Álgebra Linear (Avaliação 1)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1.a Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
Data: 27/04/17
Aluno(a): Nota:
Prof.: Marcos Melo
1. (4 pontos) Seja X um K-espac¸o vetorial. O espac¸o gerado pelos vetores x1, · · · , xk ∈ X e´ o
conjunto
〈{x1, · · · , xk}〉 := {α1x1 + · · ·+ αkxk; α1, · · · , αk ∈ K}.
Prove que
a) 〈{x1, · · · , xk}〉 e´ um subespac¸o vetorial de X.
b) se {x1, · · · , xk} e´ LI e y ∈ X − 〈{x1, · · · , xk}〉, enta˜o {x1, · · · , xk, y} tambe´m e´ LI.
c) se {x1, · · · , xk} e´ LI e dimX = k+l, enta˜o existem y1, · · · , yl ∈ X tais que {x1, · · · , xk, y1, · · · , yl}
e´ uma base de X.
2. (4 pontos) Sejam X um espac¸o vetorial e Y1, Y2 ⊂ X subespac¸os de X. A soma dos subespac¸os
Y1 e Y2 e´ o conjunto
Y1 + Y2 = {y1 + y2; y1 ∈ Y1 e y2 ∈ Y2}.
Prove que
a) Y1 + Y2 e´ um subespac¸o de X.
b) Y1 + Y1 = Y1.
c) se Y1 e Y2 teˆm dimensa˜o fininita, enta˜o o mesmo ocorre com Y1 + Y2 e
dim(Y1 + Y2) = dimY1 + dimY2 − dim(Y1 ∩ Y2).
3. (2 pontos) Deˆ exemplo de
a) subespac¸os na˜o-triviais Y1, Y2 ⊂ R3 tais que Y1 + Y2 = R3 e Y1 ∩ Y2 6= {(0, 0, 0)}.
b) uma func¸a˜o infinitamente deriva´vel f : R→ R tal que f 6∈ 〈{1, x, x2, · · · , xn}〉, qualquer
que seja n ∈ N.
Licenciatura em Matema´tica -1- UFC