Calculo 1 Aula 9

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Ca´lculo - 1 - Nona Aula
Func¸a˜o Logar´ıtmica
Prof. Fabio Silva Botelho
August 16, 2017
1 Logaritmos
Definition 1.1 (Logaritmos). Sejam a > 0, b > 0 tais que a 6= 1.
Definimos o logaritmo de b na base a, denotado por loga b, conforme a seguir indicado:
loga b = x⇔ a
x = b.
Aqui,
a: base do logaritmo,
b: e´ o logaritmando,
x: e´ o logaritmo de b na base a.
Exemplo:
log2 8 = x⇔ 8 = 2
x ⇔ 23 = 2x ⇔ x = 3.
Exerc´ıcio:
Calcule
log4 16.
Observe que
log4 16 = x⇔ 4
x = 16⇔ 4x = 42 ⇔ x = 2.
Logo,
x = log4 16 = 2.
Exerc´ıcio:
Calcule
log1/4 32.
Observe que,
1
log1/4 32 = x ⇔
(
1
4
)x
= 32
⇔ 4−x = 32
⇔ 2−2x = 25
⇔ −2x = 5
⇔ x = −5/2. (1)
Observac¸o˜es:
Observe que
1. loga 1 = 0, pois a
0 = 1.
2. loga a = 1, pois a
1 = a.
3. Finalmente,
loga b = x⇔ b = a
x,
e assim
b = aloga b, ∀a > 0, b > 0, com a 6= 1.
4. E tambe´m,
loga b = loga c⇔ b = c, ∀a > 0 , b > 0 , c > 0, com a 6= 1.
De fato,
loga b = loga c,
se e somente se,
b = aloga c = c.
Exemplo:
Calcule
x = 8log2 5.
Observe que,
x = (23)log2 5
= 2(log2 5)3
=
(
2log2 5
)3
= 53
= 125. (2)
2
2 Propriedades dos Logaritmos
Sejam a > 0, b > 0, c > 0 com a 6= 1.
Sob tais hipo´teses,
1.
loga(b · c) = loga b+ loga c.
2.
loga(b/c) = loga b− loga c,
3.
loga b
r = r loga b, ∀r ∈ R.
Proof. Provaremos apenas o item 1, deixando a prova dos demais ı´tens como exerc´ıcio. Observe que
loga b = x⇒ a
x = b,
loga c = y ⇒ a
y = c,
loga bc = z ⇒ a
z = bc.
Portanto
bc = az = ax · ay = ax+y
e assim,
z = x+ y,
ou seja,
loga(bc) = loga b+ loga c.
A prova esta´ completa.
Exemplo:
Calcule x, onde
log5 x = log5 b+ 2 log5 c−
1
3
log5 a.
Observe que
log5 x = log5 b+ log5 c
2 + log5 a
−1/3,
e portanto,
log5 x = log5
(
bc2
a1/3
)
.
3
Logo,
x =
bc2
a1/3
.
3 Mudanc¸a de Base
Teorema:
Sejam a > 0, b > 0, c > 0 com a 6= 1.
Sob tais hipo´teses
loga b =
logc b
logc a
.
Proof. Observe que,
logba = x⇒ a
x = b,
logc b = y ⇒ c
y = b,
e
logc a = z ⇒ c
z = a.
Portanto
(cz)x = b = cy,
ou seja
czx = cy,
e assim
xz = y,
isto e´
x = y/z.
Logo
loga b =
logc b
logc a
.
Exemplo:
Calcule
x = log3 5 · log25 7.
Observe que,
x = log3 25
1/2 · log25 7 =
1
2
log3 25 · log25 7 =
1
2
log25 25
log25 3
log25 7 =
1
2
log3 7.
4
Portanto
x =
1
2
log3 7.
4 Func¸a˜o Logar´ıtmica
Uma func¸a˜o f : R+ \ {0} → R tal que existe a > 0, a 6= 1 tal que,
f(x) = loga x
e´ dita ser uma func¸a˜o logar´ıtmica de base a.
Denotando
g(x) = ax,
obtemos,
f(g(x)) = f(ax) = loga(a
x) = x, ∀x ∈ R.
e
g(f(x)) = aloga x = x, ∀x > 0.
Portanto, a inversa da func¸a˜o logar´ıtmica de base a e´ a func¸a˜o exponencial de base a e vice-versa.
5 Equac¸o˜es Logar´ıtmicas
Sejam a > 0, b > 0, c > 0 tais que a 6= 1.
Observe que,
loga b = loga c⇔ b = c.
Exemplo:
Resolva a equac¸a˜o real:
log5(x
2 − 3x− 10) = log5(2− 2x).
Assim deve-se ter
x2 − 3x− 10 = 2− 2x,
e
2− 2x > 0.
Dessa u´ltima inequac¸a˜o, deve-se ter x < 1.
E de
x2 − 3x− 10 = 2− 2x,
obtemos,
x2 − x− 12 = 0,
5
ou seja,
x = 4 ou x = −3.
Como deve-se ter x < 1, a soluc¸a˜o final sera´,
S = {−3}.
Exerc´ıcio:
Resolva a equac¸a˜o logar´ıtmica real:
log22 x− log2 x = 2.
6 Equac¸o˜es logar´ıtmicas e exponenciais
Exemplo: Resolva a equac¸a˜o real:
2x = 3
Soluc¸a˜o:
Observe que:
2x = 3 ⇔ log2 2
x = log2 3
⇔ x log2 2 = log2 3
⇔ x = log2 3. (3)
Exerc´ıcio: Resolva a equac¸a˜o real:
72−3x = 5.
Exerc´ıcio: Resolva a equac¸a˜o real:
23x−2 = 32x+1.
6
Soluc¸a˜o: Observe que
23x−2 = 32x+1 ⇒ 23x2−2 = 32x3
⇒ 8x2−2 = 9x3
⇒
8x
9x
=
3
2−2
⇒
(
8
9
)x
= 3(4) = 12
= log8/9
(
8
9
)x
= log8/9 12
⇒ x log8/9(8/9) = log8/9 12
⇒ x = log8/9 12. (4)
Exerc´ıcio: Resolva a equac¸a˜o real:
72x−1 = 33x+4.
Exerc´ıcio: Resolva a equac¸a˜o real.
5x + 5x+1 = 3x + 3x+1 + 3x+2.
Exerc´ıcio: Resolva a equac¸a˜o real.
2 + log3 x
log3 x
+
log3 x
1 + log3 x
= 2.
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