Álgebra Linear (Avaliação 1 - 2ª Chamada)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1.a Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear (2a chamada)
Data: 04/05/17
Aluno(a): Nota:
Prof.: Marcos Melo
1. (8 pontos) Uma func¸a˜o f : R → R e´ dita T -perio´dica quando f(x + T ) = f(x), para todo
x ∈ R. Seja FT (R) o conjunto de todas as func¸o˜es T -perio´dicas f : R→ R. Mostre que
a) FT (R) e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o de todas as func¸o˜es f : R→ R.
b) se f ′ e´ cont´ınua, enta˜o
f ∈ FT (R) ⇔ f ′ ∈ FT (R) e
∫ T
0
f ′ = 0.
c) para α, β reais na˜o-nulos vale
sen(αx) + cos(βx) ∈ FT (R) ⇔ α/β ∈ Q.
d) o conjunto {1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x)} e´ LI em F2pi(R).
2. (2 pontos) Verifique que B = {1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x), · · · , sen(nx), cos(nx), · · · }
e´ um subconjunto LI infinito em F2pi(R). Pode-se afirmar que B e´ uma base de F2pi(R)? Jus-
tifique.
Licenciatura em Matema´tica -1- UFC