Lista 4 Cálculo de probabilidades pela teoria básica

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Universidade Federal de Lavras 
Departamento de Estatística 
Estatística GES101 Prof. Marcelo Oliveira 
Lista de exercícios 4 – Cálculo de probabilidades pela teoria básica. 
 
1. Uma empresa fura poços artesianos numa região escolhendo aleatoriamente o ponto de furo. Não 
encontrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também não tenha sucesso, faz uma terceira 
e última tentativa. Admita probabilidade 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa região. Calcule a 
probabilidade de: a) Encontrar água na segunda tentativa. b) Encontrar água em até duas tentativas. C) 
Encontrar água. 
2. Um trabalho enviado para uma impressora compartilhada tem 60% de probabilidade de ser o primeiro 
da fila de impressão (impressão imediata) e 30% de probabilidade de ser o segundo da fila. Qual é a 
probabilidade de que: a) Um trabalho enviado para esta impressora seja o primeiro ou o segundo da fila? 
b) Seja o primeiro e o segundo da fila? c) Um trabalho seja do terceiro da fila em diante? 
3. Numa fila bancária, há prioridade de atendimento para mulheres grávidas e para pessoas acima de 60 
anos de idade. A população atendida tem 6% de grávidas e 12% de idosos (as) acima de 60 anos. Qual é a 
probabilidade de que uma pessoa tenha prioridade no atendimento? E se um terceiro critério de 
prioridade de atendimento fosse acrescentado (“ser mulher”), como seria feito o cálculo dessa 
probabilidade? 
4. Há uma probabilidade de 1% para um HD falhar, e de 0,2% de um sistema de fita magnética falhar. Se 
uma empresa de logística faz seus backups diários em 2 sistemas de fita desses, qual é a probabilidade da 
empresa perder todos os seus dados? Compare esta probabilidade caso não houvesse os backups nas 
fitas – quanto aumentou? 
5. Dois processadores tipos A e B são componentes de um sistema e trabalham juntos. Estuda-se a 
confiabilidade deste sistema em 50 mil horas de uso (funcionamento). Sabe-se, por testagens anteriores 
em sistemas desse tipo, que a probabilidade de que um erro de funcionamento aconteça no processador 
do tipo A é de 2,3%, no tipo B é de 1,4%, e, em ambos é de 0,1%. Qual é a probabilidade de que: a) Pelo 
menos um dos processadores tenha apresentado erro? b) Nenhum processador tenha apresentado erro? 
c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? d) Sabendo que pelo menos um dos processadores 
tenha apresentado erro, seja o processador B? e) Sabendo que nenhum processador tenha apresentado 
erro, o B apresente erro? f) Sabendo que pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro, 
apenas o processador A tenha apresentado erro? 
6. Blackouts podem ocorrer numa certa semana do ano num certo lugar com probabilidades dadas por: 
Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 
0,02 0,07 0,07 0,06 0,06 0,05 0,02 
Os blackouts são independentes. 
a) Qual é a probabilidade de que ocorram blackouts na Terça? 
b) Qual é a probabilidade de que ocorram blackouts na Segunda e na Terça? 
c) Qual é a probabilidade de que ocorram blackouts na Segunda ou na Terça? 
d) Qual é a probabilidade de que não ocorram blackouts na semana? 
e) Qual é a probabilidade de que ocorram blackouts de Segunda a Sexta todos os dias? 
f) Qual é a probabilidade de que não ocorram blackouts no final-de-semana? 
7. Numa escola, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75m de altura, e 60% dos estudantes são 
mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m. Qual a probabilidade de que seja 
homem? 
8. Um sistema, para funcionar, precisa de um componente que realiza uma determinada função. Há 2 
marcas diferentes desse componente a disposição da indústria. A marca A tem probabilidade de falha 
dada por 0,05% enquanto a marca B tem 0,01%. 
a) Monte o sistema com a marca A: 
 
 
 Qual é a probabilidade do sistema falhar? 
b) Monte o sistema com a marca B: 
 
 
 
 Qual é a probabilidade do sistema falhar? 
c) Monte o sistema com as 2 marcas ligadas em série: 
 
 
 
 Qual é a probabilidade do sistema falhar? 
 Obs. Quando a falha de apenas um componente basta para levar à falha do sistema como um todo (que 
 é o caso aqui), denominamos tal sistema de componentes de sistema em série. 
d) Monte o sistema com as 2 marcas ligadas em paralelo: 
 
 Qual é a probabilidade do sistema falhar? 
 Obs. Quando o sistema não funciona somente se A e B ambos não funcionam conjuntamente, 
 denominamos essa configuração de sistema em paralelo. 
e) Se desejamos diminuir a probabilidade de falha do sistema, qual é a melhor maneira de montar o 
sistema? 
9. Há sistemas com vários componentes, podendo chegar a centenas e até milhares. 
a) Como já vimos, quando a falha de um componente necessariamente leva à falha do sistema como um 
todo, denominamos tal sistema de componentes de sistema em série: 
 
 
 
A confiabilidade de um sistema em série é o produto da confiabilidade dos componentes. Consideremos, 
por exemplo, um sistema composto de 14 componentes do tipo A (probabilidade de falha de 5%) e 5 
componentes do tipo B (probabilidade de falha de 1%), ligados em série. Qual a confiabilidade para o 
sistema como em todo? 
b) Como sistemas em série frequentemente não oferecem um alto nível de confiança em situações de 
alto risco, inventou-se um método para superar este problema, através da criação de redundâncias: 
 
Ambos os componentes A e B estão ativos no sistema: se A e B funciona, o sistema todo funciona; se A 
funciona e B não, o sistema continua funcionando; se B funciona e A não, o sistema também funciona; o 
sistema não funciona somente se A e B ambos não funcionarem. Esta configuração é chamada de 
sistema em paralelo. Qual é a probabilidade do sistema funcionar se os 14 componentes A são ligados 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
em paralelo entre si, os 5 também são ligados em paralelo entre si, e os 2 conjuntos em série (veja 
esquema abaixo)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Problemas de probabilidade relacionados a coincidência de aniversários: 
a) Qual é a probabilidade de que, em um grupo de n pessoas (
365n≤
), haja pelo menos uma coincidência 
de aniversários? 
b) Calcule agora a probabilidade de que, num grupo de m pessoas (com você excluído, isto é, m = n - 1), 
se encontre pelo menos uma pessoa com o aniversário na mesma data que você. 
c) Digamos que você queira encontrar k pessoas com a mesma data de aniversário que a sua. Admita que 
você perguntará m pessoas sobre a data de aniversário até que você consiga as k coincidências desejadas 
– ao encontrar a k-ésima coincidência você pára de procurar. Qual é a probabilidade de que você tenha 
que perguntar m=10 pessoas até encontrar k=1 coincidência? E para encontrar k=2 coincidências? 
Quantas pessoas m você terá que perguntar até encontrar k=1 pessoa com mesma data de aniversário 
que a sua, com probabilidade de 99%? E para encontrar k=2 coincidências? 
 
 
11. Fulano está sendo apontado como o pai de uma criança, mas ele nega. Decide-se então partir para o teste 
de paternidade pelo DNA. Inicialmente optou-se pela análise de apenas um loco genético. O laboratório 
de genética molecular que recebeu o material do homem, da mãe, e da criança, identificou as seguintes 
informações: 
 
A1 
A2 
A14 
......... 
B1 
B5 
B2 
......... 
Pessoa Loco Alelos 
Mãe D13S308 14, 17 
Criança D13S308 13, 17 
Suposto pai D13S308 10, 13 
 
 A frequência do alelo 13 na população sob análise é sabido ser 7,5%. 
a) Qual é a probabilidade de Fulano ser o pai da criança? 
b) Qual é a probabilidade se o número de locos aumenta para 3? Considere independentes as 
segregações genéticas entre os locos. 
PessoaLoco1 Alelos Loco 2 Alelos Loco 3 Alelos 
Mãe D13S308 14, 17 aaaaaaa 2, 4 bbbbbbb 1, 2 
Criança D13S308 13, 17 aaaaaaa 2, 6 bbbbbbb 2, 9 
Suposto pai D13S308 10, 13 aaaaaaa 6, 11 bbbbbbb 5, 9 
 
 A freqüência do alelo 13 Loco 1 na população sob análise é sabido ser 7,5%. 
 A freqüência do alelo 6 Loco 2 na população sob análise é sabido ser 1,2%. 
 A freqüência do alelo 9 Loco 3 na população sob análise é sabido ser 0,5%. 
c) E para 12 locos? 
Pessoa Loco1 Alelos Loco 2 Alelos Loco 3 Alelos ... Loco 12 Alelos 
Mãe D13S308 14, 17 aaaaaaa 2, 4 bbbbbbb 1, 2 kkkkkkk _, _ 
Criança D13S308 13, 17 aaaaaaa 2, 6 bbbbbbb 2, 9 kkkkkkk _, x12 
Suposto 
pai 
D13S308 10, 13 aaaaaaa 6, 11 bbbbbbb 5, 9 kkkkkkk _, x12 
 
 A freqüência do alelo 13 Loco 1 na população sob análise é sabido ser 7,5%. 
 A freqüência do alelo 6 Loco 2 na população sob análise é sabido ser 1,2%. 
 A freqüência do alelo 9 Loco 3 na população sob análise é sabido ser 0,5%. 
 A freqüência do alelo x4 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 25,0%. 
 A freqüência do alelo x5 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 9,0%. 
 A freqüência do alelo x6 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 9,8%. 
 A freqüência do alelo x7 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 18,7%. 
 A freqüência do alelo x8 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 20,5%. 
 A freqüência do alelo x9 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 9,0%. 
 A freqüência do alelo x10 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 1,9%. 
 A freqüência do alelo x11 Loco 4 na população sob análise é sabido ser 9,9%. 
 A freqüência do alelo x12 Loco 12 na população sob análise é sabido ser 9,0%. 
12. Um relatório do setor de controle da qualidade de recepção de componentes de uma indústria de 
sistemas eletrônicos, relativo aos transistores adquiridos dos fornecedores, mostra os seguintes 
resultados por fabricante e por nível de qualidade: 
 
 
 
 
 
 
Tabela. Distribuição de frequências conjuntas das 
variáveis Fabricante e Qualidade de transistores. 
Fabricante 
 
Qualidade 
 
Aceitável Retrabalho Refugo 
A 128 10 2 
B 97 5 3 
C 110 5 5 
 
Calcule: 
(a) A probabilidade de um transistor adquirido provir do fabricante A e ser de qualidade aceitável (esta 
é uma probabilidade conjunta). 
(b) A probabilidade de um transistor adquirido ser de qualidade aceitável, dado que provém do 
fabricante A (esta é uma probabilidade condicional). 
(c) A probabilidade de um transistor adquirido provir do fabricante A, dado que é de qualidade 
aceitável (esta também é uma probabilidade condicional). 
(d) A probabilidade de um transistor adquirido provir do fabricante B, dado que é de qualidade 
retrabalho (esta também é uma probabilidade condicional). 
(e) A probabilidade de um transistor adquirido provir do fabricante B (esta é uma probabilidade 
marginal). 
(f) O valor esperado da qualidade dos transistores adquiridos. 
(g) O desvio-padrão da qualidade dos transistores adquiridos. 
(h) A correlação entre a qualidade dos transistores adquiridos e a proveniência. 
(i) Verifique se as duas variáveis aleatórias são independentes, ou não. O que sua conclusão significa na 
prática? 
13. Um levantamento numa população determinou as seguintes probabilidades para a distribuição conjunta de 
probabilidades das variáveis U: Tempo transcorrido desde a última manutenção, e V: Número de defeitos 
encontrados. 
 
Tabela. Distribuição de probabilidade conjunta das 
variáveis aleatórias U e V. 
Tempo 
transcorrido desde 
a última 
manutenção (anos 
arredondados) 
 
Número de defeitos encontrados 
 
0 1 2 
1 0,077 0,023 0,018 
2 0,150 0,073 0,045 
3 0,050 0,091 0,100 
4 0,014 0,182 0,177 
 
Calcule: 
(a) A probabilidade de um sistema apresente exatamente um defeito e estar a mais de um ano sem 
manutenção (esta é uma probabilidade conjunta). 
(b) A probabilidade de um sistema apresente exatamente um defeito sabendo que ele está a mais de um 
ano sem manutenção (esta é uma probabilidade condicional). 
(c) A probabilidade de um sistema apresente exatamente um defeito (esta é uma probabilidade 
marginal). 
(d) A probabilidade de que um sistema esteja a mais de um ano sem manutenção (esta também é uma 
probabilidade marginal). 
(e) A probabilidade de que um sistema esteja a mais de um ano sem manutenção sabendo que ela tem 
exatamente uma cárie (esta também é uma probabilidade condicional). Compare esta probabilidade 
com a alínea (b). 
(f) O valor esperado do número de defeitos no sistema. 
(g) O valor esperado do número de defeitos no sistema dado que o sistema está a 2 anos sem 
manutenção. 
(h) O desvio-padrão do número de defeitos no sistema. 
(i) O desvio-padrão do número de defeitos no sistema dado que o sistema está a 2 anos sem 
manutenção. 
(j) A correlação entre o número de defeitos e o tempo transcorrido sem manutenção. 
(k) Verifique se as duas variáveis aleatórias U e V são independentes, ou não. O que sua conclusão 
significa na prática? 
14. Uma empresa que fura poços artesianos trabalha numa região perfurando pontos pré-definidos segundo 
uma geotécnica que se utiliza de modelagem, perfazendo no máximo 3 perfurações. Não encontrando 
água na primeira tentativa, os técnicos determinam outro local para perfurar e, caso também não tenham 
sucesso nessa segunda tentativa, fazem uma terceira e última tentativa num ponto determinado pela 
geotécnica. O modelo adotado para a probabilidade de encontrar água é dado por: 
 
 m 510 ≤h ≤0 
510
h
 
2
1
 - 
510
h
 
2
3
.0,7
m 510 ≥h 0,7
 = p(h)
3
3 
 
onde p(h) é a probabilidade de encontrar água em um ponto, dado que em um outro ponto a distância h 
não foi encontrado água. Calcule a probabilidade de: a) Encontrar água na segunda tentativa, perfurando 
em um ponto a 300 m do primeiro. b) Encontrar água na segunda tentativa, perfurando em um ponto a 
600 m do primeiro. c) Encontrar água em até duas tentativas, perfurando a 300 m de distância um ponto 
do outro. d) Encontrar água, sempre perfurando a 300 m um ponto do outro. e) Sabendo que foi 
encontrada água, qual é a probabilidade de que foi até a segunda tentativa? Qual é a distância entre 
pontos de perfuração que maximiza a probabilidade de encontrar água? f) A empresa tem um custo fixo 
de R$ 2.500,00 por cada furo feito (pessoal, brocas, energia, etc) – qual é o preço que ela deve cobrar para 
ter um lucro de R$ 5.000,00 por poço perfurado (considere probabilidades máximas de achar água)? 
15. Numa prova há 40 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas A, B, C, e D. Como deve ser escolhida 
a ordem destas alternativas, ao se elaborar/montar a prova, para minimizar a probabilidade de acerto 
casual (acerto por “chute”)? 
16. Um detector de mentiras será usado pela polícia para investigar 10 suspeitos de envolvimento em um 
determinado crime. Admita que entre eles 5 são culpados (mas alegarão inocência) e os outros 5 são 
realmente inocentes. Sabe-se também que: (i) Mesmo quando uma pessoa diz a verdade, o detector 
tem uma chance de 5% de falhar, indicando que ela mentiu; (ii) Mesmo quando ela mente, o detector 
tem uma chance de 30% de não conseguir detectar a mentira. Qual a probabilidade de que: 
(a) Todos os 10 diagnósticos obtidos através do detector estejam corretos? 
(b) O detector libere todos os 10 suspeitos? 
(c) Ao mesmo tempo, pelo menos 3 dos culpados sejam pegos e pelo menos 4 dos inocentes sejam 
liberados? 
17. Dois amigos combinaram de se encontrar em determinado local entre 14:00 e 16:00, sendoque 
cada um deles esperaria pelo outro no máximo até 15 minutos. Qual é a probabilidade de que eles 
realmente se encontrem? 
18. Exames, ou testes, para detecção de doenças em seres humanos podem ser de 4 tipos (clínico, laboratorial, 
anátomo-patológico, e imagem). Exames ou testes podem também ser aplicados a outros seres vivos (animais e 
plantas), ou mesmo para detecção de deficiências ou anomalias em sistemas mecânicos e ou em sistemas eletro-
eletrônicos. Os exames não são, na maioria das vezes, perfeitos, podendo errar. Se um dado exame for perfeito 
(sem erro) para um dado indivíduo, então ele é dito fornecer um diagnóstico de certeza. Há basicamente 2 tipos 
de erros (falso-positivo e falso-negativo) nos exames, veja abaixo: 
 
 
 
Resultado de um exame 
que não fornece 
diagnóstico de certeza 
Resultado de outro exame que fornece diagnóstico de 
certeza 
 
Total 
TD: Tem a doença ND: Não tem a doença 
EP: Positivo p(EP,TD) p(EP,ND) p(EP) 
EN: Negativo p(EN,TD) p(EN,ND) p(EN) 
Total p(TD) p(ND) 100% 
 
Conceitos que são interessantes estudar: 
1. Sensibilidade do exame. Responde a pergunta: que proporção de doentes o exame diagnosticou como 
doentes? É dada por p(EP/TD). Evidentemente, quanto mais próximo de 1 a sensibilidade, melhor o 
exame. 
Neste caso: p(EP/TD) 
2. Especificidade do exame. Responde a pergunta: que proporção de sadios o exame diagnosticou como 
sadios? É dada por p(EN/ND). Evidentemente, quanto mais próximo de 1 a especificidade, melhor o 
exame. 
Neste caso: p(EN/ND) 
3. Falso-positivo. Responde a pergunta: que proporção de indivíduos com exame resultando positivo (isto é, 
diagnosticados como doentes) estão, de fato, sadios? (Isto é, um erro de diagnóstico foi cometido). É dado 
por p(ND/EP). ). Evidentemente, quanto mais próximo de 0 o falso-positivo, melhor o exame. 
Neste caso: p(ND/EP) 
1 – p(ND/EP) = p(TD/EP) é chamada de Valor preditivo positivo (VP+) do exame. 
4. Falso-negativo. Responde a pergunta: que proporção de indivíduos com exame resultando negativo (isto 
é, diagnosticados como sadios) estão, de fato, doentes? (Isto é, um erro de diagnóstico foi cometido). É 
dado por p(TD/EN). Evidentemente, quanto mais próximo de 0 falso-positivo, melhor o exame. 
Evidentemente, quanto mais próximo de 0 a probabilidade de falso-negativo, melhor o exame. 
 Neste caso: p(TD/EN) 
 
1 – p(TD/EN) = p(ND/EN) é chamada de Valor preditivo negativo (VP-) do exame. 
 
Pergunta-se: 
a) Qual é a probabilidade de que uma pessoa com exame resultando positivo tenha a doença? Use o 
teorema de Bayes. 
b) Qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha resultado EP? 
c) Qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha a doença? 
d) Qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha resultado EP ou tenha a doença? 
e) Qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso tenha resultado EP e tenha a doença? 
f) Um exame de sangue mostrou os resultados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f.1) Qual é a probabilidade de falso-positivo e de falso-negativo neste método? 
f.2) Analise probabilisticamente o resultado encontrado para o indivíduo analisado. 
 
19. Em uma questão de um teste/prova de múltipla escolha, a probabilidade de um aluno/candidato saber a 
resposta é . Havendo alternativas, se ele sabe a resposta correta ele escolhe a alternativa correta com 
probabilidade 1, senão ele escolhe uma ao acaso e acerta com probabilidade 
 
 
. 
a) Quanto é a probabilidade de que ele saiba a resposta correta se ela acerta a questão? 
b) Calcule o limite da probabilidade da letra (a) para fixo e . Interprete. 
c) Calcule o limite da probabilidade da letra (a) para fixo e . Interprete. 
 
20. Digamos que você queira calcular quantos peixes há num lago, sem esvaziar o lago e sem ter que 
pescar todos os peixes. Então você planeja o seguinte método: você pesca peixes e os marca com 
pecinhas de plástico que não os prejudicam e nem se soltam deles, soltando-os em seguida de volta ao 
lago. Depois de algum tempo, você volta a pescar peixes e conta que há peixes marcados nesta nova 
amostra (obviamente ). Quantos peixes há no lago? 
21. Problema de Monty Hall. Num programa de TV, o apresentador faz o seguinte jogo com seu convidado: 3 
portas fechadas são apresentadas ao convidado, atrás das quais há 2 bodes e 1 carrão; o convidado deve 
escolher uma porta para abrir, e ele receberá como seu prêmio o que estiver atrás da porta; obviamente o 
convidado não sabe o que há por trás das portas; o apresentador pede ao convidado para escolher uma 
das portas e ele escolhe a porta ; o apresentador, que sabe o que há por trás de cada porta, antes de 
abrir a porta escolhida pelo convidado, abre então uma das 2 portas restantes não escolhidas, 
exatamente a que tem um bode, e dá ao convidado a chance de trocar a porta escolhida. Mostre que, se o 
convidado trocar, ele dobra sua probabilidade de ganhar o carrão. 
22. Paradoxo de Bertrand. Considere um círculo onde uma corda é escolhida ao acaso. Quanto é a 
probabilidade de que o comprimento da corda aleatória seja maior do que o comprimento do lado do 
triângulo equilátero inscrita no círculo? Mostre que há 3 respostas diferentes para esta probabilidade 
(
 
 
 ,
 
 
 e 
 
 
) e que todas estão corretas. Explique o porque deste paradoxo. 
23. A distribuição Normal Bivariada é uma distribuição de probabilidade para um par de variáveis aleatórias 
( , ). Um exemplo seria : proporção de mistura de biodiesel ao combustível do trator ( ) e : 
consumo específico de combustível por parte do trator ( ). Neste caso, a proporção é uma variável 
aleatória e o consumo também, e ambos variam conjuntamente. Sua função de densidade de 
probabilidade é dada por 
 
 ( , ) 
 
 √ 
 
 
 
 ( )
{(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)(
 
 
)}
 
 onde: 
 e são a média e o desvio-padrão de 
 e são a média e o desvio-padrão de 
 é o coeficiente de correlação linear entre e , dado por 
 
 
 
 ( , ) [( )( )] ( ) ( ) ( ) é a covariância entre 
 e 
 ( , ) ∫ ∫ ( , ) 
 
 
 
 
 
a) Demonstre que tem distribuição também Normal (univariada) com média e desvio-padrão , 
e que tem distribuição também Normal (univariada) com média e desvio-padrão . 
b) Demonstre que a densidade de probabilidade condicional abaixo também é Normal: 
 
 ⁄
( ) 
 , ( , )
 ( )
 
 onde , ( , ) é a densidade da Normal bivariada, e ( ) é a densidade de . 
c) Qual é a média e o desvio-padrão de ⁄ ? Nota. Esta média é chamada “a regressão de 
contra ”. Observe que o desvio-padrão de ⁄ é menor do que de : qual seria a explicação? 
d) Calcule ( , , ) se a regressão de contra é ( ⁄ ) , 
 , e , . Sabe-se também que , e que , . 
e) Quando e serão independentes? 
 
24. Demonstre a desigualdade de Chebyshev. 
25. Demonstre o teorema da probabilidade total. 
26. Demonstre o teorema de Bayes.