Lista de Cálculo 3

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INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Professor: Andre´s Mauricio Lo´pez Barraga´n
LISTA 1
FUNC¸O˜ES VETORIAIS E INTEGRAIS MU´LTIPLAS
IC 243 CA´LCULO III
TURMA 01
1. Encontre uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta que une o ponto (4,0) ao ponto (0,2) utilizando o aˆngulo θ
como paraˆmetro
2. Encontre equac¸o˜es parame´tricas e um intervalo de paraˆmetro para o movimento de uma partı´cula que parte em
(a,0) e trac¸a o cı´rculo x2 + y2 = a2:
(a) Uma vez em sentido hora´rio.
(b) Uma vez em sentido anti-hora´rio.
(c) Duas vezes em sentido hora´rio.
(d) Duas vezes em sentido anti-hora´rio.
3. A parametrizac¸a˜o da astro´ide x
2
3 + y
2
3 = 2
2
3 e´ dada por σ(t) =
(
2 cos3(t), 2 sin3(t)
)
, 0 ≤ t ≤ 2pi .
Escreva uma equac¸a˜o da reta tangente a` astro´ide no ponto correspondente a t = pi4 .
4. Considere a curva definida por σ(t) =
(
1 + 2 ln(1 + t), 1 + (1 + t2)
)
, t > −1.
(a) Determine uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (1, 2).
(b) Deˆ uma equac¸a˜o cartesiana da curva.
5. Seja C a curva parametrizada por σ(t) = (cos(t), sin(t), 1− 2 sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2pi.
(a) Determine o vetor σ ′(t).
(b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (−1, 0, 1).
6. Considere a curva do R3 parametrizada por σ(t) =
(
t, 1− t2, 1) .
(a) Escreva equac¸o˜es da reta tangente a` curva σ(t) no ponto (0, 1, 1).
(b) Calcule o comprimento da curva σ(t) do ponto (0, 1, 1) ao ponto (1, 0, 1).
7. Nos itens abaixo, ache o vetor velocidade V , a velocidade v e o vetor acelerac¸a˜o A no tempo t da partı´cula cuja
equac¸a˜o de movimento e´ dada.
(a) R(t) = (2 cos(2t), 3 sin(2t), t)
(b) σ(t) =
(
e−t, 2et, t3
)
(c) %(t) =
(
t sin(t), t cos(t), t2
)
8. Nos itens abaixo, ache o comprimento do arco de parte da curva dada entre o ponto onde t = a e t = b.
(a) R(t) = (3 cos(t), 4 cos(t), 5 sin(t)) ; a = 0, b = 2
(b) σ(t) = (e−t cos(t), e−t sin(t), e−t) ; a = 0, b = pi
(c) %(t) =
(
t3
3 − 1t , t
3
3 − 7t , 2t
)
; a = 1, b = 4
9. Integrar a func¸a˜o f(x, y) sobre a regia˜o determinada
(a) f(x, y) = x2y − x+ 2y sobre o quadrado −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2. Rta: 7
(b) f(x, y) = xexy sobre o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Rta: e− 2
(c) f(x, y) = xy +
y
x sobre o quadrado [1, 4]× [1, 2] Rta: 21 ln 22
(d) f(x, y) = x sin(y) sobre a regia˜o 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ x. Rta: pi22 + 2
(e) f(x, y) = x/y sobre a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1, x = 2 Rta:
3 ln(2)
2
10. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o, troque a ordem de integrac¸a˜o, e calcule as seguintes integrais.
(a)
∫ 1
0
∫ 1
x
ey
2
dydx Rta: e−12
(b)
∫ 3
0
∫ 9
y2
ycos(x2) dxdy Rta: sen(81)4
(c)
∫ 1
0
∫ pi
2
arcseny cos(x)
√
1 + cos2x dxdy Rta: 2
√
2−1
3
11. Use coordenadas polares para achar o volume do so´lido
(a) Abaixo do cone z =
√
x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 4 Rta: 163 pi
(b) Limitada pelo hiperboloide −x2 − y2 + z2 = 1 e o plano z = 2. Rta: 43pi
(c) Dentro do cilindro x2 + y2 = 4 e o elipsoide 4x2 + 4y2 + z2 = 64. Rta: 83pi(64− 24
√
3)
12. Usar as coordenadas polares para combinar a soma
∫ 1
1/
√
2
∫ x
√
1−x2
xy dydx +
∫ √2
1
∫ x
0
xy dydx +
∫ 2
√
2
∫ √4−x2
0
xy dydx
dentro de uma integral dupla. Logo, calcule a integral dupla. Rta: 1516
13. Encontre a masa e o centro de masa da la´mina que ocupa a regia˜o D e tem a func¸a˜o de densidade dada por ρ.
(a) D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 1}; ρ(x, y) = xy2. Rta: 43 , ( 43 , 0)
(b) D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (2, 1), (0, 3); ρ(x, y) = x+ y.
Rta: 6, ( 34 ,
3
2 ).
(c) D e´ a la´mina que ocupa a parte do disco x2 + y2 ≤ 1 no primeiro quadrante e sua densidade em qualquier
ponto e´ proporcional a sua distaˆncia desde o eixo x.
Rta: k3 , (
3
8 ,
3
16pi).
14. Achar a masa, o centro de masa e os momentos de ineˆrcia Ix, Iy, I0 da la´mina limitada por y = ex, y = 0, x = 0
y x = 1 cuja func¸a˜o de densidade e´ ρ(x, y) = y.
Rta: m = e
2−1
4 , (x¯, y¯) =
(
e2+1
2(e2−1) ,
4(e3−1)
9(e2−1)
)
Ix =
e4−1
16 , Iy =
e2−1
8 , I0 =
e4+2e2−3
16
15. Escreva as outras cinco integraies iteradas equivalentes a` integral dada
(a)
∫ 1
−1
∫ 1
x2
∫ 1−y
0
f(x, y, z) dzdydx
(b)
∫ 4
0
∫ 2√
x
∫ 1−y/2
0
f(x, y, z) dzdydx
(c)
∫ 1
0
∫ 1−y
0
∫ x+y
0
f(x, y, z) dzdxdy
16. Encontre a imagem do conjunto S baixo a transformac¸a˜o dada
(a) S = {(u, v); 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2}; x = 2u+ 3v, y = u− v
(b) S e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 1), (0, 1); x = u2, y = v
17. Usar a transformac¸a˜o dada para calcular a integral.
(a)
∫∫
R
x2 dA, onde R e´ a regia˜o limitada pela elipse 9x2 + 4y2 = 36; x = 2u, y = 3v. Rta: 6pi
(b)
∫∫
R
xy dA, onde R e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x, y = 3x, e as hipe´rbolas
xy = 1, xy = 3; x = u/v, y = v Rta: 2ln3
(c)
∫∫
R
(x−y)/(x+y) dA, ondeR e´ o quadrado com ve´rtices (0, 2), (1, 1), (2, 2), (1, 3); u = x−y, v = x+y
Rta: −ln2
18. Calcule a integral usando coordenadas cilı´ndricas. Rta: 0
∫ 2
−2
∫ √4−y2
−
√
4−y2
∫ 2
√
x2+y2
xz dzdxdy
19. Calcule a integral usando coordenadas esfe´ricas. Rta: 4
√
2−5
15
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
√
x2+y2
xy dzdydx
20. Calcular os volu´mens dos so´lidos limitados por:
(a) Os planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0 e a superficie z = x
√
x2 + y Rta: 415 (2
√
2− 1)
(b) O primeiro octante, o cilindro z = 9− y2 e o plano x = 2. Rta: 36
(c) Os cilindros parabo´licos y = 1− x2, y = x2 − 1 e os planos x+ y + z = 2, 2x+ 2y − z + 10 = 0 Rta: 643
(d) Acima do cone z =
√
x2 + y2 e baixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Rta: 2pi3 (1−
√
2
2 )
(e) As superficies x2 + y2 + z2 = 2az, a > 0, e x2 + y2 = z2, e que contem o ponto (0, 0, a) em seu interior. Rta:
pia3
(f) O cilindro x2 + y2 = 2x e entre os planos z = 0 y z = a > 0.
Rta: api
(g) A esfera de raio r. Rta: 43pir3
(h) O plano z = 0 e o parabolo´ide z = x
2
a2 +
y2
b2 e o cilindro
2x
a =
x2
a2 +
y2
b2 .
Rta: 3abpi2
21. Calcular as seguintes integraies triplas:
(a)
∫∫∫
R
dxdydz√
1 + x+ y + z
onde R = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1], Rta: 815 (12√2− 27√3 + 31)
(b)
∫∫∫
E
dxdydz
(1 + x+ y + z)3
onde E e´ o tetraedro limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y + z = 1. Rta:
ln 2
2 − 516
(c)
∫∫∫
E
xdxdydz onde E e´ a regia˜o limitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 2 e a superficie z = x2 + y2,
x, y ≥ 0. Rta: 8√215
(d)
∫∫∫
E
(x2 + y2)dxdydz onde E esta limitado por z = 2 e 2z = x2 + y2. Rta: 16pi3
(e)
∫∫∫
E
(
1− x2a2 − y
2
b2 − z
2
c2
) 1
2
dxdydz se E e´ x
2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 ≤ 1. Rta: abcpi24
(f)
∫∫∫
E
(4x−y+z)dxdydz ondeE esta limitado por x = 0, y = 0, z = 0 e as superficies x+y = 1 e z = 2−x2
Rta: 53
(g)
∫∫∫
E
√
x2 + y2dxdydz onde E a regia˜o limitada pela superficie x2 + y2 = z(1− z) Rta: pi264
(h)
∫∫∫
E
| x2 − z2 | dxdydz se E = {(x, y, z) : x2 + z2 ≤ y ≤ 1}. Rta: 13
22. (Na˜o apto para novatos) Deduzca que ∫ ∞
−∞
e−x
2
dx =
√
pi
(a) Ver exercicio 32, pa´g 857 do livro Ca´lculo James Steward 3a. ed.
(b) Aplicar o teorema de Fubini a` func¸a˜o f(x, y) = ye−(x
2+1)y2 em (0,∞) × (0,∞). Num sentido a integral
calcula-se diretamente, no outro conduz a` que procura-se.
23. As integraies que permiten calcular
∫ ∫
E
∫
x2dV onde E e´ o so´lido que esta dentro do cilindro x2 + y2 = 1, acima
do plano xy e baixo do cone z2 = 4x2 + 4y2 sa˜o:
(a)
∫ 2pi
0
∫ pi
2
arctan( 12 )
∫ cscφ
0
ρ4 sin3 φ cos2 θdρdφdθ
(b)
∫ 1
−1
∫√1−y2
−
√
1−y2
∫ 2√x2+y2
0
x2dzdxdy
(c)
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ 2r
0
r2 cos2 θdzdrdθ
(d)
∫ 2pi
0
∫ arctan( 12 )
0
∫ cscφ0
ρ4 sin3 φ cos2 θdρdφdθ
24. (Na˜o apto para novatos) Se f e´ contı´nua, mostre que∫ x
0
∫ y
0
∫ z
0
f(t) dt dz dy =
1
2
∫ x
0
(x− t)2f(t) dt
25. Descanse....