Artigo sobre o desenvolvimento das derivadas

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DERIVADAS COMO NO TEMPO DE NEWTON E LEIBNIZ 
 
Luana Lopes dos Santos Alves 
Universidade Católica de Brasília 
Curso de Matemática 
Orientador: Prof. Sinval Braga de Freitas 
 
RESUMO 
 
O presente artigo trata de como se deu o desenvolvimento da história do cálculo diferencial, dando maior ênfase 
aos trabalhos de Newton e Leibniz que, como se afirma hoje, são os “inventores” do cálculo. O principal 
objetivo do trabalho é demonstrar como eram feitos os cálculos de derivadas de funções sem utilizar a noção de 
limites, com exemplos que podem ser comparados com as técnicas modernas empregadas hoje. 
 
Palavras-chave: indivisíveis, máximo, mínimo, tangente, derivada. 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
É curioso que o desenvolvimento histórico do cálculo seguiu a ordem contrária à daquela dos 
textos e cursos básicos atuais sobre o assunto: primeiro surgiu o cálculo integral e só muito 
tempo depois o cálculo diferencial. A idéia de integração teve origem em processos 
somatórios ligados ao cálculo de certas áreas, volumes e comprimentos. A diferenciação, 
criada bem mais tarde, resultou de problemas sobre tangentes à curvas e de questões sobre 
máximos e mínimos. Mais tarde ainda verificou-se que, salvo algumas restrições, a integração 
e a diferenciação estão relacionadas entre si, sendo que cada uma delas é uma espécie de 
operação “inversa” da outra. 
 
O cálculo da derivada e o cálculo da integral são ambos baseados na noção de limite. A 
questão é: “se o limite foi criado por último, como então eram feitos esses cálculos sem essa 
noção de limite de funções?”. O interesse maior do trabalho é mostrar como se procedia para 
executar o cálculo de derivadas sem a noção de limite, ocupando-se em mais detalhes, com os 
trabalhos de Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Newton 
estendeu e unificou os vários processos de cálculo e Leibniz ligou-os através de uma notação 
eficaz e de um novo cálculo operacional. 
 
2. HISTÓRICO 
 
O século XVII foi extremamente produtivo para o desenvolvimento da matemática, graças, 
em grande parte, às novas e vastas áreas de pesquisa que nela se abriram. Sem dúvida, porém 
a realização matemática mais notável do período foi a “invenção” do cálculo, perto do final 
do século, por Newton e Leibniz. Com essa invenção a matemática criativa passou a um plano 
superior e a história da matemática elementar essencialmente terminou. Antes de aprofundar 
nos escritos de Newton e Leibniz sobre o cálculo, é necessário fazer um breve relato sobre 
suas origens e desenvolvimento. Esses conceitos têm tanto alcance e tantas implicações no 
mundo moderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento deles dificilmente 
hoje uma pessoa poderia considerar-se culta. 
 
Embora a maior parte do trabalho se situe no século XVII é importante retornar à Grécia do 
século III a.C.. 
 
 2
2.1 O CÁLCULO NA GRÉCIA ANTIGA: NO COMEÇO FOI O CÁLCULO 
INTEGRAL 
 
2.1.1 Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) 
 
Os primeiros rascunhos com base sólida para o cálculo iniciaram-se com Arquimedes. Dos 
tratados de Arquimedes que se ocupavam principalmente com o método de exaustão de 
Eudoxo de Cinido (408-355 a.C.) (isto é, cálculo integral) o mais popular era a Quadratura da 
parábola. 
 
Quadrar uma figura, no sentido grego é, medir sua área comparando com figuras cujas áreas 
são conhecidas. Por exemplo, podia-se indagar quantos quadrados cabiam dentro de certa área 
que se queria conhecer. Mas quadrar também poderia ser comparar determinadas áreas 
desconhecidas com áreas de outras figuras como o triângulo, como fez Arquimedes na 
quadratura da parábola. 
 
Arquimedes, utilizando o método de exaustão, provou rigorosamente que a área K de um 
segmento parabólico APBQC (Figura 1) é quatro terços da área de um triângulo T tendo a 
mesma base e mesma altura. 
 
 
Figura 1 
 
Arquimedes deu uma segunda prova diferente do mesmo teorema. Primeiro demonstrou que a 
área do maior triângulo inscrito, ABC , sobre a base AC é quatro vezes a soma dos triângulos 
correspondentes inscritos sobre cada um dos lados AB e BC como base. Continuando o 
processo sugerido fica claro que a área K do segmento parabólico APBQC é dada pela soma 
da série infinita ...
4
...
44 2
+++++
n
TTTT , que vale T
3
4
 (usamos T para representar, claro, a 
área do triângulo). O valor exato foi calculado por Arquimedes mesmo sem a noção de 
infinito que temos hoje. Em sua abordagem de áreas e volumes, Arquimedes chegou a 
resultados equivalentes a muitas integrais definidas que hoje figuram nos textos elementares 
de cálculo. 
 
Arquimedes tem muitos outros trabalhos em que aplica métodos rudimentares de integração 
como, por exemplo, no cálculo do volume da esfera feita no trabalho O Método e no cálculo 
da área de um círculo feita no trabalho Sobre as medidas do círculo. 
 
 3
2.1.2 Apolônio de Perga (262 a 190 a.C.) 
 
Em As cônicas, livro V, Apolônio trata de assuntos sobre retas máximas e mínimas a uma 
cônica. Os matemáticos gregos não tinham uma definição satisfatória de tangente a uma 
curva C num ponto P , pensando nela como uma reta L tal que nenhuma outra podia ser 
traçada por P entre C e L . Talvez fosse insatisfação com essa definição, que levou 
Apolônio a evitar definir uma normal a uma curva C por um ponto Q como uma reta por Q 
que corta a curva C num ponto P e é perpendicular à tangente a C por P . Em vez disso, 
usou o fato de ser a normal de Q a C uma reta tal que a distância de Q a C é um máximo ou 
mínimo relativo. 
 
Os teoremas de Apolônio sobre máximos e mínimos são na verdade teoremas sobre tangentes 
e normais a seções cônicas. Para maiores detalhes consultar, por exemplo, (Boyer, 1996). 
 
Claro que Apolônio não lançou bases para o cálculo diferencial, mas se ocupou de problemas 
típicos desse assunto: máximos e mínimos, ou na verdade, tangentes e normais. 
 
2.2 O CÁLCULO NA EUROPA MODERNA: AINDA O CÁLCULO INTEGRAL 
 
2.2.1 Johann Kepler (1571-1630) 
 
Kepler, astrônomo alemão, em sua Astronomia nova de 1609 anunciou suas duas primeiras 
leis da astronomia (a terceira lei só foi publicada em 1619 em sua Harmonia do mundo): 
 
1) os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos; 
2) o raio vetor que une um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. 
3) o quadrado do tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente 
proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita. 
 
Ao tratar problemas de áreas como esse da segunda lei, Kepler pensava na área formada por 
uma infinidade de pequenos triângulos com vértices no Sol (Figura 2) e os outros dois 
vértices em pontos infinitamente próximos um do outro ao longo da órbita. Dessa forma ele 
pôde usar uma forma grosseira de calcular integral. 
 
 
Figura 2 
 
 4
A área do círculo, por exemplo, é encontrada desse modo, observando que as alturas dos 
triângulos infinitamente finos (Figura 3(a)) são iguais ao raio. Se chamarmos 
KK ,,,, 21 nbbb as bases infinitamente pequenas repousando ao longo da circunferência, 
então a área A do círculo (a soma das áreas dos triângulos) será 
 
( ) CrbbbrrbrbrbA nn 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2121 =++++=++++= KKKK , 
 
onde C é o comprimento da circunferência que nada mais é que a soma dos sbi
'
. Esse bem 
conhecido teorema antigo fora provado por Arquimedes mais cuidadosamente. 
 
Por raciocínio semelhante Kepler conhecia a área da elipse (um resultado de Arquimedes não 
existente até então). A elipse pode ser obtida de um círculo de raio a por uma transformação 
sob a qual a ordenada do círculo em cada ponto é diminuída segundo uma dada razão ab : . 
Então, podemos pensar na área da elipse e na área do círculo como formadas de todasas 
ordenadas de pontos sobre as curvas (Figura 3(b)); mas como as razões das componentes das 
áreas são ab : as áreas elas próprias devem estar na mesma razão. Mas a área do círculo 
sabe-se ser 2api ; portanto a área da elipse 1// 2222 =+ byax deve ser abpi . Esse resultado 
está correto; mas para o comprimento da elipse o melhor que Kepler pôde fazer foi dar a 
fórmula aproximada )( ba +pi . Os comprimentos das curvas em geral e da elipse em particular 
estariam fora do alcance dos matemáticos ainda durante meio século. 
 
 
 (a) (b) 
Figura 3 
 
Kepler ainda aplicou métodos grosseiros de integração para encontrar volumes de barris de 
vinhos e outros sólidos de revolução. 
 
Embora passíveis de objeções, sob o ponto de vista do rigor matemático, esses métodos 
produzem resultados corretos de maneira bem mais simples. Mesmo no século XX e ainda 
neste século esses métodos “atômicos” ainda são usados bastante regularmente por físicos e 
engenheiros para armar um problema, ficando o tratamento rigoroso “por limites” para os 
matemáticos profissionais. 
 
2.2.2 Bonaventura Cavalieri (1598-1647) 
 
Bonaventura Cavalieri, italiano com vasta obra em matemática, óptica e astronomia, 
desenvolveu o método dos indivisíveis, presente no tratado Geometria indivisibilibus 
 5
publicada em sua versão final em 1635. Os indivisíveis de Cavalieri têm raízes em Demócrito 
(c. 410 a.C.) e Arquimedes, mas talvez a motivação maior tenha sido encontrada nos métodos 
de Kepler de calcular certas áreas (segunda lei) e volumes. 
 
Cavalieri não definia em suas obras o que seriam os indivisíveis. Segundo ele, porém, uma 
figura plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas entre si e uma figura sólida 
por uma infinidade de secções planas paralelas entre si. A essas cordas e a essas secções ele 
chamava de indivisíveis. Num de seus livros “explicava” que um sólido é formado de 
indivisíveis, assim como um livro é composto de páginas. Do ponto de vista lógico essas 
idéias envolviam uma dificuldade insuperável. Como uma figura de extensão finita poderia 
ser formada de uma infinidade de indivisíveis e, ainda que estes não possuem espessura? 
 
O princípio de Cavalieri pode ser assim enunciado (versão em duas e três dimensões): 
 
1. Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e 
paralela a uma reta dada determina nas porções segmento de reta 
cuja razão é constante, então a razão entre as áreas dessas porções é 
a mesma constante. 
2. Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo 
a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é 
constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma 
constante. (Eves, 2004). 
 
Podemos ilustrar o uso do princípio de Cavalieri, no caso plano, determinando a área 
compreendida por uma elipse de semi-eixos a e b . 
 
Considere a elipse e a circunferência (Figura 4) 
 
,12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 ba > e ,222 ayx =+ 
 
posicionadas no mesmo sistema de coordenadas retangulares. Escrevendo y em função de x 
em cada uma dessas equações obtém-se, respectivamente, as partes positivas 
 
,)( 2/122 xa
a
by −= .)( 2/122 xay −= 
 
 
Figura 4 
 6
 
Observa-se então que, a razão entre duas ordenadas correspondentes quaisquer da elipse e da 
circunferência é ab / . Portanto a razão entre duas cordas verticais correspondentes da elipse e 
da circunferência é ab / . Pelo princípio de Cavalieri concluiu-se que 
 
área da elipse
a
b
= (área do círculo) 
 
ou 
área da elipse .)( 2 aba
a
b
pipi == 
 
O princípio de Cavalieri pode ser aplicado ainda, para determinar o volume de uma esfera de 
raio r , cuja demonstração pode ser vista em Eves (2004, p.427). 
 
Os princípios de Cavalieri representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas e 
volumes, além disso, sua base intuitiva pode facilmente torna-se rigorosa com o cálculo 
integral moderno. Ainda bastante usado no ensino da geometria métrica no espaço, facilita 
bastante a aceitação da idéia de indivisível. 
 
2.3 O CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
2.3.1 René Descartes (1596-1650) 
 
René Descartes, filósofo e matemático francês, deu uma contribuição muito importante para a 
idéia de derivadas com a geometria analítica. Um dos muitos escritos de Descartes que 
merece destaque para o que se pretende desenvolver é o La géométrie (A geometria), famoso 
apêndice terceiro do Discours de la Méthode pour Bien Conduire sa Raison et Chercher la 
Vérité dans les Sciences (Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a 
Verdade nas Ciências) ou, mais resumidamente, Discurso do Método, publicado em 1637. 
 
A segunda parte desse trabalho traz, entre outras coisas, uma classificação de curvas e um 
método interessante de construir tangentes às curvas que em linhas gerais é o seguinte (Figura 
5): 
 
Figura 5 
 
 7
Seja 0),( =yxf (essa função pode ser construída a partir de )(xfy = e daí 
0)(),( =−= yxfyxf ) a equação da curva dada e ),( 11 yx as coordenadas do ponto P da 
curva pelo qual se deseja traçar a tangente. Seja Q um ponto do eixo x de coordenadas 
( )0,2x . Então a equação da circunferência de centro Q pelo ponto P é 
 
.)()( 21221222 yxxyxx +−=+− 
 
O método de Descartes consiste em encontrar essa circunferência de modo que ela seja 
tangente à curva no ponto P . O raio da circunferência seria normal à reta tangente em P e, 
assim, seria possível traçar essa tangente. 
 
Para entender melhor o método de Descartes, é apresentado como exemplo a construção da 
tangente à parábola xy 42 = no ponto )2,1( . Aqui, xyyxf 4),( 2 −= e tem-se 
 
4)1()( 22222 +−=+− xyxx . 
 
Substituindo-se y na equação, temos: 
 
4)1(4)( 2222 +−=+− xxxx . 
 
Desenvolvendo os quadrados e escrevendo a equação na forma reduzida, temos: 
 
0)52()2(2 222 =−+−+ xxxx . 
 
O objetivo é que essa circunferência tenha apenas um ponto em comum com a parábola, caso 
contrário (dois pontos em comum), não poderá ser construída a circunferência tangente à 
curva. Essa condição impõe que essa equação quadrática tenha duas raízes iguais, ou seja, que 
seu discriminante seja nulo. Assim, deve-se ter 
 
0)52.(1.4)2(2 2222 =−−−=∆ xx 
 
Dividindo ambos os membros da igualdade por 4, temos 
 
0)52()2( 222 =−−− xx 
 
Logo, 32 =x . 
 
Pode-se traçar então a circunferência de centro )0,3(Q passando pelo ponto )2,1(P da curva o 
que propicia a construção da tangente desejada. 
 
Obtém-se assim um processo geral que mostra exatamente o que fazer para resolver o 
problema, mas nos casos mais complicados a álgebra necessária pode ser assustadora. É só 
pensar que a condição de interseção da circunferência com a curva ser um único ponto nem 
 8
sempre é fácil de ser aplicado para funções y mais complexas. Obviamente há métodos 
muito melhores do que o de Descartes para encontrar tangente à curvas. 
 
2.3.2 Gilles Persone de Roberval (1602-1675) 
 
Gilles Persone de Roberval tornou-se bastante conhecido por seu método de traçar tangentes e 
por suas descobertas no campo das curvas planas superiores. Ele considerava uma curva como 
sendo gerada por um ponto cujo movimento se compõe de dois movimentos conhecidos. 
Então a resultante dos vetores velocidade dos dois movimentos conhecidos fornece a reta 
tangente à curva. 
 
Por exemplo, no caso de uma parábola, pode-se considerar os dois movimentos em sentido 
oposto ao foco e em sentido oposto à diretriz. Como as distâncias do ponto em movimento ao 
foco e à diretriz são sempre iguais, os vetores velocidades dos dois movimentos devem 
também ter módulos iguais. Segue-se que a tangente a um ponto da parábola bissecciona o 
ângulo entre o raio focal, pelo ponto, e a perpendicularpor este à diretriz (Figura 6). 
 
 
 
 Figura 6 
 
2.3.3 Evangelista Torricelli (1608-1647) 
 
Evangelista Torricelli trabalhava com a mesma idéia de Roberval sobre tangente. Publicou a 
construção da tangente à ciclóide1 num ponto genérico da curva. Para determinar a tangente, 
tanto Roberval quanto Torricelli usavam o método da composição de movimentos, já 
descritos, quando do traçado de uma tangente à parábola. No caso da ciclóide, pode-se 
imaginar um ponto P da curva como sujeito a dois movimentos iguais, um de translação e 
outro de rotação. Conforme o círculo gerador rola ao longo da reta AB numa base horizontal 
(Figura 7), o ponto P é conduzido horizontalmente enquanto que, ao mesmo tempo, gira em 
torno de O , o centro do círculo. Traça-se, portanto, a partir de P , um vetor horizontal PR 
como componentes de translação e um vetor PS , tangente ao círculo gerador, como 
componente de rotação. Ademais, como os dois vetores têm módulos iguais, a tangente 
pretendida situa-se ao longo da bissetriz PT do ângulo RPS formado pelos dois vetores. 
 
 
1
 Curva descrita por um ponto da circunferência de um círculo, conforme este rola ao longo de uma reta sem 
escorregar. (Eves, 2004, p.366). 
 9
 
Figura 7 
 
2.3.4 Pierre de Fermat (1601-1665) 
 
É possível que Pierre de Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analítica, 
pois por essa época ele fez duas descobertas significativas. A mais importante dessas foi 
descrita alguns anos depois em um tratado, também não publicado durante sua vida, chamado 
Método para achar máximos e mínimos. Ao descrever o seu método, Fermat associou-o a um 
método que ele havia introduzido para determinar valores extremos (máximo ou mínimo) de 
quantidades conhecidas. 
 
Ele comparou o valor de )(xfy = num ponto com o valor )( Exf + num ponto vizinho. Em 
geral esses valores serão bem diferentes, mas num máximo ou mínimo de uma curva suave a 
variação será quase imperceptível, como já havia sugerido Kepler. Portanto para achar os 
pontos de máximos e mínimos, Fermat igualava )(xf e )( Exf + , percebendo que os 
valores, embora não exatamente iguais, são quase iguais. Quanto menor o intervalo E entre 
os dois pontos mais perto chega a pseudo-equação de ser uma verdadeira equação; por isso 
Fermat, depois de dividir tudo por E fazia 0=E . Os resultados lhe davam as abscissas dos 
pontos de máximo e mínimo de )(xf . 
 
Aqui, em essência tem-se o processo hoje chamado de diferenciação, pois o método de 
Fermat equivale a achar 
E
xfExf
E
)()(lim
0
−+
→
 
 
e igualar a zero, pois sendo )()( xfExf =+ temos 0)()( =−+ xfExf . Agora dividindo 
por E chegamos a 0)()( =−+
E
xfExf
 e, finalmente, fazendo 0=E “equivale” a tomar o 
limite com E tendendo a zero. Evidentemente Fermat não tinha o conceito de limite, mas por 
outro lado seu método para achar máximos e mínimos se assemelha ao usado hoje no cálculo, 
só que em geral usa-se o símbolo h ou x∆ em lugar do E de Fermat, e não se faz E tender a 
zero, mas sim igual a zero. 
 
Como exemplo disto, Fermat propõe dividir uma quantidade em duas partes tais que seu 
produto seja máximo. Fermat usava consoantes maiúsculas que representavam constantes e as 
vogais maiúsculas que representavam variáveis. Seguindo essa notação, seja B a quantidade 
dada e denotemos as partes procuradas por A e AB − . Formando: 
 10 
 
[ ])()( EABEA −−− 
 
e igualando esse produto a )( ABA − , obtem-se 
 
))(()( EABEAABA +−−=− 
 
ou 
.02 2 =−− EBEAE 
 
Dividindo por E chega-se a 
 
.02 =−− EBA 
 
Fazendo então, 0=E , conclui-se que BA =2 , estabelecendo-se assim a divisão desejada, ou 
seja, para resolver o problema a quantidade deve ser dividida ao meio. 
 
Fermat considerou lugares dados (em notação moderna) por equações na forma nxy = . Por 
isso elas são hoje freqüentemente chamadas “parábolas de Fermat” se n é positivo ou 
“hipérboles de Fermat” se n é negativo. Aqui temos uma geometria analítica de curvas planas 
de grau superior; mas Fermat foi além com o seu método acima descrito. 
 
Fermat também descobriu um procedimento geral para determinar a tangente por um ponto de 
uma curva cuja equação cartesiana é dada. Sua idéia consistia em achar a subtangente relativa 
a esse ponto, isto é, o segmento de reta cujas extremidades são a projeção do ponto de 
tangência sobre o eixo x e a intersecção da tangente com esse eixo. A idéia de tangente usada 
pelo método é a de posição limite de uma secante quando os dois pontos de intersecção com a 
curva tendem a coincidir. 
 
Veja, em notação moderna, em que consiste o método. Seja 0),( =yxf a equação da curva 
(Figura 8), encontre sua subtangente t relativa a ),( yx . Por semelhança dos triângulos ABP 
e ACR , tem-se 
 
et
Y
t
y
+
= , 
 
resultando ( )teyY /1+= , onde Y é ordenada do ponto R . Agora, supondo e muito pequeno, 
teremos R , ponto da reta tangente, tão próximo da curva que podemos supor que ele está na 
curva 0),( =yxf . Assim, facilmente se estabelece que as coordenadas de um ponto da 
tangente, próximo do ponto de tangência, são ( ))/1(, teyex ++ . Tratando esse ponto como se 
fosse da curva, obtém-se 
 
01, =











++
t
eyexf 
 
 11 
 
 
Figura 8 
 
E, para que essa igualdade possa ser considerada correta, faz-se com que e assuma o valor 
zero. Determina-se, então, a partir da equação resultante, a subtangente t em função das 
coordenadas x e y do ponto de tangência. Isso, obviamente, equivale fazer 
 
x
f
y
f
yt
∂
∂
∂
∂
−= , 
 
uma fórmula que apareceu posteriormente num trabalho de Sluze. 
 
Para melhor compreensão é apresentado um exemplo bem simples da construção da tangente 
a uma curva. Seja a tangente à curva 2)( xxf = , ou 02 =− yx , no ponto )4,2(P . 
Fazendo 01, =











++
t
eyexf , obtém-se a subtangente t relativa a )4,2(P como segue: 
01)( 2 =





+−+
t
eyex 
02 22 =−−++
t
yeyexex 
 
Utilizando o fato de 02 =− yx , dividindo toda a equação por e e fazendo 0=e , chega-se a 
 
t
y
x =2 , ou 
x
y
t
2
= . 
 
Substituindo o ponto )4,2(P , tem-se 1=t . Assim é possível encontrar o ponto )0,1(A onde a 
tangente corta o eixo x , pode-se então construir a tangente à curva que passa pelos pontos 
)4,2(P e )0,1(A de equação 44 −= xy (Figura 9). 
 
 
 12 
 
Figura 9 
 
À sua maneira, Fermat determinou tangentes às seguintes curvas: elipse, ciclóide, cissóide, 
conchóide, quadratriz e folium de Descartes. 
 
2.3.5 John Wallis (1616-1703) 
 
John Wallis foi um dos primeiros a discutir as cônicas como curvas de segundo grau, em vez 
de considerá-las como secções de um cone. Em 1655 apareceu sua Arithmetica infinitorum, 
um livro que, apesar de algumas imperfeições lógicas, manteve-se como um tratado modelo 
por muitos anos. Nesse livro, são sistematizados e estendidos os métodos de Descartes e 
Cavalieri e induzidos muitos resultados notáveis a partir de casos particulares. Assim, há a 
afirmação de que a fórmula que hoje escreveríamos como: 
 
∫ +
=
1
0 1
1
m
dxxm , 
 
onde m é inteiro, também vale quando m é fracionário ou negativo mas diferente de 1− , seja 
invenção dele. Wallis foi o primeiro a explicar de maneira razoavelmente satisfatória o 
significado dos expoentes zero, negativos e fracionários. Deve-se a ele também a introdução 
do atual símbolo de infinito ( ∞ ), que é a curva Lemniscata. 
 
Enquanto as principais contribuições de Wallis ao cálculo se situam na teoria da integração, as 
mais importantes de Isaac Barrow talvezsejam aquelas ligadas à teoria da diferenciação. 
 
2.3.6 Isaac Barrow (1630-1677) 
 
Isaac Barrow explica um método de tangentes que é virtualmente idêntico ao usado no cálculo 
diferencial. É muito semelhante ao de Fermat, mas usa duas quantidades, em vez da letra E 
única de Fermat. Essas quantidades equivalem aos modernos x∆ e y∆ . 
 
Barrow explica sua regra para tangentes essencialmente do seguinte modo (Figura 10): se M 
é um ponto sobre uma curva dada (notação moderna) por uma polinomial 0),( =yxf e se T 
 13 
é um ponto de intersecção da tangente desejada MT com eixo x , então Barrow marcava um 
“arco infinitamente pequeno MN da curva”. Então traçava as ordenadas por M e N e por 
M uma reta MR paralela ao eixo x . Então, designando por m a ordenada conhecida em 
M , por t a subtangente desejada PT e por a e e os lados vertical e horizontal do triângulo 
MRN (aqui ele supõe que o ponto N e S são tão próximos que se confundem, podendo 
assumir a igualdade), o chamado triângulo diferencial, Barrow observava que a razão de a 
para e é igual à razão de m para t . 
 
Figura 10 
 
Como poderia ser dito agora, a razão de a para e , para pontos infinitamente vizinhos, é a 
inclinação da curva. Para achar essa razão, Barrow procedia de modo muito semelhante ao de 
Fermat. Substituía x e y em 0),( =yxf por ex + e ay + , respectivamente, depois na 
equação resultante ele desprezava os termos não contendo a ou e (pois esses juntos dão 
zero) e todos os termos de grau maior que um em a e e , e finalmente substituía a por m e 
por t . Daí a subtangente é obtida em termos de x e m , e se x e m são conhecidos, a 
quantidade t está determinada. 
 
O cálculo pode ser feito também assim: 
 
TP
PM
MR
RS
= . 
 
Como TPOPOT −= , segue da relação acima que 
 
y
a
e
xPM
a
e
xOT −=−= . 
 
Conhecida a medida OT , marca-se o ponto T e é possível traçar a tangente por T e M , já 
que os valores x e y do ponto M são conhecidos. O trabalho então está em calcular o 
quociente ae / . 
 
Como ilustração, Barrow utilizou seu método para construir tangente à curva de Lamé 
333 ryx =+ . Neste caso 
 14 
,)()( 333 rayex =+++ 
ou 
.3333 332233223 rayaayyexeexx =+++++++ 
 
Desprezando os quadrados e as potências superiores de e e a e usando o fato de que 
333 ryx =+ , obtém-se 
 
,033 22 =+ ayex 
do que resulta 
.2
2
y
x
e
a
−= 
 
De todos os matemáticos que anteciparam partes do cálculo diferencial e integral, nenhum 
chegou mais perto da nova análise que Barrow. Ele parece ter reconhecido claramente a 
relação inversa entre os problemas de tangentes e de quadraturas. 
 
3. O CÁLCULO DIFERENCIAL DE NEWTON E LEIBNIZ 
 
3.1 Isaac Newton (1642-1727) 
 
Isaac Newton, sucessor de Barrow, nasceu na aldeia de Woolsthorpe em 1642. Pelo fim de 
1664 Newton parece ter atingido as fronteiras do conhecimento matemático e estava pronto 
para fazer contribuições próprias. Suas primeiras descobertas, datando dos primeiros meses de 
1665, resultaram de saber exprimir funções em termos de séries infinitas. Newton também 
começou a pensar, em 1665, na taxa de variação ou fluxo de quantidades variáveis 
continuamente ou fluentes, tais como comprimentos, áreas, volumes, distâncias, temperaturas. 
Newton ligou esses dois problemas, das séries infinitas e das taxas de variação como “meu 
método”. 
 
Newton fez uma descoberta muito importante, o método dos fluxos ou das fluxões, cuja 
essência ele comunicou a Barrow em 1669. Seu Method of Fluxions, embora escrito em 1671 
só foi publicado em 1736, anos depois de sua morte. Para Newton, nesse trabalho, uma curva 
era gerada pelo movimento contínuo de um ponto no tempo. Feita essa suposição, a abscissa e 
a ordenada de um ponto gerador passam a ser, em geral quantidades variáveis. A uma 
quantidade variável ele dava o nome de fluente (uma quantidade que flui com o passar do 
tempo) e à sua taxa de variação dava o nome de fluxo (ou fluxão) do fluente. Se um fluente, 
como a ordenada do ponto gerador, era indicada por y , então o fluxo desse fluente era 
denotado por y& . Em notação moderna esse fluxo equivale a dtdy / , onde t representa o 
tempo. 
 
A despeito dessa intromissão do tempo em geometria analítica, pode-se excluir a idéia de 
tempo, admitindo-se que alguma quantidade, digamos, a abscissa do ponto móvel, cresça de 
maneira constante. Essa taxa de crescimento constante de algum fluente é o que ele chamava 
fluxo principal, podendo o fluxo de qualquer outro fluente ser comparado com esse fluxo 
principal. Newton indicava o fluxo de y& por y&& e assim por diante. Por outro lado, denotava o 
fluente de y pelo próprio y no interior de um pequeno quadrado. Newton introduziu também 
 15 
um outro conceito, chamado por ele de momento de um fluente: trata-se do incremento 
infinitamente pequeno sofrido por um fluente como x , por exemplo, num intervalo de tempo 
infinitamente pequeno ο . Assim, o momento de um fluente x é dado por οx& . Newton 
salientou que podemos, em qualquer problema, desprezar os termos que aparecem 
multiplicados por potências de ο maiores ou iguais a 2 e obter assim uma equação 
envolvendo as coordenadas x e y do ponto gerador da curva e seus fluxos x& e y& . 
 
Como exemplo, considere que dada a relação entre fluentes, encontrar a relação entre os 
fluxos dos fluentes (ou seja, em linguagem moderna, achar o declive da reta tangente no ponto 
P ). O exemplo ilustrativo é a curva cúbica .0323 =−+− yaxyaxx Substituindo x por 
οxx &+ e y por οyy &+ , obtém-se: 
 
3223 )()(3)(3 οοο xxxxxx &&& +++ 22 )()(2 οο xaxaxax && −−− 
)())(()( οοοο yaxyxaxayaxy &&&& ++++ 
0)()(3)(3 3223 =−−−− οοο yyyyyy &&& 
 
Usando agora o fato de que 0323 =−+− yaxyaxx , dividindo por ο e desprezando todos os 
ainda contendo ο (isto é o equivalente a desprezar todos os termos em que ο figura com 
expoente igual ou superior a dois), chega-se a 
 
0323 22 =−++− yyyaxxayxaxxx &&&&& . 
 
A relação 0323 22 =−++− yyyaxxayxaxxx &&&&& pode ser escrita na forma 
yx ffdx
dy
axy
ayaxx
xy /
3
23/ 2
2
−==
−
+−
=&& , onde xf e yf são as derivadas parciais de ),( yxf 
com respeito a x e y respectivamente. ( xf é a derivada de ),( yxf com y constante. Logo 
para ),( yxf = 323 yaxyaxx −+− temos xf = ayaxx +− 23 2 e yf = 23yax − então 
yx ff /− é a expressão dada.). Isto, de fato é fácil ver, pois sendo a diferencial de 0),( =yxf 
igual a 0=+= dyfdxfdf yx , segue o desejado. 
 
Newton considerou dois tipos de problemas. No primeiro, dada uma relação ligando alguns 
fluentes, pretende-se estabelecer uma relação envolvendo esses fluentes e seus fluxos, como 
no exemplo anterior. Isso é equivalente, à diferenciação. No segundo, dada uma relação entre 
alguns fluentes e seus fluxos, pretende-se achar uma relação envolvendo apenas os fluentes. 
Trata-se do problema inverso, que equivale a resolver uma equação diferencial. 
 
A idéia de desprezar termos em que ο aparece com expoente igual ou superior a dois foi 
justificada mais tarde por Newton através de idéias primitivas sobre limites. Newton fez 
numerosas e notáveis aplicações de seu método dos fluxos. Determinou máximos e mínimos, 
tangentes a curvas, curvaturas de curvas, pontos de inflexão e convexidade e concavidade de 
curvas; aplicou-o a muitas quadraturas e retificações de curvas. Também demonstrou 
habilidade extraordinária na integração de equações diferenciais. Seu trabalho inclui também 
 16 
um método (do qual uma variação é conhecida agora pelo nome de Newton) para 
aproximação dos valores das raízes de uma equação numérica, algébrica ou transcendente2. 
 
Ainda com Newton a idéia de que a diferenciação e a integração eram operações inversas foi 
firmemente estabelecida.3.2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 
 
Leibniz, por volta de 1676, tinha chegado à mesma conclusão a que Newton chegara vários 
anos antes: que ele possuía um método que era altamente importante por causa da sua 
generalidade. Quer uma função fosse racional ou irracional, algébrica ou transcendente 
(palavra que Leibniz inventou), suas operações de achar somas e diferenças podiam sempre 
ser aplicadas. Cabia, pois a ele desenvolver uma linguagem e notação adequada para o novo 
assunto. 
 
Para Leibniz, a diferencial de uma variável y é a diferença infinitamente pequena entre dois 
valores consecutivos de y . Para uma curva traçada em relação a um eixo x e eixo y (Figura 
11) Leibniz considera a seqüência das ordenadas y e a seqüência correspondente das 
abscissas x . As ordenadas estão situadas infinitamente próximas; dy é a diferença 
infinitamente pequena entre duas ordenadas y e dx é a diferença infinitamente pequena entre 
duas abscissas x ; portanto, dx é a distância entre duas ordenadas y consecutivas. 
 
 
Figura 11 
 
As diferenciais são “infinitamente pequenas”. Isso significa que podem ser comparadas entre 
si (a razão dxdy : é finita). Mas com respeito às quantidades finitas ordinárias as diferenciais 
podem ser desprezadas: 
.xdxx =+ 
 
Produtos de diferenciais podem ser desprezados com respeito às próprias diferenciais: 
 
2
 Um número a é algébrico se ele é raiz de um polinômio com coeficientes inteiro. Se isso não ocorre, a é 
chamado de transcendente. 
τ 
 17 
 
adxdydxadx =+ 
Já que adya =+ . 
 
Para cada ponto ),( yx na curva podemos formar o “triângulo característico” dsdydx ,, ( ds é 
a diferencial do comprimento do arco s ). Se o segmento de reta ds , infinitamente pequeno, 
for prolongado, formará a tangente à curva em ),( yx e se obtém 
 
.:::: τytdsdydx = 
 
Portanto, para determinar as tangentes é suficiente determinar a razão .: dxdy A relação entre 
y e x usualmente é dada em forma de uma equação (a equação da curva); a fim de calcular a 
razão entre dy e dx é preciso diferenciar essa equação, ou seja, é preciso formar a equação 
diferencial da curva. Para fazer isso se devem aplicar as regras de cálculo: 
 
Se, por exemplo, as menores diferenças em x e y são dx e dy respectivamente, então dxy é 
a menor diferença em xy e é xydyydyx −++ ))(( . Como dx e dy são infinitamente 
pequenos o termo dxdy é infinitamente pequeno e pode ser desprezado, dando o resultado 
ydxxdydxy += . 
 
0=da , se a é constante ; dvduvud +=+ )( 
vduudvuvd +=)( ; 2v
udvvdu
v
ud −=





 
dunuud nn 1)( −= (também se n for uma fração ou negativo, porém não para 
1−=n ). 
 
Essas regras seguem o fato de que as diferenciais podem ser desprezadas. 
 
Assim, as regras acima são obtidas como segue: 
 
1. 0=−= aada , se a é constante; 
2. ( ) dvduvudvvduuvud +=+−+++=+ )()()()( ; 
3. vduudvdudvvduudvuvdvvduuuvd +=++=−++= ))(()( , desprezando-se o 
produto das diferenciais .dudv 
4. 22 v
udvvdu
vdvv
udvvdu
v
u
dvv
duu
v
ud −=
+
−
=−
+
+
=





, já que 2v é muito maior em relação ao 
vdv . 
5. ( ) ( ) =−+= nnn uduuud ( ) nnn ududuunu −++ − fatores de soma21 duun n 1−= , já que 
potências maiores ou iguais a dois de du podem ser desprezadas. 
 
Como exemplo, considere a hipérbole de equação .02 =− axy Tomando a diferencial, 
teremos .00)( 2 ==− daxyd Aplicando as regras descritas acima, segue que 
 18 
0)()()(0 22 −+=−=−= ydxxdyadxydaxyd 0=+= ydxxdy . Calculando a razão: 
.::
x
ydxdyty −== Daí ,xt −= o que fornece a construção da tangente. 
 
Leibniz sempre teve uma percepção aguda da importância de boas notações como ajuda ao 
pensamento, e sua escolha no caso do cálculo foi particularmente feliz. Depois de algumas 
tentativas ele se fixou em dx e dy para as diferenças menores possíveis (diferenciais) em x e 
y , embora inicialmente usasse dx / e dy / para indicar o abaixamento de grau. A princípio 
ele escrevia simplesmente omn. y (ou “todos os y ”) para a soma das ordenadas sob uma 
curva, mas mais tarde ele usou o símbolo ∫ y e ainda mais tarde dxy∫ , o sinal de integral 
sendo uma letra s (para soma – summa, em latim) aumentada. Achar tangentes exigia o uso 
do calculus differentialis e achar quadraturas o calculus summatorius ou calculus integralis, 
frases de onde resultaram as expressões que usamos. 
 
A primeira exposição do cálculo diferencial foi publicada por Leibniz em 1684 sob o longo, 
mas significativo título de Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua 
nec irrationales quantitates moratur (Um novo método para máximos e mínimos e também 
para tangentes, que não é obstruído por quantidades irracionais). Aqui Leibniz deu as 
fórmulas ydxxdydxy += , 2/)()/( yxdyydxyxd −= e dxnxdx nn 1−= para produtos, 
quocientes e potências (ou raízes) juntamente com aplicações geométricas. Essas formas, 
como já dissemos, eram obtidas desprezando infinitésimos de ordem superior. 
 
3.3 Algo sobre Newton e Leibniz 
 
Dois anos mais tarde, novamente em Acta Eruditorum, Leibniz publicou uma explicação do 
cálculo integral em que mostra que as quadraturas são casos especiais do método inverso do 
das tangentes. Aqui Leibniz deu ênfase à relação inversa entre a diferenciação e integração no 
teorema fundamental do cálculo; observou que na integração das funções familiares “está 
incluída a maior parte de toda a geometria transcendente”. Ao passo que a geometria de 
Descartes tinha excluído todas as curvas não-algébricas, o cálculo de Newton e Leibniz 
mostrava quanto é essencial o papel delas na nova análise. Se as funções anteriores fossem 
excluídas da nova análise não haveria integrais para funções algébricas como x/1 ou 
)1/(1 2x+ . Além disso, Leibniz parece ter visto, como Newton, que as operações da nova 
análise podem ser aplicadas tanto a séries infinitas quanto a expressões algébricas finitas. 
Nisso Leibniz era menos cauteloso que Newton, pois dizia que a série infinita 
K−+−+− 11111 é igual a 21 . À luz do que se faz sobre séries divergentes não se pode 
dizer que é necessariamente “errado” atribuir a soma 21 a essa série (uma série divergente 
pode ter seus termos rearranjados para convergir para qualquer valor dado). Mas é claro que 
Leibniz se deixou arrastar demais pelo sucesso de seu algoritmo e não hesitou perante a 
incerteza dos conceitos. O raciocínio de Newton estava mais perto dos modernos fundamentos 
do cálculo que o de Leibniz, mas a plausibilidade da atividade de Leibniz e a eficácia de sua 
notação diferencial produziram uma maior aceitação das diferenciais que dos fluxos. 
 
Newton e Leibniz desenvolveram sua nova análise rapidamente, de modo a incluir 
diferenciais e fluxões de ordem superior, como no caso da fórmula para curvatura de uma 
 19 
curva num ponto. Provavelmente foi por não ter idéias claras sobre ordens superiores de 
infinitésimos que Leibniz foi levado à conclusão errônea de que um círculo osculador tem 
quatro pontos “consecutivos” ou coincidentes de contato com uma curva, em vez dos três que 
determinam o círculo de curvatura. 
 
A fórmula para derivada n -ésima (para a linguagem moderna) de um produto, 
)()0()1()1()1()1()0()()()( nnnnn vuvnuvmuvuuv ++++= −− K , semelhantes à expansão binomial de 
nvu )( + tem o nome de Leibniz (no teorema de Leibniz os expoentes entre parênteses 
indicam ordens de diferenciação em vez de potências). Também tem o nome de Leibniz a 
regra, dada num artigo de 1692, para achar a envoltória de uma família a um parâmetro de 
curvas planas 0),,( =cyxf pela eliminação de c entre as equações simultâneas 0=f e 
0=cf onde cf é o resultado da diferenciação parcial de f com relação a c . 
 
Newtonconservou sua extraordinária capacidade matemática até o fim. Quando Leibniz em 
1716 (o último ano de vida) desafiou Newton a encontrar as trajetórias ortogonais de uma 
família a um parâmetro de curvas planas, Newton em poucas horas resolveu o problema e deu 
o método para achar trajetórias em geral (antes, em 1696, Newton fora desafiado a encontrar a 
braquistócrona3, e um dia depois de receber o problema deu a solução, mostrando que a curva 
é uma ciclóide). O nome de Leibniz também é usualmente associado à série infinita 
K+−+−= 7/15/13/11/14/pi uma de suas primeiras descobertas matemáticas. Essa série 
surge de sua quadratura do círculo é um caso especial da expansão do arco tangente ( arctg ). 
O fato de Leibniz ser virtualmente um autodidata em matemática explica em parte os casos 
freqüentes de redescoberta que aparecem em sua obra. 
 
Para a finalização do trabalho, é proposto um exemplo bem trivial do cálculo da derivada de 
uma função, para se comparar com os métodos de Newton, de Leibniz e o método moderno: 
calcular a derivada de f se 132)( 3 −+= xxxf . 
 
Método de Newton: faça 0132)(),( 3 =−−+=−= yxxyxfyxf . Trocando x por οxx &+ e 
y por οyy &+ , teremos então 0)(1)(3)(2 3 =+−−+++ οοο yyxxxx &&& . Consequentemente, 
 
0133)(2)(662 3223 =−−−+++++ οοοοο yyxxxxxxxx &&&&& . 
 
De 0132 3 =−−+ yxx , desprezando os termos em que ο figura com expoente igual ou 
superior a dois (ou então dividindo por ο e desprezando os termos que ainda têm ο ), chega-
se a 
 
036 2 =−+ yxxx &&& . 
 
Daí, 
36 2 += x
x
y
&
&
. 
 
 
3
 Curva de mais rápida descida. 
 20 
Método de Leibniz: desenvolvendo sem utilizar as regras (que é o método de hoje, embora 
seja de Leibniz). Assim, 
 
( ) ( ) ( )132132)132( 333 −+−−+++=−+ xxdxxdxxxxd 
( ) ( )( ) 132133332 33223 +−−−+++++= xxdxxdxdxxdxxx 
( ) ( ) dxdxdxxdxx 336 322 +++= 
( )dxxdxdxx 3636 22 +=+= , 
ou, 
36 2 += x
dx
df
. 
 
Método moderno: Pelo método moderno é possível calcular a derivada dessa função em 
apenas uma linha utilizando os teoremas sobre derivação, e obtemos: 
 
36)( 2 +=′ xxf . 
 
Claro que neste caso o método dito moderno é o de Leibniz quando se usa as regras de 
derivação apontadas por ele. 
 
4. O SÉCULO XVIII E A EXPLORAÇÃO DO CÁLCULO 
 
A ampla e admirável aplicabilidade do cálculo, apoiado da geometria analítica foi o que atraiu 
o gosto dos pesquisadores do século XVII, fazendo com que resultasse numa grande 
quantidade de artigos pouco preocupados com os fundamentos do assunto. Os métodos 
utilizados eram simplesmente justificados com o argumento de que eles funcionavam. 
 
Perto do fim do século XVIII, sentiu-se a necessidade de fundamentar as bases do cálculo, 
dando-lhe mais lógica e rigor, o que causou o uso descontrolado da intuição e do formalismo. 
Assim, até o conceito de função teve de ser revisto e noções como as de limite, continuidade, 
diferenciabilidade, e integrabilidade tiveram de ser cuidadosa e claramente definidas. 
 
“O século XVIII foi gasto em grande parte na exploração dos novos 
e poderosos métodos do cálculo, já o século XIX foi dedicado 
grandemente à tarefa de construir uma fundamentação lógica sólida 
para a enorme, porém débil, superestrutura construída no século 
precedente. Uma das maiores ênfases do século XX e, porque não 
dizer, do começo do século XXI, tem sido a de generalizar, tanto 
quanto possível os progressos já alcançados, e que muitos 
matemáticos da atualidade estão envolvidos com problemas de 
fundamentos mais profundos ainda. Esse quadro geral complica-se 
quando se consideram os vários fatores sociológicos que afetam o 
desenvolvimento de qualquer ciência. Questões como a expansão dos 
seguros de vida e construção de grandes navios no século XVIII, os 
problemas econômicos e tecnológicos ocasionados no século XIX 
pela industrialização da Europa Ocidental e dos Estados Unidos, o 
clima de guerra mundial do século XX, o desenvolvimento da 
 21 
computação eletrônica e a luta pela conquista do espaço exterior 
levaram a muitos progressos no campo da matemática”. (Eves, 2004, 
p.462). 
 
 
5. CONCLUSÃO 
 
O cálculo de Newton e de Leibniz utilizava variáveis, as quantidades variáveis ligadas a 
curvas, tais como as ordenadas, as abscissas, subtangentes e áreas. O cálculo moderno utiliza 
funções, aplicações de um conjunto (de números reais) em outro. O conceito de função surgiu 
somente no século XVIII. 
 
No cálculo moderno a operação de diferenciação associa uma função à sua derivada. Para 
Newton, tomar fluxos de fluentes significava associar uma velocidade finita a uma variável. 
Para Leibniz, a diferenciação associava uma diferencial (diferença) infinitamente pequena a 
uma variável. Portanto, a concepção da operação fundamental nos cálculos de Newton e de 
Leibniz era totalmente diferente do conceito da diferenciação que está em uso no cálculo 
moderno. A herança das regras de Leibniz talvez seja o que há de comum. 
 
Tanto no cálculo de Newton quanto no cálculo de Leibniz existiam problemas graves sobre a 
consistência lógica dos conceitos fundamentais. No cálculo moderno essas dificuldades 
quanto aos fundamentos são esclarecidas pelo uso do conceito bem definido de limite. Por 
isso não encontramos no cálculo moderno (nas operações práticas) as quantidades 
infinitamente pequenas. 
 
Como qualquer progresso matemático de importância, a obra de Newton e Leibniz incentivou 
intensos desenvolvimentos posteriores. O cálculo foi amplamente aplicado e depois de longas 
discussões os seus fundamentos finalmente concretizados. 
 
É admirável que no século XVII mentes tão visionárias tenham enxergado processos que só se 
fundamentaram mais de cem anos depois. Eram processos que funcionavam, mas naquela 
época não se sabia bem o porquê. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BARON, Margaret E.; BOS, H. J. M. (Org.) Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do 
cálculo. Tradução de José Raimundo Braga Coelho, Rudolf Maier e Maria José M. M. Mendes. Brasília: 
Universidade de Brasília, 1985, c1974. v. 1,2,3.4. 
BOYER, C. B. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. 
DOLCE, Osvaldo. Fundamentos de matemática elementar. 5. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 10. 
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Unicamp, 2004. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harba, 1994. v. 1. 
 
 
Luana Lopes dos Santos Alves (luanamatematica@hotmail.com) 
Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília 
EPCT – QS 07 – Lote 01 – Águas Claras – Taguatinga – CEP.: 72966-700