Lista de Anéis 1 André

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1a Lista de Teoria dos Ane´is
Profo Douglas Monsoˆres
1. Fxxado um inteiro d, considere o anel quadra´tico:
Q[d] =
{
a + b
√
d
∣∣∣ a, b ∈ Q}.
Mostre que Q[d] e´ um corpo.
2. Sejam A um anel comutativo com unidade e a ∈ A um elemento invert´ıvel. Prove que o
inverso multiplicativo de a em A e´ u´nico. (Em virtude dessa propriedade, costuma-se denotar
o inverso de a por a−1).
3. Sejam E um conjunto na˜o-vazio qualquer e A = P(E) o conjunto das partes de E (os
elementos de A sa˜o os subconjuntos de E). Dados X, Y ∈ A, definimos:
X + Y := (X ∪ Y )− (X ∩ Y ) e X · Y := X ∩ Y.
Prove que (A,+, ·) e´ um anel (use a` vontade as propriedades operato´rias de conjuntos
vistas em A´lgebra I!). Qual o elemento neutro de +? Esse anel e´ comutativo? Tem unidade?
Justifique.
4. No exerc´ıcio 3, mostre que A tem divisor de zero se, e somente se, E for um conjunto com
pelo menos 2 elementos.
5. Resolva a equac¸a˜o 4¯ ·X = 5¯ no corpo Z7 e no corpo Z11.
6. No exerc´ıcio 3, prove que sempre se tem car(A) = 2.
7. Seja A um anel com carater´ıstica positiva n. Suponha que m seja um nu´mero natural tal
que m · a = 0, para todo a ∈ A (ou seja, m “mata”todo elemento de A). Por definic¸a˜o de
caracter´ıstica, n ≤ m. Neste exerc´ıcio, prove que m e´ divis´ıvel por n. (Dica: Divida m por n e
escreva a igualdade da divisa˜o. Use as hipo´teses para concluir que o resto sera´ zero).
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8. Seja A um anel Booleano. Isso significa que para todo a ∈ A, tem-se a2 = a. Prove que A
sempre sera´ comutativo. Exiba dois exemplos de ane´is Booleanos.
9. Decida quais dos elementos dos ane´is abaixo sa˜o invert´ıveis.
(a) Z
(b) Z× Z
(c) Z12
(d) Z×Q
(e) Z×Q× Zn
(f) FR = {f : R→ R | f e´ func¸a˜o}
10. Um elemento a de um anel A e´ dito idempotente se a2 = a. Mostre que o conjunto de
todos os elementos idempotentes de um anel e´ fechado para a multiplicac¸a˜o de A (ou seja, se a
e b sa˜o idempotentes enta˜o ab e´ idempotente). Determine os elementos idempotentes dos ane´is
Z2 × Z6 e Z× Z.
11. Seja A um anel e e um elemento idempotente (vide exerc´ıcio 10). Para todo a ∈ A, mostre
que:
(ae− eae)2 = 0.
12. Sejam A e B dois ane´is comutativos com unidade de caracter´ısticas positivas, iguais a m
e n respectivamente. Prove que car(A × B) = mmc(m,n). (Observac¸a˜o: voceˆ pode usar a
seguinte propriedade dos inteiros: se um inteiro d e´ divis´ıvel por m e por n enta˜o d e´ divis´ıvel
por mmc(m,n))
13. Prove que um elemento (a, b) ∈ A × B em um produto cartesiano de ane´is comutativos
com unidade e´ invert´ıvel se, e somente se, a e´ invert´ıvel em A e b e´ invert´ıvel em B.
14. Seja A um anel em que a + b = a · b, para quaisquer a, b ∈ A. Prove que A = {0}.
15. Deˆ um exemplo de anel infinito com caracter´ıstica positiva.
16. Se p 6= q sa˜o dois nu´meros primos positivos, prove que Q[√p] * Q[√q].
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