geometria riemanniana

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Notas de Aula
Geometria Riemanniana
Rodney Josue´ Biezuner 1
Departamento de Matema´tica
Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Notas de aula do curso Geometria Riemanniana do Programa de Po´s-Graduac¸a˜o em Matema´tica.
5 de setembro de 2017
1E-mail: biezunerufmg@gmail.com; homepage: http://www.mat.ufmg.br/~rodney.
Suma´rio
0 Introduc¸a˜o 4
0.1 Variedades Diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2 Aplicac¸o˜es Diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2.1 Partic¸o˜es da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.3 Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.1 Vetores Tangentes a Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.2 Vetores Tangentes como Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.3.3 Diferencial de uma Aplicac¸a˜o Diferencia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.4.1 Diferencial em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.5 Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.6 Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.7 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.8 Colchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.9 Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.10 Campos Vetoriais que Comutam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1 Tensores 28
1.1 Vetores Contravariantes e Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.1 Significado Real do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2 Vetores e Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.1 Mudanc¸a de Coordenadas em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.2 Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.3 O Espac¸o Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.4 Convenc¸a˜o da Soma de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 Vetores e Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.1 Mudanc¸a de Coordenadas no Espac¸o Tangente TpM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.2 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4.4 Trac¸o de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6 Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
Rodney Josue´ Biezuner 2
2 Me´tricas Riemannianas 47
2.1 Definic¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Comprimentos e Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1 Comprimentos de Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orienta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Grupos de Lie e A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Conexo˜es Riemannianas 61
3.1 Conexo˜es e Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Derivada Covariante ao longo de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Conexo˜es Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.1 Conexa˜o Compat´ıvel com a Me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.2 Conexa˜o Sime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.3 S´ımbolos de Christoffel da Conexa˜o Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica da Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Geode´sicas 77
4.1 Definic¸a˜o – A Equac¸a˜o Geode´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Exemplos de Geode´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Fluxo Geode´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 A Aplicac¸a˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Propriedades Minimizantes das Geode´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.1 Variac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.2 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5.3 Geode´sicas minimizam distaˆncias localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Vizinhanc¸as Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.7 Func¸a˜o Distaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.8 Variedades Completas e Teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.9 Apeˆndice: Geode´sicas atrave´s do Me´todo Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Curvatura 104
5.1 Mais sobre Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.1 O Endomorfismo Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.2 O Significado da Curvatura Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.3 Operac¸a˜o de Subir ou Descer um I´ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.4 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.4 Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5 Variedades de Curvatura SeccionalConstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6 Apeˆndice: Motivac¸a˜o para a definic¸a˜o do tensor curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6.1 Curvatura como uma medida da acelerac¸a˜o relativa de trajeto´rias geode´sicas . . . . . 132
5.6.2 Curvatura como uma medida do transporte paralelo em trajeto´rias fechadas . . . . . . 136
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Derivada Covariante de Campos Tensoriais 140
6.1 Conexa˜o nos Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.1 Divergeˆncia de Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Rodney Josue´ Biezuner 3
7 Campos de Jacobi 159
7.1 A Equac¸a˜o de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2 Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3 Campos de Jacobi em Variedades de Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4 Velocidade de Afastamento das Geode´sicas e Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.5 Pontos Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8 Fo´rmulas de Variac¸a˜o 174
8.1 Fo´rmula da Primeira Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Fo´rmula da Segunda Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 A Forma I´ndice de uma Geode´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.4 Geode´sicas na˜o minimizam apo´s passarem por pontos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.5 Teorema do I´ndice de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9 Curvatura e Topologia 192
9.1 Alguns Resultados de Comparac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2 Variedades de Curvatura Seccional Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2.1 Aplicac¸o˜es de Recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2.2 O Teorema de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.3 Variedades de Curvatura Seccional Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.1 Teorema de Bonnet-Myers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.2 Teorema de Synge-Weinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.3.3 Teorema da Comparac¸a˜o de Rauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4 Existeˆncia de Geode´sicas Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.5 Classificac¸a˜o das Variedades de Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.6 Grupo Fundamental de Variedades Compactas de Curvatura Seccional Negativa . . . . . . . . 216
10 Imerso˜es Isome´tricas e Subvariedades Riemannianas 223
10.1 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.2 Equac¸o˜es Fundamentais de uma Imersa˜o Isome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.3 Hiperf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.4 Imerso˜es Totalmente Geode´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11 Grupos de Isometria 231
11.1 Derivada de Lie de Campos Tensoriais Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2 Campos de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.3 A´lgebra de Lie dos Campos de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Cap´ıtulo 0
Introduc¸a˜o
0.1 Variedades Diferencia´veis
0.1 Definic¸a˜o. Seja M um espac¸o topolo´gico de Hausdorff com base enumera´vel. Um atlas de dimensa˜o n
(ou sistema de coordenadas) para M e´ uma famı´lia
Φ = {ϕα}α∈A
de homeomorfismos ϕα : Uα −→ Vα de um aberto Uα ⊂ Rn sobre um aberto Vα de M para cada α ∈ A,
satisfazendo as seguintes condic¸o˜es:
(i) Os abertos Vα cobrem M , isto e´, ⋃
α∈A
Vα = M.
(ii) Para todos ı´ndices α, β ∈ A tais que Vαβ = Vα ∩ Vβ 6= ∅, as func¸o˜es de transic¸a˜o
ϕαβ = ϕ
−1
β ◦ ϕα : ϕ−1α (Vαβ) −→ ϕ−1β (Vαβ) ,
ϕβα = ϕ
−1
α ◦ ϕβ : ϕ−1β (Vαβ) −→ ϕ−1α (Vαβ) ,
sa˜o diferencia´veis de classe C∞.
Cada aplicac¸a˜o ϕα e´ chamada uma carta (ou uma parametrizac¸a˜o ou um sistema de coordena-
das locais) para uma vizinhanc¸a de M , denotada (ϕα, Uα), e Vα = ϕα (Uα) e´ chamada uma vizinhanc¸a
coordenada.
Se p = ϕα (x1, . . . , xn), enta˜o x1, . . . , xn sa˜o chamadas as coordenadas locais de p na carta ϕα.
Uma estrutura diferencia´vel para M e´ um atlas maximal.
Uma variedade diferencia´vel de dimensa˜o n e´ um espac¸o topolo´gico de Hausdorff com base enumera´vel
munido de uma estrutura diferencia´vel. �
Em outras palavras, uma variedade diferencia´vel e´ uma variedade topolo´gica em que as mudanc¸as de coorde-
nadas de um sistema de coordenadas local para outro sa˜o diferencia´veis. Observe que o que definimos como
variedade diferencia´vel e´ chamado variedade suave em outros lugares. Em Geometria Riemanniana, va´rios
conceitos importantes necessitam derivadas de va´rias ordens, portanto costuma-se trabalhar com variedades
suaves desde o in´ıcio e na˜o com variedades diferencia´veis de classe Ck, para na˜o ter que especificar a todo
momento o valor de k necessa´rio para que certo conceito possa ser definido ou para que certo teorema fac¸a
sentido. Requerer que o atlas seja maximal e´ incluir no atlas todas as cartas locais que sa˜o compat´ıveis
com o atlas, isto e´, um atlas Φ = {ϕα}α∈A e´ maximal se sempre que ϕ : U −→ V e´ um homeomorfismo de
um aberto U ⊂ Rn sobre um aberto V de M tal que ϕ−1 ◦ϕα e ϕ−1α ◦ϕ sa˜o diferencia´veis para todo α ∈ A,
enta˜o ϕ ∈ Φ; por definic¸a˜o, o atlas maximal e´ u´nico. Esta e´ uma maneira mais simples de definir o conceito
4
Rodney Josue´ Biezuner 5
de estrutura diferencia´vel, do que definir estruturas diferencia´veis como classes de equivaleˆncia de atlas com-
pat´ıveis, ou seja, de atlas tais que as cartas de sa˜o todas compat´ıveis com as cartas do outro; uma func¸a˜o
definida em uma variedade diferencia´vel e´ diferencia´vel (veremos a definic¸a˜o logo a seguir) com relac¸a˜o a dois
atlas diferentes se e somente se eles sa˜o compat´ıveis, portanto atlas compat´ıveis definem a mesma estrutura
diferencia´vel neste sentido. Se uma variedade topolo´gica possui uma estrutura diferencia´vel (toda variedade
topolo´gica de dimensa˜o n 6 3 possui, mas para toda dimensa˜o n > 4 existem variedades topolo´gicas compac-
tas que na˜o possuem) ela possui uma quantidade na˜o enumera´vel de estruturas diferencia´veis (veja [Lee 1],
p. 30, Problem 1.6). Por outro lado, a estrutura diferencia´vel de uma variedade diferencia´vel e´ u´nica, no
sentido que todo atlas diferencia´vel esta´ contido em um u´nico atlas maximal (para uma demonstrac¸a˜o, veja
[Lee 1], p. 13, Proposition 1.17).
Surpreendentemente, a condic¸a˜o de ser de Hausdorff (que assegura, entre outras coisas, que conjuntos
finitos de pontos sa˜o fechados e que limites de sequeˆncias convergentes sa˜o u´nicos) na˜o e´ implicada pela
definic¸a˜o (veja Exerc´ıcio 0.45). A condic¸a˜o de possuir uma base enumera´vel garante a existeˆncia de partic¸o˜es
da unidade. Por outro lado, dado um conjunto X, uma estrutura diferencia´vel sobre X determina uma
topologiapara X (veja Exerc´ıcio 0.46). Observe que toda variedade diferencia´vel e´ localmente conexa por
caminhos e que uma variedade diferencia´vel e´ conexa se e somente se ela e´ conexa por caminhos (Exerc´ıcio
0.47). Ale´m disso, toda variedade diferencia´vel e´ paracompacta, isto e´, toda cobertura de uma variedade
diferencia´vel por abertos admite uma subcobertura localmente finita; mais que isso, esta subcobertura pode
ser tomada enumera´vel (veja [Lee 1] para demonstrac¸o˜es destas afirmac¸o˜es).
Quando nos referirmos a uma variedade diferencia´vel, assumimos que ela esta´ munida de uma estrutura
diferencia´vel. Denotaremos a`s vezes uma variedade diferencia´vel M de dimensa˜o n por Mn quando for
necessa´rio especificar a dimensa˜o da variedade. Tambe´m denotaremos uma carta do atlas por (ϕ,U) quando
a sua imagem na˜o for importante nas considerac¸o˜es.
0.2 Aplicac¸o˜es Diferencia´veis
0.2 Definic¸a˜o. Seja Mn uma variedade diferencia´vel. Dizemos que uma func¸a˜o f : M −→ Rk e´ uma func¸a˜o
diferencia´vel se para todo p ∈M existe uma carta (ϕ,U) de uma vizinhanc¸a de p tal que
f ◦ ϕ : U ⊂ Rn −→ Rk
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de classe C∞. �
Observe que se f ◦ ϕ e´ diferencia´vel para uma carta (ϕ,U) de uma vizinhanc¸a de p, enta˜o para qualquer
carta (ψ, V ) de uma vizinhanc¸a de p temos que f ◦ ψ e´ diferencia´vel, pois
f ◦ ψ = f ◦ ϕ ◦ (ϕ−1 ◦ ψ)
e ψ−1 ◦ ϕ e´ um difeomorfismo. A func¸a˜o f ◦ ϕ e´ chamada uma representac¸a˜o de f em coordena-
das. Frequentemente omitimos a carta ϕ quando trabalhamos com a representac¸a˜o de f em coordenadas e
escrevemos
f (x1, . . . , xn)
ao inve´s de
(f ◦ ϕ) (x1, . . . , xn) .
0.3 Definic¸a˜o. Se M e´ uma variedade diferencia´vel, definimos o espac¸o vetorial
C∞ (M) = {f : M −→ R : f e´ diferencia´vel} .
�
C∞ (M) e´ um espac¸o vetorial porque a combinac¸a˜o linear de func¸o˜es diferencia´veis e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
Rodney Josue´ Biezuner 6
0.4 Definic¸a˜o. Sejam Mm e Nn variedades diferencia´veis. Dizemos que uma aplicac¸a˜o F : M −→ N e´
uma aplicac¸a˜o diferencia´vel se para todo p ∈ M existem cartas (ϕ,U) de uma vizinhanc¸a de p e (ψ, V )
de uma vizinhanc¸a de F (p) com F (ϕ (U)) ⊂ ψ (V ) tais que
ψ−1 ◦ F ◦ ϕ : U ⊂ Rm −→ Rn
e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel de classe C∞. �
Novamente observamos que se ψ−1 ◦F ◦ϕ e´ diferencia´vel para as cartas (ϕ,U) , (ψ, V ), enta˜o para quaisquer
cartas
(
ϕ˜, U˜
)
de uma vizinhanc¸a de p e
(
ψ˜, V˜
)
de uma vizinhanc¸a de F (p) tais que F
(
ϕ(U˜)
)
⊂ ψ
(
V˜
)
temos que ψ˜−1 ◦ F ◦ ϕ˜ e´ diferencia´vel, pois
ψ˜−1 ◦ F ◦ ϕ˜ = (ψ˜−1 ◦ ψ) ◦ ψ−1 ◦ F ◦ ϕ ◦ (ϕ−1 ◦ ϕ˜)
e ϕ−1◦ϕ˜, ψ˜−1◦ψ sa˜o difeomorfismos. A aplicac¸a˜o ψ−1◦F ◦ϕ e´ uma representac¸a˜o de F em coordenadas.
Ressaltamos de novo que o que definimos como func¸a˜o diferencia´vel e aplicac¸a˜o diferencia´vel sa˜o chamadas
func¸a˜o suave e aplicac¸a˜o suave em outros lugares.
0.5 Definic¸a˜o. Dizemos que uma aplicac¸a˜o diferencia´vel F : M −→ N e´ um difeomorfismo se F e´ um
homeomorfismo e F−1 tambe´m e´ diferencia´vel.
Se existir um difeomorfismo entre duas variedades diferencia´veis M e N , dizemos que elas sa˜o difeomor-
fas. �
Se duas variedades diferencia´veis sa˜o difeomorfas, em particular elas possuem a mesma dimensa˜o.
O conceito de difeomorfismo leva naturalmente a perguntar se, dada uma variedade diferencia´vel, estru-
turas diferencia´veis diferentes sobre ela definem sempre duas variedades diferencia´veis difeomorfas ou na˜o.
A resposta e´ que para variedades diferencia´veis de dimensa˜o n 6 3 existe apenas uma estrutura diferencia´vel
a menos de difeomorfismo, enquanto que mesmo R4 tem um nu´mero na˜o enumera´vel de estruturas dife-
rencia´veis na˜o difeomorfas; sabe-se que esferas de dimensa˜o ate´ n = 20, n 6= 4, possuem um nu´mero finito de
estruturas diferencia´veis a menos de difeomorfismo e este nu´mero e´ conhecido (veja refereˆncias em Wikipedia
e [Lee 1], p. 40). Quantas estruturas diferencia´veis difeomorfas S4 possui (ou mesmo se este nu´mero e´ maior
que 1 ou finito) e´ uma questa˜o em aberto, a conjectura de Poincare´ generalizada.
Uma das aplicac¸o˜es diferencia´veis mais importantes entre variedades sa˜o as curvas diferencia´veis:
0.6 Definic¸a˜o. Uma curva diferencia´vel em uma variedade diferencia´vel M e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel
α : I −→M onde I ⊂ R e´ um intervalo. �
0.2.1 Partic¸o˜es da Unidade
0.7 Definic¸a˜o. Seja V = {Vα}α∈A uma cobertura por abertos de uma variedade diferencia´vel M . Uma
partic¸a˜o da unidade subordinada a V e´ uma colec¸a˜o {ρα}α∈A de func¸o˜es diferencia´veis ρα : M −→ R
tais que
(i) 0 6 ρα 6 1.
(ii) supp ρα ⊂ Vα.
(iii) {supp ρα}α∈A e´ localmente finita (todo ponto em M possui uma vizinhanc¸a que intersecta apenas
um nu´mero finito destes suportes).
(iv)
∑
α∈A
ρα = 1.
0.8 Teorema (Existeˆncia de Partic¸o˜es da Unidade). Toda cobertura por abertos de uma variedade
diferencia´vel possui uma partic¸a˜o da unidade subordinada.
Prova: Veja [Lee 2], p. 43, Theorem 2.23. �
Rodney Josue´ Biezuner 7
0.9 Corola´rio (Existeˆncia de Func¸o˜es Bump). Dados um fechado A e um aberto V ⊃ A em uma
variedade diferencia´vel M , existe uma func¸a˜o diferencia´vel f : M −→ R tal que
(i) 0 6 f 6 1.
(ii) f ≡ 1 em A.
(iii) supp f ⊂ V.
0.10 Corola´rio (Lema de Extensa˜o). Dados um fechado A, um aberto V ⊃ A em uma variedade dife-
rencia´vel M e uma func¸a˜o diferencia´vel f : A −→ Rk existe uma extensa˜o diferencia´vel f˜ : M −→ Rk de f
tal que supp f˜ ⊂ V .
Em particular, se (ϕ,U) e´ uma carta local e V ⊂⊂ ϕ (U), qualquer func¸a˜o diferencia´vel f : V −→ Rk
pode ser estendida a uma func¸a˜o diferencia´vel f˜ : M −→ Rk com supp f˜ ⊂ ϕ (U).
Prova: Para a primeira parte veja [Lee 2], p. 45, Lemma 2.26. A segunda parte segue imediatamente da
primeira, ja´ que V ⊂ U e´ fechado.�
0.3 Vetores Tangentes
Consideremos agora a questa˜o de como definir a noc¸a˜o de vetor tangente a um ponto em uma variedade
diferencia´vel. Esta noc¸a˜o na˜o e´ o´bvia, ja´ que uma variedade e´ um espac¸o abstrato que na˜o se encontra em
princ´ıpio imerso em um espac¸o ambiente, ou seja, em um espac¸o euclidiano, onde operac¸o˜es diferenciais e
vetoriais sa˜o naturais. Portanto, precisamos procurar uma caracter´ıstica de vetores tangentes em espac¸os
euclidianos que independa do espac¸o ambiente. Faremos isso em duas etapas, aumentando em abstrac¸a˜o ate´
chegar a uma definic¸a˜o que provara´ ser extremamente conveniente de trabalhar.
0.3.1 Vetores Tangentes a Curvas
No que se segue, denotaremos as derivadas parciais de func¸o˜es reais f de va´rias varia´veis reais por
∂f
∂xi
ou ∂if
conforme for mais conveniente.
Quando α : I −→ Rn e´ uma curva diferencia´vel em um espac¸o euclidiano, com α (t0) = p e α′ (t0) = v,
escrevendo em coordenadas
α (t) =
(
x1 (t) , . . . , xn (t)
)
,
temos que
α′ (t) =
(
dx1
dt
(t) , . . . ,
dxn
dt
(t)
)
,
e em particular
v = α′ (t0) =
(
dx1
dt
(t0) , . . . ,
dxn
dt
(t0)
)
.
Se f : Rn −→ R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em p, enta˜o a derivada direcional de f em p na direc¸a˜o de v e´
dada pela regra da cadeia por
(f ◦ α)′ (t0) = dfα(t0)α′ (t0) =
n∑
i=1
∂f
∂xi
(p)
dxi
dt
(t0) =
[
n∑
i=1
dxi
dt
(t0)
∂
∂xi
]
f (p) ,
o que significa que a derivada direcional na direc¸a˜o de v pode ser vista como um operador linear sobre func¸o˜es
diferencia´veis que depende apenas do vetor v.
Rodney Josue´ Biezuner 8
0.11 Definic¸a˜o (Preliminar). Seja α : I −→ M uma curva diferencia´vel com α (t0) = p. O vetor
tangente a` curva α em p e´ uma func¸a˜o vp : C
∞ (M) −→ R definida por
vp (f) = (f ◦ α)′ (t0) .
Um vetor tangente a` variedade M em p e´ qualquer vetor tangente a` uma curva diferencia´vel passando
por p. �
Ou seja, cada curva diferencia´vel em M passando por p da´ origem a um vetortangente em p. E´ claro que
curvas diferencia´veis diferentes α, β : I −→ M com α (t0) = β (s0) = p podem dar origem ao mesmo vetor
tangente: basta que
(f ◦ α)′ (t0) = (f ◦ β)′ (s0)
para todo f .
0.12 Proposic¸a˜o. Um vetor tangente vp : C
∞ (M) −→ R e´ um funcional linear e o conjunto dos vetores
tangentes a uma variedade em um ponto formam um espac¸o vetorial real n-dimensional.
Prova: Seja (ϕ,U) uma carta de uma vizinhanc¸a de p com ϕ (x0) = p. Sejam α : I −→ M uma curva
diferencia´vel com α (t0) = p e vp o vetor tangente a α em p. Dado f ∈ C∞ (M), temos
vp (f) = (f ◦ α)′ (t0)
=
(
f ◦ ϕ ◦ ϕ−1 ◦ α)′ (t0)
= d (f ◦ ϕ)x0
(
ϕ−1 ◦ α)′ (t0)
=
n∑
i=1
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x0)
dxi
dt
(t0) ,
onde denotamos
(
ϕ−1 ◦ α) (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) em coordenadas locais. Segue que para todos f, g ∈
C∞ (M) e para todos a, b ∈ R temos
vp (af + bg) =
n∑
i=1
∂ ([af + bg] ◦ ϕ)
∂xi
(x0)
dxi
dt
(t0)
= a
n∑
i=1
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x0)
dxi
dt
(t0) + b
n∑
i=1
∂ (g ◦ ϕ)
∂xi
(x0)
dxi
dt
(t0)
= avp (f) + bvp (g) ,
de modo que vp : C
∞ (M) −→ R e´ um funcional linear.
Para mostrar que o conjunto dos vetores tangentes a M em p formam um espac¸o vetorial e que este tem
dimensa˜o n, mostraremos que todo vetor tangente e´ a combinac¸a˜o linear de n vetores tangentes linearmente
independentes ∂1|p , . . . , ∂n|p a serem definidos e que, ale´m disso, qualquer combinac¸a˜o linear dos vetores
tangentes ∂1|p , . . . , ∂n|p e´ um vetor tangente (embora combinac¸o˜es lineares de funcionais lineares sejam
sempre funcionais lineares, nada garante em princ´ıpio que um tal funcional linear e´ um vetor tangente; de
fato, depois que provarmos que o espac¸o vetorial dos vetores tangentes tem dimensa˜o n, segue que ele e´ um
subespac¸o vetorial pro´prio do espac¸o vetorial dos funcionais lineares de C∞ (M), pois este tem dimensa˜o
infinita).
De fato, reescreva a expressa˜o obtida acima para vp (f) na forma
vp (f) =
n∑
i=1
dxi
dt
(t0)
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x0) .
Rodney Josue´ Biezuner 9
Denotando por B = {e1, . . . , en} a base canoˆnica de Rn, seja αi a curva diferencia´vel αi : Ii −→M definida
por
αi (t) = ϕ (x0 + tei) ,
onde Ii e´ um intervalo aberto em torno de t0 tal que x0 + tei ∈ U para todo t ∈ Ii e denote por ∂i|p o vetor
tangente a` curva αi em p. Como
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x0) = lim
t→0
(f ◦ ϕ) (x0 + tei)− (f ◦ ϕ) (x0)
t
= (f ◦ αi)′ (t0)
= ∂i|p (f) ,
segue que
vp =
n∑
i=1
dxi
dt
(t0) ∂i|p .
Reciprocamente, se v e´ o funcional linear
vp =
n∑
i=1
ci ∂i|p ,
enta˜o v e´ o vetor tangente a` curva α em p definida por
α (t) = ϕ
(
x0 + t
(
n∑
i=1
ciei
))
,
pois, pela regra da cadeia como vimos no in´ıcio da demonstrac¸a˜o,
(f ◦ α)′ (0) =
n∑
i=1
dxi
dt
(0)
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x0) =
n∑
i=1
ci ∂i|p (f) = v (f) .
Finalmente, se
n∑
i=1
ci ∂i|p = 0,
enta˜o
n∑
i=1
ci
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x0) = 0
para todo f ∈ C∞ (M). Definindo para cada j
fj
(
x1, . . . , xn
)
= xj
em um aberto U0 ⊂⊂ U , segue que fj e´ diferencia´vel em U0 e pelo Corola´rio 0.10 podemos estender fj a
uma func¸a˜o diferencia´vel f˜j ∈ C∞ (M). Como
∂
(
f˜j ◦ ϕ
)
∂xi
(x0) =
∂ (fj ◦ ϕ)
∂xi
(x0) = δij ,
escolhendo f = fj obtemos cj = 0 para todo j. �
0.13 Proposic¸a˜o (Regra do Produto). O vetor tangente vp : C
∞ (M) −→ R satisfaz a propriedade
vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .
Rodney Josue´ Biezuner 10
Prova: Seja vp o vetor tangente a` curva α em p. Enta˜o
vp (fg) = ((fg) ◦ α)′ (t0) = [(f ◦ α) (g ◦ α)]′ (t0)
= (f ◦ α)′ (t0) (g ◦ α) (t0) + (f ◦ α) (t0) (g ◦ α)′ (t0)
= vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .
�
0.3.2 Vetores Tangentes como Derivac¸o˜es
0.14 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel. Um vetor tangente a M em p e´ um funcional linear
vp : C
∞ (M) −→ R que tambe´m e´ uma derivac¸a˜o em p, isto e´, ele satisfaz a regra do produto
vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .
�
Note que nesta definic¸a˜o o conjunto dos vetores tangentes a um ponto p ∈M forma naturalmente um espac¸o
vetorial real, pois e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial dos funcionais lineares em C∞ (M):
(αvp + βwp) (fg) = αvp (fg) + βwp (fg)
= αvp (f) g (p) + αf (p) vp (g) + βwp (f) g (p) + βf (p)wp (g)
= [(αvp + βwp) (f)] g (p) + f (p) [(αvp + βwp) (g)] .
Mas a dimensa˜o deste espac¸o na˜o e´ imediatamente o´bvia. Ale´m disso, na˜o e´ claro que todo vetor tangente
segundo esta definic¸a˜o e´ um vetor tangente segundo a definic¸a˜o anterior. Embora seja consequeˆncia das
Proposic¸o˜es 0.12 e 0.13 que vetores tangentes a curvas sa˜o funcionais lineares em C∞ (M) que sa˜o derivac¸o˜es,
logo o espac¸o vetorial dos vetores tangentes segundo a definic¸a˜o anterior e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o
vetorial dos vetores tangentes segundo a nova definic¸a˜o, ainda na˜o sabemos que todo todo funcional linear
em C∞ (M) que e´ uma derivac¸a˜o e´ o vetor tangente a alguma curva. Isso provara´ ser verdade quando
provarmos que o espac¸o vetorial dos funcionais lineares em C∞ (M) que sa˜o derivac¸o˜es tambe´m tem dimensa˜o
n (Proposic¸a˜o 0.22). Em outras palavras, as duas definic¸o˜es na˜o sa˜o apenas equivalentes, mas de fato definem
o mesmo conceito de vetor tangente. De agora em diante, utilizaremos a Definic¸a˜o 0.14 para vetor tangente.
0.15 Proposic¸a˜o. Qualquer vetor tangente vp : C
∞ (M) −→ R satisfaz as seguintes propriedades:
(i) Se f e´ uma func¸a˜o constante, enta˜o vp (f) = 0.
(ii) Se f (p) = g (p) = 0, enta˜o vp (fg) = 0.
Prova: Ambas as propriedades seguem imediatamente da regra do produto. (i) Como vp e´ linear, basta
provar para a func¸a˜o constante f ≡ 1. Pela regra do produto,
vp (f) = vp (f) f (p) + f (p) vp (f) = 2vp (f) ,
logo vp (f) = 0. (ii) Pela regra do produto, temos
vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) = vp (f) 0 + 0vp (g) = 0 + 0 = 0.
�
Apesar dos vetores tangentes (derivac¸o˜es) estarem definidas no espac¸o global C∞ (M), o pro´ximo resul-
tado mostra que a sua atuac¸a˜o e´ local.
0.16 Proposic¸a˜o. Seja vp : C
∞ (M) −→ R um vetor tangente. Se f, g ∈ C∞ (M) coincidem em uma
vizinhanc¸a de p, enta˜o vp (f) = vp (g).
Rodney Josue´ Biezuner 11
Prova: Seja h = f − g, de modo que h ∈ C∞ (M) e h = 0 em uma vizinhanc¸a de p. Seja ρ ∈ C∞ (M) uma
func¸a˜o cujo suporte esta´ contida em M\ {p} e que e´ igual a 1 no suporte de h. Em particular, como ρ = 1
onde h e´ na˜o nula, segue que ρh = h. Da´ı, vp (h) = vp (ρh) = 0 pela propriedade (ii) da Proposic¸a˜o 0.15; o
resultado segue agora por linearidade. �
0.17 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel. O espac¸o vetorial dos vetores tangentes a um ponto
p ∈M e´ chamado o espac¸o tangente a M em p e denotado TpM . �
0.3.3 Diferencial de uma Aplicac¸a˜o Diferencia´vel
Para definir a diferencial (derivada) de uma aplicac¸a˜o diferencia´vel, usaremos a definic¸a˜o de vetores tangentes
como derivac¸o˜es:
0.18 Definic¸a˜o. Sejam M e N variedades diferencia´veis e F : M −→ N uma aplicac¸a˜o diferencia´vel em
p ∈M . A diferencial de F em p e´ aplicac¸a˜o linear
dFp : TpM −→ TF (p)N
definida por
[dFp (vp)] (f) = vp (f ◦ F )
para todo f ∈ C∞ (N). �
Note que como f ∈ C∞ (N) e F e´ de classe C∞, f ◦F ∈ C∞ (M). dFp (v) e´ uma derivac¸a˜o em F (p) porque
dFp (vp) (fg) = vp ((fg) ◦ F ) = vp ((f ◦ F ) (g ◦ F ))
= vp (f ◦ F ) g (F (p)) + f (F (p)) vp (g ◦ F )
= [dFp (vp) (f)] g (F (p)) + f (F (p)) [dFp (vp) (g)] .
Ale´m disso, dFp e´ uma aplicac¸a˜o linear porque vp e´ um funcional linear.
0.19 Proposic¸a˜o (Regra da Cadeia). Sejam M,N,P variedades diferencia´veis e F : M −→ N,G : N −→
P aplicac¸o˜es diferencia´veis. Enta˜o G ◦ F : M −→ P e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel e
d (G ◦ F )p = dGF (p) ◦ dFp.
Prova: Provaremos a segunda parte; a primeira parte e´ deixada como exerc´ıcio. Por definic¸a˜o, para todo
f ∈ C∞ (P ) [
d (G ◦F )p (vp)
]
(f) = vp (f ◦ (G ◦ F )) = vp ((f ◦G) ◦ F ) = dFp (vp) (f ◦G)
=
[
dGF (p) (dFp (vp))
]
(f) .
�
0.20 Corola´rio. Se F : M −→ N e´ um difeomorfismo, enta˜o dFp e´ um isomorfismo para cada p ∈ M e
d
(
F−1
)
F (p)
= (dFp)
−1
.
0.21 Lema. Seja M uma variedade diferencia´vel. Se V e´ um aberto de M e i : V −→ M e´ a inclusa˜o,
enta˜o dip e´ um isomorfismo para todo p ∈M .
Prova: Para provar que dip : TpV −→ TpM e´ injetivo, suponha que dip (vp) = 0 para vp ∈ TpV . Seja
W ⊂⊂ V uma vizinhanc¸a de p. Se f ∈ C∞ (V ) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel arbitra´ria, considere uma
extensa˜o f˜ ∈ C∞ (M) tal que f˜ = f em W . Como f e f˜ coincidem na vizinhanc¸a W de p, segue da
Proposic¸a˜o 0.16 que
vp (f) = vp
(
f˜ |V
)
= vp
(
f˜ ◦ i
)
= dip (vp)
(
f˜
)
= 0.
Rodney Josue´ Biezuner 12
Como f ∈ C∞ (V ) e´ arbitra´ria, isso prova que vp = 0, logo dip e´ injetiva.
Para provar que dip e´ sobrejetiva, seja wp ∈ TpM um vetor tangente qualquer. Defina uma func¸a˜o
v : C∞ (V ) −→ R por
v (f) = wp
(
f˜
)
onde f˜ e´ uma extensa˜o definida como no in´ıcio da demonstrac¸a˜o. Pela Proposic¸a˜o 0.16, o valor de w
(
f˜
)
independe da escolha de f˜ , logo v esta´ bem definida. E´ fa´cil ver que v e´ uma derivac¸a˜o. Para todo g ∈ C∞ (M)
temos
dip (v) (g) = v (g ◦ i) = wp
(
g˜ ◦ i
)
= wp (g)
onde a u´ltima igualdade segue do fato que g˜ ◦ i e g coincidem em W . Portanto, dip (v) = wp. �
0.22 Proposic¸a˜o. Se M e´ uma variedade diferencia´vel de dimensa˜o n, enta˜o TpM e´ um espac¸o vetorial de
dimensa˜o n para todo p ∈M .
Prova: Seja ϕ : U −→ V uma carta para uma vizinhanc¸a V = ϕ (U) ⊂ M de p = ϕ (x). Como ϕ e´ um
difeomorfismo, segue que dϕx : Rn −→ TpV e´ um isomorfismo. Como TpV e TpM sa˜o isomorfos pelo lema,
segue o resultado. �
Conforme a discussa˜o que se segue a` Definic¸a˜o 0.14, conclu´ımos que para todo vetor tangente vp ∈ TpM
existe uma curva diferencia´vel α : I −→M com α (t0) = p tal que
vp (f) = (f ◦ α)′ (t0) .
0.23 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel e ϕ : U −→ M uma carta de uma vizinhanc¸a de um
ponto p ∈ M . A base obtida na demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 0.12 sera´ chamada a base coordenada do
espac¸o tangente TpM associada a` carta ϕ e denotada por
∂1|p , . . . , ∂n|p
ou por
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xn
∣∣∣∣
p
quando for conveniente ou necessa´rio explicitar as coordenadas da carta. �
0.4 Coordenadas
0.4.1 Diferencial em Coordenadas
Seja B = {e1, . . . , en} a base canoˆnica de Rn. Se ϕ : U ⊂ Rn −→ V e´ uma carta para uma vizinhanc¸a
coordenada V de p = ϕ (x) ∈M , a base coordenada associada a` ϕ e´ tambe´m dada por
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
= dϕx (ei) .
De fato, se f ∈ C∞ (M), enta˜o
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
(f) =
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x) = ei (f ◦ ϕ) = dϕx (ei) (f) .
Assim, podemos definir
Rodney Josue´ Biezuner 13
0.24 Definic¸a˜o.
∂f
∂xi
(p) =
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
(f) =
∂ (f ◦ ϕ)
∂xi
(x) . (1)
Vamos ver agora como e´ a diferencial de uma aplicac¸a˜o diferencia´vel em coordenadas.
Primeiro recordaremos o caso em que as variedades sa˜o espac¸os euclideanos. Denote porBm = {e1, . . . , em}
e Bn = {f1, . . . , fn} as bases canoˆnicas de Rm e Rn, respectivamente. Observe que se F : U ⊂ Rm −→ Rn
e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel, enta˜o dFx : Rm −→ Rn e´ a derivada usual para cada x ∈ U e pela regra da
cadeia
dFx (ei) (f) = ei (f ◦ F ) = ∂ (f ◦ F )
∂xi
(x) =
m∑
j=1
∂f
∂xj
(F (x))
∂F j
∂xi
(x) =
m∑
j=1
∂F j
∂xi
(x) fj (f) ,
ou seja,
dFx (ei) =
n∑
j=1
∂F j
∂xi
(x) fj .
Assim, a matriz da diferencial dFx em relac¸a˜o a`s bases B
m,Bn e´ o jacobiano
J =

∂F 1
∂x1
. . .
∂F 1
∂xm
...
...
∂Fn
∂x1
. . .
∂Fn
∂xm
 =: [dFx]Bm,Bn .
Ou seja, se v =
m∑
i=1
viei, enta˜o
dFx (v) =
m∑
i=1
vidFx (ei) =
n∑
j=1
[
m∑
i=1
vi
∂F j
∂xi
(x)
]
fj ,
isto e´,
[dFx (v)]Bn =

∂F 1
∂x1
. . .
∂F 1
∂xm
...
...
∂Fn
∂x1
. . .
∂Fn
∂xm

 v
1
...
vm
 = J [v]Bm .
No caso geral, se F : Mm −→ Nn e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel, sejam ϕ : U ⊂ Rm −→ ϕ (U) , ψ : V ⊂
Rn −→ ψ (V ) cartas de vizinhanc¸as de p = ϕ (x) em M e de F (p) = ψ (y) em N , respectivamente, de modo
que
F˜ = ψ−1 ◦ F ◦ ϕ : U ⊂ Rm −→ Rn.
Escrevendo
F ◦ ϕ = ψ ◦ F˜
temos
dFp
(
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
)
= dFp [dϕx (ei)] = dψy
[
dF˜x (ei)
]
= dψy
 n∑
j=1
∂F˜ j
∂xi
(x) fj
 = n∑
j=1
∂F˜ j
∂xi
(x) dψy (fj)
=
n∑
j=1
∂F˜ j
∂xi
(x)
(
∂
∂yj
∣∣∣∣
F (p)
)
.
Rodney Josue´ Biezuner 14
Portanto, se
Bp =
{
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xm
∣∣∣∣
p
}
.
BF (p) =
{
∂
∂y1
∣∣∣∣
F (p)
, . . . ,
∂
∂yn
∣∣∣∣
F (p)
}
,
sa˜o as bases coordenadas de TpM e TF (p)N , respectivamente, enta˜o a matriz que representa a diferencial
dFp em relac¸a˜o a estas bases e´
[dFp]Bp,BF (p) =

∂F˜ 1
∂x1
. . .
∂F˜ 1
∂xm
...
...
∂F˜n
∂x1
. . .
∂F˜n
∂xm
 .
0.5 Fibrado Tangente
0.25 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel de dimensa˜o n com um atlas Φ = {ϕα : Uα −→M}α∈A
de classe Ck. O fibrado tangente de M e´ a variedade diferencia´vel de dimensa˜o 2n e classe Ck−1
TM = {(p, v) : p ∈M e v ∈ TpM}
com um atlas
Ψ = {ψα : Uα × Rn −→ TM}α∈A
definido por
ψα (x, v1, . . . , vn) =
(
ϕα (x) ,
n∑
i=1
vi∂i (x)
)
.
�
Na definic¸a˜o acima, o pro´prio atlas Ψ define a topologia necessa´ria em TM (Exerc´ıcio 0.46).
0.6 Fibrados Vetoriais
0.26 Definic¸a˜o. Um fibrado vetorial de ordem k sobre uma variedade diferencia´vel M e´ uma variedade
diferencia´vel E juntamente com uma aplicac¸a˜o sobrejetiva diferencia´vel pi : E −→M tal que
(i) cada fibra Ep = pi
−1 (p) de E sobre p e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o k;
(ii) para cada p ∈M existe uma vizinhanc¸a U de p e um difeomorfismo ϕ : pi−1 (U) −→ U×Rk, chamado
uma trivializac¸a˜o local de E, tal que o diagrama seguinte e´ comutativo:
pi−1 (U)
ϕ−→ U × Rk
pi ↓ ↙ pi1
U
(pi1 : U × Rk −→ U e´ a projec¸a˜o na primeira varia´vel) e tal que ϕ|Ep : Ep −→ {p} × Rk e´ um isomorfismo
de espac¸os vetoriais.
A variedade E e´ chamada o espac¸o total do fibrado, M a base do fibrado e pi a sua projec¸a˜o. �
Rodney Josue´ Biezuner 15
Frequentemente identificamos o espac¸o total com o fibrado e dizemos simplesmente que E e´ o fibrado vetorial
sobre M . Fibrados tangentes sa˜o exemplos de fibrados vetoriais.
0.27 Definic¸a˜o. Seja E um fibrado vetorial de dimensa˜o k sobre M . Uma sec¸a˜o de E e´ uma aplicac¸a˜o
s : M −→ E tal que pi ◦ s = Id|M . �
Em outras palavras, s : M −→ E e´ uma sec¸a˜o se e somente se s (p) ∈ Ep para todo p ∈M .
0.7 Campos Vetoriais
Considere pi : TM −→ M a projec¸a˜o canoˆnica do fibrado tangente de M sobre M , isto e´, pi (p, v) = p para
todo v ∈ TpM .
0.28 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel. Um campo vetorial diferencia´vel em M e´ uma
aplicac¸a˜o diferencia´vel X : M −→ TM tal que se pi ◦X = idM . �
Podemos pensar em campos vetoriais como aplicac¸o˜es que associam a cada ponto p ∈M um vetor tangente
X (p) ∈ TpM ; frequentemente, denotaremos o vetor tangente X (p) simplesmente por Xp. Em termos de
coordenadas locais, se B =
{
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xm
∣∣∣∣
p
}
e´ a base do espac¸o tangente TpM associada a` uma carta
ϕ : U −→M para pontos p ∈ ϕ (U), enta˜o
Xp =
n∑
i=1
Xi (p)
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
e o campo vetorial X e´ diferencia´vel em ϕ (U) se e somente se as func¸o˜es coordenadas X1, . . . , Xn sa˜o
diferencia´veis.
Outra forma de ver um campo vetorial diferencia´vel em M e´ como uma aplicac¸a˜o que associa a cada
func¸a˜o f ∈ C∞ (M) uma func¸a˜o Xf ∈ C∞ (M) atrave´s da expressa˜o
(Xf) (p) = Xpf
onde Xp :C
∞ (M) −→ R e´ um vetor tangente.
0.29 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel. Um campo vetorial diferencia´vel em M e´ uma
aplicac¸a˜o X : C∞ (M) −→ C∞ (M) que satisfaz as seguintes propriedades
(i) X e´ linear:
X (αf + βg) = αXf + βXg
para todos α, β ∈ R e f, g ∈ C∞ (M).
(ii) X satisfaz a regra do produto:
X (fg) = (Xf) g + f (Xg)
para todos f, g ∈ C∞ (M). �
As duas definic¸o˜es sa˜o equivalentes. Usando a u´ltima definic¸a˜o, podemos definir combinac¸o˜es lineares de
campos vetoriais de forma natural.
0.30 Notac¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel. O espac¸o vetorial dos campos vetoriais diferencia´veis
em M e´ denotado por T (M). �
Rodney Josue´ Biezuner 16
0.31 Proposic¸a˜o. Sejam M e N variedades diferencia´veis e F : M −→ N uma aplicac¸a˜o diferencia´vel. Se
X ∈ T (M) e Y ∈ T (N) sa˜o campos vetoriais tais que
YF (p) = dFp (Xp)
para todo p ∈M , enta˜o
X (f ◦ F ) = (Y f) ◦ F
para todo f ∈ C∞ (N).
Prova: Pela definic¸a˜o de diferencial,
[dFp (Xp)] (f) = Xp (f ◦ F ) ,
logo,
[X (f ◦ F )] (p) = Xp (f ◦ F ) = [dFp (Xp)] (f) = YF (p)f = (Y f) (F (p)) .
�
0.32 Definic¸a˜o. Sejam M e N variedades diferencia´veis e F : M −→ N um difeomorfismo. Definimos a
aplicac¸a˜o pushforward
F∗ : T (M) −→ T (N)
por
(F∗X)q = dFp (Xp)
onde q = F (p). �
Equivalentemente,
(F∗X)q = dFF−1(q)
(
XF−1(q)
)
.
0.33 Proposic¸a˜o. Sejam M e N variedades diferencia´veis e F : M −→ N um difeomorfismo. Consi-
dere T (M) e T (N) como mo´dulos sobre os ane´is C∞ (M) e C∞ (N), respectivamente. Enta˜o o operador
pushforward F∗ e´ linear no seguinte sentido:
F∗ (fX + gY ) =
(
f ◦ F−1)F∗X + (g ◦ F−1)F∗Y
para todos X,Y ∈ T (M) e para todas f, g ∈ C∞ (M). Ale´m disso, para toda f ∈ C∞ (N) vale
[(F∗X) f ] ◦ F = X (f ◦ F )
ou, equivalentemente,
(F∗X) f = X (f ◦ F ) ◦ F−1.
Prova:
M
F−→ N
↓f ↙f◦F−1
R
Primeiro provamos a linearidade de F∗. No que se segue, q = F (p). Temos
[F∗ (X + Y )]q = dFp (Xp + Yp)
= dFp (Xp) + dFp (Yp)
= (F∗X)q + (F∗Y )q
Rodney Josue´ Biezuner 17
e
[F∗ (fX)]q = dFp
(
(fX)p
)
= dFp (f (p)Xp)
= f (p) dFp (Xp)
=
(
f ◦ F−1) (q) (F∗X)q .
A u´ltima afirmativa segue imediatamente da Proposic¸a˜o 0.31, ja´ que F∗X e´ exatamente o campo Y do
enunciado daquela proposic¸a˜o. �
0.34 Teorema. Seja X ∈ T (M) um campo diferencia´vel. Dado p ∈ M , existe uma vizinhanc¸a V de p em
M , δ > 0 e uma aplicac¸a˜o diferencia´vel
ϕ : (−δ, δ)× V −→M
tais que ϕq (t) = ϕ (t, q) e´ a u´nica curva diferencia´vel em M que satisfaz{
dϕ
dt
(t, q) = Xϕ(t,q) para todos t ∈ (−δ, δ) , q ∈ V,
ϕ (0, q) = q.
Ale´m disso, para cada t fixado, ϕt = ϕ (t, ·) e´ um difeomorfismo e o fluxo e´ um grupo aditivo a um paraˆmetro,
isto e´,
ϕ0 = id,
ϕt+s = ϕtϕs.
Prova: Veja [Lee 1], Chapter 9, p. 209. �
ϕ e´ chamado o fluxo local do campo vetorial X. Note que por causa das propriedades de grupo temos
(ϕt)
−1
= ϕ−t.
0.8 Colchete de Lie
Embora a Definic¸a˜o 0.29 de campos vetoriais permite tambe´m em princ´ıpio definir a composta de campos
vetoriais e, ja´ que Xf e´ interpretada como a derivada de f na direc¸a˜o de X, gostar´ıamos de interpretar
naturalmente a expressa˜o
X (Y f)
como a derivada segunda de f primeiro na direc¸a˜o de Y e em seguida na direc¸a˜o de X, em geral esta composta
na˜o e´ um campo vetorial porque na˜o satisfaz a regra do produto:
(X ◦ Y ) (fg) = X [Y (fg)] = X [(Y f) g + f (Y g)] = X [(Y f) g] +X [f (Y g)]
= [X (Y f)] g + (Y f) (Xg) + (Xf) (Y g) + f [X (Y g)]
= [(X ◦ Y ) f ] g + f [(X ◦ Y ) g] + (Xf) (Y g) + (Y f) (Xg) ;
em coordenadas locais (veja Proposic¸a˜o 0.37 a seguir), a composta realmente envolve derivadas parciais de
segunda ordem, as quais na˜o sa˜o vetores tangentes por na˜o satisfazerem a regra do produto. Para definir
ca´lculo diferencial de ordem superior, e´ necessa´rio o conceito de derivada covariante, que veremos no Cap´ıtulo
3.
Por outro lado, a operac¸a˜o
X ◦ Y − Y ◦X
define um campo vetorial.
Rodney Josue´ Biezuner 18
0.35 Definic¸a˜o. Sejam X,Y ∈ T (M). O colchete de Lie de X e Y e´ o campo vetorial
[X,Y ] = XY − Y X.
�
Esta expressa˜o deve ser entendida no sentido de
[X,Y ] = X ◦ Y − Y ◦X,
ou seja,
[X,Y ]p f = Xp (Y f)− Yp (Xf) .
O colchete de Lie e´ de fato um campo vetorial, pois
[X,Y ] (αf + βg) = X [Y (αf + βg)]− Y [X (αf + βg)]
= X [αY f + βY g]− Y [αXf + βXg]
= αX (Y f) + βX (Y g)− αY (Xf)− βY (Xg)
= α [X (Y f)− Y (Xf)] + β [X (Y g)− Y (Xg)]
= α [X,Y ] f + β [X,Y ] g
e
[X,Y ] (fg) = X [Y (fg)]− Y [X (fg)]
= X [fY g + gY f ]− Y [fXg + gXf ]
= X [fY g] +X [gY f ]− Y [fXg]− Y [gXf ]
= fX (Y g) + Y gXf + gX (Y f) + Y fXg − fY (Xg)−XgY f − gY (Xf)−XfY g
= f [X (Y g)− Y (Xg)] + g [X (Y f)− Y (Xf)]
= f [X,Y ] (g) + g [X,Y ] (f) .
0.36 Proposic¸a˜o. O colchete de Lie satisfaz as seguintes propriedades:
(i) (Anticomutatividade)
[X,Y ] = − [Y,X] .
Consequentemente,
[X,X] = 0.
(ii) (Bilinearidade)
[αX + βY, Z] = α [X,Z] + β [Y,Z] ,
[Z,αX + βY ] = α [Z,X] + β [Z, Y ] .
(iii) (Identidade de Jacobi)
[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0.
(iv)
[fX, gY ] = fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X.
(v) Se F : M −→ N e´ um difeomorfismo, enta˜o
F∗ [X,Y ] = [F∗X,F∗Y ] .
Rodney Josue´ Biezuner 19
Prova: (i) e (ii) sa˜o imediatas. Para provar (iii), usando (ii) obtemos
[[X,Y ] , Z] = [XY − Y X,Z] = [XY,Z]− [Y X,Z]
= XY Z − ZXY − Y XZ + ZY X.
Logo, usando (i) e novamente (ii), segue que
[[Y,Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = − [X, [Y,Z]]− [Y, [Z,X]]
= − [X,Y Z − ZY ]− [Y,ZX −XZ]
= − [X,Y Z] + [X,ZY ]− [Y, ZX] + [Y,XZ]
= −XY Z + Y ZX +XZY − ZY X − Y ZX + ZXY + Y XZ −XZY
= −XY Z + ZXY + Y XZ − ZY X
= − [[X,Y ] , Z] .
A propriedade (iv) segue da regra do produto: se h ∈ C∞ (M),
[fX, gY ]h = f [X (g (Y h))]− g [Y (f (Xh))]
= f [(Xg) (Y h)] + f [gX (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]− g [fY (Xh)]
= fgX (Y h)− gfY (Xh) + f [(Xg) (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]
= fg (XY − Y X)h+ [f (Xg)Y ]h− [g (Y f)X]h
= [fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X]h.
(v) segue da Proposic¸a˜o 0.33: para todo f ∈ C∞ (N) temos
(XY ) (f ◦ F ) = X [Y (f ◦ F )] = X [(F∗Y ) f ◦ F ] = (F∗X) (F∗Y ) f ◦ F
e, analogamente,
(Y X) (f ◦ F ) = (F∗Y ) (F∗X) f ◦ F.
Logo,
(F∗ [X,Y ]) f = [X,Y ] (f ◦ F ) ◦ F−1
= (XY − Y X) (f ◦ F ) ◦ F−1
= [(F∗X) (F∗Y )− (F∗Y ) (F∗X)] f ◦ F ◦ F−1
= [F∗X,F∗Y ] f.
�
Uma a´lgebra de Lie e´ um espac¸o vetorial em que se define um produto (ou seja, uma aplicac¸a˜o bilinear)
anticomutativo que satisfaz a identidade de Jacobi (veja o Cap´ıtulo 2). Portanto, esta proposic¸a˜o mostra
que T (M) com a operac¸a˜o colchete e´ uma a´lgebra de Lie.
0.37 Proposic¸a˜o (Colchete de Lie em coordenadas locais). Se X,Y ∈ T (M) sa˜o campos vetoriais
que se expressam em coordenadas locais por
X =
n∑
i=1
Xi
∂
∂xi
e Y =
n∑
i=1
Y i
∂
∂xi
,
enta˜o
[X,Y ] =
n∑
i,j=1
(
Xi
∂Y j
∂xi
− Y i ∂X
j
∂xi
)
∂
∂xj
,
Rodney Josue´ Biezuner 20
ou, em notac¸a˜o mais sucinta,
[X,Y ] =
n∑
j=1
(
X
(
Y j
)− Y (Xj)) ∂
∂xj
.
Em particular, [
∂
∂xi
,
∂
∂xj
]
= 0
para todos i, j.
Prova: Temos
X (Y f) = X
(
n∑
i=1
Y i
∂f
∂xi
)
=
n∑
i=1
X
(
Y i
∂f
∂xi
)
=
n∑
i=1
Y iX
(
∂f
∂xi
)
+
n∑
i=1
∂f
∂xi
X
(
Y i
)
=
n∑
i=1
Y i
 n∑
j=1
Xj
∂2f
∂xj∂xi
+ n∑
i=1
∂f
∂xi
 n∑
j=1
Xj
∂Y i
∂xj

=
n∑
i,j=1
XjY i
∂2f
∂xj∂xi
+
n∑
i,j=1
Xj
∂Y i
∂xj
∂f
∂xi
e, por simetria,
Y (Xf) =
n∑
i,j=1
Y jXi
∂2f
∂xj∂xi
+
n∑
i,j=1
Y j
∂Xi
∂xj
∂f
∂xi
=
n∑
i,j=1
XjY i
∂2f
∂xi∂xj
+
n∑
i,j=1
Y j
∂Xi
∂xj
∂f
∂xi
.
Como
∂2f
∂xi∂xj
=
∂2f
∂xj∂xi
,
os termos envolvendo as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam ao calcularmos [X,Y ] f = X (Y f)−
Y (Xf) e a expressa˜odo enunciado e´ obtida trocando os ı´ndices i, j. �
0.9 Derivada de Lie
Em princ´ıpio, e´ um problema diferenciar campos vetoriais em variedades, ja´ que na˜o podemos tomar a
diferenc¸a de vetores que moram em espac¸os tangentes diferentes (na˜o ha´ uma maneira de identificar os
espac¸os tangentes com Rn de uma maneira que seja invariante por mudanc¸a de coordenadas). Uma soluc¸a˜o
e´ a seguinte. Dado um campo Y em uma variedade que queremos diferenciar na direc¸a˜o de um vetor tangente
Xp no ponto p, primeiro estendemos Xp a um campo vetorial X definido em toda a variedade. O campo
vetorial X tem um fluxo local ϕt definido. Usamos o fluxo para levar o vetor Yϕt(p) ao longo da trajeto´ria
reversa ϕ−t do campo X para o espac¸o tangente TpM e fazer a diferenc¸a la´ com o vetor Yp, tomando em
seguida o limite quanto t→ 0. No Cap´ıtulo 3 veremos o conceito de derivada covariante, que e´ uma soluc¸a˜o
diferente para este problema, mais semelhante ao conceito de derivada direcional, porque dependera´ apenas
do valor do vetor tangente Xp e na˜o do valor de X ao longo de uma curva; no caso desta derivada de Lie,
ela depende do valor de X ao longo de uma trajeto´ria do campo.
0.38 Definic¸a˜o. Sejam X,Y ∈ T (M) campos vetoriais, p ∈ M e ϕt o fluxo local do campo X em uma
vizinhanc¸a V de p em M . A derivada de Lie do campo Y na direc¸a˜o do campo X em p e´ definida por
(LXY )p = limt→0
[dϕ−t]ϕt(p)
(
Yϕt(p)
)− Yp
t
=
d
dt
[dϕ−t]ϕt(p) Yϕt(p)
∣∣∣∣
t=0
.
Rodney Josue´ Biezuner 21
Na linguagem de pushforwards,
(LXY )p = limt→0
[(ϕ−t)∗ Y ]p − Yp
t
.
A definic¸a˜o de derivada de Lie na˜o e´ operacionalmente u´til, ja´ que em geral e´ muito dif´ıcil e mesmo
imposs´ıvel obter o fluxo explicitamente. Felizmente, como veremos agora, a derivada de Lie coincide com o
colchete de Lie e este e´ muito fa´cil de calcular.
0.39 Teorema (Interpretac¸a˜o Geome´trica do Colchete de Lie). Se X,Y ∈ T (M) sa˜o campos veto-
riais, p ∈M e ϕt e´ o fluxo local do campo X em uma vizinhanc¸a V de p em M enta˜o
[X,Y ] = LXY.
Prova: Primeiro observe que se g : (−δ, δ)× V −→ R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel tal que
g (0, q) = 0 para todo q ∈ V,
enta˜o existe uma aplicac¸a˜o diferencia´vel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que
g (t, q) = th (t, q) .
De fato, basta definir
h (t, q) =
∫ 1
0
∂g
∂s
(ts, q) ds
e notar que, pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo,
th (t, q) =
∫ 1
0
t
∂g
∂s
(ts, q) ds =
∫ 1
0
∂
∂s
[g (ts, q)] ds
= [g (ts, q)]
s=1
s=0 = g (t, q)− g (0, q)
= g (t, q) .
Em particular, segue que
∂g
∂t
(t, q)
∣∣∣∣
t=0
= h (0, q) .
Seja agora f ∈ C∞ (M). Defina g : (−δ, δ)× V −→ R por
g (t, q) = f (q)− f (ϕ−t (q)) ,
ou, em notac¸a˜o funcional,
g (t, ·) = f − f ◦ ϕ−t.
Enta˜o g (0, q) = f (q) − f (ϕ0 (q)) = f (q) − f (q) = 0, de modo que a observac¸a˜o que fizemos no in´ıcio da
demonstrac¸a˜o se aplica e existe uma aplicac¸a˜o diferencia´vel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que
f (ϕ−t (q)) = f (q)− th (t, q)
isto e´,
f ◦ ϕ−t = f − th (t, ·)
e, ale´m disso (por definic¸a˜o de vetor tangente, lembrando que ϕ−t e´ uma curva diferencia´vel, trajeto´ria do
fluxo do campo X na direc¸a˜o reversa),
h (0, q) =
∂g
∂t
(t, q)
∣∣∣∣
t=0
= − ∂ (f ◦ ϕ−t)
∂t
∣∣∣∣
t=0
= − ∂ϕ−t (q)
∂t
∣∣∣∣
t=0
f = Xϕ(0,q)f
= Xqf.
Rodney Josue´ Biezuner 22
Da´ı (na primeira equac¸a˜o na demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 0.31 substitua F por ϕ−t e p por ϕt (p)),[
[dϕ−t]ϕt(p)
(
Yϕt(p)
)]
f = Yϕt(p) (f ◦ ϕ−t) = Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·)) .
Portanto,
(LXY )p f = limt→0
[
[dϕ−t]ϕt(p)
(
Yϕt(p)
)]
f − Ypf
t
= lim
t→0
Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·))− Ypf
t
= lim
t→0
Yϕt(p)f − Ypf
t
− lim
t→0
Yϕt(p) (h (t, ·))
= lim
t→0
(Y f) (ϕt (p))− (Y f) (p)
t
− Yp (h (0, ·))
=
∂ϕt (p)
∂t
∣∣∣∣
t=0
(Y f)− Yp (h (0, ·))
= Xp (Y f)− Yp (Xf)
= [X,Y ]p f.
�
Portanto, o colchete de Lie de dois campos vetoriais e´ a derivade de Lie. E a derivada de Lie e´ a “derivada
direcional” do segundo campo vetorial ao longo do fluxo do primeiro; ela na˜o e´ uma derivada direcional no
senso exato do termo, porque ela na˜o depende apenas da direc¸a˜o do primeiro campo, ou seja, na˜o podemos
usar qualquer curva tangente ao primeiro campo para calcula´-la, mas apenas uma trajeto´ria do campo. A
principal diferenc¸a entre a derivada de Lie e a derivada covariante (que e´ uma derivada direcional na correta
assumpc¸a˜o da palavra) esta´ enta˜o resumida nas Proposic¸o˜es 0.37 e 3.2: enquanto que a derivada covariante
(∇XY )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangente a Xp, a
derivada de Lie (LXY )p depende dos valores de X ao longo de uma curva tangente a Yp e do valor de Y ao
longo de uma curva tangente a Xp: de fato,
(LXY )p = [X,Y ]p =
n∑
i=1
(
Xp
(
Y i
)− Yp (Xi)) ∂
∂xi
,
e por definic¸a˜o de vetor tangente, os coeficientes Xp
(
Y 1
)
, . . . , Xp (Y
n) dependem dos valores de Y ao longo
de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e´ Xp e os coeficientes Yp
(
X1
)
, . . . , Yp (X
n) dependem
dos valores de X ao longo de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e´ Yp).
Outra diferenc¸a importante entre a derivada de Lie e a derivada covariante e´ que em variedades rieman-
nianas esta e´ mais natural no seguinte sentido. Denotando q = ϕt (p), na derivada de Lie o vetor Yq e´ trazido
ao longo da trajeto´ria do campo X para o espac¸o tangente TpM , onde ele e´ subtra´ıdo do vetor Xp atrave´s
do operador linear (ϕ−t)∗. Em uma interpretac¸a˜o geome´trica que veremos na Proposic¸a˜o 3.27, o vetor Yq
tambe´m e´ trazido ao longo da trajeto´ria do campo X para o espac¸o tangente TpM , mas atrave´s de um
operador linear chamado transporte paralelo, que e´ interpretado, como o nome indica, como um operador
que na˜o muda a direc¸a˜o do vetor original em um sentido que veremos em maiores detalhes no Cap´ıtulo 3.
Assim, o conceito de derivada covariante esta´ mais pro´ximo ao conceito de derivada direcional em Rn, onde
identificamos TpRn atrave´s de translac¸o˜es, que preservam as direc¸o˜es de vetores.
Mas e´ importante ressaltar que nenhuma das derivadas, tanto a derivada de Lie quanto a derivada
covariante, dependem apenas de Xp e Yp, ou seja, nenhum deles e´ um tensor, um conceito que veremos
no pro´ximo cap´ıtulo. Apesar disso, ambos aparecera˜o na definic¸a˜o do segundo tensor mais importante em
Geometria Riemanniana, o tensor curvatura (o tensor mais importante e´ obviamente o tensor me´trica).
Rodney Josue´ Biezuner 23
0.40 Proposic¸a˜o. A derivada de Lie satisfaz as seguintes propriedades para todos os campos vetoriais
X,Y, Z ∈ T (M) e para todo f ∈ C∞ (M) .
(a) LXY = −LYX;
(b) LX [Y, Z] = [LXY, Z] + [Y,LXZ] ;
(c) L[X,Y ]Z = LXLY Z + LY LXZ;
(d) LX (fY ) = (Xf)Y + fLXY ;
(e) F∗ (LXY ) = LF∗XF∗Y se F : M −→ N e´ um difeomorfismo.
Prova: Exerc´ıcio. �
0.10 Campos Vetoriais que Comutam
0.41 Lema. Sejam M,N variedades diferencia´veis e F : M −→ N um difeomorfismo. Se X e´ um campo
vetorial em M com fluxo local ϕt em uma vizinhanc¸a V , enta˜o o campo vetorial F∗X em N tem fluxo local
F ◦ ϕt ◦ F−1 em F (V ).
Prova: Em outras palavras, se ϕ : (−δ, δ)×V −→M e´ o fluxo local de X em V , enta˜o ψ : (−δ, δ)×F (V ) −→
N dado por
ψ (t, q) = F
(
ϕt
(
F−1 (q)
))
e´ o fluxo local do campo F∗X. Para provar este resultado, note primeiro que se f ∈ C∞ (M), enta˜o por
definic¸a˜o de vetor tangente
Xp (f) =
d
dt
f ◦ ϕt (p)
∣∣∣∣
t=0
= lim
t→0
f (ϕt (p))− f (p)
t
porque a trajeto´ria ϕt (p) e´ uma curva diferencia´vel que tem Xp como vetor tangente em t = 0. Por definic¸a˜o,
se q = F (p), temos
(F∗X)q (f) = [dFp (Xp)] f
= Xp (f ◦ F )
= lim
t→0
(f ◦ F ) (ϕt (p))− (f ◦ F ) (p)
t
= lim
t→0
f
(
F ◦ ϕt
(
F−1 (q)
))− (f ◦ F ) (F−1 (q))
t
= lim
t→0
f
(
F◦ ϕt ◦ F−1 (q)
)− f (q)
t
,
o que significa que a curva diferencia´vel F ◦ ϕt ◦ F−1 tem (F∗X)q como vetor tangente em q, logo e´ o fluxo
local do campo F∗X. �
0.42 Corola´rio. Se M e´ uma variedade diferencia´vel e F : M −→M e´ um difeomorfismo, enta˜o
F∗X = X
se e somente se
F ◦ ϕt = ϕt ◦ F.
0.43 Teorema. Se X,Y ∈ T (M) sa˜o campos vetoriais e ϕt, ψs sa˜o os fluxos locais respectivos de X,Y em
uma vizinhanc¸a V de M , enta˜o
ϕt ◦ ψs = ψs ◦ ϕt
se e somente se
[X,Y ] = 0
em V .
Rodney Josue´ Biezuner 24
Prova: Se ϕt ◦ ψs = ψs ◦ ϕt, como ϕt e´ um difeomorfismo, segue do Corola´rio 0.42 que (ϕt)∗ Y = Y , de
modo que
[X,Y ]p = (LXY )p = limt→0
[(ϕ−t)∗ Y ]p − Yp
t
= lim
t→0
Yp − Yp
t
= 0
para todo p ∈ V .
Reciprocamente, se [X,Y ] = 0 em V , considere a curva α : (−ε, ε) −→ TpM definida por
α (t) = [(ϕ−t)∗ Y ]p .
Temos, observando que o pushforward satisfaz (F ◦G)∗ = F∗ ◦G∗
α′ (t) = lim
h→0
α (t+ h)− α (t)
h
= lim
h→0
[(ϕ−t−h)∗ Y ]p − [(ϕ−t)∗ Y ]p
h
= lim
h→0
[(ϕ−t)∗ (ϕ−h)∗ Y ]p − [(ϕ−t)∗ Y ]p
h
= lim
h→0
(dϕ−t)ϕt(p) [(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p) − (dϕ−t)ϕt(p) Yϕt(p)
h
= (dϕ−t)ϕt(p) limh→0
[(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p) − Yϕt(p)
h
= (dϕ−t)ϕt(p)
(
[X,Y ]ϕt(p)
)
= (dϕ−t)ϕt(p) (0)
= 0.
Portanto, α (t) = α (0), o que implica (ϕ−t)∗ Y = Y , e o resultado segue do Corola´rio 0.42. �
Em particular,
ϕt ◦ ϕs ◦ ϕ−t ◦ ϕ−s = id .
Isso significa o seguinte, em outras palavras: quando [X,Y ] = 0 em uma vizinhanc¸a V de p ∈M , se a partir
de p percorrermos a trajeto´ria do campo X durante um intervalo de tempo t atingindo um certo ponto p1,
e depois percorrermos a partir de p1 a traje´to´ria do campo Y durante um intervalo de tempo s atingindo
um segundo ponto p2, voltarmos a partir de p2 ao longo da trajeto´rio do campo X durante um intervalo de
tempo t atingindo um certo ponto p3 e finalmente voltarmos tambe´m de p3 ao longo da trajeto´ria do campo
Y durante um intervalo de tempo s, chegaremos ao ponto original p (obviamente estamos assumindo que
em nenhum momento sa´ımos da vizinhanc¸a V , o que sera´ verdade para deslocamentos s, t pequenos para os
quais os fluxos locais de X e Y esta˜o definidos em V ). Se [X,Y ] 6= 0, isso na˜o e´ verdade e terminamos em
um ponto q diferente de p. O colchete de Lie portanto mede infinitesimalmente este defeito.
0.44 Teorema. Se E1, . . . , Ek ∈ T (M) sa˜o campos vetoriais linearmente independentes suaves em uma
vizinhanc¸a de p ∈M tais que
[Ei, Ej ] = 0
para todos i, j = 1, . . . , k, enta˜o existe uma vizinhanc¸a coordenada
(
x1, . . . , xn
)
de p tal que
Ei =
∂
∂xi
para i = 1, . . . , k.
Rodney Josue´ Biezuner 25
Prova: Sem perda de generalidade, podemos assumir atrave´s de uma carta adequada que M = U ⊂ Rn,
p = 0 e
Ei (0) = ei
para i = 1, . . . , k, onde {e1, . . . , en} e´ a base canoˆnica de Rn. Seja ϕit o fluxo gerado pelo campo Ei. Defina
ψ
(
x1, . . . , xn
)
= ϕ1x1 ◦ ϕ2x2 ◦ . . . ◦ ϕkxk
(
0, . . . 0, xk+1, . . . , xn
)
= ϕ1x1
(
ϕ2x2
(
. . .
(
ϕkxk
(
0, . . . 0, xk+1, . . . , xn
))
. . .
))
.
[Note que no caso especial em que k = n, a aplicac¸a˜o ψ e´
ψ (x) = ψ
(
x1, . . . , xn
)
= ϕ1x1 ◦ . . . ◦ ϕnxn (0)
= ϕ1x1
(
ϕ2x2 (. . . (ϕ
n
xn (0)) . . .)
)
.
Em outras palavras, para calcular ψ
(
x1, . . . , xn
)
, percorremos sucessivamente as trajeto´rias dos campos
En, . . . , E1 a partir da origem durante os intervalos de tempo x
n, . . . , x1: primeiro, saindo da origem, per-
corremos a trajeto´ria do campo En durante o intervalo de tempo x
n, chegando em um certo ponto ϕnxn (0);
partindo deste ponto percorremos a trajeto´ria do campo En−1 durante o intervalo de tempo xn−1, che-
gando em um certo ponto ϕn−1xn−1 (ϕ
n
xn (0)); continuamos desta forma sucessivamente ate´ chegar no ponto
ϕ1x1
(
ϕ2x2 (. . . (ϕ
n
xn (0)) . . .)
)
que definimos como sendo o ponto ψ (x).]
Afirmamos que dψ0 = I. De fato, dada f ∈ C∞ (M), se i = 1, . . . , k
dψ0 (ei) (f) =
∂ (f ◦ ψ)
∂xi
(0)
= lim
h→0
(f ◦ ψ)
(
0, . . . 0,
16i6k
h , 0, . . . , 0
)
− f (ψ (0))
h
= lim
h→0
f ◦ ϕ10 ◦ . . . ◦ ϕi−10 ◦ ϕih ◦ ϕi+10 ◦ . . . ◦ ϕk0 (0)− f (0)
h
= lim
h→0
f
(
ϕih (0)
)− f (0)
h
= Ei (0) (f)
= ei (f) ,
enquanto que se i = k + 1, . . . , n, temos
dψ0 (ei) (f) =
∂ (f ◦ ψ)
∂xi
(0)
= lim
h→0
(f ◦ ψ)
(
0, . . . 0,
k+16i6n
h , 0, . . . , 0
)
− f (ψ (0))
h
= lim
h→0
f ◦ ϕ10 ◦ ϕ20 ◦ . . . ◦ ϕk0 ◦ . . . ◦ ϕk0
(
0, . . . 0,
k+16i6n
h , 0, . . . , 0
)
− f (0)
h
= lim
h→0
f
(
0, . . . 0,
k+16i6n
h , 0, . . . , 0
)
− f (0)
h
=
∂f
∂xi
(0)
= ei (f) ,
Rodney Josue´ Biezuner 26
portanto
dψ0 (ei) = ei
para i = 1, . . . , n. Segue que ψ (x) =
(
x1, . . . , xn
)
e´ um difeomorfismo local e portanto uma carta para uma
vizinhanc¸a de p = 0.
Observe que podemos calcular explicitamente dψx (e1) para todo x e na˜o somente na origem, obtendo
dψx (e1) (f) =
∂ (f ◦ ψ)
∂x1
(x)
= lim
h→0
(f ◦ ψ) (x1 + h, x2 . . . , xn)− f (ψ (x))
h
= lim
h→0
f ◦ ϕ1x1+h ◦ ϕ2x2 ◦ . . . ◦ ϕkxk
(
0, . . . 0, xk+1, . . . , xn
)− f (ψ (x))
h
= lim
h→0
f
(
ϕ1x1+h
(
ϕ2x2 (. . . (ϕ
n
xn (0)) . . .)
))− f (0)
h
= E1 (x) (f) ,
ou seja,
E1 (x) = dψx (e1) =
∂
∂x1
∣∣∣∣
x
para todo x onde a carta esta´ definida. Isso prova o resultado para i = 1.
Mas, pelo teorema anterior, como [Ei, Ej ] = 0, temos que os fluxos dos campos E1, . . . , Ek comutam, isto
e´,
ϕit ◦ ϕjt = ϕit ◦ ϕjt
para todos i, j = 1, . . . , k. Logo, para i = 2, . . . , k podemos escrever
ψ
(
x1, . . . , xn
)
= ϕixi ◦ ϕ1x1 ◦ ϕ2x2 ◦ . . . ◦ ϕ̂ixi ◦ . . . ◦ ϕkxk
(
0, . . . 0, xk+1, . . . , xn
)
.
Pelo mesmo argumento anterior no caso i = 1, conclu´ımos que
Ei (x) =
∂
∂xi
∣∣∣∣
x
para i = 2, . . . , k, para todo x onde a carta ψ esta´ definida, terminando a demonstrac¸a˜o do resultado. �
Assim, o colchete de Lie mede em algum sentido o quanto as trajeto´rias de campos linearmente independentes
E1, . . . , En podem ser usadas para formar as “retas coordenadas” de um sistema de coordenadas (veja
[Spivak], Vol. I, pp. 220-221, para uma afirmac¸a˜o mais precisa deste resultado).
0.11 Exerc´ıcios
0.45 Exerc´ıcio. Considere o subconjunto X = (R× {0}) ∪ (R+ × {1}) de R2 com a seguinte base para a
sua topologia:
(a) intervalos do tipo (a, b)× {0}, a < b;
(b) intervalos do tipo (a, b)× {1}, 0 6 a < b;
(c) unio˜es de intervalos do tipo [(a, 0)× {0}] ∪ [(0, b)× {1}], a < 0 < b.
Verifique que X possui uma base enumera´vel, que conjuntos finitos de pontos sa˜o fechados em X e que
todo ponto de X possui uma vizinhanc¸a difeomorfa a um conjunto aberto de R. Observe que X na˜o e´, no
entanto, um espac¸o de Hausdorff, porque os pontos (0, 0) e (0, 1) na˜o possuem vizinhanc¸as abertas disjuntas.
Rodney Josue´ Biezuner 27
0.46 Exerc´ıcio. Seja X um conjunto. Suponha que exista uma famı´lia
Φ = {ϕα}α∈A
de aplicac¸o˜es injetivas ϕα : Uα −→ Vα de um aberto Uα ⊂ Rn sobre um subconjunto Vα de X para cada
α ∈ A, satisfazendo as seguintes condic¸o˜es:
(1) Os abertos Vα cobrem X, isto e´, ⋃
α∈A
Vα = X.
(2) Para todos ı´ndices α, β ∈ A tais que Vαβ = Vα ∩ Vβ 6= ∅, os conjuntos ϕ−1α (Vαβ) , ϕ−1β (Vαβ) sa˜o abertos
em Rn e as aplicac¸o˜es
ϕαβ = ϕ
−1
β ◦ ϕα : ϕ−1α (Vαβ) −→ ϕ−1β (Vαβ) ,
ϕβα = ϕ
−1
α ◦ ϕβ : ϕ−1β (Vαβ) −→ ϕ−1α (Vαβ) ,
sa˜o diferencia´veis de classe C∞.
Enta˜o existe uma u´nica topologia T em X relativa a` qual Φ e´ um atlas diferencia´vel de dimensa˜o n para
X.
T na˜o e´ necessariamente de Hausdorff nem precisa possuir base enumera´vel (ela e´ apenas localmente de
Hausdorff, pois se p, q ∈ Vα, p 6= q, eles possuem vizinhanc¸as disjuntas porque Vα e´ homeomorfo a um aberto
de Rn). Para isso, sa˜o necessa´rias condic¸o˜es adicionais:
Atopologia T e´ de Hausdorff se e somente se
3) Para todos ı´ndices α, β ∈ A tais que Vαβ = Vα ∩ Vβ 6= ∅, na˜o existe nenhuma sequeˆncia {xk}k∈N ⊂
ϕ−1α (Vαβ) tal que
xk −→ x ∈ Uα\ϕ−1α (Vαβ) ,
ϕ−1β ◦ ϕα (xk) −→ y ∈ Uβ\ϕ−1β (Vαβ) .
Ela possui uma base enumera´vel se e somente se
(4) A cobertura {Vα}α∈A possui uma cobertura enumera´vel.
0.47 Exerc´ıcio. Mostre que uma variedade diferencia´vel M e´ conexa se e somente se ela e´ conexa por
caminhos.
Ale´m disso, verifique que as componentes conexas de M sa˜o as suas componentes conexas por caminhos.
Finalmente, prove que M possui no ma´ximo um nu´mero enumera´vel de componentes conexas.
Cap´ıtulo 1
Tensores
1.1 Vetores Contravariantes e Covariantes
Considere o conceito de vetor em Rn, por exemplo o vetor velocidade de uma curva descrita no sistema de
coordenadas
(
x1, . . . , xn
)
por
x (t) =
(
x1 (t) , . . . , xn (t)
)
.
Temos
dx
dt
=
(
dx1
dt
, . . . ,
dxn
dt
)
.
Em um outro sistema de coordenadas
(
y1, . . . , yn
)
a curva e´ descrita por:
y (t) =
(
y1 (t) , . . . , yn (t)
)
,
de modo que seu vetor velocidade neste sistema de coordenadas e´ dado por
dy
dt
=
(
dy1
dt
, . . . ,
dyn
dt
)
.
A regra da cadeia nos da´ como as coordenadas do vetor velocidade mudam de um sistema de coordenadas
para o outro:
dyi
dt
=
n∑
j=1
∂yi
∂xj
dxj
dt
(1.1)
para i = 1, . . . , n.
Considere agora o conceito do gradiente de uma func¸a˜o, usualmente identificado com um vetor. No
sistema de coordenadas
(
x1, . . . , xn
)
, o gradiente e´ definido por
∇xf (x) =
(
∂f
∂x1
(x) , . . . ,
∂f
∂xn
(x)
)
enquanto que no sistema de coordenadas
(
y1, . . . , yn
)
o gradiente e´ dado por
∇yf (x) =
(
∂f
∂y1
(x) , . . . ,
∂f
∂yn
(x)
)
Novamente, a regra da cadeia nos da´ como as coordenadas do gradiente mudam de um sistema de coordenadas
para o outro:
∂f
∂yi
=
n∑
j=1
∂xj
∂yi
∂f
∂xj
(1.2)
28
Rodney Josue´ Biezuner 29
para i = 1, . . . , n.
Comparando as expresso˜es (1.1) e (1.2), vemos que elas sa˜o bem diferentes. Isso fica ainda mais claro se
considerarmos o Jacobiano da mudanc¸a de coordenadas y = y (x),
J =
[
∂yi
∂xj
]
(1.3)
ou seja,
J =

∂y1
∂x1
. . .
∂y1
∂xn
...
...
∂yn
∂x1
. . .
∂yn
∂xn
 .
Temos
dy
dt
= J
dx
dt
(1.4)
enquanto que
∇yf =
(
J−1
)T ∇xf, (1.5)
pois
J−1 =
[
dxi
dyj
]
=

∂x1
∂y1
. . .
∂x1
∂yn
...
...
∂xn
∂y1
. . .
∂xn
∂yn
 .
Note que as leis de transformac¸a˜o na˜o sa˜o exatamente uma a inversa da outra no sentido matricial, ja´ que e´
necessa´rio transpor a matriz de mudanc¸a de coordenadas. Observe tambe´m que para as fo´rmulas concidirem,
ter´ıamos que ter
J =
(
J−1
)T
,
isto e´, J precisaria ser uma transformac¸a˜o ortogonal, o que equivale a requerer que os dois sistemas de
coordenadas
(
x1, . . . , xn
)
e
(
y1, . . . , yn
)
sejam ortonormais, o que raramente ocorre.
O fato de que o gradiente de uma func¸a˜o sob uma mudanc¸a de coordenadas transformar-se de uma maneira
diferente da de um vetor mostra que ele e´ um tipo diferente de vetor. Como veremos os motivos na pro´xima
sec¸a˜o, vetores que se transformam de acordo com a expressa˜o (1.1) sa˜o chamados vetores contravariantes,
enquanto que vetores que se transforma de acordo com a expressa˜o (1.2) sa˜o chamados vetores covariantes
(ou simplesmente covetores).
As coordenadas de um vetor contravariante sa˜o convencionalmente denotadas por superescritos:
v =
(
v1, . . . , vn
)
, (1.6)
porque, como nos casos dos vetores deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o, etc., ou seja, vetores cujas di-
menso˜es esta˜o diretamente relacionadas a`s dimenso˜es das coordenadas, o deslocamento aparece no numera-
dor (acima da barra da frac¸a˜o), enquanto que as coordenadas de um vetor covariante sa˜o convencionalmente
denotadas por subescritos:
v = (v1, . . . , vn) , (1.7)
porque, como no caso do covetor gradiente, o deslocamento aparece no denominador (abaixo da barra da
frac¸a˜o), ou seja, vetores tais como o gradiente tem dimenso˜es que sa˜o inversas a`s dimenso˜es das coordenadas.
Rodney Josue´ Biezuner 30
1.1.1 Significado Real do Gradiente
A derivada de uma func¸a˜o real f : Rn −→ R em um ponto x ∈ Rn e´ um funcional linear dfx : Rn −→ R.
O gradiente realmente na˜o e´ um vetor, mas sim um funcional linear ou uma 1-forma (estes termos sa˜o
sinoˆnimos). Como veremos daqui a pouco, funcionais lineares sa˜o vetores (no espac¸o dual) que se comportam
com relac¸a˜o a mudanc¸a de coordenadas como covetores.
Assim, embora diferenciemos entre a diferencial dfx de uma func¸a˜o real f : Rn −→ R, que e´ um funcional
linear, e a func¸a˜o gradiente, que associa a cada ponto x um vetor ∇f (x) ou grad f (x), com a propriedade
especial que
dfx (v) = 〈∇f (x) , v〉
para todo v ∈ Rn, onde 〈·, ·〉 denota o produto interno canoˆnico de Rn, de qualquer forma, devido a` sua
definic¸a˜o o vetor gradiente e´ um covetor e se comporta como tal.
Este fato na˜o e´ apenas um acidente restrito a` forma especial com que ele se comporta com relac¸a˜o a uma
mudanc¸a de coordenadas, mas tambe´m e´ uma consequeˆncia do significado geome´trico de funcionais lineares
e do gradiente. Atrave´s do produto interno, qualquer funcional linear ω : Rn −→ R e´ identificado com um
u´nico vetor v de Rn: v e´ o u´nico vetor tal que
ω (w) = 〈v, w〉
para todo w ∈ Rn. Este vetor v e´ portanto perpendicular ao hiperplano kerω, o nu´cleo do funcional ω. A
ac¸a˜o do funcional linear ω sobre um vetor arbitra´rio w pode ser enta˜o vista da seguinte forma: ω determina
uma famı´lia de hiperplanos, os hiperplanos paralelos a kerω; ω (w) e´ enta˜o o nu´mero de hiperplanos que
a “seta” do vetor w “perfura” por unidade de distaˆncia (esta e´ medida exatamente pelo produto interno).
Para vetores com o mesmo comprimento de v, o vetor v e´ o que perfura o maior nu´mero de hiperplanos, ja´
que e´ perpendicular a todos estes hiperplanos (a mesma considerac¸a˜o evidentemente vale para −v). Outros
vetores diferentes de v e −v formara˜o um aˆngulo na˜o reto com estes hiperplanos e, se tiverem o mesmo
comprimento que o vetor v, eles perfurara˜o consequentemente menos hiperplanos. Ou seja, se ‖w‖ = ‖v‖
mas w 6= v, enta˜o
ω (w) < ω (v) ;
de fato,
ω (w) = 〈v, w〉 = ‖v‖ ‖w‖ cos θ < ‖v‖ ‖w‖ = ‖v‖2 = ω (v) .
Se w e´ ortogonal a v, enta˜o w esta´ no nu´cleo de ω e na˜o perfura nenhum hiperplano da famı´lia; assim,
ω (w) = 0.
O vetor gradiente ∇f (x) tambe´m se comporta geometricamente desta forma. Exceto que no caso do
gradiente substitu´ımos a famı´lia de hiperplanos paralelos ao nu´cleo do funcional pela famı´lia das hiperf´ıcies
de n´ıvel da func¸a˜o f . O vetor gradiente e´ perpendicular a`s hiperf´ıcies de n´ıvel de f . Isto funciona porque
segue da definic¸a˜o que o gradiente e´ perpendicular ao espac¸o tangente a` hiperf´ıcie de n´ıvel: se α : I −→ Rn
e´ uma curva contida em uma hiperf´ıcie de n´ıvel, enta˜o
f (α (t)) ≡ c
para todo t ∈ I algum valor real c; derivando esta equac¸a˜o em relac¸a˜o a t, obtemos
dfα(t) (α
′ (t)) = 0,
ou seja,
〈∇f (α (t)) , α′ (t)〉 = 0.
Como isso vale para todas tais curvas, conclu´ımos que ∇f (x) e´ perpendicular a Tx
{
f−1 (c)
}
. Portanto, o
gradiente “perfura” as hiperf´ıcies de n´ıvel. Como no caso linear, a direc¸a˜o do vetor gradiente e´ a direc¸a˜o em
que mais hiperf´ıcies de n´ıvel sa˜o perfuradas por unidade de distaˆncia. Isso e´ quase equivalente a dizer que
o gradiente aponta na direc¸a˜o em que a func¸a˜o cresce com maior rapidez (como se demonstra em Ca´lculo),
pois perfurar as hiperf´ıcies de n´ıvel equivale a subir ou descer a montanha de contornos do gra´fico de f ,
dependendo do sentido escolhido.
Rodney Josue´Biezuner 31
1.2 Vetores e Covetores
1.2.1 Mudanc¸a de Coordenadas em Espac¸os Vetoriais
Dado um espac¸o vetorial real de dimensa˜o finita V munido de uma base
B = {e1, . . . , en} ,
denotaremos por [v]B o vetor coluna cujos elementos sa˜o as coordenadas do vetor v em relac¸a˜o a` base B, ou
seja, se
v =
n∑
i=1
viei,
enta˜o
[v]B =
 v
1
...
vn
 .
Tambe´m abusaremos esta notac¸a˜o a`s vezes, escrevendo [v]B =
(
v1, . . . , vn
)
.
1.1 Definic¸a˜o. Sejam V um espac¸o vetorial real e
B1 = {e1, . . . , en} ,
B2 = {f1, . . . , fn} ,
duas bases para V . A matriz de mudanc¸a de coordenadas da base B1 para a base B2 e´ a matriz A tal
que
[v]B2 = A [v]B1 . (1.8)
Quando necessa´rio, ela sera´ denotada por AB1→B2 . �
1.2 Notac¸a˜o. Denotaremos o elemento que ocupa a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna de A por Aij . �
1.3 Proposic¸a˜o. Sejam
B1 = {e1, . . . , en} ,
B2 = {f1, . . . , fn} ,
duas bases para um espac¸o vetorial real V . Se A =
(
Aij
)
e´ a matriz de mudanc¸a de coordenadas da base B1
para a base B2, enta˜o os elementos desta matriz sa˜o definidos por
ei =
n∑
j=1
Ajifj . (1.9)
Ou seja, as colunas de A sa˜o as coordenadas dos vetores da base B1 em relac¸a˜o a` base B2.
Prova: De fato, se vale (1.9), enta˜o
v =
n∑
i=1
viei =
n∑
i=1
vi
 n∑
j=1
Ajifj
 = n∑
j=1
(
n∑
i=1
Ajiv
i
)
fj ,
que e´ exatamente (1.8):
[v]B2 =
 A
1
1 . . . A
1
n
...
...
An1 . . . A
n
n

 v
1
...
vn
 = A [v]B1 .
Rodney Josue´ Biezuner 32
�
Observe agora que enquanto a lei de transformac¸a˜o dos vetores da base B2 para a base B1 e´
ei =
n∑
j=1
Ajifj , (1.10)
a lei de transformac¸a˜o das coordenadas de vetores na base B2 para a base B1 e´ contra´ria: como
[v]B1 = A
−1 [v]B2 ,
segue que se
[v]B1 =
(
v1, . . . , vn
)
,
[v]B2 =
(
w1, . . . , wn
)
,
enta˜o
vi =
n∑
j=1
(
A−1
)i
j
wj . (1.11)
A lei de transformac¸a˜o (1.10) e´ considerada a lei de transformac¸a˜o fundamental. Portanto, a observac¸a˜o
acima motiva a seguinte definic¸a˜o:
1.4 Definic¸a˜o. Vetores cujas coordenadas se transformam de maneira contra´ria a` lei (1.10) sa˜o chamados
vetores contravariantes. �
Assim, os vetores do pro´prio espac¸o vetorial V sa˜o vetores contravariantes.
1.2.2 Covetores
1.5 Definic¸a˜o. Seja V um espac¸o vetorial real de dimensa˜o finita. Um covetor de V e´ qualquer funcional
linear ω : V −→ R.
O espac¸o vetorial dos covetores de V , com as definic¸o˜es naturais de soma de covetores e multiplicac¸a˜o de
covetores por escalares reais e´ chamado o espac¸o dual de V e denotado por V ∗. �
Portanto, covetor de V nada mais e´ que um sinoˆnimo para funcional linear sobre V .
1.6 Definic¸a˜o. Seja B = {e1, . . . , en} uma base para o espac¸o vetorial V . Definimos a base dual
B∗ =
{
e1, . . . , en
}
de V ∗ por
ei (ej) = δ
j
i , i, j = 1, . . . , n. (1.12)
�
Um covetor arbitra´rio ω ∈ V ∗ expressa-se em coordenadas com relac¸a˜o a` base dual B∗ na forma
ω =
n∑
i=1
ωie
i.
Observe que se
v =
n∑
i=1
viei,
enta˜o
ei (v) = vi. (1.13)
Rodney Josue´ Biezuner 33
1.7 Definic¸a˜o. Sejam V,W espac¸os vetoriais. Dada uma aplicac¸a˜o linear A : V −→ W , definimos a
aplicac¸a˜o linear dual ou transposta A∗ : W ∗ −→ V ∗ de A por
(A∗ω) v = ω (Av)
para todo ω ∈W ∗ e para todo v ∈ V . �
1.8 Proposic¸a˜o. Sejam
B1 = {e1, . . . , en} ,
B2 = {f1, . . . , fn}
duas bases para o espac¸o vetorial V e
B∗1 =
{
e1, . . . , en
}
,
B∗2 =
{
f1, . . . , fn
}
as respectivas bases duais para V ∗. Se A e´ a matriz de mudanc¸a de coordenadas da base B1 para a base B2,
enta˜o
ei =
n∑
j=1
(
A−1
)i
j
f j . (1.14)
Consequentemente,
(
A−1
)T
e´ a matriz de mudanc¸a de coordenadas da base dual B∗1 para a base dual B
∗
2,
isto e´,
[ω]B∗2
=
(
A−1
)T
[ω]B∗1
. (1.15)
Prova. Pela Proposic¸a˜o (1.3),
ei =
n∑
j=1
Ajifj .
Seja B =
(
Bkl
)
a matriz de transformac¸a˜o da base B∗1 para a base B
∗
2, isto e´,
ek =
n∑
l=1
Bkl f
l.
Enta˜o
δki = e
k (ei)
= ek
 n∑
j=1
Ajifj

=
n∑
j=1
Ajie
k (fj)
=
n∑
j=1
Aji
n∑
l=1
Bkl f
l (fj)
=
n∑
j=1
Aji
n∑
l=1
Bkl δ
l
j
=
n∑
j=1
AjiB
k
j
=
n∑
j=1
BkjA
j
i ,
Rodney Josue´ Biezuner 34
de modo que BA = I, donde B = A−1 e portanto
ek =
n∑
l=1
(
A−1
)k
l
f l.
(1.15) segue da aplicac¸a˜o da Proposic¸a˜o (1.3) a (1.14), substituindo V por V ∗ e B1,B2 por B∗1,B
∗
2. �
Portanto, assim como a lei de transformac¸a˜o dos vetores da base B2 para a base B1 (lei de transformac¸a˜o
fundamental) e´
ei =
n∑
j=1
Ajifj ,
a lei de transformac¸a˜o das coordenadas de vetores na base B∗2 para a base B
∗
1 e´ a mesma: como
[ω]B∗1
= AT [ω]B∗2
,
segue que se
[ω]B∗1
= (ω1, . . . , ωn) ,
[ω]B∗2
= (σ1, . . . , σn) ,
enta˜o
ωi =
n∑
j=1
Ajiσj . (1.16)
Ou seja, covetores variam (se transformam) da mesma forma como variam (se transformam) os vetores da
base do espac¸o vetorial, que convencionamos ser a lei de transformac¸a˜o fundamental. Esta observac¸a˜o motiva
a seguinte definic¸a˜o:
1.9 Definic¸a˜o. Vetores cujas coordenadas se transformam da mesma forma que a lei (1.10) sa˜o chamados
vetores covariantes. �
Assim, os covetores do espac¸o dual V ∗ sa˜o vetores covariantes.
1.2.3 O Espac¸o Bidual
1.10 Definic¸a˜o. Seja V um espac¸o vetorial real de dimensa˜o finita. O espac¸o dual (V ∗)∗ do espac¸o dual de
V e´ chamado o espac¸o bidual de V e denotado V ∗∗. �
Uma importante identificac¸a˜o natural (isto e´, um isomorfismo definido independentemente de bases e
baseado apenas na estrutura linear) existe entre um espac¸o vetorial e seu espac¸o bidual:
1.11 Proposic¸a˜o. A aplicac¸a˜o Φ : V −→ V ∗∗ definida por
Φ (v) (ω) = ω (v)
e´ um isomorfismo natural entre V e V ∗∗.
Prova. Como dimV = dimV ∗∗, para verificar que Φ e´ um isomorfismo basta mostrar que ele e´ injetivo, isto
e´, que seu nu´cleo e´ o subespac¸o nulo. Seja e1 ∈ V um vetor na˜o nulo qualquer. Estenda este vetor a uma
base B = {e1, . . . , en} para V . Seja B∗ =
{
e1, . . . , en
}
a correspondente base dual de V ∗. Enta˜o Φ (e1) 6= 0
porque
Φ (e1)
(
e1
)
= e1 (e1) = 1.
�
Rodney Josue´ Biezuner 35
Em vista desta identificac¸a˜o, um vetor v ∈ V pode ser visto como um funcional linear sobre V ∗ cuja ac¸a˜o
em covetores de V ∗ e´ dada por
v (ω) = ω (v) . (1.17)
Em particular,
ei
(
ej
)
= δji (1.18)
e se
ω =
n∑
i=1
ωie
i,
enta˜o
ei (ω) = ωi. (1.19)
1.2.4 Convenc¸a˜o da Soma de Einstein
As escolhas acima para a notac¸a˜o, assim como outras escolhas que faremos no futuro, sa˜o necessa´rias para
que a convenc¸a˜o da soma de Einstein funcione: ao inve´s de usar o sinal de somato´rio
∑
para denotar uma
soma, convencionamos que sempre que uma expressa˜o conte´m um ı´ndice como um superescrito e o mesmo
ı´ndice como subescrito, uma soma e´ impl´ıcita sobre todos os valores que este ı´ndice pode tomar. Alguns
exemplos:
Convenc¸a˜o da Soma de Einstein Notac¸a˜o de Somato´rio
viei
n∑
i=1
viei
ei = A
j
ifj ei =
n∑
j=1
Ajifj
ωie
i
n∑
i=1
ωie
i
ek =
(
A−1
)k
l
f l ek =
n∑
i=1
(
A−1
)k
l
f l
∂
∂xi
=
∂yj
∂xi
∂
∂yj
∂
∂xi
=
n∑
i=1
∂yj
∂xi
∂
∂yj
T = T j1...jli1...ik e
i1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl T =
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik e
i1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl ,
Apesar de na˜o adotarmos a convenc¸a˜o da soma de Einstein nestas notas, faremos questa˜o de que a notac¸a˜o
adotada aqui seja consistente com ela.
1.3 Vetores e Covetores Tangentes
1.3.1 Mudanc¸a de Coordenadas no Espac¸o Tangente TpM
Se ϕ : U −→