2.
EXERCÍCIOS:
1. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se y1(x) e y2(x) são duas soluções lin-
earmente independentes de
y00 + P (x)y0 +Q(x)y = 0
11
então os zeros destas funções são distintos e ocorrem alternativamente, no
sentido de y1(x) se anula exatamente uma vez entre dois zeros consecutivos de
y2(x) e reciprocamente.
(Sug.: Discuta o wronskiano W (y1; y2) = y1(x)y02(x)� y2(x)y01(x)).
2. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que qualquer equação da forma padrão
y00 + P (x)y0 +Q(x)y = 0
pode ser escrita na forma normal
u00 + q(x)u = 0
(Sug.: Fazer a mudança y(x) � u(x)v(x) e substituir na equação na forma
padrão para obter
vu00 + (2v0 + Pv)u0 + (v00 + Pv0 +Qv)u = 0
e igualar o coe…ciente de u0 para obter v = e�
1
2
R
Pdx ).
3. (Sugestão para trabalhinho) Prove que se q(x)<0 e u(x) é uma solução não-
trivial de u”+q(x)u=0, então u(x) tem no máximo um zero.
4. (Sugestão para trabalhinho) Prove o seguinte resultado: Seja u(x) uma solução
não-trivial de u”+q(x)u=0, com q(x)>0 para todo x>0. SeZ 1
1
q(x)dx =1
então u(x) tem um número in…nito de zeros no eixo x>0.
5. (Sugestão para trabalhinho) Mostre que toda solução não-trivial da equação de
Bessel de ordem p tem um número in…nito de zeros positivos.
6. (Sugestão para trabalhinho) Seja y(x) uam solução não-trivial de u”+q(x)u=0
num intervalo fechado [a,b]. Mostre que y(x) tem no máximo um número …nito
de zeros neste intervalo.
7. (Sugestão para trabalhinho) Sejam y(x) e z(x) soluções não-triviais de
y00 + q(x)y = 0
e
z00 + r(x)z = 0
onde q(x) e r(x) são funções positivas tais que q(x)>r(x). Mostre que y(x) se
anula no mínimo uma vez entre quaisquer dois zeros sucessivos de z(x).
8. (Sugestão para trabalhinho) Seja yp(x) uma solução não-trivial da equação de
Bessel de ordem p em x>0. Mostre que
(i) Se 0 � p � 1=2 , então todo intervalo de comprimento � contém no mínimo
um zero de yp(x):
(ii) Se p = 1=2 , então a distância entre zeros sucessivos de yp(x) é exatamente
�:
(iii) Se p > 1=2 , então todo intervalo de comprimento � contém no máximo
um zero de yp(x).
12
9. (Sugestão para trabalhinho) Sejam x1 e x2 dois zeros consecutivos de uma
solução não-trivial yp(x) da equação de Bessel de ordem p. Mostre que
(i) Se 0 � p < 1=2 , então x2 � x1 é menor do que � e tende a � quando
x!1.
(ii) Se p > 1=2 , então x2�x1 é maior do que � e tende a � quando x!1.
Segunda solução linearmente independente da equação de Bessel. Funções
de Bessel de segunda espécie.
Nossa preocupação agora é encontrar uma outra solução y = y2(x) da equação de
Bessel de ordem p, que vamos chamar de função de Bessel de segunda espécie de
ordem p, tal que o conjunto de soluções fJp(:); y2(:)g seja linearmente independente,
de forma que a solução geral da equação de Bessel seja dada por
y = c1Jp(x) + c2y2(x) ; c1; c2 constantes arbitrárias
A candidata natural é tomar
y2(x) = J�p(x) =
1X
n=0
(�1)n
n!�(n� p+ 1)
�x
2
�2n�p
;
uma vez que a outra raiz característica da equação indicial é r2 = �p. Em alguns
casos, este procedimento irá mesmo resultar na segunda solução linearmente inde-
pendente, como é o caso da equação de ordem 1=2 proposta no exercício seguinte.
Exercício Estude a equação de Bessel de ordem 1/2. Em particular, mostre que
sua solução geral é dada por
y = c1J1=2(x) + c2J�1=2(x) ; x > 0
com
J1=2(x) =
�
2
�x
�1=2
senx ; x > 0
J�1=2(x) =
�
2
�x
�1=2
cos x ; x > 0
Porém, nem tudo é assim tão simples. Por exemplo, note que no caso de uma equação
de Bessel de ordem N , com N sendo um inteiro positivo, temos que y2(x) = J�N(x)
é solução, mas fJN(:); J�N(:)g é linearmente dependente. De fato, de (11) vem que
1
�(n�N + 1) = 0 para n = 0; 1; : : : ; N � 1
Daí, segue que
J�N(x) =
1X
n=N
(�1)n
n!�(n�N + 1)
�x
2
�2n�N
= (�1)N
1X
k=0
(�1)k
k!�(k �N + 1)
�x
2
�2k+N
13
onde …zemos a mudança k = n�N para obter a segunda igualdade. Conclusão:
J�N(x) = (�1)NJN(x)
ou seja, JN(:) e J�N(:) são soluções linearmente dependentes da equação de Bessel, de
forma que ainda estamos em falta de uma segunda solução linearmente independente
para gerar o espaço de soluções.
No que segue, veremos que J�p(:) poderá ser a procurada segunda solução linear-
mente independente nos casos em que r1 � r2 = 2p for diferente de zero ou de
qualquer inteiro positivo e quando 2p for um inteiro ímpar, mas que teremos que
procurar outra função para o papel de segunda solução l.i. no caso em que p for
igual a zero ou um inteiro positivo. Analisemos, então, cada caso em detalhe.
I. Caso r1 � r2 = 2p =2 f0; 1; 2; 3; : : :g:
A fórmula de recorrência
F (r + n)an +
n�1X
k=0
ak [(r + k)pn�k + qn�k] = 0 ; n � 1
fornece:
para n = 1 :
(1� 2p)a1 + 0 = 0 ; de onde a1 = 0
para n = 2 :�
(�p+ 2)2 � p2� a2 + ao [(�p+ 0):0 + 1] + 0 = 0 ; de onde a2 = � ao
2(2� 2p)
e, de maneira geral, temos a fórmula de recorrência
a1 = 0 e an =
�an�2
n(n� 2p) ; n = 2; 3; : : :
Note que para todos os índices ímpares temos a1 = a3 = a5 = � � � = 0: Assim,
construimos a série
J�p(x) =
1X
n=0
(�1)n
n!�(n� p+ 1)
�x
2
�2n�p
que é absolutamente convergente em toda a reta e também é solução da equação de
Bessel de ordem p. Por outro lado, note que J�p(x) possui termos na forma x�p,
de maneira que jJ�p(x)j ! 1 quando x ! 0+. Disto decorre que fJp(:); J�p(:)g é
linearmente independente, pois se �; � 2 R são tais que
�Jp(:) + �J�p(:) = 0 ;
então �Jp(x) + �J�p(x) = 0 ; 8x > 0 ; e limx!0+ j�Jp(x) + �J�p(x)j = 0 se e
somente se � = � = 0:
Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem p no caso em que 2p 6=
0; 1; 2; : : : é dada por
y = c1Jp(x) + c2J�p(x)
14
com c1; c2 constantes arbitrárias.
II. Caso r1 � r2 = 2p = 2N + 1 ; N = 0; 1; 2; : : : :
Temos, para n = 1 :"�
� 2N + 1
2
+ 1
�2
�
�
2N + 1
2
�2#
a1 + 0 = 0
o que resulta
Na1 = 0
Para n = 2 : "�
� 2N + 1
2
+ 2
�2
�
�
2N + 1
2
�2#
a1 + ao + a1:0 = 0
resultando
a2 = � ao
2(1� 2N)
De maneira geral, …camos com
Na1 = 0 e an = � an�2
n(n� 1� 2N) ; n = 2; 3; : : : ; n 6= 2N + 1 (13)
Assim, se N = 0, ou seja, p = 1
2
, temos que a1 é arbitrário e podemos, então, tomar
a1 = 0. Isto acarretará a1 = a3 = a5 = � � � = 0:
Se N = 1, temos que a1 = 0 necessariamente, e
n(n� 1� 2)an = �an�2
n(n� 3)an = �an�2 ; n = 2; 3; : : :
2(�1)a2 = �ao ; portanto, a2 = ao=2
3� 0� a3 = 0 ; de forma que a3é arbitrário.
Tomemos a3 = 0. Com isto, todos os coe…cientes com índices ímpares são nulos e
obtemos novamente J�p(:) como segunda solução l.i.
Se N = 2, teremos que a1 = a3 = 0 necessariamente, e a5 é arbitrário.Tomando
a5 = 0, todos os coe…cientes com índices ímpares são nulos. Assim, sucessivamente
temos a solução geral
y = c1Jp(x) + c2J�p(x)
da equação de Bessel de ordem p, para qualquer p = 2N+1
2
; N = 0; 1; 2; 3; : : :
III. Caso r1 � r2 = 2N ; ou seja, p = N ; N = 0; 1; 2; : : : :
Aqui temos um problema porque, como já vimos, fJN(:); J�N(:)g forma um conjunto
linearmente dependente. Há no mínimo três maneiras de contornar este impasse.
Vamos ver uma delas.Para isto, repare que a função dada por
Yp(x) :=
Jp(x) cos p� � J�p(x)
sen p�
;
15
conhecida como função de Weber, também é uma solução da equação de Bessel de
ordem p quando p não é um número inteiro, pois neste caso ela está bem de…nida
e é uma combinação linear de soluções de uma equação linear. É fácil ver que
fJp(:); Yp(:)g é linearmente independente, de forma que a solução geral da equação
de Bessel nesta caso também pode ser dada por
y = c1Jp(x) + c2Yp(x)
Quando p = N ; N = 0; 1; 2; : : : , de…nimos
YN(x) := lim
p!N ; p=2Z
Yp(x)
Pode-se mostrar que este limite existe e de…ne uma solução da equação de Bessel de
ordem N , linearmente independente a JN(:), de forma que a solução geral é dada
por
y = c1JN(x) + c2YN(x)
Esta demonstração é bastante trabalhosa. Para se ter uma idéia do procedimento,
repare que no caso N = 0, usando a regra de L’Hospital, temos
YN(x) = lim
p!N
Jp(x) cos p� � J�p(x)
sen p�
= lim
p!N
@Jp(x)
@p
cos p� � �Jp(x) sen p� � @J�p(x)@p
� cos p�
o que fornece
YN(x) =
@Jp(x)
@p
jp=N � @J�p(x)@p jp=N
�
A derivação de Jp e J�p com respeito a p implica na derivação com respeito ao
parâmetro p da integral imprópria que de…ne a função gama. Assim, de…nimos a
função digama (x) como sendo
 (p) :=
d
dp
ln �(p+ 1) =
�0(p+ 1)
�(p+ 1)
de onde vem que
 (p) =
�0(p)
�(p)
+
1
p
Assim, de maneira geral, efetuando as derivações com respeito ao parâmetro p da
fórmula de YN(x) e uma série de algebrismos, chegamos a
YN(x) =
2
�
(
JN(x)
�
 + ln
�x
2
��
� 1
2
N�1X
n=0
(N � n� 1)!
n!
�x
2
�2n�N
�
�1
2
1X
n=0
(�1)n [�(n) + �(n+N)]
n!(n+N)!
�x
2
�2n+N)
onde
 = lim
n!1
�
1 +
1
2
+ � � �+ 1
n
� lnn
�
= 0:5772156 : : :
é a constante de Euler-Mascheroni e
�(n) = (n) + 
 = 1 +
1
2
+ � � �+ 1
n
16
A …gura seguinte mostra os grá…cos de Yo(:) e Y1(:). Note que ambas tendem a �1
quando x! 0+.
Propriedades das funções de Bessel
Nesta seção, estaremos desenvolvendo algumas propriedades das funções de Bessel
que são úteis em suas aplicações. Vamos começar com algumas identidades.
Derivando em relação a x a identidade
xpJp(x) =
1X
n=0
(�1)n
22n+pn!�(n+ p+ 1)
x2n+2p
vem
d
dx
[xpJp(x)] =
1X
n=0
(�1)n(2n+ 2p)
22n+pn!�(n+ p+ 1)
x2n+2p�1 =
=
1X
n=0
(�1)n
22n+p�1n!
:
(n+ p)
�(n+ p+ 1)
x2n+2p�1 =
=
1X
n=0
(�1)n
22n+p�1n!�(n+ p)
x2n+2p�1 =
= xp
1X
n=0
(�1)n
n!�(n+ p)
�x
2
�2n+p�1
= xpJp�1(x)
Assim, temos nossa primeira identidade:
d
dx
[xpJp(x)] = x
pJp�1(x) (14)
De modo análogo, obtemos
d
dx
�
x�pJp(x)
�
= �x�pJp+1(x) (15)
Expandindo as derivadas em (14) e (15), vem
J 0p(x) = Jp�1(x)�
p
x
Jp(x) (16)
e
J 0p(x) =
p
x
Jp(x)� Jp+1(x) (17)
17
Subtraindo (16) - (17) resulta na seguinte fórmula de recorrência
Jp+1(x) =
2p
x
Jp(x)� Jp�1(x) (18)
Como ilustração, note que p = 0 em (14) fornece
J 0o(x) = J�1(x)
o que pode ser expresso comoZ
J�1(x)dx = Jo(x) + c
Analogamente, para p = 1 e p = 2, temosZ
xJo(x)dx = xJ1(x) + cZ
x2J1(x)dx = x
2J2(x) + c
Também, da fórmula de recorrênccia (18), podemos, por exemplo, expressar J3(x)
em função de Jo(x) e J1(x) :
J3(x) =
4
x
J2(x)� J1(x)
=
4
x
�
2
x
J1(x)� Jo(x)
�
� J1(x)
resultando em
J3(x) = � 4
x
Jo(x)�
�
1� 8
x2
�
J1(x)
Exercício. Obtenha
R
xJ2(x)dx
Solução: De (15), temos que
R
x�1J2(x)dx = �x�1J1(x) + c: Assim, podemos usar
integração por partes:Z
xJ2(x)dx =
Z
x2
�
x�1J2(x)
�
dx =
= �xJ1(x) + 2
Z
J1(x)dxZ
xJ2(x)dx = �xJ1(x)� 2Jo(x) + c
Exercício Obtenha Z
J2(x)
x2
dx
Solução: Não temos diretamente nenhuma informação sobre
R
x�2J2(x)dx, mas de
(14) temos que
d
dx
�
x2J2(x)
�
= x2J1(x)
18
Assim, podemos explorar esta identidade fazendoZ
J2(x)
x2
dx =
Z �
x2J2(x)
� 1
x4
dx
e resolver por integração por partes para obterZ
J2(x)
x2
dx = � 1
3x
J2(x)� 1
3
J1(x) +
1
3
Z
Jo(x)dx
Exercício Prove que entre cada par de zeros positivos consecutivos de Jp(x) existe
uma raiz de Jp�1(x) e uma de Jp+1(x).
(Sug.: Aplicar o teorema de Rolle a f(x) = xpJp(x)).
Função geradora das funções de Bessel
Temos que as seguintes expansões em séries de t (de Taylor e Laurent, respectiva-
mente) convergem absolutamente:
exp
�
x:
t
2
�
=
1X
j=0
1
j!
:
xj
2j
tj
exp
�
� x
2
:
1
t
�
=
1X
k=0
(�1)k
k!
:
xk
2k
t�k
Daí, multiplicando formalmente as duas séries,
exp
�
x
2
�
t� 1
t
��
=
 1X
j=0
1
j!
:
xj
2j
tj
! 1X
k=0
(�1)k
k!
:
xk
2k
t�k
!
;
o resultado é uma chamada série dupla, cujos termos são todos os produtos possíveis
de um termo da primeira série por um termo da segunda série. A convergência abso-
luta de cada uma das séries garante que esta série dupla converge independentemente
da ordem de seus termos. Pode-se provar que este produto fornece
exp
�
x
2
�
t� 1
t
��
=
1X
n=0
'n(x) t
n +
1X
n=1
 n(x) t
�n
onde
'n(x) =
1X
k=0
1
(n+ k)!
:
xn+k
2n+k
:
(�1)k
k!
:
xk
2k
= Jn(x)
 n(x) =
1X
j=0
1
j!
:
xj
2j
:
(�1)n+j
(n+ j)!
:
xn+j
2n+j
= (�1)nJn(x)
Daí, temos …nalmente
exp
�
x
2
�
t� 1
t
��
= Jo(x) +
1X
n=1
Jn(x)
�
tn + (�1)nt�n� = 1X
n=�1
Jn(x) t
n (19)
19
A partir daí, podemos deduzir a fórmula integral de Bessel. Para isto, fazendo
a mudança t = ei�, o argumento de exp(.) em (19) …ca sendo
x
ei� � e�i�
2
= ix sen �
de maneira que (19) passa a ser
cos (x sen �) + i sen (x sen �) =
1X
n=�1
Jn(x) e
in� =
1X
n=�1
Jn(x) ((cosn�) + isenn�)
Igualando as partes reais e imaginárias, …camos com
cos (x sen �) =
1X
n=�1
Jn(x) cosn� = Jo(x) + 2
1X
n=1
J2n(x) cos 2n� (20)
sen (x sen �) =
1X
n=�1
Jn(x) senn� = 2
1X
n=1
J2n�1(x) sen (2n� 1)� (21)
Multiplicando (20) por cosm� e (21) por senm� e somando o resultado membro a
membro, vem
cos (m� � x sen �) =
1X
n=�1
Jn(x) cos (m� n) �
o que, integrando na variável � de 0 a �, resulta na seguinte importante representação
integral da função de Bessel
Jn(x) =
1
�
Z �
0
cos (n� � x sen �) d� (22)
Foi na forma destas integrais que, em seus trabalhos de astronomia, Bessel encontrou
as funções Jn(x) e a partir delas que ele estabeleceu muitas das suas propriedades.
CAPÍTULO VI
EQUAÇÃO DE LEGENDRE
Equação de Legendre de ordem p � 0:
(1� x2)y00 � 2xy0 + p(p+ 1)y = 0
Aparece na resolução da EDP do potencial (i.e., equação de Laplace) com simetria
esférica, tais como temperaturas em estado permanente (steady-state) numa esfera
20
e o potencial eletrostático devido a duas cargas pontuais de mesma magnitude mas
sinais opostos. Em geral, aparecem dissimuladas por meio de variáveis não ‘retan-
gulares’.
Exercício 6.1 Mostre que a mudança de variáveis x = cos � ; jxj < 1; transforma
a equação
1
sen �
d
d�
�
sen �
dy
d�
�
+ n(n+ 1)y = 0
na equação de Legendre de ordem n.
6.1 Resolução em séries da equação de Legendre
Como xo = 0 é ponto ordinário da equação de Legendre, é natural procurarmos uma
solução na forma
y =1X
n=0
anx
n
Fazendo as substituições e os agrupamentos cabíveis, chegamos a
an+2 = � (p� n)(p+ n+ 1)
(n+ 2)(n+ 1)
an ; n = 0; 1; 2; : : :
que resultam em duas soluções linearmente independentes (o wronskiano W (up; vp)
é igual a 1 quando x = 0), que convergem em jxj < 1:
up(x) = 1� p(p+ 1)
2!
x2 +
(p� 2)p(p+ 1)(p+ 3)
4!
x4 � � � �
vp(x) = x� (p� 1)(p+ 2)
3!
x3 +
(p� 3)(p� 1)(p+ 2)(p+ 4)
5!
x5 � � � �
Desta forma, de acordo com a teoria desenvolvida para expansão em séries na vi-
zinhança de pontos ordinários, a solução geral da equação de Legendre de ordem p
é
y(x) = aoup(x) + a1vp(x)
Note que, quando p = n, um número inteiro não-negativo, uma e só uma das séries
se reduz a um polinômio. Daí, temos a seguinte de…nição:
De…nição 6.1 Os polinômios de Legendre,denotados Pn(x), são de…nidos como
sendo
Pn(x) =
un(x)
un(1)
; se n é par
Pn(x) =
vn(x)
vn(1)
; se n é ímpar
A escolha destes denominadores é para que os polinômios de Legendre apresentem
valor unitário quando x = 1. Os Pn(x) são polinômios de grua n que contêm apenas
21
potências ímpares ou pares de x, dependendo de n se par ou ímpar. Também, é
bom reparar que cada Pn(x) , com n � 0, é uma solução da equação de Legendre
de ordem n, de forma que a solução geral é
y = aoPn(x) + a1Qn(x)
Assim, podemos também chamar cada polinômio de Legendre de função de Legendre
de primeira espécie. Com respeito à solução l.i. correspondente, Qn(x), que podemos
chamar de função de Legendre de segunda espécie, de…nimos como sendo
Qn(x) =
� �vn(1)un(x) ; se né ímpar
un(1)vn(x) ; se né par
; jxj < 1
A razão dos fatores �vn(1) e un(1) é para que tanto y = Pn(x) quanto y = Qn(x)
satisfaçam as relações de recorrências
(n+ 1)yn+1 = (2n+ 1)xyn � nyn�1
y
0
n+1 � y
0
n�1 = (2n+ 1)yn
válidas para n = 1; 2; : : :, e que serão provadas na seção 6.3.
Note que as funções de Legendre de segunda espécie são séries convergentes em
jxj < 1.
6.2 Fórmula de Rodrigues
Existe ma maneira alternativa e mais prática de encontrar os polinômios de Legen-
dre. Para isto, observe que o polinômio vn de…nido por
vn(x) :=
dn
dxn
(x2 � 1)n
satisfaz
(1� x2)d
2vn
dx2
� 2xdvn
dx
+ n(n+ 1)vn = 0
que é a equação de Legendre de ordem n: Consequentemente, devemos ter que vn(x)
e Pn(x) devem ser linearmente dependentes, ou seja,
Pn(x) = C
dn
dxn
(x2 � 1)n = C d
n
dxn
[(x+ 1)n(x� 1)n]
Daí, segue que
Pn(x) = C(x+ 1)
n d
n
dxn
(x� 1)n + termos com o fator (x� 1)
Como Pn(1) = 1 e levando-se em conta que
dn
dxn
(x� 1)n = n! ;
temos facilmente que 1 = C:2n:n!. Desta forma, temos que o polinômio de Legendre
de grau n satisfaz
Pn(x) =
1
2nn!
dn
dxn
(x2 � 1)n
22
que é chamada de Fórmula de Rodrigues em homenagem ao matemático Alexandre
Rodrigues da ELE 04.
Exercício 6.2 Use a fórmula de Rodrigues para mostrar que
(i) P2(x) =
1
2
(3x2 � 1)
(ii) x2 =
2
3
P2(x) +
1
3
Po(x)
(iii)
Z 1
�1
xmPn(x)dx = 0 ; se m < n
6.3 Função geradora
Propriedades importantes dos polinômios de Legendre podem ser estabelecidas us-
ando a noção de função geradora. Para isto, considere uma carga elétrica q localizada
no eixo z no ponto z = a: O potencial eletrostático desta carga num ponto P é
' =
1
4�"o
:
q
r1
onde r1 é a distância de z = a até P . Usando a lei dos cossenos, podemos expressar
o potencial eletrostático em termos das coordenadas polares esféricas r e � (a outra
coordenada pode ser deixada de lado por causa da simetria em torno do eixo z)
como sendo
' =
q
4�"o
:
1p
r2 + a2 � 2ar cos � =
q
4�"or
:
1q
1 +
�
a
r
�2 � 2 �a
r
�
cos �
com r > a ou, mais precisamente, r2 > ja2 � 2ar cos �j.
Esta ligeira digressão serve para motivar considerarmos a função de x e y dada por
F (x; z) =
1p
1� 2xz + z2 =
1p
1� (2xz � z2) ; com j2xz � z
2j < 1
e sua expansão em série de série de Taylor na variável z, na vizinhança de z = 0:
F (x; z) =
1X
n=0
An(x)z
n (23)
Vamos mostrar que An(x) = Pn(x). Para isto, a…rmamos que:
1. An(x) é um polinômio de grau n:
Isto segue do teorema binomial generalizado (cf. MAT-26),
(1 + v)p = 1 + pv +
p(p� 1)
2!
v2 +
(p� 1)(p� 2)
3!
v3 + � � � ; jvj < 1
23
com
v = �z(2x� z)
p = �1
2
2. An(1) = 1 , para cada n.
De fato,
F (1; z) =
1
1� z = 1 + z + z
2 + � � �+ zn + � � � ; jzj < 1
3. An(x) satisfaz a equação de Legendre de ordem n.
Para mostrar isto, as derivadas @F
@z
e @F
@x
fornecem as identidades
(1� 2xz + z2)@F
@z
= (x� z)F (x; z) (24)
z
@F
@z
= (x� z)@F
@x
(25)
Substituindo (23) em (24) e igualando os coe…cientes de mesma potência de z, resulta
A1(x) = xAo(x) (26)
nAn(x)� (2n� 1)xAn�1(x) + (n� 1)An�2(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (27)
Analogamente, substituindo (23) em (25) e igualando os coe…cientes de mesma
potência de z, resulta
xA
0
o(x) = 0 (28)
A
0
n�1(x) = xA
0
n(x)� nAn(x) ; n = 1; 2; : : : (29)
ou, trocando n por n� 1,
A
0
n�2(x) = xA
0
n�1(x)� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : : (30)
A
0
n�2(x) = x(xA
0
n(x)� nAn(x))� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : :
A
0
n�2(x) = x
2A
0
n(x)� nxAn(x)� (n� 1)An�1(x) ; n = 2; 3; : : : (31)
Por outro lado, derivando (27) em relação a x, temos
nA
0
n(x)� (2n� 1)xA
0
n�1(x) + (n� 1)A
0
n�2(x) = 0 ; n = 2; 3; : : : (32)
Finalmente, substituindo as expressões de A
0
n�1(x) de (29) e A
0
n�2(x) de (31) em
(32) e fazendo as devidas simpli…cações, segue que
A
0
n(x) = x
2A
0
n(x)� nxAn(x) + nAn�1(x) ; n = 2; 3; : : :
Derivando novamente esta expressão em relação a x e substituindo A
0
n�1(x) de (29),
chegamos …nalmente que
(1� x2)A00n � 2xA
0
n + n(n+ 1)An = 0 ; n = 2; 3; : : :
24
de forma que An é uma solução polinomial da equação de Legendre para n = 2; 3; : : :
Por outro lado, (28) fornece que Ao(x) = constante e, como An(1) = 1, vem que
Ao(x) = 1
e, usando (26),
A1(x) = x
o que prova que An satisfaz a equação de Legendre de ordem n.
Desta forma, de acordo com o que foi mostrado nos ítens acima, segue que An � Pn
e, portanto, temos a seguinte relação geradora dos polinômios de Legendre:
1p
1� 2xz + z2 =
1X
n=0
Pn(x)z
n (33)
que é válida para jxj � 1 e jzj < 1.
Em particular, todas as fórmulas de recorrências obtidas acima para An também se
aplicam para Pn. Por exemplo, temos a seguinte fórmula de recorrência
Pn+1(x) =
2n+ 1
n+ 1
xPn(x)� n
n+ 1
Pn�1(x) ; n = 1:2: : : : (34)
que permite determinar todos os Pn a partir do conhecimento de Po e P1.
Exercício 6.2 Determine P2(x) e P3(x).
6.4 Ortogonalidade dos polinômios de Legendre
Basicamente, nesta seção estaremos preocupados em calcular a integral
R 1
�1 Pm(x)Pn(x)dx.
De maneira geral, se f 2 Cn[�1; 1], temos que
I =
Z 1
�1
f(x)Pn(x)dx =
Z 1
�1
f(x)
1
2nn!
dn
dxn
(x2 � 1)ndx
e, fazendo integrações por parte sucessivamente, chegamos a
I =
(�1)n
2nn!
Z 1
�1
f (n)(x)(x2 � 1)ndx
No caso em que f(x) = Pm(x) , com m < n, temos que f (n)(x) = 0. Assim, sem
perda de generalidade, segue queZ 1
�1
Pm(x)Pn(x)dx = 0 ; se m 6= n
Consideremos agora o caso m = n:
In =
Z 1
�1
Pn(x)
2dx
25
Como
Pn(x) =
2n� 1
n
xPn�1(x)� n� 1
n
Pn�2(x)
temos que
In =
Z 1
�1
Pn(x)
�
2n� 1
n
xPn�1(x)� n� 1
n
Pn�2(x)
�
dx
=
2n� 1
n
Z 1
�1
xPn(x)Pn�1(x)dx + 0
Mas, como
xPn(x) =
1
2n+ 1
[nPn�1(x) + (n+ 1)Pn+1(x)] ; n � 1
podemos facilmente mostrar por indução a seguinte recorrência:
In =
2n� 1
2n+ 1
In�1 ; n � 2
ou ainda
In =
2n� 1
2n+ 1
:
2n� 3
2n� 1 :
2n� 5
2n� 3In�3
e
In =
2n� (2n� 1)
2n+ 1
Io ; n � 0
Como Io = 2, segue que
In =
2
2n+ 1
; n � 0
Daí, concluindo, temos que, para n = 0; 1; 2;: : : ;Z 1
�1
Pm(x)Pn(x)dx =
8<:
0 ; se m 6= n
2
2n+1
; se m = n
Muitos problemas da teoria do potencial dependem da possibilidade de se expandir
um dada função numa série de polinômios de Legendre. É fácil ver que isto sempre
pode ser feito quando a função dada é ela mesma um polinômio (cf. o capítulo
VIII, sobre polinômios ortogonais). O problema que surge é saber para que classe
de funções f(x) é válida (i.e., temos a convergência) a chamada expansão em série
de Legendre:
f(x) =
1X
n=0
anPn(x)
Embora não seja o objetivo deste curso apresentar uma demonstração, enunciamos
abaixo o chamado teorema de expansão de Legendre, que apresenta uma condição
su…ciente para que uma função f = f(x) admita uma expansão em série de Legendre.
Teorema de expansão de Legendre.
Se f(x) e f’(x) têm ambas no máximo um número …nito de descontinuidades do tipo
salto no intervalo �1 � x � 1 , então os coe…cientes an’s existem e a série de
Legendre converge nos seguintes termos
1X
n=0
anPn(x) =
8<:
1
2
[f(x�) + f(x+)] ; se � 1 < x < 1
f(�1+) ; se x = �1
f(1�) ; se x = 1
26
Em particular, a série converge para f(x) em todos os pontos de continuidade.
6.5 Função associada de Legendre
Chamamos de equação associada de Legendre à equação
(1� x2)v00 � 2xv0 +
�
n(n+ 1)� m
2
1� x2
�
v = 0 ; m; n inteiros não-negativos
(35)
Sua relação com a equação de Legendre é que, através de uma mudança de variáveis
conveniente, ela pode ser transformada numa nova equação que é obtida da equação
de Legendre por derivações sucessivas. Mais precisamente, a aplicação direta da
regra da cadeia fornece que a mudança de variáveis
v = (1� x2)m=2u
transforma (35) na equação
(1� x2)u00 � 2(m+ 1)xu0 + (n�m)(n+m+ 1)u = 0 (36)
Daí, temos o seguinte:
Proposição 6.1 A solução geral de (35) é
v = aPmn (x) + bQ
m
n (x)
onde
Pmn (x) = (1� x2)m=2
dm
dxm
Pn(x)
Qmn (x) = (1� x2)m=2
dm
dxm
Qn(x)
(Estas funções são chamadas de função de Legendre associada de primeira e de
segunda espécie, respectivamente).
� Prova. Derivando m vezes a equação de Legendre
(1� x2)y00 � 2xy0 + n(n+ 1)y = 0
resulta
(1� x2) d
2
dx2
y(m) � 2(m+ 1)x d
dx
y(m) + (n�m)(n+m+ 1)y(m) = 0
onde
y(m) =
dm
dxm
y
Daí, u = y(m) é solução de (36), com y = aPn(x) + bQn(x). Portanto,
v = (1� x2)m=2u = (1� x2)m=2 d
m
dxm
(aPn(x) + bQn(x))
e o resultado segue. �
27
Exercício 6.3 Sabendo que
P2(x) =
1
2
(3x2 � 1)
Q1(x) =
x
2
ln
1 + x
1� x +
x
1� x2
mostre que
P 12 (x) = 3x
p
1� x2
Q11(x) = (1� x2)1=2
�
1
2
ln
1 + x
1� x +
x
1� x2
�
28