Calculo 1 Aula 30

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Ca´lculo 1 - Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
e Diferenciais de Func¸o˜es Reais
Prof. Fabio Silva Botelho
November 14, 2017
1 Func¸o˜es Hiperbo´licas
1.1 Func¸o˜es seno-hiperbo´lico e cosseno-hiperbo´lico
Definition 1.1. Definimos a func¸a˜o seno-hiperbo´lico, denotada por senh : R→ R, por
senh(x) =
ex − e−x
2
, ∀x ∈ R.
Definimos a func¸a˜o cosseno-hiperbo´lico, denotada por cosh : R→ R, por
cosh(x) =
ex + e−x
2
, ∀x ∈ R.
Exerc´ıcio: Prove que
( senh(x))′ = cosh(x)
e
(cosh(x))′ = senh(x).
1.2 Func¸o˜es tangente (tanh), co-tangente (cotanh), secante (sech) e co-
secante (cosech) hiperbo´licas
Tais func¸o˜es sa˜o definidas por,
tanh(x) =
senh(x)
cosh(x)
, ∀x ∈ R,
cotanh(x) =
cosh(x)
senh(x)
, ∀x ∈ R tal que x 6= 0,
sech(x) =
1
cosh(x)
, ∀x ∈ R,
cosech(x) =
1
senh(x)
, ∀x ∈ R tal que x 6= 0.
Exerc´ıcio: Seja x ∈ R. Prove que, nos domı´nios das func¸o˜es em questa˜o, temos que
1
1.
cosh2(x)− senh2(x) = 1,
2.
1− tanh2(x) = sech2(x),
3.
1− cotanh2(x) = −cosech2(x),
4.
(tanh(x))′ = sech2(x),
5.
(cotanh(x))′ = −cosech2(x),
6.
(sech(x))′ = −sech(x) tanh(x),
7.
(cosech(x))′ = −cosech(x)coth(x).
Exerc´ıcio: Calcule f ′(x), para as func¸o˜es f(x) indicadas:
1.
f(x) = tanh(x3 + 5x+ 1),
2.
f(x) = ln(x2 + 3x) cosh2(x7 + 8x),
3.
f(x) = ln(senh(x3 + 9x+ 1)),
4.
f(x) = (cosh x)x
3+2x,
5.
f(x) = (x3 + 12x)tanh x.
2
2 Func¸o˜es Hiperbo´licas Inversas
Definition 2.1. A func¸a˜o inversa do seno hiperbo´lico, denotada por
senh−1 : R→ R,
e´ definida por,
y = senh−1(x)⇔ x = senh(y), ∀x, y ∈ R.
Seja
y = senh−1(x).
Assim
x = senh(y),
ou seja
x =
ey − e−y
2
,
e portanto,
x =
e2y − 1
2ey
,
isto e´
2xey = e2y − 1
Definindo z = ey, obtemos,
2xz = z2 − 1,
ou seja,
z2 − 2xz − 1 = 0.
Logo,
z =
2x±√4x2 + 4
2
,
isto e´,
ey = z = x±
√
x2 + 1.
Como
ey > 0, ∀y ∈ R,
obtemos,
ey = x+
√
x2 + 1.
Finalmente,
y = ln(ey) = ln(x+
√
x2 + 1),
ou seja
senh−1(x) = ln(x+
√
x2 + 1), ∀x ∈ R.
3
Similarmente, define-se as func¸o˜es inversas do cosseno, tangente, co-tangente, secante e co-secante
hiperbo´licos, isto e´,
y = cosh−1(x)⇔ x = cosh(y), ∀x ≥ 1, y ≥ 0.
y = tanh−1(x)⇔ x = tanh(y), ∀|x| < 1, y ∈ R.
y = cotanh−1(x)⇔ x = cotanh(y),
y = sech−1(x)⇔ x = sech(y).
y = cosech−1(x)⇔ x = cosech(y)
Pode-se provar que
cosh−1(x) = ln(x+
√
x2 − 1), ∀x > 1,
tanh−1(x) =
1
2
ln
(
1 + x
1− x
)
, ∀|x| < 1,
cotanh−1(x) =
1
2
ln
(
1 + x
x− 1
)
, ∀|x| > 1,
Exerc´ıcio: Seja |x| < 1.
Prove que,
tanh−1(x) =
1
2
ln
(
x+ 1
1− x
)
.
3 O Conceito de Diferencial
Seja f : (a, b)→ R uma func¸a˜o real e diferencia´vel em x ∈ (a, b).
Assim,
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
.
Denotemos
∆f(x) = f(x+∆x)− f(x).
Logo,
f ′(x) = lim
∆x→0
∆f(x)
∆x
.
Seja ε > 0. Portanto existe δ > 0 tal que se
0 < |∆x| < δ,
enta˜o ∣∣∣∣f ′(x)− ∆f(x)∆x
∣∣∣∣ < ε,
ou seja
|∆f(x)− f ′(x)∆x| < ε|∆x|. (1)
4
Logo,
∆f(x) ≈ f ′(x)∆x,
se
∆x ≈ 0.
Definimos enta˜o o diferencial de f em x, denotado por
df(x),
como
df(x) = f ′(x)dx.
Observe que o diferencial e´ uma abstrac¸a˜o. O seu siginificado e´ que quando f e´ diferencia´vel em
x e ∆x ≈ 0, enta˜o
∆f(x) = f(x+∆x)− f(x) ≈ f ′(x)∆x.
Exemplo: Obtenha o volume aproximado de uma casca esfe´rica de raio interno
R = 4 cm
e espessura
1/16 cm.
Soluc¸a˜o:
Seja V (R) o Volume da esfera de raio R.
Assim,
V (R) =
4piR3
3
.
Logo,
dV (R)
dR
= 4piR2,
ou seja
dV (R) = 4piR2dR.
Portanto o volume aproximado da casca sera´
∆V (R) ≈ 4piR2∆R,
isto e´, a a´rea da esfera multiplicada pela espessura ∆R = 1/16 cm da casca.
Logo,
∆V (4) = 4pi42/16 cm3,
isto e´
∆V (4) = 4pi cm3.
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