Introdução à geometria riemanniana

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LISTA DE EXERCÍCIOS
Introdução à geometria riemanniana
1. Seja M uma variedade diferenciável e Diff(M) o grupo de difeomorfismos
de M (via composição de funções). Seja então G ⊂Diff(M) um subgrupo.
Diz-se que G age própria, descontínuamente e sem pontos fixos sobre M se:
(a) Dados x, y ∈M com x 6= y e y ∉Gx, existem abertos U ⊂M (contendo
x) e V ⊂M (contendo y) de modo que, para todos g ,h ∈G , temos
g (U )∩h(V )=;
(b) Dado x ∈M , existe um aberto U ⊂M (contendo x) tal que, para todo
g ∈G− {e}, temos g (U )∩U =;.
Mostre que se, em particular, M =Rm e se G é o grupo das translações do
Rm por elementos de Zm , então G age própria, descontínuamente e sem
pontos fixos sobre M . Mostre ainda que a relação ∼ definida em M por
x ∼ y ⇐⇒ y ∈Gx
é uma relação de equivalência em M . Mostre então que o espaço quociente
M/G possui uma estrutura natural de variedade diferenciável que faz com
que a projeção pi : M −→M/G seja um difeomorfismo local.
2. Seja f : M m −→N m+k uma imersão entre duas variedades. Suponha que N
possui uma métrica riemanniana 〈 , 〉. Mostre que, dado um ponto p ∈M e
vetores tangentes ~u,~v em Tp M , a expressão
(~u,~v)p =
〈
d fp (~u),d fp (~v)
〉
f (p)
define uma métrica riemanniana em M . Use essa definição e o teorema
de Whitney para mostrar que toda variedade diferenciável admite uma
métrica riemanniana.
1
3. Sejam (M m ,〈 , 〉) e (N n , ( , )) variedades riemannianas. Considere então
a variedade produto M ×N e as projeções naturais pi1 e pi2. Mostre que,
dado um ponto (p, q) ∈M ×N e vetores tangentes ~u,~v em T(p,q)(M ×N ), a
expressão abaixo define uma métrica riemanniana em M ×N
[~u,~v](p,q) =
〈
d(pi1)(p,q)(~u),d(pi1)(p,q)(~v)
〉
p +
(
d(pi2)(p,q)(~u),d(pi2)(p,q)(~v)
)
q
4. Considere a circunferência S1 com a métrica induzida pelo R2. O n-toro
Tn é definido como sendo a n-variedade produto S1×·· ·×S1 munida da
métrica produto. Mostre que o n-toro é localmente isométrico ao Rn .
5. Sejam a,b,c,d ∈R com ad −bc = 1. Mostre que as aplicações
w = az+b
cz+d
são isometrias do plano hiperbólicoH2.
6. (Disco de Poincaré) Considere o disco unitário no R2
D2 = {(x, y) ∈R2; x2+ y2 < 1}
Mostre que a seguinte métrica definida em D2 é riemanniana
d s2 = 4 d x
2+d y2(
1−x2− y2)2
Mostre ainda que a aplicação f :H2 −→D2 dada por
f (w)= w − i
w + i
é uma isometria entre a variedade riemanniana D2 e o plano hiperbólico
H2. Fixe agora r ∈]0,1[. Considere a seguinte região do disco D2
S = {(x, y) ∈D2; x2+ y2 ≤ r 2}
Calcule a área deS segundo a métrica definida acima.
2
7. Seja Gm um grupo de Lie, compacto e conexo, munido de uma métrica 〈 , 〉
invariante à esquerda. Como G é orientável, existe uma m-forma elemento
de volume Ω definida em G .
(a) Dados g ∈G e b1, . . . ,bm ∈ Tg G , defina a m-forma ν em G por
νg (b1, . . . ,bm)=Ωe (d(Lg−1 )g (b1), . . . ,d(Lg−1 )g (bm))
Mostre que ν é uma m-forma invariante à esquerda, ou seja, temos
(Lg )
∗(ν)= ν
para todo g ∈G .
(b) (Métrica bi-invariante emG) Dados g ∈G e ~u,~v ∈ Tg G , defina
〈〈~u,~v〉〉g =
∫
G
f ν
onde f (h)= 〈d(Rh)g (~u),d(Rh)g (~v)〉g h e ν é a m-forma volume do
item (a).
i. Mostre que 〈〈 , 〉〉 é uma métrica riemanniana em G .
ii. Dados h,k, g ∈G , mostre que é válida a seguinte igualdade〈
d(Rh)kg (d(Lk )g (~u)),d(Rh)kg (d(Lk )g (~v))
〉
kg h = f (h)
Conclua então que 〈〈 , 〉〉 é invariante à esquerda.
iii. Dados h,k, g ∈G , mostre que é válida a seguinte igualdade〈
d(Rh)g k (d(Rk )g (~u)),d(Rh)g k (d(Rk )g (~v))
〉
g kh = ( f ◦Lk )(h)
Conclua então que 〈〈 , 〉〉 é invariante à direita.
8. Com as notações e definições do exercício (1), seja M =Rn , seja G o grupo
das translações do Rn por elementos de Zn e M/G a respectiva variedade
quociente. Sabemos que a projeção pi : M −→M/G é um difeomorfismo
local. Mostre que podemos definir uma métrica riemanniana em M/G por
meio da seguinte expressão
〈~u,~v〉pi(p) = d((pi|U )−1)pi(p)(~u) ·d((pi|U )−1)pi(p)(~v)
onde pi(p) ∈M/G e ~u,~v ∈ Tpi(p)(M/G). Demonstre que essa definição não
depende dos representantes. Mostre que o quociente M/G é compacto,
orientável e calcule o seu volume.
3
9. Suponha que G é um grupo de Lie e que X ,Y ∈X(G) são campos de vetores
invariantes à esquerda, ou seja, temos que
d(Lh)g (Xg )= XLh (g )
d(Lh)g (Yg )= YLh (g )
para todos h, g ∈ G . Mostre que o colchete [X ,Y ] dos campos X e Y é
invariante à esquerda, isto é, para todos h, g ∈G temos
d(Lh)g ([X ,Y ]g )= [X ,Y ]Lh (g )
10. Seja Rn/Zn a variedade quociente do exercício (8) e f :Rn −→Tn dada por
f (x1, . . . , xn)=
(
e2piix1 , . . . ,e2piixn
)
Mostre que f é um difeomorfismo local sobrejetor. Obtenha então um
difeomorfismo entre Rn/Zn e o toro Tn usando f , a aplicação quociente
pi :Rn −→Rn/Zn
e também o diagrama comutativo
Rn
pi
��
f // Tn
Rn/Zn
f¯
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Utilizando a métrica do exercício (8), existe isometria entre Tn e Rn/Zn?
11. Mostre que no plano hiperbólicoH2 a conexão riemanniana é determinada
pelas seguintes igualdades 
∇e1 e1 = 1y e2
∇e1 e2 =− 1y e1
∇e2 e2 =− 1y e2
onde e1 = ∂∂x e e2 = ∂∂y .
4
12. Determine as geodésicas do plano hiperbólicoH2.
Solução: Considere a carta ϕ(u, v) = (u, v) de H2. Então g11 = g22 = 1/v2
e g12 = 0. Seja α(t) = ϕ(u(t), v(t)) = (u(t), v(t)) uma geodésica de H2. O
sistema de equações diferenciais que define uma geodésica fica assim
u′′− 2v u′v ′ = 0
v ′′+ 1v (u′2− v ′2)= 0
Se u′ = 0 então u = u0 é constante e v satisfaz v ′′ = (v ′)2/v e portanto
v(t) = aebt (com a,b ∈ R constantes) e assim as curvas α(t) = (u0, aebt ),
com t ∈R, são geodésicas deH2. Por outro lado, supondo u′ 6= 0, temos
d 2v
du2
= d
du
(
v ′
u′
)= d(
v ′
u′ )
du
= (
v ′
u′ )
′
u′
= v
′′u′− v ′u′′
(u′)2
· 1
u′
(1)
Multiplicando a primeira equação do sistema por v ′ e a segunda por u′
u′′v ′ = 2
v
·u′(v ′)2 e v ′′u′ =−u
′
v
· ((u′)2− (v ′)2) (2)
Substituindo (2) em (1) obtemos
d 2v
du2
=− 1
v
(1+ ( v
′
u′
)2)=− 1
v
(1+ ( d v
du
)2)
resultando na equação diferencial (na variável u)
v
d 2v
du2
+ ( d v
du
)2 =−1
ou ainda
d
du
(v
d v
du
)=−1. Integrando temos u2+ v2 =αu+β (α,β ∈R).
5
13. Considere as seguintes curvas α,β :R−→H2 dadas por
α(s)= (0,es), β(s)= (tanh(s), 1
cosh(s)
)
Mostre que ambas são geodésicas normalizadas do plano hiperbólicoH2.
14. Seja (M ,〈 , 〉) uma variedade riemanniana com conexão riemanniana ∇.
Mostre que podemos definir uma métrica no fibrado tangente T M da
seguinte maneira:
(a) Tome (p,~v) ∈ T M e vetores U ,V ∈ T(p,~v)(T M)
(b) Considere duas curvas α,β :]−²,²[−→ T M
α(t )= (p(t ), X t ), β(t )= (q(t ),Yt )
tais que p(0)= q(0)= p, X0 = Y0 =~v , α′(0)=U e β′(0)=V
(c) Defina uma métrica 〈〈 , 〉〉 em T M por
〈〈U ,V 〉〉(p,~v) =
〈
d(pi)(p,~v)(U ),d(pi)(p,~v)(V )
〉
p +
〈
D X
d t
(0),
DY
d t
(0)
〉
p
Mostre que se trata de uma métrica riemanniana.
15. Defina uma conexão afim ∇ em R2 declarando que Γki j (x, y) é zero exceto
Γ111(x, y)= x, Γ112(x, y)= Γ121(x, y)= 1, Γ222(x, y)= 2y
Considere a curva γ : [0,1]−→R2 dada por γ(t )= (t ,0). Determine o (único)
campo paralelo X t ao longo de γ tal que X0 = (0,1).
16. Seja (M ,〈 , 〉) uma variedade riemanniana com sua conexão riemanniana
∇˜. Suponha que N é uma subvariedade de M munida da métrica induzida
e denote por ∇ a respectiva conexão riemanniana de N . Mostre que
∇X Y =
(∇˜X˜ Y˜ )>
onde X ,Y ∈X(N ), X˜ , Y˜ ∈X(M) são extensões dos campos X ,Y e ( )> vai
denotar a componente tangente a N . Use esse resultado para determinar
as geodésicas do S2.
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17. Seja M uma variedade riemanniana com métrica 〈 , 〉 e com a sua conexão
riemanniana ∇. Um campo X ∈X(M) é chamado um campo de Killing se
〈∇Y X , Z 〉+〈∇Z X ,Y 〉 = 0
para todos Y , Z ∈X(M). Suponha que X ∈X(M)é um campo de Killing
e que p ∈M é o único ponto de uma bola geodésica B²(p) tal que Xp = 0.
Mostre que X é tangente às esferas geodésicas centradas em p e contidas
em B²(p).
18. Seja M uma variedade riemanniana com métrica 〈 , 〉 e com sua conexão
riemanniana ∇. Suponha que f : M −→ R é uma função diferenciável tal
que
∥∥grad fp∥∥p = 1 para todo p ∈ M , mostre que as curvas integrais do
campo grad f são geodésicas.
Solução: Se γ : [a,b]−→M é uma curva integral de grad f unindo p = γ(a)
e q = γ(b), então ∥∥γ′(t )∥∥γ(t ) = ∥∥grad fγ(t )∥∥γ(t ) = 1 para todo t ∈ [a,b]. Desse
modo
L (γ)=
∫ b
a
∥∥γ′(t )∥∥γ(t ) d t
=
∫ b
a
〈
γ′(t ),grad fγ(t )
〉
γ(t ) d t =
∫ b
a
( f ◦γ)′(t )d t = f (q)− f (p)
Por outro lado, dada uma curva α : [a,b]−→M unindo p e q obtemos
L (α)=
∫ b
a
∥∥α′(t )∥∥α(t ) d t
≥
∫ b
a
〈
α′(t ),grad fα(t )
〉
α(t ) d t =
∫ b
a
( f ◦α)′(t )d t = f (q)− f (p)
onde a desigualdade foi obtida usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Logo,L (α)≥L (γ). Como α é arbitrária, conclui-se que γ é geodésica �
19. Seja M m uma variedade riemanniana e tome p ∈M . Mostre que existe uma
vizinhança U ⊂M de p e campos de vetores E1, . . . ,Em ∈X(U ), ortonormais
em cada ponto de U e tais que (∇Ei E j )p = 0 para todos i , j ∈ {1, . . . ,m}.
7
20. Seja G um grupo de Lie. Uma curva diferenciável α : R −→ G é dita um
subgrupo a 1-parâmetro se α é um homomorfismo de grupos, ou seja, para
todos t , s ∈R vale a seguinte igualdade
α(t + s)=α(t )α(s)
Seja X ∈X(G) um campo invariante à esquerda. Mostre então que a curva
integral maximal α de X tal que α(0)= e é um subgrupo a 1-parâmetro.
21. Seja G um grupo de Lie munido de uma métrica riemanniana bi-invariante.
Mostre que todo subgrupo a 1-parâmetro de G é uma geodésica. Mostre
que todas as geodésicas de G são obtidas por translações à esquerda de
subgrupos a 1-parâmetro de G .
22. Seja T2 = S1 ×S1 o toro plano. Mostre que T2 é um grupo de Lie com
respeito à operação p :T2×T2 −→T2 dada por
p((g1, g2), (h1,h2))= (g1h1, g2h2)
Mostre ainda que a métrica produto é bi-invariante com respeito à essa
estrutura de grupo de Lie. Determine as geodésicas de T2.
23. Uma geodésica γ : [0,+∞[−→M em uma variedade riemanniana M é dita
um raio partindo de γ(0) se ela é minimizante entre γ(0) e γ(s), para todo
s ∈]0,+∞[. Admita que M é completa, não compacta, e seja p ∈M . Mostre
que M contém um raio partindo de p.
24. Considere o semi-plano superior
R2+ =
{
(x, y) ∈R2; y > 0}
munido da métrica riemanniana dada por
g11(x, y)= 1, g12(x, y)= g21(x, y)= 0, g22(x, y)= 1
y
Mostre que essa variedade riemanniana não é completa.
8
25. Seja M uma variedade riemanniana conexa. Mostre que os limitados e
fechados de M são compactos se, e sómente se, existe uma seqüência de
compactos de M , digamos (Kn)n∈N, que satisfaz:
(a) Kn ⊂Kn+1 para todo n ∈N e ainda⋃Kn =M
(b) Se (qn)n∈N é uma seqüência em M com qn ∉Kn para cada n, então
lim
n→+∞d(p, qn)=+∞
onde p é um ponto de K0.
26. Seja M uma variedade riemanniana completa e seja X ∈X(M). Suponha
que exista uma constante c > 0 tal que ∥∥Xp∥∥ ≤ c para todo p ∈ M . Prove
que as trajetórias de X , ou seja, as curvas α(t) em M com α′(t) = Xα(t ),
estão definidas para todo valor real de t .
27. Sejam f , g : M −→M isometrias de uma variedade riemanniana conexa M .
Suponha que existe um p ∈M tal que f (p)= g (p) e d fp = d gp . Mostre que
f = g em M .
28. Seja M uma variedade riemanniana conexa e p ∈M . Mostre que existe, no
máximo, uma isometria f : M −→M que é involutiva ( f 2 = Id) e que possui
p como ponto fixo isolado.
29. Mostre que se M é uma variedade riemanniana simétrica e seσp : M −→M
é a isometria involutiva relativa a p ∈M , então d(σp )p =−Id.
30. Mostre que toda variedade riemanniana simétrica é completa.
31. Suponha que G é um grupo de Lie conexo com uma métrica riemanniana
bi-invariante. Mostre que G é uma variedade riemanniana simétrica.
32. Seja M uma variedade na qual toda métrica riemanniana arbitrária a torna
uma variedade riemanniana completa. Mostre que M deve ser compacta.
9
33. Seja M uma variedade riemanniana e X ∈ X(M) um campo de Killing.
Defina a aplicação A :X(M)−→X(M) por A(Z )=∇Z X . Considere agora
a função f : M −→ R dada por f (q) = 〈Xq , Xq〉q e seja p ∈ M um ponto
crítico de f . Prove que, dado Z ∈X(M), temos
(a)
〈
A(Z )p , Xp
〉
p = 0
(b)
〈
A(Z )p , A(Z )p
〉
p = 12 Zp (Z 〈X , X 〉)+
〈
(R(X , Z )X )p , Zp
〉
p
Solução: Para todo Z ∈X(M) temos Zp 〈X , X 〉 = 0, uma vez que p é ponto
crítico de f . Então 0 = Zp 〈X , X 〉 = 2
〈
(∇Z X )p , Xp
〉
p = 2
〈
A(Z )p , Xp
〉
p e
assim mostrando (a). Para mostrar o item (b), usamos a equação de Killing
0= 〈∇Y X , Z 〉+〈∇Z X ,Y 〉
para todos Z ,Y ∈X(M). Fazemos Y = X e obtemos
0= 〈∇X X , Z 〉+〈∇Z X , X 〉
que calculado em p nos fornece, juntamente com o item (a), a expressão
0= 〈(∇X X )p , Zp〉p +〈A(Z )p , Xp〉p = 〈(∇X X )p , Zp〉p
o que implica (∇X X )p = 0, uma vez que Z é arbitrário. Por outro lado,
defina
Sq = 1
2
Zq (Z 〈X , X 〉)q ++
〈
(R(X , Z )X )q , Zq
〉
q
para todo q ∈M , onde Z é um campo fixado. Como X é Killing obtemos
S = 1
2
Z (Z 〈X , X 〉)+〈(R(X , Z )X ), Z 〉
=Z 〈∇Z X , X 〉+
〈∇Z∇X X −∇X∇Z X −∇[X ,Z ]X , Z〉
=−Z 〈∇X X , Z 〉+
〈∇Z∇X X −∇X∇Z X −∇[X ,Z ]X , Z〉
=〈∇[X ,Z ]X , Z〉−〈∇X X ,∇Z Z 〉−〈∇X∇Z X , Z 〉
=−〈∇Z X , [X , Z ]〉−〈∇X X ,∇Z Z 〉−〈∇X∇Z X , Z 〉
=−〈∇Z X ,∇X Z 〉+〈∇Z X ,∇Z X 〉−〈∇X X ,∇Z Z 〉+〈∇Z X ,∇X Z 〉
=〈∇Z X ,∇Z X 〉−〈∇X X ,∇Z Z 〉
e então Sp =
〈
A(Z )p , A(Z )p
〉
p −
〈
(∇X X )p , (∇Z Z )p
〉
p︸ ︷︷ ︸
=0
= 〈A(Z )p , A(Z )p〉p �
10
34. Suponha que M m é uma variedade riemanniana compacta de dimensão
par e com curvatura seccional positiva. Prove que todo campo de Killing X
em M possui uma singularidade, ou seja, existe p ∈M tal que Xp = 0.
Solução: Considere a função f : M −→R dada por f (q)= 〈Xq , Xq〉q . Como
a variedade M é compacta, f possui um ponto de mínimo global p ∈ M .
Por absurdo, suponha que Xp 6= 0 e considere então o subespaço vetorial
E ⊂ Tp M que é o complemento ortogonal do vetor Xp em Tp M . Observe
que dimR(E)=m−1 é ímpar. Tome agora a aplicação A do exercício (33).
Fazemos três afirmações
(a) “A(Tp M)⊂ E "
De fato, pelo item (a) do exercício anterior, dado z ∈ Tp M e a sua
extensão local Z , temos
〈
A(z), Xp
〉= 〈(A(Z ))p , Xp〉= 0 uma vez que
p é ponto crítico de f .
(b) “A|E : E −→ E é isomorfismo "
De fato, se y ∈ E é um vetor não nulo e se Y é uma extensão local de y ,
então
〈
Yp , Xp
〉= 0 e {Yp , Xp} gera um plano σ⊂ Tp M cuja curvatura
seccional K (p,σ) é positiva. Como conseqüência〈
(R(X ,Y )X )p ,Yp
〉
p =K (p,σ)
(∥∥Xp∥∥∥∥Yp∥∥−〈Xp ,Yp〉p)> 0
e uma vez que p é um ponto de mínimo de f , segue que
Zp (Z 〈X , X 〉)≥ 0
Pelo item (b) do exercício anterior obtemos
〈
A(y), A(y)
〉
p =
1
2
Zp (Z 〈X , X 〉)+
〈
(R(X ,Y )X )p ,Yp
〉
p > 0
mostrando que A(y) 6= 0 e assim A é injetora e portanto sobrejetora.
(c) “A|E : E −→ E é anti-simétrica "
De fato,
〈
A(y), z
〉
p +
〈
y, A(z)
〉
p =
〈
(∇Y X )p , Zp
〉+ 〈Yp , (∇Z X )p〉 = 0
uma vez que X é Killing.
A contradição segue da observação de que não existe matriz quadrada,
anti-simétrica e inversível de ordem ímpar �
11
35. Uma variedade de Einstein é uma variedade riemanniana M m para a qual
existe uma constante real λ de modo que
Ric(X ,Y )=λ〈X ,Y 〉
para todos X ,Y ∈X(M). Mostre que se m = 2 ou m = 3, então a variedade
de Einstein M m tem curvatura seccional constante. Mostre que se uma
variedade riemanniana M m possui curvatura seccional constante, então
M m é uma variedade de Einstein.
36. Mostre que toda variedade diferenciável M admite uma certa métrica que
a torna uma variedade riemanniana completa.
37. Uma curva divergente em uma variedade riemanniana M éuma aplicação
diferenciável α : [0,+∞[−→M tal que, para todo compacto K ⊂M , existe
um t0 ∈]0,+∞[ com α(t) ∉ K para todo t > t0. O comprimento de uma
curva divergente é
lim
a→+∞
∫ a
0
∥∥α′(t )∥∥d t
Mostre que M é completa se, e sómente se, o comprimento de qualquer
curva divergente é infinito.
38. Uma variedade riemanniana M é dita homogênea se, dados p, q ∈M , existe
uma certa isometria f : M −→ M tal que f (p) = q . Prove que todas as
variedades riemannianas homogêneas são completas.
39. Sejam M e M¯ duas variedades riemannianas e ainda f : M −→ M¯ um
difeomorfismo. Suponha que M¯ é completa e que existe uma constante
c > 0 tal que
|v | ≥ c ∣∣d fp (v)∣∣
para todo p ∈M e para todo v ∈ Tp M . Prove que M é completa.
12
40. Seja M uma variedade riemanniana completa e ainda M¯ uma variedade
riemanniana conexa. Suponha que f : M −→ M¯ é uma isometria local.
Suponha ainda que quaisquer dois pontos de M¯ podem ser unidos por
uma única geodésica de M¯ . Prove que f é uma isometria global.
41. Seja M uma variedade riemanniana. Considere um J um campo de Jacobi
ao longo de uma geodésica γ : [0, a] −→ M . Então, para todo t ∈ [0, a],
temos 〈
J (t ),γ′(t )
〉
γ(t ) =
〈
J ′(0),γ′(0)
〉
γ(0) t +
〈
J (0),γ′(0)
〉
γ(0)
Conclua que se J (0)= J (t0)= 0 para algum t0 ∈]0, a], então〈
J (t ),γ′(t )
〉
γ(t ) = 0
para todo t ∈ [0, a]. Conclua também que se J (0)= 0, então〈
J ′(0),γ′(0)
〉
γ(0) = 0
se, e sómente se,
〈
J (t ),γ′(t )
〉
γ(t ) = 0 para todo t ∈ [0, a].
42. Seja M uma variedade riemanniana. Suponha ainda que γ : [0, a]−→M é
uma geodésica e que X ∈X(M) um campo de Killing. Mostre que
(a) A restrição Xγ(s) é um campo de Jacobi ao longo de γ
(b) Se M é conexa e existe p ∈ M com Xp = 0 e (∇Y X )p = 0 para todo
vetor Yp ∈ Tp M , então X = 0 em M .
43. Seja M variedade riemanniana e M ,→M uma subvariedade com a métrica
induzida. Considere uma curvaγ : [0,1]−→M que é também uma geodésica
de M . Para cada planoσ⊂ Tγ(t )M com γ′(t ) ∈σ, mostre que vale a seguinte
desigualdade de Synge
K (σ)≤K (σ)
onde K representa a curvatura seccional em M .
13
44. (Toro de Clifford) Considere a seguinte aplicação f :R2 −→R4 dada por
f (x, y)= 1p
2
(
cos(
p
2x),sen(
p
2x),cos(
p
2y),sen(
p
2y)
)
(a) Mostre que f é uma imersão isométrica e que f (R2)⊂S3.
(b) Mostre que os campos abaixo são campos normais a f (R2)
ξ f (x,y) =
1p
2
(
cos(
p
2x),sen(
p
2x),cos(
p
2y),sen(
p
2y)
)
η f (x,y) =
1p
2
(
−cos(p2x),−sen(p2x),cos(p2y),sen(p2y)
)
(c) Determine os autovetores dos operadores de Weingarten Aξ e Aη.
(d) Mostre que f (R2) tem curvatura seccional constante igual a zero.
(e) Mostre que a imersão isométrica f :R2 −→S3 é mínima.
45. Seja f : M n −→Rn+k uma imersão isométrica de uma variedade compacta
M . Mostre que existe x0 ∈M e um vetor ξ ∈ (Tx0 M)⊥ tal que〈
Aξ(X ), X
〉≥ ‖X ‖2
para todo X ∈ Tx0 M .
46. Seja f : M n −→ M n+kc uma imersão isométrica de uma certa variedade
riemanniana M em uma variedade M c de curvatura seccional constante c .
Suponha que f é mínima em x0 ∈M . Mostre que:
(a) Ricx0 (X )≤ c, para todo vetor X ∈ Tx0 M unitário.
(b) Ricx0 (X )= c ⇔ f é totalmente geodésica em x0.
47. Considere uma imersão isométrica f : M n −→M n+k entre duas variedades
riemannianas. Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações:
(a) f é umbílica em x0 ∈M .
(b) Aξ = 〈H(x0),ξ〉 Id, para todo ξ ∈ (Tx0 M)⊥.
(c) α(X ,Y )= 〈X ,Y 〉H(x0), para todos X ,Y ∈ Tx0 M .
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48. Seja G um grupo de Lie munido de uma métrica riemanniana bi-invariante.
Seja H ⊂ G um subgrupo de Lie de G . Mostre que, munido da métrica
induzida, o subgrupo H é uma subvariedade totalmente geodésica de G .
49. Considere uma imersão isométrica f : M n −→ M n+kc em uma variedade
M c de curvatura seccional constante c . Mostre que se n ≥ 2 e f é umbílica,
então:
(a) ∇⊥X H = 0, para todo X ∈X(M).
(b) R⊥ = 0.
50. Seja f : M n −→Rn+1 uma imersão isométrica umbílica, onde n ≥ 2 e ainda
M n é uma variedade riemanniana conexa. Mostre que ou a imagem f (M)
está contido em um hiperplano, ou f (M) está contido em uma esfera.
51. Seja f : M n −→Rn+k uma imersão isométrica e seja ξ ∈X⊥(M) um campo
de vetores unitário e paralelo, ou seja, para todo X ∈X(M) vale que
∇⊥X ξ= 0
Admita ainda que, para todo x ∈M , o operador de Weingarten Aξx é um
isomorfismo e que
〈
f (x),ξx
〉= c constante. Mostre que f (M) está contido
em uma esfera com centro na origem do Rn+k .
52. Seja n ≥ 2 e f : M n −→ M n+1 uma imersão isométrica. Dado um ponto
x ∈M , dizemos que um vetor não nulo X ∈ Tx M é assintótico para f se
αx (X , X )= 0
Mostre que se f é mínima, para todo x ∈M existe X ∈ Tx M assintótico para
f . Mostre ainda que f é uma imersão mínima em x ∈M se, e sómente se,
existirem n vetores de Tx M
X1, . . . , Xn
que são ortogonais e assintóticos.
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53. Seja f : M
n+k −→M n uma submersão riemanniana. Mostre que se X ,Y , Z ,W
são campos em M e X ,Y , Z ,W são os seus respectivos levantamentos em
M , então:
(a) ∇X Y =∇X Y +
1
2
[X ,Y ]v
(b) A expressão
〈〈
R(X ,Y )Z ,W
〉〉
−〈R(X ,Y )Z ,W 〉 é igual a
1
4
〈〈
[Y , Z ]v , [X ,W ]v
〉〉
− 1
4
〈〈
[X , Z ]v , [Y ,W ]v
〉〉
− 1
2
〈〈
[Z ,W ]v , [X ,Y ]v
〉〉
Conclua que se X e Y são ortonormais, então temos a igualdade
K (X ,Y )=K (X ,Y )− 3
4
∥∥∥[X ,Y ]v∥∥∥2
Considere a aplicação f :S2n+1 −→Pn(C) dada por
f (z0, z1, . . . , zn)= [(z0, z1, . . . , zn)]
Mostre que f é uma submersão. Mostre ainda que, definindo uma métrica
riemanniana 〈 , 〉 em Pn(C) por〈
Xp ,Yp
〉
p =
〈〈
X b ,Y b
〉〉
S2n+1
onde b ∈ f −1(p) (a definição não depende de representantes), a aplicação
f torna-se uma submersão riemanniana. Conclua que, munido dessa
métrica, Pn(C) é uma variedade de Einstein.
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