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. D
r . 
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en
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 L
ui
z 
Sc
al
on
 
⋅c p⋅
∂T
∂ t

E˙Ac
= 1
r2
∂
∂ r k⋅r 2 ∂T∂ r  1r2 sin2 ∂∂ k ∂T∂  1r2 sin ∂∂ k⋅sin ∂T∂ 
E˙e−E˙ s
 q˙
E˙G
 (2.23)
Condução de Calor 
Unidimensional em Esferas
● Regime Estacionário
Equação geral 
● Sem geração de Energia
● Fluxo de Calor unidimen-
sional (radial)
d
d r k⋅r2 d Td r =0
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r . 
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Solução geral da Equação Unidimensional 
com Temperaturas de Parede Conhecidas
∫ dd r r2 d Td r dr=∫0drC1
d T
d r
=
C1
r2
∫ d Td r dr=C 1⋅∫
1
r2
drC 2 T r =−
C 1
r
C 2
Condução de Calor em Geometrias Cilíndricas 
resulta em perfil hiperbólico de temperaturas
d
d r r2 d Td r =0
Considerando k constante:
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 C
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o r
Pr
of
. D
r . 
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Solução para o caso de Casca Esfé-
rica com Temperaturas Conhecidas 
T 1
T 2
r=riT r i=T 1
r
 T r i=−
C1
r i
C2
C 2=T 1C1/ r i (I)
r=reT r e=T 2 T r e=−
C1
r e
C2
T 2=−
C1
re
T 1
C1
ri


C2 (I)
r i
r e
T 2−T 1=C1⋅ 1ri− 1re 
C1=
T 2−T 1
1
ri
− 1reT r =T 1
T 2−T 1
1/r i−1/ re
⋅ 1r i−1r 
C 2=T 1
T 2−T 1
1
ri
− 1re
⋅1
r i
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r . 
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Cálculo do Fluxo de Calor
Com base na Lei de Fourier :
q = −k A ∂T
∂ r
 = −k A d 
d r [T 1 T 2−T 11/r i−1/r e⋅ 1r i−1r ]
T r 
q=− 4⋅⋅k
1 /r i−1 /r e
⋅T 2−T 1=
4⋅⋅k
1/r i−1 /r e
⋅T 1−T 2
T
q = −k⋅ A
4⋅⋅r2
⋅
T 2−T 1
1/r i−1/r e
d 
d r −1r 
1 /r2
=−
k⋅4⋅⋅r2⋅T 2−T 1
[1/r i−1/r e]⋅r
2
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Definição de Resistência 
Térmica em Cascas Esféricas
Do apresentado anteriormente é fundamental pode-se 
definir o conceito de resistência térmica:
q= T
R term
 Rterm=
T
q
Para o caso de Cascas Esféricas:
Rterm=
T
q
= T
4⋅⋅k
1 /r i−1 /re
⋅T
Rterm=
1
4⋅⋅k  1r i− 1re 
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Observações importante sobre 
geometrias cilíndricas
● Não existe condução pura na direção radial 
em geometrias esféricas não vazadas.
● soluções envolvendo condições de contorno 
de 2ª e 3ª espécies são resolvidos através de 
circuitos térmicos.
● apenas o conhecimento do fluxo de calor nas 
duas faces não permite a solução do 
problema
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Geometria Resistência Térmica
Plana
Cilíndrica
Esférica
Convecção
Tabela Resumo das Resistências 
Térmicas
Rterm=
ln re /r i
2⋅⋅k⋅L
Rterm=
1
4⋅⋅k  1r i− 1re 
Rterm=
L
k⋅A
Rterm=
1
h⋅A
q= T
R term