Álgebra Linear (Avaliação 2 - 2ª Chamada)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
2.a Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear (2a chamada)
Data: 08/06/17
Aluno(a): Nota:
Prof.: Marcos Melo
1. (2 pontos) Seja B ⊂ Y um subconjunto com a seguinte propriedade: toda transformac¸a˜o linear
T : X → Y cuja imagem conte´m B e´ sobrejetiva. Prove que B e´ um conjunto de geradores de
Y .
2. (2 pontos) Seja X um K-espac¸o vetorial e f : X → K uma transformac¸a˜o linear. Mostre que
existe x0 ∈ X tal que X = Ker(f)⊕ 〈{x0}〉.
3. (3 pontos) Dados os nu´meros reais a = a0 < a1 < · · · < an = b, considere o conjunto E ⊂
F([a, b];R) formado pelas func¸o˜es f : [a, b]→ R que, em cada intervalo fechado [ai−1, ai], i =
1, · · · , n, sa˜o representadas por polinoˆmios de grau ≤ 1, isto e´, f(x) = αix + βi para ai−1 ≤
x ≤ ai.
a) Mostre que E e´ um subespac¸o de F([a, b];R).
b) Prove que a correspondeˆncia f 7→ (f(a0), f(a1), · · · , f(an)) e´ um isomorfismo entre E e
Rn+1.
c) Descreva a base de E que corresponde a` base canoˆnica de Rn+1.
4. (3 pontos) Sejam X e Y espac¸os vetoriais e B uma base de X (mesmo que X tenha dimensa˜o
infinita). Fac¸a corresponder, de maneira arbitra´ria, um vetor yx ∈ Y a cada elemento x ∈ B.
a) Mostre que existe uma u´nica transformac¸a˜o linear T : X → Y tal que Tx = yx para
todo x ∈ B.
b) Prove que uma transformac¸a˜o linear T : X → Y e´ injetora se, e somente se, levar vetores
linearmente independentes em vetores linearmente independentes.
Licenciatura em Matema´tica -1- UFC