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Ca´lculo 1 - Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas e Diferenciais de Func¸o˜es Reais Prof. Fabio Silva Botelho November 14, 2017 1 Func¸o˜es Hiperbo´licas 1.1 Func¸o˜es seno-hiperbo´lico e cosseno-hiperbo´lico Definition 1.1. Definimos a func¸a˜o seno-hiperbo´lico, denotada por senh : R→ R, por senh(x) = ex − e−x 2 , ∀x ∈ R. Definimos a func¸a˜o cosseno-hiperbo´lico, denotada por cosh : R→ R, por cosh(x) = ex + e−x 2 , ∀x ∈ R. Exerc´ıcio: Prove que ( senh(x))′ = cosh(x) e (cosh(x))′ = senh(x). 1.2 Func¸o˜es tangente (tanh), co-tangente (cotanh), secante (sech) e co- secante (cosech) hiperbo´licas Tais func¸o˜es sa˜o definidas por, tanh(x) = senh(x) cosh(x) , ∀x ∈ R, cotanh(x) = cosh(x) senh(x) , ∀x ∈ R tal que x 6= 0, sech(x) = 1 cosh(x) , ∀x ∈ R, cosech(x) = 1 senh(x) , ∀x ∈ R tal que x 6= 0. Exerc´ıcio: Seja x ∈ R. Prove que, nos domı´nios das func¸o˜es em questa˜o, temos que 1 1. cosh2(x)− senh2(x) = 1, 2. 1− tanh2(x) = sech2(x), 3. 1− cotanh2(x) = −cosech2(x), 4. (tanh(x))′ = sech2(x), 5. (cotanh(x))′ = −cosech2(x), 6. (sech(x))′ = −sech(x) tanh(x), 7. (cosech(x))′ = −cosech(x)coth(x). Exerc´ıcio: Calcule f ′(x), para as func¸o˜es f(x) indicadas: 1. f(x) = tanh(x3 + 5x+ 1), 2. f(x) = ln(x2 + 3x) cosh2(x7 + 8x), 3. f(x) = ln(senh(x3 + 9x+ 1)), 4. f(x) = (cosh x)x 3+2x, 5. f(x) = (x3 + 12x)tanh x. 2 2 Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas Definition 2.1. A func¸a˜o inversa do seno hiperbo´lico, denotada por senh−1 : R→ R, e´ definida por, y = senh−1(x)⇔ x = senh(y), ∀x, y ∈ R. Seja y = senh−1(x). Assim x = senh(y), ou seja x = ey − e−y 2 , e portanto, x = e2y − 1 2ey , isto e´ 2xey = e2y − 1 Definindo z = ey, obtemos, 2xz = z2 − 1, ou seja, z2 − 2xz − 1 = 0. Logo, z = 2x±√4x2 + 4 2 , isto e´, ey = z = x± √ x2 + 1. Como ey > 0, ∀y ∈ R, obtemos, ey = x+ √ x2 + 1. Finalmente, y = ln(ey) = ln(x+ √ x2 + 1), ou seja senh−1(x) = ln(x+ √ x2 + 1), ∀x ∈ R. 3 Similarmente, define-se as func¸o˜es inversas do cosseno, tangente, co-tangente, secante e co-secante hiperbo´licos, isto e´, y = cosh−1(x)⇔ x = cosh(y), ∀x ≥ 1, y ≥ 0. y = tanh−1(x)⇔ x = tanh(y), ∀|x| < 1, y ∈ R. y = cotanh−1(x)⇔ x = cotanh(y), y = sech−1(x)⇔ x = sech(y). y = cosech−1(x)⇔ x = cosech(y) Pode-se provar que cosh−1(x) = ln(x+ √ x2 − 1), ∀x > 1, tanh−1(x) = 1 2 ln ( 1 + x 1− x ) , ∀|x| < 1, cotanh−1(x) = 1 2 ln ( 1 + x x− 1 ) , ∀|x| > 1, Exerc´ıcio: Seja |x| < 1. Prove que, tanh−1(x) = 1 2 ln ( x+ 1 1− x ) . 3 O Conceito de Diferencial Seja f : (a, b)→ R uma func¸a˜o real e diferencia´vel em x ∈ (a, b). Assim, f ′(x) = lim ∆x→0 f(x+∆x)− f(x) ∆x . Denotemos ∆f(x) = f(x+∆x)− f(x). Logo, f ′(x) = lim ∆x→0 ∆f(x) ∆x . Seja ε > 0. Portanto existe δ > 0 tal que se 0 < |∆x| < δ, enta˜o ∣∣∣∣f ′(x)− ∆f(x)∆x ∣∣∣∣ < ε, ou seja |∆f(x)− f ′(x)∆x| < ε|∆x|. (1) 4 Logo, ∆f(x) ≈ f ′(x)∆x, se ∆x ≈ 0. Definimos enta˜o o diferencial de f em x, denotado por df(x), como df(x) = f ′(x)dx. Observe que o diferencial e´ uma abstrac¸a˜o. O seu siginificado e´ que quando f e´ diferencia´vel em x e ∆x ≈ 0, enta˜o ∆f(x) = f(x+∆x)− f(x) ≈ f ′(x)∆x. Exemplo: Obtenha o volume aproximado de uma casca esfe´rica de raio interno R = 4 cm e espessura 1/16 cm. Soluc¸a˜o: Seja V (R) o Volume da esfera de raio R. Assim, V (R) = 4piR3 3 . Logo, dV (R) dR = 4piR2, ou seja dV (R) = 4piR2dR. Portanto o volume aproximado da casca sera´ ∆V (R) ≈ 4piR2∆R, isto e´, a a´rea da esfera multiplicada pela espessura ∆R = 1/16 cm da casca. Logo, ∆V (4) = 4pi42/16 cm3, isto e´ ∆V (4) = 4pi cm3. 5
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