Trabalho CVGA - Vinícius

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1. (0,5 ponto) Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle. Página 45. Exercício 53.
53) Determinar o valor de y para que seja eqüilátero o triângulo de vértices A(4 , y , 4), B(10 , y , -2) e C(2 , 0 , -4).
RESOLUÇÃO: 
 A 
 Utilizaremos o vetor BA e BC com origem em B para calcularmos “y”.
 60°	
					BA = A – B = (4 , y , 4) – (10 , y , -2) = (-6 , 0 , 6)
					BC = C – B = (2 , 0 , -4) – (10 , y , -2) = (-8 , -y , -2)
					|BA|= = = 
 60° 60° |BC|= = = 
 B C
cos(𝜭) = ∴ cos60° = ∴ = ∴ = ∴ 		 
()² = (72)² ∴ = 5184 ∴ y²+68 = 72 ∴ y²= 72-68 ∴ y² = 4 ∴ y = ± ∴ y = ±2
RESPOSTA: y = 2 ou y = -2
2. (0,5 ponto) Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle. Página 69. Exercício 43 a) e d).
	43) Sejam A(2 , 1 , 3), B(m , 3 , 5) e C(0 , 4 , 1) vértices de um triângulo (Figura 2.18). 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
RESOLUÇÃO:
A(2 , 1 , 3) Para ser retângulo em A os vetores AB e AC deverão ser ortogonais: AB .AC = 0
B(m , 3 , 5)								A
C(0 , 4 , 1)
											Figura 2.18
AB = B – A = (m , 3 , 5) – (2 , 1 , 3) = (m-2 , 2 , 2) 
AC = C – A = (0 , 4 , 1) – (2 , 1, 3) = (-2 , 3 , -2) 
 					B	 .			 C
 H 
AB . AC = 0 ∴ (m-2 , 2 , 2) . (-2 , 3 , -2) = 0 ∴ -2m + 4 + 6 – 4 = 0 ∴ -2m = - 6 ∴ m = 3
RESPOSTA: m = 3 
�
b) Mostrar que AH ⊥ BC
RESOLUÇÃO: 
Calculando o ponto H:
H = B + BH sendo BH = proj BA = _BA . BC_. BC C BC BC . BC
			 BC BC
BA = A – B = (2 , 1 , 3) – (3 , 3 , 5) = (-1 , -2 , -2)
BC = C – B = (0 , 4 , 1) – (3 , 3 , 5) = (-3 , 1 , -4)
BA . BC = (-1 , -2 , -2) . (-3 , 1 , -4) = 3 – 2 + 8 = 9
BC . BC = (-3 , 1 , -4) . (-3 , 1 , -4) = 9 + 1 +16 = 26
BH = . (-3 , 1, -4) ∴ BH = (- , ,- )
 					
H = B + BH ∴ H = (3 , 3 , 5) + (- , ,- ) ∴
H = ( , , )
AH = H – A = ( , , ) – (2 , 1 , 3) ∴
AH = (- , , )
AH . BC = (- , , ) . ( -3 , 1 , -4) 
AH . BC = + - = 0
Como o produto escalar entre eles é igual a zero, logo eles são perpendiculares AH ⊥ BC.
�
4. (0,5 ponto) Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle. Página 100. Exercício 12.
12) O ponto A(1 , -2 , 3) é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B(2 , -1 , 4), C(0 , 2 , 0) e D(-1 , m , 1). Determinar o valor de m para que o volume deste paralelepípedo seja igual ao 20 u.v. (unidades de volume).
RESOLUÇÃO:
Dados: A(1 , -2 , 3) 				Calculando os vetores com origem em A:
	B(2 , -1 , -4)				
	C(0 , 2 , 0)				AB = B –A = (2 , -1 , -4) - (1 , -2 , 3) = (1 , 1 , -7)
	D(-1 , m , 1)				AC = C – A = (0 , 2 , 0) - (1 , -2 , 3) = (-1 , 4 , -3)
	V = 20 u.v.				AD = D – A = (-1 , m , 1) - (1 , -2 , 3) = (-2 , m+2 , -2)
	m = ?
�
�
		 1 1 -7 1 1
�
(AB , AC , AD) = -1 4 -3 -1 4 = - 8 + 6 + 7m + 14 – (56 – 3m – 6 + 2) = 20 u.v. 
		 -2 m+2 -2 -2 m+2		 -8 + 6 + 7m + 14 – 56 + 3m + 6 – 2 = 20
						 10m – 40 = 20
							 10m = 60
							 m = 6
							Poderia ser igual a -20 u.v. :
							 
							 10m -40 =-20
							 10m = 20
							 m = 2
RESPOSTA: m = 6 ou m = 2
�
 
3. (0,5 ponto) Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle. Página 89. Exercício 29.
	29) Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M(0 , 1 , 3), N(3 , -2 , 2) e P(1 , 0 , 2).
 Determinar a área do triângulo.
 RESOLUÇÃO:
 A				Calculando os pontos A, B e C:
						M = � QUOTE � ��� ∴ A + B = 2M ∴ A + B = (0 , 2 , 6)
 M(0 , 1 , 3) P (1 , 0 , 2) N= � QUOTE � ��� ∴ B + C = 2N ∴ B + C = (6 , -4 , 4) ∴ B = (6 , -4 , 4) – C 
						P = � QUOTE � ��� ∴ A + C = 2P ∴ A + C = (2 , 0 , 4) ∴ A = (2 , 0 , 4) – C 
 B N(3 , -2 , 2) C A + B = (0 , 2 , 6) ∴ (2 , 0 , 4) – C + (6 , -4 , 4) – C = (0 , 2 , 6)
 N(3 , -2 , 2)			-2C = (0 , 2 , 6) – (8 , -4 , 8) ∴ -2C = (-8 , 6 , -2) ∴ C = (4 , -3 , 1)
						A = (2 , 0 , 4) – C ∴ A = (2 , 0 , 4) – (4 , -3 , 1) ∴ A = (-2 , 3 , 3)
						B = (6 , -4 , 4) – C ∴ B = (6 , -4 , 4) – (4 , -3 , 1) ∴ B = (2 , -1 , 3)
		 A(-2 , 3 , 3) 		 D
							Área do △ABC = � QUOTE � ��� Área do paralelogramo ABCD
							Área do △ABC = � QUOTE � ��� |BC x BA|
 B(2 , -1 , 3) C(4 , -3 , 1)	BC = C – A = (4 , -3 , 1) – (2 , -1 , 3) = (2 , -2 , -2)
							BA = A – B = ( -2 , 3 , 3) – (2 , -1 , 3) = (- 4 , 4 , 0)
 i j k i j
 BC x BA= 2 -2 -2 2 -2 = 0 + 8 j + 8 k – ( 8 k – 8 i + 0) = 8 j + 8 k – 8 k + 8 i = 8 i + 8 j = (8 , 8 , 0)
	 -4 4 0 -4 4
 Logo: Área do △ABC = � QUOTE � ��� |(8 , 8 , 0)| = � QUOTE � ��� = � QUOTE � ��� = � QUOTE � ���7 = � QUOTE � ���6 = � QUOTE � ��� . 23 � QUOTE � ��� = 4� QUOTE � ���u.a.