Geometria Diferencial

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Introduc¸a˜o a` Geometria Diferencial
Rui Albuquerque
Departamento de Matema´tica, Universidade de E´vora, Portugal
Setembro 2016
Prefa´cio
O presente trabalho pretende fazer uma apresentac¸a˜o breve e o mais consistente poss´ıvel, das ideias,
conceitos e instrumentos que hoje em dia se utilizam e fazem progredir o estudo da geometria. Mais
espec´ıficamente, do ramo que e´ hoje conhecido por geometria diferencial. Pensamos, naturalmente,
que o estudo da geometria na˜o se pode circunscrever a nenhuma teoria u´nica ou tratado global e
final, e que tambem neste campo da criac¸a˜o humana e conhecimento cient´ıficos as ideias fluem de
forma diversa e teˆm de ser, e sa˜o, aprendidas de muitas maneiras. Tanto da parte dos que ensinam
como daquela dos que aprendem.
Sem du´vida, a geometria diferencial joga um papel excepcional, mesmo na matema´tica toda se
tal se pudesse considerar, porque afinal ela conjuga muitas e variad´ıssimas das mate´rias da a´lgebra e
da ana´lise. Aparece nas soluc¸o˜es de problemas de va´rias varia´veis reais ou complexas, tratadas como
espac¸os geome´tricos de dimensa˜o qualquer, ou nos problemas de varia´veis discretas, tratadas como
abstracc¸o˜es das anteriores (referimo-nos a`s variedades alge´bricas); informa-nos sobre as propriedades
intr´ınsecas da morfologia do espac¸o e suas medidas. Esse e´ precisamente o caso do globo terrestre
como o nome “geo+metria”indica. A geometria diferencial obriga a profunda reflexa˜o sobre os
conceitos e leva-nos a´ formulac¸a˜o de novas ideias e teorias, a` descoberta de estruturas geome´tricas
antes na˜o imaginadas ou sequer procuradas. E finalmente remete-nos para o puro gozo da busca
da demonstrac¸a˜o ou para o recolhimento na procura da mais sincera construc¸a˜o este´tica ou da
abstracc¸a˜o intelectual.
Numa interpretac¸a˜o livre e pessoal da influeˆncia da matema´tica sobre tudo o que ao homem
diz respeito, a geometria mostra-nos de forma clarividente a forc¸a de uma teoria, o poder das
ideias consolidadas pelo pensamento e indu´stria humanos na descoberta e explicac¸a˜o da realidade
que nos rodeia ou como utens´ılio para a transformar; porque tem de facto uma correspondeˆncia
com a Natureza. Por exemplo, quando falamos da “esfera de dimensa˜o quatro”podemos na˜o saber
para o que servem os resultados a que chegamos, ainda que estes nos permitam de imediato intuir
novos caminhos a perseguir dentro da matema´tica. Mas um f´ısico teo´rico podera´ utilizar qualquer
dos nossos teoremas para explicar uma experieˆncia que ocorra num “espac¸o-tempo com condic¸o˜es
de curvatura nula na fronteira”e que ele “compactifica”naquela esfera (ver [Ati79]). A realidade
encarrega-se de mostrar que ambos tinham raza˜o, F´ısicos e Matema´ticos, mas cada um nos seus
domı´nios e com os seus crite´rios de verdade — assim se tem verificado atrave´s da histo´ria, de
forma mais preponderante desde que Newton e Leibniz descobriram o ca´lculo diferencial e com que
benef´ıcios! Reafirmamos pois, com confianc¸a num futuro sempre intelig´ıvel e sempre mais humano,
que a geometria diferencial consolida a nossa certeza nos valores do ensino, da cieˆncia e da arte,
como instrumentos para a elevac¸a˜o da cultura de cada um e melhoria da condic¸a˜o e liberdade de
todos.
Este livro tem por primeiro objectivo o ensino. Em particular uma apresentac¸a˜o da geometria
diferencial moderna aos alunos dos cursos de matema´ticas aplicadas da Universidade de E´vora, que
iii
iv
esperamos cativar para o prosseguimento do estudo no curso do quarto ano“Ana´lise em Variedades”.
Tem tambem o objectivo de dar um contributo, ou afirmar a necessidade de, elevar o grau de
conhecimento da geometria e o esforc¸o da sua divulgac¸a˜o em Portugal e entre os estudantes que na˜o
abdicam de estudar em portugueˆs.
Aparte tudo o que ja´ se disse de subjectivo, importa estar avisado que os resultados que se
apresentam sa˜o fruto de aturada e persistente busca dos seus autores, pelo que podera˜o ser com-
preendidos sempre melhor se o estudante os acompanhar com incentivo, desejo, abnegac¸a˜o e muita
vontade cr´ıtica.
Conteu´do
Introduc¸a˜o 3
1 Material preparato´rio 5
1.1 A´lgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Espac¸os vectoriais e aplicac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Construc¸a˜o de espac¸os vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Espac¸os topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Aplicac¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Topologias produto e quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Noc¸o˜es principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Espac¸os me´tricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Mais conceitos da topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Duas questo˜es sobre conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Va´rias propriedades definidas localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Espac¸os paracompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Ca´lculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Propriedades fundamentais das func¸o˜es diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Func¸o˜es de Rn em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3 Func¸o˜es de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 Teoremas da func¸a˜o inversa e da func¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Variedades diferencia´veis 47
2.1 Definic¸o˜es e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3 Propriedades topolo´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Espac¸o tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.1 Definic¸a˜o e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.2 Func¸o˜es suaves com valores reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.3 Campos vectoriais e pareˆntesis de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Aplicac¸o˜es suaves entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.1 Curvas suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.2 Aplicac¸o˜es suaves e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4 Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1
2
2.4.1 Subvariedades imersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.2 Subvariedades mergulhadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.3 Exemplos e caracterizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.4 Prolongamentos de func¸o˜es e de campos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5 Teoremas de construc¸a˜o de variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 Aplicac¸o˜es cla´ssicas 81
3.1 Grupos de Lie e a´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2 Acc¸o˜es de grupos de Lie em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.1 Variedades homoge´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.2 Variedades quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Variedades orienta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.1 Orientac¸a˜o de um espac¸o vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.2 Orientac¸a˜o de uma variedade diferencia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Introduc¸a˜o a` geometria riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.1 Espac¸os com produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.2 Variedades riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5 Breve refereˆncia ao estudo das curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.1 Definic¸o˜es gerais em variedades riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.2 Estudo local das curvas em R3; a curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5.3 Fo´rmulas de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Bibliografia 110
Introduc¸a˜o
Este livro de matema´tica esta´ pensado da seguinte maneira.
Destina-se a alunos do terceiro ano de uma licenciatura em matema´tica, que se supo˜e ja´ terem tido
contacto razoa´vel mas na˜o amadurecido com os temas expostos no primeiro cap´ıtulo. Nomeadamente
a a´lgebra linear e um pouco da teoria dos grupos, o ca´lculo diferencial em va´rias varia´veis ate´ aos
teoremas da func¸a˜o impl´ıcita e da func¸a˜o inversa, a topologia e a me´trica. Claro que nestes vastos
campos se intersecta aqui ou ali com pontos centrais da ana´lise funcional que o leitor pode estranhar
na˜o serem perseguidos com a mesma profundidade. E´ o caso, por exemplo, dos espac¸os completos1.
E´ que pretendemos avanc¸ar pelas a´guas mais calmas desse rio turbulento que e´ a topologia e a
ana´lise para chegar ao vasto oceano da geometria, onde perigos na˜o menos avultosos nos podera˜o
surpreender. Enfim, para ir ao mar convem aprender a nadar.
No cap´ıtulo 1, a par do material apresentado que deve ser conhecido, tambem se prepara o
caminho para alguns pontos espec´ıficos da geometria. Logo no in´ıcio, a colecc¸a˜o de resultados sobre
espac¸os vectoriais dara´ lugar mais tarde a construc¸o˜es ana´logas na teoria dos fibrados vectoriais.
Depois, o teorema dos espac¸os me´tricos que relaciona conceitos como (pre´-)compacto, completo,
limitado, fechado e existeˆncia de subsucesso˜es convergentes, e´ apresentado tendo em vista dar um
bom avanc¸o ao leitor no caminho que leva ao teorema de Hopf-Rinow da geometria riemanniana,
que infelizmente ainda esta´ muito ale´m das possibilidades este livro. O conjunto de teoremas sobre
topologia mais avanc¸ada tem em vista a introduc¸a˜o de partic¸o˜es da unidade nas variedades, embora
por esta altura apenas de classe C0. O ca´lculo diferencial e´ exposto da forma mais sucinta que se
encontrou. Por exemplo o teorema de Schwarz podia ser mais facilmente demonstrado se se aligeirasse
as hipo´teses e introduzisse o integral de Riemann e o teorema de Fubini. E´ que a demonstrac¸a˜o que
se apresenta e que vimos em [DA89] na˜o pede a continuidade das segundas derivadas, aparecendo
como um resultado de natureza pontual. No fim do cap´ıtulo 1 temos os famosos teoremas da func¸a˜o
inversa e da func¸a˜o impl´ıcita, que nos permitira˜o juntamente com os teoremas da derivada injectiva
ou da derivada sobrejectiva, produzir novas variedades ora por imagem directa ora por imagem
rec´ıproca.
No segundo cap´ıtulo temos uma introduc¸a˜o a`s variedades que julgamos a mais indicada para os
estudantes do terceiro ano. Note-se que a mate´ria central deste livro e´ precisamente o estudo das
variedades. A nossa introduc¸a˜o permite fazer construc¸o˜es como a garrafa de Klein que na˜o sa˜o de
descric¸a˜o fa´cil como subvariedades do espac¸o euclideano.
Tambem a introduc¸a˜o do espac¸o tangente se pensa ser a mais conveniente. Vamos do global, ao
local e finalmente ao pontual. Consideramos que o que faz a diferenc¸a em geometria sa˜o as questo˜es
globais, e com isto julgamos estar mais pro´ximos tanto de uma das perspectivas originais da teoria
1Pode o leitor interessado ver satisfeita, em parte, a sua curiosidade ficando a conhecer que existe tambem uma
geometria diferencial em dimensa˜o infinita, onde se estudam as variedades de Banach, i.e. modeladas num espac¸o
vectorial de Banach.
3
4 Introduc¸a˜o
(aquela de matema´ticos como H. Weyl na Alemanha e E. Cartan e A. Weyl em Franc¸anos anos 20 do
se´culo passado) como das que fizeram escola durante grande parte do se´culo XX e ainda vigoram (as
de H. Cartan, Grothendieck, M. Atiyah). As questo˜es locais podem sempre ser vistas como questo˜es
da ana´lise e necessitam de especial atenc¸a˜o no estudo da geometria riemanniana. Esta geometria,
ja´ agora convem explicar, centra-se no estudo das variedades munidas de uma me´trica, i.e. medida
de comprimento de vectores e aˆngulos, que se admite poder ser varia´vel de espac¸o tangente para
espac¸o tangente. Este estudo antecede cronolo´gicamente o das variedades, tendo surgido com C. F.
Gauss e B. Riemann. Mostrou a sua grandeza nos finais do se´culo XIX com matema´ticos como T.
Levi-Civita, Bianchi e Ricci e provou a sua importaˆncia, entre outras, com a teoria da Relatividade
de Einstein que provou a existeˆncia de curvatura no espac¸o-tempo (R4). Talvez o leitor reconhec¸a
a refereˆncia aos exemplos cla´ssicos de curvatura 0, 1 e −1, respectivamente, no plano, na esfera e
ponto-de-sela. Nos dois u´ltimos trata-se de exemplos de geometrias na˜o euclideanas em dimensa˜o
dois.
Note-se que a ideia de variedade provem de conceitos f´ısicos bem reais. Mas se a variedade por
vezes tem uma existeˆncia real concreta, o mesmo na˜o se passa com o espac¸o tangente, que sendo
uma abstracc¸a˜o ‘um passo acima’, pode ser considerada de diversas maneiras consoante o gosto
do professor ou a necessidade do investigador. Ou seja, o espac¸o tangente tem de ser constru´ıdo
pelo matema´tico que estuda variedades; ele na˜o surge de forma natural. Assim considerando, o
que procura´mos fazer no cap´ıtulo 2 deste livro foi que essa construc¸a˜o fosse tanto o menos penosa
poss´ıvel e a mais fa´cil de intuir para o leitor, como aquela que permitisse fazer as demonstrac¸o˜es dos
resultados seguintes com o indispensa´vel rigor que se reserva para a matema´tica.
Cap´ıtulo 1
Material preparato´rio
1.1 A´lgebra linear
Comec¸amos por recordar alguns fundamentos da geometria cartesiana no quadro mais vasto da
a´lgebra linear. Assumimos que o leitor domina as bases da teoria das matrizes, ate´ a` teoria dos
determinantes. Uma o´ptima refereˆncia para esta mate´ria e´ [DA83]. Ao longo desta secc¸a˜o K designa
um corpo.
1.1.1 Espac¸os vectoriais e aplicac¸o˜es lineares
Da´-se o nome de espac¸o vectorial sobre o corpoK a um conjunto V munido da seguinte estrutura:
(i) uma operac¸a˜o bina´ria + em V , denominada adic¸a˜o, tal que (V,+) e´ um grupo comutativo e (ii)
uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar K× V → V , denotada (λ, v) 7→ λv, satisfazendo:
λ(ξv) = (λξ)v, (λ+ ξ)v = λv + ξv,
λ(u+ v) = λu+ λv, 1v = v
(1.1)
para quaisquer λ, ξ ∈ K, u, v ∈ V . Os elementos de V sa˜o chamados de vectores, e os de K de
escalares. Tem-se que para qualquer nu´mero natural n o produto cartesiano Kn e´ espac¸o vectorial
sobre K. Em particular qualquer corpo e´ espac¸o vectorial sobre si pro´prio.
Sejam v1, . . . , vj ∈ V . Estes vectores dizem-se linearmente independentes se na˜o existem
escalares, na˜o todos nulos, λ1, . . . , λj ∈ K tais que
λ1v1 + . . .+λjvj = 0, (1.2)
isto e´, tais que o vector nulo seja combinac¸a˜o linear dos v1, . . . , vj com algum λi 6= 0. Caso contra´rio
aqueles vectores dizem-se linearmente dependentes.
5
6 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
Uma famı´lia {vα}α∈I de vectores de V , indiciada em I, diz-se geradora de V se qualquer vector
v e´ combinac¸a˜o linear de alguns dos vα, ie. existem escalares λαβ , com αβ ∈ I e com o conjunto
dos β finito, tais que
v =
∑
β
λαβvαβ . (1.3)
Uma famı´lia minimal geradora de V chama-se uma base de V . Os vectores de uma base sa˜o portanto
linearmente independentes. Se uma base existe e forem em nu´mero finito os seus elementos, dizemos
que V tem dimensa˜o finita; sena˜o V tem dimensa˜o infinita.
Se V tem dimensa˜o finita, enta˜o quaisquer duas bases teˆm o mesmo nu´mero de elementos (a
demonstrac¸a˜o deste facto na˜o e´ nada imediata); nu´mero esse designado por dimensa˜o de V ou,
abreviando, dimV .
Sejam V,W dois espac¸os vectoriais sobre o mesmo corpo K. Uma func¸a˜o f : V →W diz-se uma
aplicac¸a˜o (K-)linear ou uma transformac¸a˜o linear, se
f(u+ v) = f(u) + f(v), f(λv) = λf(v) (1.4)
para quaisquer u, v ∈ V, λ ∈ K. E´ trivial verificar que a soma de duas aplicac¸o˜es lineares f, g : V →
W , definida por (f + g)(v) = f(v) + g(v), e´ tambe´m uma aplicac¸a˜o linear V → W . O mesmo e´
verdade para a multiplicac¸a˜o λf de um escalar λ pela aplicac¸a˜o linear, dado por (λf)(v) = λf(v).
Designando enta˜o L(V,W ) = {f : V →W linear} prova-se que este conjunto adquire uma estrutura
de espac¸o vectorial sobre K, com aquela adic¸a˜o e aquele produto por escalar, e que, se V e W teˆm
dimensa˜o finita respectivamente n e m, enta˜o L(V,W ) tem dimensa˜o finita nm. Tomam especial
destaque o espac¸o vectorial V ∗ = L(V,K), chamado dual de V , e o espac¸o EndV = L(V, V ) dos
endomorfismos.
Seja f : V →W uma aplicac¸a˜o linear. Dizemos que f e´, respectivamente, um monomorfismo,
um epimorfismo, ou um isomorfismo ('), se f e´, respectivamente, injectiva, sobrejectiva ou
bijectiva. Dizemos que f e´ um endomorfismo se V = W e dizemos que e´ um automorfismo se,
ale´m disso, f e´ tambe´m um isomorfismo.
Verifica-se imediatamente que a composic¸a˜o de aplicac¸o˜es lineares e´ linear e que a inversa de um
isomorfismo e´ tambe´m um isomorfismo linear. Com a composic¸a˜o como produto, podemos falar do
grupo linear GL(V ) de todos os automorfismos de V .
1.1.2 Construc¸a˜o de espac¸os vectoriais
Seja V um espac¸o vectorial sobre K. Um subconjunto F de V diz-se um subespac¸o vectorial sobre
K de V se F e´ um espac¸o vectorial com a estrutura induzida de V , ou seja, quando restringimos a
F a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalares quaisquer. O mesmo e´ dizer: F e´ subespac¸o vectorial de V
se
∀u, v ∈ F, ∀λ ∈ K, enta˜o u+ v ∈ F, λu ∈ F. (1.5)
Sejam V,W dois espac¸os vectoriais. Podemos enta˜o definir, formalmente, a soma directa
V ⊕W = {v + w : v ∈ V, w ∈W}. (1.6)
1.1 A´lgebra linear 7
que na˜o e´ mais que o produto cartesiano V ×W . Convem-nos pore´m utilizar a notac¸a˜o aditiva, pelo
que se atribui o nome de soma directa a`quele conjunto, munido da operac¸a˜o +
(v1 + w1) + (v2 + w2) = v1 + v2 + w1 + w2, (1.7)
onde v1 + v2 esta´ em V e w1 + w2 esta´ em W , e da operac¸a˜o produto por escalar
λ(v + w) = λv + λw. (1.8)
E´ fa´cil verificar que a soma directa de V e W e´ um novo espac¸o vectorial sobre K, cuja dimensa˜o
e´ finita e igual a` soma das dimenso˜es de V e de W se estas forem finitas. V introduz-se de forma
un´ıvoca e linear na soma directa, e esta projecta-se de novo em V tambe´m de modo linear. Claro
que V ⊕W 'W ⊕ V .
Seja F ⊂ V um subespac¸o vectorial de V . Suponhamos que e´ imposta a relac¸a˜o ∼ em V :
u ∼ v se v − u ∈ F. (1.9)
E´ trivial verificar que ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Mais ainda, se u1, u2, v1, v2 ∈ V, λ ∈ K
e se u1 ∼ u2, v1 ∼ v2, prova-se tambe´m que u1 + v1 ∼ u2 + v2 e que λu1 ∼ λu2. No conjunto
quociente V/ ∼, conjunto das classes de equivaleˆncia v + F = {v′ : v′ ∼ v}, podemos definir enta˜o
uma estrutura de espac¸o vectorial sobre K com as operac¸o˜es
(v + F ) + (u+ F ) = (v + u) + F, λ(u+ F ) = λu+ F. (1.10)
A demonstrac¸a˜o e´ um simples exerc´ıcio. Este espac¸o vectorial quociente sobre K e´ denotado
por V/F . Se V tem dimensa˜o finita n, enta˜o F tambe´m tem e nesse caso, se v1, . . . , vj e´ uma
base de F , que extendemos a uma base v1, . . . , vj , vj+1, . . . , vn como podemos sempre fazer, enta˜o
vj+1 + F, . . . , vn + F e´ uma base de V/F . Independentemente das bases, tem-se enta˜o a relac¸a˜o
dimV = dimF + dimV/F. (1.11)
A projecc¸a˜o p : V → V/F, p(v) = v + F , e´ uma aplicac¸a˜o linear2.
Sejam V,W dois espac¸os vectoriais, f : V →W uma aplicac¸a˜o linear. Tem-se enta˜o que
ker f =
{
v ∈ V : f(v) = 0} (1.12)
e´ um subespac¸o vectorial de V chamado nu´cleo ou kernel de f . Verifica-se sem dificuldade que f e´
um monomorfismo se, e so´ se, ker f = 0. Tambe´m a imagem de f
imf = f(V ) =
{
f(v) : v ∈ V } (1.13)
e´ um subespac¸o vectorial de W .
2Aqui temos um exemplo de uma sucessa˜o exacta
0 −→ F −→ V −→ V/F −→ 0,
ou seja, cada flecha tem imagem igual ao nu´cleo da flecha seguinte (e 0 designa o espac¸o vectorial nulo {0}). Este
diagrama remete-nos para outro, ana´logo, que surge com a soma directa. Mas repare-se que na˜o existe forma cano´nica
de escrever V = F ⊕ V/F ...
8 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
Teorema 1.1.1 (do isomorfismo). Nas condic¸o˜es anteriores, suponhamos ainda V,W de dimensa˜o
finita. Existe enta˜o um isomorfismo
φ : V/ ker f ' imf. (1.14)
Em particular, dimV = dimker f + dim imf .
Demonstrac¸a˜o. Basta verificar que φ dada por v + ker f 7→ f(v) esta´ bem definida, que e´ linear,
injectiva e sobrejectiva. �
Dada uma base e1, . . . , en de V , qualquer aplicac¸a˜o K-linear f : V → W fica inteiramente
determinada pelas imagens f(e1), . . . , f(en), pois qualquer vector v ∈ V se escreve de modo u´nico
como combinac¸a˜o linear dos vectores da base e depois basta usar a linearidade de f . Fixando tambe´m
uma base e′1, . . . , e
′
m de W poderemos escrever
f(ei) =
m∑
j=1
bije
′
j . (1.15)
Donde, a cada escolha de um par de bases temos uma e uma so´ matriz associada a` aplicac¸a˜o linear
dada. Em suma, se fixarmos uma base teremos um isomorfismo V ' Kn; se fixarmos tambe´m uma
base de W teremos um isomorfismo L(V,W ) ' L(Kn,Km) ' Mn×m(K), o espac¸o das matrizes n
por m e coeficientes em K.
Contudo, para os fins da geometria diferencial, o estudo de Kn e das matrizes na˜o se pode
identificar com o estudo dos espac¸os vectoriais e aplicac¸o˜es lineares.
Exerc´ıcios
1. Seja K′ um subcorpo de K e V um espac¸o vectorial sobre K. Mostre que V e´ espac¸o vectorial
sobre K′. Mostre que Cn e´ espac¸o vectorial sobre R de dimensa˜o 2n.
2. Mostre que Kn na˜o e´ corpo, para n ≥ 2 e com produto definido pelo produto componente a
componente em K.
3. Seja f : V → W uma aplicac¸a˜o linear entre dois espac¸os vectoriais sobre K. Seja e1, . . . , en
uma base de V . Prove que f e´ um monomorfismo se, e so´ se, os vectores f(e1), . . . , f(en) sa˜o
linearmente independentes; e que f e´ um epimorfismo se, e so´ se, os vectores f(e1), . . . , f(en)
geram W .
4. Descreva um isomorfismo L(K, V ) ' V .
5. Seja V um espac¸o vectorial de dimensa˜o n e seja p < n. Mostre que qualquer sistema de p
vectores linearmente independentes se pode extender a uma base de V .
6. SejaMn(K) o espac¸o vectorial das matrizes quadradas de ordem n e coeficientes em K. Mostre
que S = {X ∈ Mn : X = XT } (XT representa a transposta) e Λ = {X ∈ Mn : X = −XT }
sa˜o subespac¸os vectoriais reais e que Mn = S ⊕ Λ. (Sugesta˜o: repare que X = (X +XT )/2 +
(X − XT )/2.) Recordamos que as matrizes de S se dizem sime´tricas e as de Λ se dizem
anti-sime´tricas.
1.2 Topologia 9
7. Dado X ∈ Mn×n(C), seja X∗ =XT . Mostre que Mn×n(C) e´ soma directa (sobre R) dos
subespac¸os vectoriais reais das matrizes X tais que X = X∗ (matriz hermı´tica) e das matrizes
Y tais que Y = −Y ∗ (matriz anti-hermı´tica).
1.2 Topologia
As noc¸o˜es principais da teoria dos espac¸os topolo´gicos dominam a geometria diferencial. A generali-
dade com que queremos abordar este campo da matema´tica, obriga-nos na˜o so´ a recordar as noc¸o˜es
principais como a conhecer algumas das suas mais fortes consequeˆncias.
1.2.1 Espac¸os topolo´gicos
Dizemos que um conjunto X e´ um espac¸o topolo´gico se a ele estiver atribu´ıda uma topologia,
isto e´, uma escolha de um subconjunto A do conjunto das partes de X tal que
∅, X ∈ A,
se {Uα} e´ uma famı´lia qualquer de elementos de A, enta˜o ∪α Uα ∈ A,
e se U1, . . . , Um sa˜o m (finito) elementos de A, enta˜o ∩mi=1 Ui ∈ A.
(1.16)
Os elementos de A dizem-se abertos; os seus complementares sa˜o os fechados. Devido a esta
dualidade prova-se que a topologia pode ser descrita pelos fechados, devendo estes satisfazer: ∅, X
sa˜o fechados, a intersecc¸a˜o de qualquer famı´lia de fechados e´ fechada e a unia˜o finita de fechados e´
fechada. Aos subconjuntos de X que conteˆm abertos que conteˆm um dado ponto ou elemento x de
X da´-se o nome de vizinhanc¸as de x.
Duas topologias ocorrem naturalmente sobre qualquer conjunto X: a discreta, PX , onde todos
os subconjuntos de X sa˜o considerados abertos, e a cao´tica, onde apenas o vazio e o espac¸o todo
sa˜o abertos. Temos de facto duas topologias.
Dadas duas topologias A1 e A2 de X dizemos que A1 e´ mais fina que A2, ou que esta e´ menos
fina que a primeira, se A1 ⊇ A2. Note-se que a topologia mais fina e´ a que tem mais abertos.
Portanto, PX e´ a mais fina e a topologia cao´tica e´ a menos fina de todas.
Teorema 1.2.1. Para qualquer conjunto B de partes de um conjunto X existe uma topologia em X
com a propriedade de ser a menos fina que conte´m B.
Demonstrac¸a˜o. Comec¸amos por notar que a intersecc¸a˜o, A = ∩ιAι, de qualquer famı´lia de topologias
de X e´ uma topologia de X. Com efeito, ∅, X ∈ A porque esta˜o em todas; se {Uα} e´ uma famı´lia3
de abertos em todas as topologias Aι, enta˜o ∪αUα esta´ em todos os Aι e portanto em A; o mesmo
sucede para a intersecc¸a˜o finita de abertos.
3Denotamos uma famı´lia qualquer por { }α, na˜o nos interessando especificar onde e´ que os ı´ndices esta˜o a variar:
por isso e´ que dizemos famı´lia e na˜o conjunto. Se essa famı´lia for numera´vel, usamos enta˜o a notac¸a˜o { }
n∈N.
10 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
Agora, para demonstrar o teorema basta fazer a intersecc¸a˜o de todas as topologias de X que
conteˆm B. Tal famı´lia e´ na˜o vazia: PX e´ uma dessas topologias. �
Aquela topologia minimal dada pelo teorema diz-se gerada por B.
Seja X um espac¸o topolo´gico e M ⊂ X. x ∈ X diz-se aderente a M se cada vizinhanc¸a de
x conte´m pelo menos um ponto de M . Denota-se por M a adereˆncia ou fecho de M , isto e´, o
conjunto dos pontos aderentes a M e tem-se que M e´ fechado se, e so´ se, M =M . Dizemos que M
e´ denso em X se M = X. Um ponto x ∈ X e´ um ponto de acumulac¸a˜o de M se cada vizinhanc¸a
de x conte´m pelo menos um ponto de M distinto de x.
Um conjunto B de abertos de X e´ uma base da topologia de X se qualquer aberto e´ reunia˜o de
abertos de B. O mesmo e´ dizer
∀U aberto, ∀x ∈ U, existe Vx ∈ B : x ∈ Vx ⊂ U. (1.17)
E´ fa´cil mostrar que a topologia gerada por B coincide com a original. Estas duas u´ltimas asserc¸o˜es
provam que uma topologia em X fica bem determinada se conhecermos um sistema fundamental
de vizinhanc¸as de cada um dos seus pontos, isto e´, um sistema Bx de vizinhanc¸as de x com a
propriedade de outra qualquer vizinhanc¸a conter sempre uma das de Bx. Rec´ıprocamente:
Proposic¸a˜o 1.2.1. Dada uma famı´lia B de subconjuntos de um conjunto X qualquer, B e´ base da
topologia gerada por si se, e so´ se: (i) X e´ unia˜o dos elementos de B; (ii) dados V1, V2 ∈ B, se x ∈
V1 ∩ V2, enta˜o existe V3 ∈ B : x ∈ V3 ⊂ V1 ∩ V2.
Demonstrac¸a˜o. E´ fa´cil verificar que as condic¸o˜es (i) e (ii) sa˜o necessa´rias. Para ver que sa˜o suficientes
basta ver que B e´ a base de alguma topologia. Consideramos, mesmo, aquela em que os abertos
sa˜o as unio˜es de conjuntos de B. Isto e´ uma topologia porque ∅ e´ a unia˜o vazia; porque se tem
(i); porque a unia˜o de uma famı´lia de unio˜es de elementos de B e´ uma unia˜o de elementos de B; e
finalmente porque, se Ui = ∪αVi,α, i = 1, 2, Vi,α ∈ B, enta˜o
U1 ∩ U2 =
⋃
α,α′
⋃
x∈V1,α∩V2,α′
V3,α,α′ , (1.18)
onde os V3,α,α′ sa˜o dados por (ii), o que prova que qualquer intersecc¸a˜o finita de abertos e´ um
aberto. �
Um espac¸o topolo´gico que admite uma base numera´vel4 (diz-se que satisfaz o segundo axioma da
enumerabilidade) contera´ necessariamente um subconjunto denso. Um espac¸o topolo´gico contendo
um conjunto numera´vel e denso chama-se separa´vel.
Uma famı´lia {Uα} de subconjuntos de X diz-se uma cobertura de X se X = ∪αUα. A cobertura
diz-se aberta (respectivamente fechada, finita) se os conjuntos Uα forem abertos (respectivamente
fechados, em nu´mero finito). Se uma subfamı´lia dos {Uα} for ainda uma cobertura de X, enta˜o
diz-se que e´ uma subcobertura de X.
4Enumera´vel , numera´vel ou ainda conta´vel sa˜o palavras sino´nimas e significam que se pode contar, isto e´, que um
dado conjunto e´ finito ou que esta´ em correspondeˆncia biun´ıvoca com os nu´meros naturais.
1.2 Topologia 11
Proposic¸a˜o 1.2.2 (Lindelo¨f). Suponhamos que X tem uma base enumera´vel. Enta˜o de qualquer
cobertura aberta de X pode-se extrair uma subcobertura enumera´vel.
Demonstrac¸a˜o. Seja {Oα} uma cobertura aberta e seja {Un} uma base numera´vel. Seja x ∈ X.
Como este ponto esta´ nalgum dos abertos Oα, existe enta˜o algum Un,x tal que x ∈ Un,x ⊂ Oα. A
totalidade desses Un,x e´ ainda numera´vel e cobre X. A cada n associamos agora um dos Oα que
conteˆm Un,x, formando assim uma subcobertura da cobertura de X inicial. �
Um subespac¸o topolo´gico do espac¸o topolo´gico X e´ um subconjunto Y de X munido da
topologia induzida, isto e´, os abertos de Y sa˜o intersecc¸o˜es de Y com abertos de X. Mostra-se,
com efeito, que tais restric¸o˜es induzem uma estrutura de espac¸o topolo´gico em Y .
Uma topologia diz-se de Hausdorff se quaisquer dois pontos teˆm vizinhanc¸as disjuntas5. Um
subespac¸o de um espac¸o topolo´gico de Hausdorff e´ um espac¸o topolo´gico de Hausdorff, como e´
imediato verificar.
As seguintes noc¸o˜es sa˜o fundamentais. Dizemos que um espac¸o topolo´gico X e´ compacto se X
for de Hausdorff e se, de qualquer cobertura aberta de X, se puder extrair uma subcobertura finita.
Esta u´ltima e´ conhecida como a condic¸a˜o de Heine-Borel .
Proposic¸a˜o 1.2.3. Seja X um compacto e Y um subespac¸o topolo´gico fechado. Enta˜o Y e´ compacto.
Demonstrac¸a˜o. Ja´ vimos que Y tambe´m e´ Hausdorff. Supondo agora que {Vα} e´ uma cobertura
aberta de Y , tem-se que para cada α existe Uα aberto emX tal que Vα = Y ∩Uα. Enta˜o aqueles aber-
tos de X juntamente com o aberto X\Y formam uma cobertura aberta de X, donde, por hipo´tese,
se pode extrair uma subcobertura finita. Voltando a intersectar os elementos desta subcobertura
com Y obtemos o resultado procurado. �
Igualmente esclarecedor e´ o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 1.2.4. Se X e´ um espac¸o de Hausdorff e Y um subespac¸o topolo´gico compacto, enta˜o
Y e´ fechado em X.
Demonstrac¸a˜o. Vejamos que o complementar de Y e´ aberto. Seja x um elemento de X\Y . Como X
e´ Hausdorff, para cada y ∈ Y existem vizinhanc¸as abertas Uy de x e Vy de y que na˜o se intersectam.
Estas vizinhanc¸as dos pontos de Y formam uma sua cobertura e logo, por ser compacto, podemos
extra´ır uma subcobertura finita. Sendo enta˜o Y ⊂ Vy1 ∪ . . . ∪ Vyk , fica provada a existeˆncia de um
aberto Uy1 ∩ . . . ∩ Uyk contendo x e na˜o intersectandoY , como quer´ıamos. �
Um espac¸o X e´ conexo se as suas u´nicas partes simultaˆneamente abertas e fechadas sa˜o X e o
vazio. De maneira equivalente, X e´ conexo se na˜o for unia˜o de dois subconjuntos abertos, na˜o vazios e
disjuntos. A demonstrac¸a˜o resulta de pensarmos no complementar de um conjunto simultaˆneamente
aberto e fechado, pelo que a asserc¸a˜o anterior tambe´m vale com o termo ‘fechados’.
5Tambe´m se pode dizer que a topologia e´ separada.
12 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
1.2.2 Aplicac¸o˜es cont´ınuas
Seja f : X → Y uma aplicac¸a˜o entre dois espac¸os topolo´gicos X e Y , e seja x ∈ X. Dizemos que f
e´ cont´ınua em x se
∀V viz. de f(x) em Y, ∃U viz. de x em X : f(U) ⊂ V. (1.19)
Dizemos que f e´ cont´ınua em X se o for em todos os pontos de X. Na˜o e´ demais salientar que a
noc¸a˜o de continuidade e´ uma noc¸a˜o local , ie. so´ depende da func¸a˜o numa vizinhanc¸a de cada ponto.
Proposic¸a˜o 1.2.5. Uma func¸a˜o f : X → Y e´ cont´ınua em X se, e so´ se, a imagem inversa de
qualquer aberto em Y e´ aberta em X.
Demonstrac¸a˜o. Tem-se imediatamente que a condic¸a˜o e´ suficiente. Vejamos que e´ necessa´ria. Sendo
V um aberto em Y , queremos ver que f−1(V ) = {x ∈ X : f(x) ∈ V } e´ aberto em X. Ora, para
cada ponto x desta imagem inversa, como V e´ uma vizinhanc¸a de f(x) e f e´ cont´ınua, existe uma
vizinhanc¸a U de x tal que f(U) ⊂ V , ou seja, U ⊂ f−1(V ) e logo este conjunto e´ aberto em X. �
Uma vez que o conjunto f−1(Y \A) e´ composto de elementos de X que teˆm imagem em Y e
na˜o em A, ou seja, e´ igual a f−1(Y )\f−1(A), qualquer que seja o subconjunto A, tambe´m podemos
enunciar a proposic¸a˜o anterior dizendo que f e´ cont´ınua em X se, e so´ se, a imagem inversa de um
fechado em Y e´ fechada em X. Supondo dadas func¸o˜es cont´ınuas g : Y → Z e f : X → Y , veˆ-se
logo, pela proposic¸a˜o, que g ◦ f : X → Z e´ uma func¸a˜o cont´ınua. Outra propriedade nota´vel e´ a que
segue.
Proposic¸a˜o 1.2.6. Se f : X → Y e´ cont´ınua e X e´ conexo, enta˜o f(X) com a topologia induzida
de Y e´ conexo.
Demonstrac¸a˜o. Seja Z ⊂ f(X) um subconjunto simultaˆneamente aberto e fechado, na˜o vazio. Exis-
tem enta˜o um aberto Z ′ e um fechado Z ′′ de Y tais que Z = f(X) ∩Z ′ = f(X) ∩Z ′′, como exigem
as definic¸o˜es. De tais subconjuntos Z ′ e Z ′′ descobre-se logo que as suas imagens inversas sa˜o iguais
a` imagem inversa de Z por f . Assim f−1(Z) = X, por este ser conexo; o que implica por outro lado
que Z = f(X). �
Uma aplicac¸a˜o diz-se aberta se a imagem directa de qualquer aberto e´ um aberto; uma aplicac¸a˜o
f : X → Y chama-se um homeomorfismo se f for bijectiva, cont´ınua e se f−1 : Y → X for
cont´ınua. Em virtude de 1.2.5, podemos dizer que um homeomorfismo e´ uma aplicac¸a˜o que e´
bijectiva, cont´ınua e aberta.
Igualmente importante e´ o resultado seguinte, cuja prova envolve manipulac¸o˜es semelhantes a`
anterior.
Proposic¸a˜o 1.2.7. Seja f : X → Y uma func¸a˜o cont´ınua com espac¸o de chegada de Hausdorff. Se
X e´ compacto, enta˜o f(X) com a topologia induzida de Y e´ compacto.
Com a conhecida topologia da recta real gerada pelos intervalos abertos, temos o importante
resultado seguinte generalizando outro de Weierstrass:
Corola´rio 1.2.1 (Weierstrass). Seja f : X → R uma func¸a˜o cont´ınua sobre um espac¸o X compacto.
Enta˜o f admite um ma´ximo e um mı´nimo.
1.2 Topologia 13
1.2.3 Topologias produto e quociente
Duas u´ltimas definic¸o˜es que permitem produzir novos espac¸os. Dados dois espac¸os topolo´gicos X e
Y consideramos no produto cartesiano X × Y a topologia produto, que e´ gerada pelos produtos
cartesianos U×V de abertos U emX e V em Y . Daqui resulta sem dificuldade que as duas projecc¸o˜es
pi1 : X × Y → X e pi2 : X × Y → Y sa˜o cont´ınuas e abertas. Tambe´m, por exemplo fixando x ∈ X,
a inclusa˜o
Y −→ X × Y
y 7−→ (x, y) (1.20)
e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua.
Proposic¸a˜o 1.2.8. Dois espac¸os topolo´gicos X,Y sa˜o ambos, respectivamente, de Hausdorff, se-
para´veis, compactos ou conexos se, e so´ se, X × Y e´ um espac¸o, respectivamente, de Hausdorff,
separa´vel, compacto ou conexo.
Demonstrac¸a˜o. A condic¸a˜o e´ suficiente porque as projecc¸o˜es pi1, pi2 sa˜o cont´ınuas e abertas. Assim,
se o produto e´ de Hausdorff e x1, x2 ∈ X, tomamos y ∈ Y e vizinhanc¸as disjuntas W1,W2 respec-
tivamente de (x1, y), (x2, y) em X × Y . Estas contera˜o por definic¸a˜o, respectivamente, vizinhanc¸as
abertas U1 × V1 e U2 × V2 daqueles pontos. Claro que estas sera˜o disjuntas e U1 e U2 disjuntos
sera˜o, provando que X e´ de Hausdorff. O mesmo se faz, mutatis mutandis, para Y . Quanto a`
separabilidade, se {(xj , yj)} e´ um conjunto numera´vel denso, fazemos um truque como o anterior e
provamos que {xj} e´ um conjunto denso em X. Finalmente, se X × Y e´ compacto ou conexo, enta˜o
pi1(X × Y ) = X e´, respectivamente, compacto ou conexo pelas proposic¸o˜es 1.2.6 e 1.2.7.
Vejamos que a condic¸a˜o e´ necessa´ria. Suponhamos primeiro que {xj},{yj} sa˜o conjuntos nume-
ra´veis e densos respectivamente em X e Y . Enta˜o {(xi, yj)}i,j∈N tambe´m e´ um conjunto numera´vel
e e´ denso em X×Y : qualquer vizinhanc¸a W de (x, y) conte´m uma vizinhanc¸a do tipo U ×V , com U
aberto em X e V aberto em Y , e por a´ı se veˆ que W intersecta o conjunto numera´vel. Logo X × Y
e´ separa´vel. Agora suponhamos X,Y de Hausdorff. Dados (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × Y dois pontos
distintos, podemos supoˆr sem perda de generalidade que x1 6= X − 2. Como existem vizinhanc¸as U1
de x1 e U2 de x2 em X tais que U1 ∩ U2 = ∅, resulta enta˜o que U1 × Y ∩ U2 × Y = ∅ o que prova
que o produto cartesiano e´ de Hausdorff.
Para finalizar suponhamos X,Y compactos e seja {Wα} uma cobertura aberta de X ×Y . Enta˜o
para cada x ∈ X existem αx1 , . . . , αxkx dos α’s, em nu´mero finito, tais que os respectivos Wαxi , i =
1, . . . , kx, cobrem {x} × Y . Prova-se sem grande dificuldade, usando de novo a compacidade de Y ,
que existe vizinhanc¸a aberta Ux de x em X tal que
Ux × Y ⊂Wαx1 ∪ . . . ∪Wαxkx .
Agora, a famı´lia dos Ux forma uma cobertura aberta de X, pelo que podemos extra´ır uma subco-
bertura finita Ux1 , . . . , Uxl . Daqui resulta que a famı´lia finita {Wαxji }, j = 1, . . . , l, i = 1, . . . , kx,
forma uma subcobertura de X × Y , como quer´ıamos. Deixamos como exerc´ıcio a demonstrac¸a˜o de
que, se X,Y sa˜o conexos, enta˜o o produto cartesiano e´ conexo. �
Finalmente temos a definic¸a˜o de topologia quociente. Suponhamos que X e´ um espac¸o topo-
lo´gico e f : X → Y e´ uma aplicac¸a˜o para um conjunto Y qualquer. Podemos enta˜o munir Y de uma
topologia: aquela que e´ gerada pelos subconjuntos V tais que f−1(V ) e´ aberto em X. Temos com
efeito a topologia menos fina que faz f ser cont´ınua.
14 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
Mais ainda, nesta topologia os abertos de Y sa˜o precisamente os W ⊂ Y tais que f−1(W ) e´
aberto em X, pois se W = ∪αVα com os Vα abertos em Y , enta˜o f−1(W ) = ∪αf−1(Vα) e´ aberto
em X.
Exerc´ıcios
1. Seja B a base de uma topologia A. Mostre que a topologia gerada por B coincide com A.
2. Sejam A,B dois subconjuntos conexos de um espac¸o topolo´gico X. Mostre que A∪B e´ conexo
se, e so´ se, A ∩B 6= ∅ ou A ∩B 6= ∅. (Referimo-nos a` topologia induzida).
3. Sejam A,B subconjuntos de um espac¸o topolo´gico X. Suponha A conexo e A ⊂ B ⊂ A.
Mostre que B e´ conexo. Conclua que A e´ conexo.
4. Seja f : X → Y uma aplicac¸a˜o entre dois espac¸os topolo´gicos. Seja B uma base de Y . Prove
que f e´ cont´ınua se, e so´ se, f−1(U) e´ aberto qualquer que seja U ∈ B.
5. Demonstre as proposic¸o˜es 1.2.6 e 1.2.7. Agora, sejamX compacto, Y de Hausdorff e f : X → Y
bijectiva e cont´ınua. Prove que f e´ um homeomorfismo.
6. Descreva a topologia produto de Rn. Mostre que as func¸o˜es (u, v) 7→ u+ v e (λ, u) 7→ λu sa˜o
cont´ınuas, u, v ∈ Rn, λ ∈ R. Caso n = 1, mostre que u/v e´ cont´ınua (v 6= 0).
7. Mostreque todas as func¸o˜es polinomiais Rn → R sa˜o cont´ınuas. O mesmo para as func¸o˜es
racionais (raza˜o entre dois polino´mios), no seu domı´nio.
8. Seja X um espac¸o topolo´gico e W ⊂ X. x ∈ X diz-se um ponto interior a W se existe uma
vizinhanc¸a de x em X contida em W . x diz-se fronteiro a W se qualquer sua vizinhanc¸a
intersecta W e X\W . Um ponto x diz-se exterior a W se na˜o for interior nem fronteiro.
Mostre que qualquer x ∈ X esta´ somente num dos treˆs casos anteriores. Mostre que W e´
aberto se, e so´ se, todos os seus pontos sa˜o interiores. Mostre que um ponto e´ interior a W se,
e so´ se, e´ exterior a X\W . Mostre que W = {pontos interiores ou fronteiros}.
9. Mostre que R e´ separa´vel. O mesmo para Rn. Indique os pontos interiores, fronteiros, exteri-
ores, aderentes e de acumulac¸a˜o dos subconjuntos Q∩]0, 1] e {(1 + 1n )n}n∈N.
10. Seja f : X → Y uma func¸a˜o entre dois espac¸os topolo´gicos. Seja a ∈ X. Dizemos que b e´ o
limite de f em a, e escrevemos limx→a f(x) = b, se qualquer que seja a vizinhanc¸a V de b
existe uma vizinhanc¸a U de a tal que f(U) ⊂ V . Mostre que f e´ cont´ınua em a se, e so´ se,
limx→a f(x) = f(a).
11. Defina o limite de sucesso˜es num espac¸o topolo´gico. Mostre que num espac¸o de Hausdorff o
limite, quando existe, e´ u´nico.
12. Sejam f : X → Rn uma func¸a˜o cont´ınua em a ∈ X (cf. exerc´ıcio 6) e limitada numa vizinhanc¸a
U de a (ie. a imagem f(U) esta´ dentro de um intervalo limitado [−L,L]n). Seja g : X → R
uma func¸a˜o tal que limx→a g(x) = 0. Mostre que limx→a(fg)(x) = 0.
13. Seja f : X → Y cont´ınua e A ⊂ X, B ⊂ Y subespac¸os topolo´gicos. Denotando a restric¸a˜o de
f a A por f|A : A → Y , mostre que f|A e´ cont´ınua. Agora suponha f(X) ⊂ B e pense em f
como func¸a˜o de X em B. Mostre que esta e´ cont´ınua.
1.3 Espac¸os me´tricos 15
Figura 1.1: Homeomorfos? E “homoto´picos”? Tambe´m.
14. Demonstre que seX,Y sa˜o conexos enta˜oX×Y e´ conexo. Mostre queX,Y teˆm base numera´vel
de abertos se, e so´ se, X × Y tem base numera´vel de abertos.
15. Seja f : X → Y ×Z. Verifique que f e´ cont´ınua se, e so´ se, sa˜o cont´ınuas as suas componentes
em Y e em Z. Mostre que a func¸a˜o de R2 em R = R∪∞ = S1 (!) definida por f(s, t) = |s/t|
se t 6= 0 e f(s, 0) = ∞ na˜o e´ cont´ınua embora o sejam cada uma das func¸o˜es s 7→ f(s, t) e
t 7→ f(s, t) (quando se consideram, respectivamente, t e s fixos).
16. Mostre que, com a topologia quociente em Y , se f : X → Y e´ injectiva enta˜o f e´ aberta.
Mostre que se f e´ aberta e X tem base numera´vel de abertos, enta˜o Y tem base numera´vel de
abertos.
17. Os dois ‘so´lidos’ da figura 1.1 sera˜o homeomorfos? Imagine agora que eles se moldam como se
de uma mate´ria pla´stica se tratasse. Mostre que os dois so´lidos se podem transformar um no
outro.
18. Mostre que (X × Y )× Z e´ homeomorfo a Y × (X × Z).
19. Sabendo que os intervalos |a, b| de R sa˜o conexos (o s´ımbolo | denota ‘aberto’ ou ‘fechado’),
mostre que os intervalos |a1, b1|×· · ·×|an, bn| de Rn sa˜o conexos. O mesmo para as intersecc¸o˜es
de intervalos deste tipo. E ainda para os complementares de um intervalo noutro, se n > 1.
20. Mostre que a unia˜o numera´vel de numera´veis e´ numera´vel.
1.3 Espac¸os me´tricos
A mate´ria apresentada nesta secc¸a˜o e´ um subcap´ıtulo da anterior, cujo interesse sera´ o´bvio quando
construirmos me´tricas sobre certos espac¸os da geometria riemanniana. A teoria mais geral dos
16 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
espac¸os topolo´gicos permite uma introduc¸a˜o ra´pida dos espac¸os me´tricos, mas uns e outros mais
tarde e´ que se revelara˜o.
1.3.1 Noc¸o˜es principais
Da´-se o nome de espac¸o me´trico a um conjuntoX fornecido de uma aplicac¸a˜o d : X×X → [0,+∞[,
chamada distaˆncia, que satisfaz as seguintes propriedades:
d(x, y) = 0 se, e so´ se, x = y,
d(x, y) = d(y, x) (simetria),
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular),
(1.21)
quaisquer que sejam os pontos x, y, z ∈ X. Fixada aquela estrutura, podemos considerar em X a
topologia (dita de espac¸o me´trico) gerada pelas bolas abertas, isto e´, pelo sistema de vizinhac¸as de
um ponto x ∈ X
B(x, r) =
{
y ∈ X : d(x, y) < r}, r ∈ R+. (1.22)
Proposic¸a˜o 1.3.1. As bolas abertas formam um sistema fundamental de vizinhanc¸as na topologia
da me´trica. A func¸a˜o d e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Para a primeira parte basta-nos ver que as bolas formam uma base, ja´ que elas
ja´ foram definidas em func¸a˜o dos pontos de X. Vamos aplicar a proposic¸a˜o 1.2.1, conferindo (i)
e (ii) daquele resultado. Ora, tem-se X = ∪x∈XB(x, 1). E, se x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s), tome-se
δ = min{r − d(x, a), s − d(x, b)}. Ter-se-a´ enta˜o x ∈ B(x, δ) ⊂ B(a, r) ∩ B(b, s), pois, se y esta´ na
primeira bola, enta˜o
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) ≤ r − d(x, a) + d(x, a) = r
e pela mesma raza˜o se prova que d(y, b) ≤ s, ou seja, y esta´ na intersecc¸a˜o B(a, r) ∩ B(b, s), como
quer´ıamos.
Para provar que d e´ cont´ınua, seja (x, y) ∈ X × X e seja � > 0. Queremos encontrar uma
vizinhanc¸a W de (x, y), na topologia produto, tal que
d(W ) ⊂ ]d(x, y)− �, d(x, y) + �[ .
Tomamos enta˜o W = B(x, �/2)×B(y, �/2), donde vira´ para qualquer par (z, w) ∈W
d(x, y)− d(z, w) ≤ d(x, z) + d(z, w) + d(w, y)− d(z, w) < �,
bem como
d(z, w)− d(x, y) ≤ d(z, x) + d(x, y) + d(y, w)− d(x, y) < �,
permitindo concluir |d(x, y)− d(z, w)| < �. �
Todo o espac¸o me´trico e´ de Hausdorff. Mais ainda, todo o espac¸o me´trico e´ normal, ie. e´
um espac¸o topolo´gico de Hausdorff tal que quaisquer dois fechados disjuntos possuem vizinhanc¸as
disjuntas. Em geral, um qualquer espac¸o topolo´gico diz-se metrisa´vel se a sua topologia provem
de uma me´trica. Se isto acontece, enta˜o ele tem de ser normal e verificar o primeiro axioma da
enumerabilidade: todo o ponto tem um sistema fundamental de vizinhanc¸as enumera´vel.
1.3 Espac¸os me´tricos 17
Ja´ vimos que um espac¸o topolo´gico com base numera´vel e´ separa´vel. No cap´ıtulo dos espac¸os
me´tricos tem-se a rec´ıproca.
Proposic¸a˜o 1.3.2. Um espac¸o me´trico X tem uma base numera´vel se, e so´ se, X e´ separa´vel.
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos que X e´ separa´vel, ou seja, existe {xn}n∈N subconjunto denso em X.
Podemos enta˜o considerar a base de X definida por{
B(xn,
1
m ) : n,m ∈ N
}
que e´ numera´vel porque N×N e´ equipotente a N. �
Dizemos que um espac¸o me´trico X e´ pre´-compacto6 se, qualquer que seja � > 0, existe uma
cobertura finita de X por meio de bolas de raio �. Isto e´ equivalente a` existeˆncia de um subconjunto
finito F tal que, ∀x ∈ X, a distaˆncia de x a F e´ menor que �. Naturalmente, a distaˆncia entre dois
subconjuntos A,B ⊂ X e´ definida por
d(A,B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. (1.23)
Outra noc¸a˜o relevante e´ a de diaˆmetro de um conjunto A ⊂ X. Trata-se do valor, eventualmente
infinito,
diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. (1.24)
Diz-se, enta˜o, que A e´ limitado se o seu diaˆmetro e´ finito; o que e´ equivalente a A estar contido
nalguma bola. Prova-se facilmente que todo o espac¸o pre´-compacto e´ limitado.
Lema 1.3.1. Todo o espac¸o me´trico pre´-compacto e´ separa´vel.
Demonstrac¸a˜o. Por definic¸a˜o, para cada n natural, existe An finito tal que, ∀x ∈ X, se tem
d(x,An) <
1
n . Tomando A = ∪nAn vem que A e´ numera´vel e resulta que, para cada x, existe
an ∈ A tal que d(x, an) < 1n , donde x ∈ A. Ou seja, A e´ numera´vel e denso em X. �
1.3.2 Espac¸os me´tricos completos
Nos espac¸os me´tricos convem abordar as questo˜es relacionadas com infinite´simos. Dado um tal
espac¸o X, munido da habitual distaˆncia d, dizemos que uma sucessa˜o {xn}n∈N de pontos7 de X
converge para x ∈ X se d(xn, x)→ 0 (aqui trata-se da convergeˆncia na topologia de R). Tambe´m se
pode dizer que x e´ o limite de xn. E´ um exerc´ıcio, quase imediato, verificar que S = {xn}n∈N ⊂ X
conte´m alguma subsucessa˜o8 convergente se, eso´ se, S admite algum ponto de acumulac¸a˜o.
Numa sucessa˜o convergente os seus pontos aproximam-se uns dos outros, tendo por limite um
determinado ponto. Podemos supoˆr, contudo, que existem sucesso˜es cujos termos se aproximam uns
6Tambe´m se pode chamar totalmente limitado.
7Consideraremos sempre que as sucesso˜es teˆm infinitos pontos distintos entre si. Portanto na˜o teˆm sequer subsu-
cesso˜es constantes.
8Recordamos que uma subsucessa˜o de {xn} e´ uma escolha ordenada de alguns dos xn, ou seja, e´ uma sucessa˜o
{xnk}k∈N com k 7→ nk crescente.
18 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
dos outros e das quais se desconhece a` partida se teˆm ou na˜o limite. Sa˜o as chamadas sucesso˜es
de Cauchy {xn}n∈N em X:
∀δ > 0, ∃p : n,m > p ⇒ d(xn, xm) < δ. (1.25)
Se no espac¸o me´trico X todas as sucesso˜es de Cauchy sa˜o convergentes, enta˜o X diz-se completo
(recorde-se que esta propriedade e´ conhecida da construc¸a˜o da recta real, sendo equivalente ao
“teorema dos intervalos encaixados”).
Imediatamente se constata que qualquer subconjunto Y de um espac¸o me´trico X herda uma
estrutura de espac¸o me´trico: basta tomar a restric¸a˜o da aplicac¸a˜o distaˆncia a esse subconjunto.
Claro que, enta˜o, a topologia de Y coincide com a topologia induzida pela do espac¸o maior. Se X
for completo e Y for fechado, enta˜o Y tambe´m e´ completo, pois qualquer sucessa˜o de Cauchy em
Y e´ sucessa˜o de Cauchy em X e, como tal, possui limite. Como os limites sa˜o pontos aderentes e
Y = Y , conclui-se que o limite esta´ em Y .
Nos espac¸os completos reaparecem resultados fundamentais do caso especial, bem conhecido, da
recta real.
Teorema 1.3.1. Seja X um espac¸o me´trico. As seguintes asserc¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) X e´ compacto;
(ii) de qualquer sucessa˜o em X podemos extrair uma subsucessa˜o convergente;
(iii) X e´ pre´-compacto e completo.
Demonstrac¸a˜o. (i)⇒(ii) Suponhamos que X e´ compacto e S = {xn}n∈N e´ uma sucessa˜o sem pontos
de acumulac¸a˜o em X. Para cada k ∈ N, seja Sk = {xn}n≥k. Qualquer um destes subconjuntos Sk
e´ fechado porque na˜o tem pontos aderentes ale´m dos seus pro´prios pontos. E´ claro que
X =
∞⋃
k=1
X\Sk,
pelo que daqui e da hipo´tese podemos extrair uma subcobertura finita:
X = X\Sk1 ∪ . . . ∪X\Skl . (1.26)
Mas isto e´ absurdo, porque, sendo ki = max{k1, . . . , kl}, vemos que Ski na˜o esta´ contido no lado
direito da igualdade (1.26). S tem de ter algum ponto de acumulac¸a˜o; logo de S podemos extrair
uma subsucessa˜o convergente.
(ii)⇒(iii) E´ imediato que X e´ completo, pois uma sucessa˜o de Cauchy, admitindo por hipo´tese uma
subsucessa˜o convergente, tem de convergir e para o mesmo limite.
Provemos agora que X e´ pre´-compacto. Seja � um real > 0 qualquer. Escolhamos x1 ∈
X, x2 ∈ X\B(x1, �), x3 ∈ X\(B(x1, �) ∪ B(x2, �)) e assim por diante. Supondo que na˜o se tem
pre´-compacidade, podemos construir uma sucessa˜o {xn}n∈N tal que
xn+1 /∈ B(x1, �) ∪ . . . ∪B(xn, �). (1.27)
Existe, por hipo´tese, uma subsucessa˜o {xnk}k∈N da sucessa˜o constru´ıda, que e´ convergente. Cha-
mando xˆ ∈ X ao seu limite, existe enta˜o uma ordem k0 tal que xnk ∈ B(xˆ, �/2), ∀k > k0. Mas
enta˜o teremos de ter xnk+1 ∈ B(xnk , �), porque
d(xnk+1 , xnk) ≤ d(xnk+1 , xˆ) + d(xˆ, xnk) < �,
1.3 Espac¸os me´tricos 19
em contradic¸a˜o com (1.27).
(iii)⇒(i) Suponhamos que X e´ pre´-compacto e completo. Do lema 1.3.1 vem que X e´ separa´vel. Da
proposic¸a˜o 1.3.2 resulta enta˜o que X tem uma base numera´vel, e da proposic¸a˜o 1.2.2 concluimos que
nos basta considerar coberturas abertas de X enumera´veis, para ver que X e´ compacto.
Tal como as anteriores, esta demonstrac¸a˜o far-se-a´ por reduc¸a˜o ao absurdo. Seja X = ∪nUn uma
cobertura enumera´vel qualquer. Pensando naquela reunia˜o como
X =
∞⋃
n=1
n⋃
i=1
Ui,
podemos ja´ supoˆr que Un ⊂ Un+1.
Tomemos agora, para cada natural n, um xn ∈ X\Un. Note-se que o caso estaria resolvido se
um destes conjuntos X\Un fosse vazio. Vejamos que S = {xn}n∈N tem um ponto de acumulac¸a˜o.
Existe uma cobertura
X = B(y
(1)
1 ,
1
2 ) ∪ . . . ∪B(y(1)k1 , 12 ),
por X ser pre´-compacto. Segue que S tem uma parte infinita S1 nalgum B(y
(1)
i1
, 12 ). Usando de novo
a pre´-compacidade de X e excluindo logo as bolas distantes, vemos que se pode considerar de novo
uma unia˜o finita
B(y
(1)
i1
, 12 ) ⊂ B(y(2)1 , 14 ) ∪ . . . ∪B(y(2)k2 , 14 ) ⊂ B(y
(1)
i1
, 1),
e deduzir que S1 tem uma parte infinita S2 nalgum B(y
(2)
i2
, 14 ). Podemos assim construir uma
sucessa˜o de subconjuntos infinitos
Sm ⊂ B(y(m)im , 12m ) ⊂ B(y
(m−1)
im−1 ,
1
2m−2 ).
Como os pontos y
(m)
im
se aproximam uns dos outros, d(y
(p)
ip
, y
(q)
iq
) < 12p−2 se q > p, e como X e´
completo, deduz-se que a sucessa˜o {y(m)im } converge para algum ponto yˆ. Ora, tambe´m se podem
escolher pontos xim ∈ Sm, e construir uma subsucessa˜o de {xn} que, estando dentro daquelas bolas,
tera´ de convergir; para o mesmo limite yˆ. Este e´ por isso um ponto de acumulac¸a˜o de S. Repare-se
que yˆ /∈ Un, qualquer que seja n. Caso contra´rio, se pertencesse a um Uk, viria xm ∈ Uk, ∀m a
partir de certa ordem, o que e´ falso por construc¸a˜o. Finalmente, devemos concluir que
yˆ ∈
∞⋂
n=1
X\Un.
Mas este conjunto e´ vazio, pelo que chegamos a um absurdo. �
A condic¸a˜o (ii) apresentada no teorema9 e´ conhecida como o teorema de Bolzano-Weierstrass.
Recorde-se que a topologia usual de R tambe´m vem de uma me´trica e que, por construc¸a˜o dos
nu´meros reais, R e´ completo. Deixamos como exerc´ıcio a verificac¸a˜o de que a topologia produto de
Rn e´ tambe´m dada pela distaˆncia
d(x, y) = max
{|yi − xi| : i = 1, . . . , n} (1.28)
∀x, y ∈ Rn. O exerc´ıcio e´ imediato ja´ que B(x, �) =]x1− �, x1+ �[× · · ·×]xn− �, xn+ �[. Claramente
obtemos um espac¸o completo pois uma sucessa˜o e´ de Cauchy em Rn se, e so´ se, as suas componentes
sa˜o de Cauchy em R. Posto isto, temos o seguinte:
9Tendo surgido no se´culo XIX a propo´sito do estudo dos subconjuntos compactos de C. A condic¸a˜o de Heine-Borel
e´ mais recente — uma nota cronolo´gica pontual que talvez ajude no concerto das ideias.
20 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
Corola´rio 1.3.1. A ⊂ Rn e´ compacto se, e so´ se, A e´ fechado e limitado.
Demonstrac¸a˜o. Comec¸emos por supoˆr A compacto. Enta˜o A e´ pre´-compacto e logo limitado. Seja
a ∈ A; prova-se fa´cilmente que existe sucessa˜o xk → a com os xk ∈ A. Pelo teorema existe uma
subsucessa˜o de xk que converge em A; mas as subsucesso˜es convergem para o mesmo limite que as
sucesso˜es quando estas convergem. Logo so´ podemos ter a ∈ A.
Agora suponhamos A fechado e limitado. Enta˜o A e´ completo, como se observou antes do
teorema. Vejamos que A e´ pre´-compacto. Seja � > 0 qualquer. Uma vez que consideramos a
topologia induzida, so´ queremos ver que A esta´ contido numa unia˜o finita de bolas de raio �. Seja
e1, . . . , en a base cano´nica de Rn e considere-se o conjunto
I = �
4
Ze1 + · · ·+ �
4
Zen.
Existe um subconjunto finito I = {yi} contido em I tal que A ⊂ ∪yi∈IB(yi, �/2), porque A e´
limitado. Supomos desde ja´ que cada uma das bolas tem intersecc¸a˜o na˜o vazia com A. Assim, para
cada yi ∈ I podemos escolher xi ∈ B(yi, �/2) ∩ A. Enta˜o a unia˜o das bolas B(xi, �) cobre A, pois
sendo a ∈ A, existe algum yi ∈ I tal que d(yi, a) < �/2. Logo
d(xi, a) ≤ d(xi, yi) + d(yi, a) < �
2
+
�
2
= �
como quer´ıamos. Encontra´mos uma cobertura finita formada de bolas de raio �; esta´ provado que
A e´ pre´-compacto. Como tambe´m e´ completo, concluimos que A e´ compacto pelo teorema. �
Necessitaremos de considerar outros ‘espac¸os vectoriais topolo´gicos’ ale´m de Rn. Seja V um
espac¸o vectorial sobre K. Uma norma em V e´ uma aplicac¸a˜o ‖ ‖ : V → [0,+∞[ que verifica:
‖u‖ = 0⇔ u = 0, ‖λu‖ = |λ|‖u‖, ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (1.29)
∀u, v ∈ V,∀λ ∈ K. O par (V, ‖ ‖) diz-se enta˜o um espac¸o vectorial normado. Prova-se fa´cilmente
(exerc´ıcio 4) que toda a norma define uma distaˆncia em V e logo que, com a topologia da me´trica,
as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar sa˜o cont´ınuas.
Corola´rio 1.3.2. Suponhamos que V e´ um espac¸o vectorial normado de dimensa˜o finita n. Seja
v1, . . . , vn uma base de V . Enta˜o o isomorfismo f : Rn → V definido por
f(x1, . . . , xn) = x1v1 + · · ·+ xnvn (1.30)
e´ um homeomorfismo.
Demonstrac¸a˜o. Por linearidade e pelas observac¸o˜es precedentes, e´ imediato verificar que qualquer
aplicac¸a˜o linear e´ cont´ınua se, e so´ se, ela e´ cont´ınua no ponto 0. Vejamos enta˜o que f e´ cont´ınua
em 0. Tem-se
0 ≤ ‖f(x)‖ ≤
n∑
i=1
|xi|‖vi‖
pelo que o limite de f(x) quando x = (x1, . . . , xn)→ 0 e´ nulo, ou seja igual a f(0). Usando o crite´rio
dado no exerc´ıcio 1, conclu´ımos que f e´ cont´ınua.
Vejamos a continuidade de f−1 em 0 invocando o crite´rio anterior. Seja {vk} uma sucessa˜o em
V tal que vk → 0 e f−1(vk) = xk ∈ Rn. Podemos ja´ supoˆr que todos os vk sa˜o na˜o nulos, ou que
exclu´ımos os vectores nulos daquela sucessa˜o. Seja tk = max{|xki | : i = 1, . . . , n}. Vamos denotar
1.3 Espac¸os me´tricos 21
ainda pelo mesmo tk uma subsucessa˜o dos tk, supondo que existe, que na˜o tem 0 como ponto de
acumulac¸a˜o10. Enta˜o
d
(xk
tk
, 0
)
= max
i
∣∣∣xki
tk
∣∣∣ = 1.
Pelo coroa´rio anterior o conjunto fechado e limitado Q = {y ∈ Rn : d(y, 0) = 1} e´ compacto,
logo pelo teorema 1.3.1 a sucessa˜o {xk/tk} admite uma subsucessa˜o convergente em Q. Seja enta˜o
xkj/tkj essa subsucessa˜o, com limite x ∈ Q. Enta˜o, por f ser linear e cont´ınua, vem que
lim
j
f
(xkj
tkj
)
= lim
j
vkj
tkj
= f(x) = u
e logo, como x 6= 0, vem u 6= 0. Daqui resulta
lim
j
tkj = lim
j
‖vkj‖
‖ vkjtkj ‖
=
0
‖u‖ = 0
o que e´ absurdo. Concluimos que todas as subsucesso˜es teˆm 0 como ponto de acumulac¸a˜o. Pelo
exerc´ıcio 2 resulta que a sucessa˜o tk → 0; o que implica que xk tende para 0, como quer´ıamos
demonstrar. �
Exerc´ıcios
1. Diz-se que uma sucessa˜o S = {xn} num espac¸o topolo´gico Y converge para x ∈ Y se,
∀ vizinhanc¸a V de x, ∃p : n ≥ p ⇒ xn ∈ V . Usa-se enta˜o a notac¸a˜o xn → x ou limxn = x.
Suponha agora que Y e´ um espac¸o me´trico. a) Mostre que as duas noc¸o˜es de convergeˆncia
em Y ja´ apresentadas coincidem. b) Mostre que uma sucessa˜o S = {xn} em Y tem alguma
subsucessa˜o convergente se, e so´ se, S admite algum ponto de acumulac¸a˜o. c) Prove que
entre espac¸os me´tricos X,Y a continuidade de uma func¸a˜o f : X → Y num ponto a ∈ X e´
equivalente a` seguinte condic¸a˜o: ∀{xn}, xn → a⇒ f(xn)→ f(a).
2. Prove que se S = {xn} e´ uma sucessa˜o num espac¸o me´trico e todas as subsucesso˜es de S teˆm
um mesmo ponto x ∈ S como ponto de acumulac¸a˜o, enta˜o xn → x.
3. Seja (X, d) um espac¸o me´trico, A,B ⊂ X. Mostre que se A∩B 6= ∅, enta˜o d(A,B) = 0. Prove
a rec´ıproca na hipo´tese de X ser compacto.
4. Seja V um espac¸o vectorial. Mostre que toda a norma definida em V induz uma distaˆncia em V
(sugesta˜o: reflectir sobre (1.28)). Com essa topologia prove que (u, v) 7→ u+v e (λ, v) 7→ λv sa˜o
cont´ınuas. Mostre que ‖(x1, . . . , xn)‖ = maxi |xi| define uma norma em Rn e que a topologia
dada por esta norma e´ a usual (e´ chamada a norma do ma´ximo).
5. Sejam U, V,W treˆs espac¸os vectoriais normados. Seja A ∈ L(V,W ) (espac¸o das aplicac¸o˜es
lineares de V para W ). Mostre que
‖A‖ = sup
‖u‖=1
‖A(u)‖ (1.31)
10Ou seja, existe um � > 0, tal que todos os tk verificam |tk| ≥ �.
22 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
define uma norma no subespac¸o vectorial L(V,W ) = {A ∈ L(V,W ) : ‖A‖ < +∞}. Mostre
que ‖A(u)‖ ≤ ‖A‖‖u‖, ∀u ∈ V , e que, se B ∈ L(U, V ), enta˜o ‖A ◦ B‖ ≤ ‖A‖‖B‖. Em tendo
tempo, mostre ainda que
‖A‖ = inf{a ∈ R+ : ‖A(u)‖ ≤ a‖u‖, ∀u ∈ V }. (1.32)
6. Seja V um espac¸o vectorial normado de dimensa˜o finita. Utilize um argumento como na
demonstrac¸a˜o do corola´rio 1.3.2 para mostrar que S = {v ∈ V : ‖v‖ = 1} e´ compacto.
(Sugesta˜o: so´ falta ver que f−1(S) e´ limitado, onde f : Rn → V e´ a aplicac¸a˜o descrita em
(1.30)).
7. Sejam V,W dois espac¸os vectoriais normados, com V de dimensa˜o finita. Mostre que L(V,W ) =
L(V,W ). (Sugesta˜o: utilize o corola´rio 1.3.2 para ver que qualquer aplicac¸a˜o linear e´ cont´ınua;
depois use o exerc´ıcio 6). Conclua: independentemente ‘das bases’ ou das normas, todas as
aplicac¸o˜es lineares partindo de um espac¸o de dimensa˜o finita sa˜o cont´ınuas .
8. Mostre que quaisquer duas normas ‖ ‖1, ‖ ‖2 em V de dimensa˜o finita sa˜o equivalentes, ou
seja, existem constantes a, b > 0 tais que a‖u‖1 ≤ ‖u‖2 ≤ b‖u‖1 (sugesta˜o: estude Id : V → V ).
Conclua pelo corola´rio 1.3.2 que V e´ completo. Mostre que se L ⊂ V e´ limitado numa norma,
enta˜o e´ limitado na outra.
9. Estude a norma euclidiana em Rn dada por ‖(x1, . . . , xn)‖2 = x21 + · · ·+ x2n.
1.4 Mais conceitos da topologia
Por vezes temos de ver as coisas com pormenor e com tempo; por exemplo para considerar certas
propriedades que sa˜o satisfeitas apenas localmente — este adve´rbio sera´ usado para criar muitos
substantivos —, ou para encontrar condic¸o˜es que permitam construir func¸o˜es entre espac¸os. Falamos
de tempo, ale´m do mais, porque nesta secc¸a˜o opta´mos por suprimir as demonstrac¸o˜es de certos
resultados cla´ssicos, que para a geometria nos pareceram de somenos importaˆncia. O leitor sequioso
de progredir na geometria podera´ dispensar, por agora, a presente exposic¸a˜o.
1.4.1 Duas questo˜es sobre conexos
Comec¸amos com duas noc¸o˜es globais. Um espac¸o topolo´gico X e´ decomposto em partes conexas.
Para compreender isso estabelecemos uma relac¸a˜o entre os seus pontos
x ∼ y se existe um conexo A ⊂ X, x, y ∈ A, (1.33)
que e´ de equivaleˆncia (ver exerc´ıcio 2, secc¸a˜o 1.2 para provar a transitividade). A classe de equi-
valeˆncia C(x) de cada ponto x ∈ X e´ chamada a componente conexa de x. E´ o´bvio que C(x)
coincide com o maior subconjunto conexo de X ao qual x pertence. Como o fecho de um conexo e´
conexo, cada componente conexa e´ um fechado.
1.4 Mais conceitos da topologia 23
Um espac¸o topolo´gico diz-se conexo por arcos se quaisquer que sejam x, y ∈ X existe uma
aplicac¸a˜o cont´ınua (uma curva) fx,y : [0, 1] → X tal que fx,y(0) = x, fx,y(1) = y. X sera´ em
particular conexo porque as imagens fx,y([0, 1]) sa˜o conexas e logo, ∀x, y ∈ X, y ∈ C(x). Donde
C(x) = X, ∀x.
1.4.2 Va´rias propriedades definidas localmente
Seja de novo X um espac¸o topolo´gico. Dizemos que X e´ localmente conexo (respectivamente,
localmente conexo por arcos) se cada ponto tem um sistema fundamental de vizinhanc¸as conexas
(respectivamente, conexas por arcos). Note-se que um espac¸o pode ser conexo por arcos e na˜o ser
sequer localmente conexo.
Proposic¸a˜o 1.4.1. 1. Um espac¸o topolo´gico e´ localmente conexo se, e so´ se, as componentes conexas
de qualquer aberto sa˜o abertas.
2. Um espac¸o topolo´gico conexo e localmente conexo por arcos e´ conexo por arcos.
Demonstrac¸a˜o. 1. A condic¸a˜o e´ necessa´ria: seja U um aberto, A uma das suas componentes conexas
e x ∈ A. Por hipo´tese, existe uma vizinhanc¸a conexa de x contida em U . Logo contida em A
por definic¸a˜o, donde A e´ aberto. A condic¸a˜o e´ suficiente: tomamos para sistema fundamental de
vizinhanc¸as de cada ponto x ∈ X as componentes conexas, que conteˆm x, dos abertos que conteˆm
x. Por hipo´tese elas sa˜o abertas, logo vizinhanc¸as de cada um dos seus pontos.
2. Fixamos x e consideramos o conjunto
X0 = {y ∈ X : existe curva ligando x a y}.
X0 e´ na˜o vazio porque x ∈ X0. A sua fronteira e´ vazia: se esta tivesse algum ponto z, enta˜o
liga´vamo-lo ao interior de X0 usando uma vizinhanc¸a V de z conexa por arcos e logo, por ‘colagem’
de curvas, qualquer pontode V seria a fortiori ligado a x. Isto prova que z estaria no interior de
X0. Como X e´ conexo e X0 e´ aberto e fechado, X = X0. �
Um espac¸o topolo´gico X diz-se localmente compacto se for de Hausdorff e se cada x ∈ X tiver
uma vizinhanc¸a compacta.
Proposic¸a˜o 1.4.2. Seja X um espac¸o topolo´gico normal. X e´ localmente compacto se, e so´ se, cada
ponto tem um sistema fundamental de vizinhanc¸as compactas.
Demonstrac¸a˜o. Sendo trivial mostrar que a condic¸a˜o e´ suficiente, verifiquemos que ela e´ necessa´ria.
Seja Kx a vizinhanc¸a compacta de x ∈ X. Seja U um aberto qualquer contendo x. Uma vez que
X e´ de Hausdorff, {x} e´ fechado. A segunda condic¸a˜o de X ser normal assegura que os fechados
X\U e {x} possuem vizinhanc¸as abertas, respectivamente, A e U1 que na˜o se intersectam. Enta˜o
V = X\A e´ fechado, e´ vizinhanc¸a de x por conter U1, e V ∩Kx e´ vizinhanc¸a compacta de x contida
em U . Encontra´mos assim o sistema fundamental de vizinhanc¸as compactas. �
Dadas duas coberturas {Vβ}, {Uα} de X, dizemos que a primeira e´ um refinamento da segunda
se todo o Vβ esta´ contido nalgum Uα. Uma cobertura {Uα} diz-se localmente finita se cada ponto
tem uma vizinhanc¸a W que encontra apenas uma quantidade finita de Uα’s, isto e´, W ∩ Uα 6= ∅
apenas para um nu´mero finito de α’s.
24 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
1.4.3 Espac¸os paracompactos
Eis a propriedade que interessa para o desenvolvimento da teoria das ‘variedades topolo´gicas’, que
afinal a satisfazem de forma muito natural. Esta propriedade previne a ocorreˆncia de espac¸os com
uma estrutura muito obstrusa, no sentido em que as func¸o˜es reais e cont´ınuas deixam de ser raras.
Da´-se o nome de paracompacto a um espac¸o topolo´gico X que e´ de Hausdorff e tal que, para
qualquer cobertura aberta de X, existe uma cobertura que e´ ao mesmo tempo um refinamento
daquela e localmente finita. Por exemplo, todos os compactos sa˜o paracompactos.
Apresentamos em seguida um conjunto de resultados fundamentais, cuja demonstrac¸a˜o, como
dissemos, na˜o nos parece essencial para o que segue.
Teorema 1.4.1 (Dieudonne´). Todo o espac¸o paracompacto e´ normal.
Teorema 1.4.2 (Dieudonne´). Se X e´ localmente compacto e e´ a unia˜o numera´vel de subconjuntos
compactos, enta˜o X e´ paracompacto. Em particular, todo o espac¸o localmente compacto e com base
numera´vel e´ paracompacto.
Teorema 1.4.3 (Urysohn). Seja X um espac¸o topolo´gico com base numera´vel. Tem-se que X e´
normal se, e so´ se, X e´ metrisa´vel.
Teorema 1.4.4 (de extensa˜o de Tietze-Urysohn). Seja Z um espac¸o me´trico, A ⊂ Z um fechado e
f uma aplicac¸a˜o cont´ınua e limitada de A em R. Enta˜o existe uma aplicac¸a˜o cont´ınua f˜ : Z → R
que coincide com f em A (uma extensa˜o) e tal que
sup
Z
f˜ = sup
A
f, inf
Z
f˜ = inf
A
f. (1.34)
Corola´rio 1.4.1 (Urysohn). Seja Z um espac¸o me´trico e sejam A,B ⊂ Z dois fechados, na˜o vazios
e disjuntos. Enta˜o existe uma func¸a˜o cont´ınua f : Z → [0, 1] tal que
f(x) = 1, ∀x ∈ A, f(x) = 0, ∀x ∈ B. (1.35)
Demonstrac¸a˜o. Deduz-se este resultado aplicando o teorema anterior a` func¸a˜o definida sobre A∪B
que vale 1 em A e 0 em B, e que e´ por isso cont´ınua. �
O lema de Urysohn tambe´m vale num espac¸o normal com base enumera´vel. A importaˆncia
de tomar a classe, com intersecc¸a˜o mais restrita, dos espac¸os paracompactos mostra-se a seguir.
Vejamos mais um teorema devido a Dieudonne´.
Teorema 1.4.5 (do encolhimento). Seja X um espac¸o normal. Seja I uma famı´lia de ı´ndices e
{Ui}i∈I uma cobertura aberta e localmente finita de X. Enta˜o existe uma cobertura aberta {Vi}i∈I
de X tal que V i ⊂ Ui, ∀i ∈ I.
Dada uma func¸a˜o φ : X → R chamamos suporte de φ ao conjunto
suppφ = {x ∈ X : φ(x) 6= 0}. (1.36)
Este conjunto e´ portanto igual ao mais pequeno fechado fora do qual φ e´ nula.
Seja U = {Ui}i∈I uma cobertura aberta de um espac¸o topolo´gico X. Uma famı´lia {φi}i∈I de
func¸o˜es reais definidas em X e cont´ınuas
φi : X −→ R (1.37)
1.4 Mais conceitos da topologia 25
constitui uma partic¸a˜o da unidade subordinada ou associada a U se 1) φi ≥ 0; 2) suppφi ⊂ Ui;
3) cada ponto x ∈ X tem uma vizinhanc¸a aberta que encontra os suppφi apenas numa quantidade
finita de i’s; 4)
∑
i∈I φi(x) = 1, ∀x ∈ X. Repare-se que o somato´rio faz sentido por causa de 3).
Teorema 1.4.6. E´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para um espac¸o topolo´gico ser paracompacto,
que ele seja de Hausdorff e que toda a cobertura aberta tenha uma partic¸a˜o da unidade associada.
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos queX e´ paracompacto e seja U = {Ui}i∈I uma cobertura aberta. Enta˜o
X e´ normal e existe um refinamento U ′ = {U ′i}i∈I localmente finito. Pelo teorema do encolhimento
existem ainda refinamentos V = {Vi}i∈I , tal que V i ⊂ U ′i , e W = {Wi}i∈I , tal que W i ⊂ Vi. Agora,
pelo lema de Urysohn existe uma func¸a˜o φ′i cont´ınua, com valores em [0, 1], igual a 1 em W i e igual
a 0 fora de Vi. Uma vez que V,W sa˜o coberturas localmente finitas a soma ψ =
∑
i∈I φ
′
i e´ cont´ınua
e na˜o nula em nenhum ponto. As func¸o˜es φi = φ
′
i/ψ satisfazem as propriedades 1), 2), 3), 4).
Rec´ıprocamente suponhamos que toda a cobertura aberta U = {Ui}i∈I admite uma partic¸a˜o da
unidade associada {φi}i∈I . Sendo Vi o interior de suppφi, enta˜o os Vi cobrem X (por 4) e sa˜o um
refinamento de U (por 2) localmente finito (por 3). Logo X e´ paracompacto. �
A demonstrac¸a˜o do u´ltimo teorema encontra-se em [Hir95]; ver tambe´m [Hir95, Die44] a propo´sito
dos teoremas de J. Dieudonne´. Refereˆncias para o teorema de P. S. Urysohn podera˜o ser encontradas
em [KF82] e o teorema de Tietze-Urysohn esta´ demonstrado em [Die66].
Exerc´ıcios
1. Verifique as condic¸o˜es de partic¸a˜o da unidade das func¸o˜es φi encontradas na demonstrac¸a˜o do
u´ltimo corola´rio.
2. Mostre que propriedades topolo´gicas como compacto, conexo, separa´vel, localmente conexo ou
paracompacto sa˜o invariantes por homeomorfismo. Encontre outras.
3. Sabendo que os conexos de R sa˜o os intervalos, mostre que toda a func¸a˜o cont´ınua f : X → R
num espac¸o conexo X, que tome os valores c e d, tem de tomar tambe´m todos os valores entre
c e d (resultado conhecido como teorema de Bolzano).
4. Mostre que R e´ localmente compacto. Encontre duas coberturas de R, uma localmente finita
e a outra na˜o. Mostre que R e´ paracompacto.
5. Encontre um espac¸o me´trico localmente compacto que na˜o seja completo.
6. Mostre que {(x, sen 1x ) ∈ R2 : x ∈ R+} ∪ {(x, y) : x = 0 ou y = 0} e´ conexo por arcos mas
na˜o e´ localmente conexo.
7. Seja X um espac¸o localmente compacto. Mostre que um subespac¸o de X fechado e´ localmente
compacto. Mostre que se X e´ normal e U e´ um aberto enta˜o U tambe´m e´ localmente compacto.
Prove que todos os abertos ou fechados de R sa˜o paracompactos.
8. Seja X um espac¸o topolo´gico. Um subespac¸o Y diz-se localmente fechado em X se existem
um aberto A e um fechado F em X tais que Y = A ∩ F . Mostre que os subconjuntos abertos
e os subconjuntos fechados sa˜o localmente fechados. Mostre que se f : X → Y ′ e´ cont´ınua e
Y e´ localmente fechado em Y ′, enta˜o f−1(Y ) e´ localmente fechado em X. Sendo Y ⊂ B ⊂ X
mostre que Y e´ localmente fechado em X se, e so´ se, Y e´ localmente fechado em B.
26 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
9. ([Die66]) Mostre que os subespac¸os localmente compactos de um espac¸o me´trico sa˜o localmente
fechados.
10. Mostre que os abertos conexos de Rn sa˜o conexos por arcos.
11. Mostre que o produto cartesiano de espac¸os localmente compactos, com base numera´vel, e´
paracompacto.
1.5 Ca´lculo diferencial
Esta secc¸a˜o aborda os principais conceitos e teoremas do ca´lculo diferencial, aqui servindo para
fundar a notac¸a˜o e para posterior refereˆncia.
O espac¸o vectorial Rn sobre o corpo dos nu´meros reais e´ um espac¸o me´trico separa´vele completo,
com a distaˆncia d entre dois pontos x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) definida por
d(x, y) = ‖x− y‖ =
√
(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2. (1.38)
Com esta estrutura damos a (Rn, d) o nome de espac¸o euclidiano. O surgimento da notac¸a˜o ‖ · ‖
deve-se ao facto de aquela distaˆncia provir de uma norma (ver exerc´ıcios 4,6,8,9 da secc¸a˜o 1.3). E´
importante ter presente que as bolas fechadas e as esferas Sn−1r = {v ∈ Rn : ‖v‖ = r} sa˜o espac¸os
compactos, com a topologia induzida de Rn e que, portanto, quaisquer func¸o˜es cont´ınuas a´ı definidas
sa˜o limitadas. Uma bola e´ um exemplo de um conjunto convexo. Um subconjunto X do espac¸o
euclidiano diz-se convexo se
∀x, y ∈ X, ∀t ∈ [0, 1], ty + (1− t)x ∈ X. (1.39)
Rn e´ portanto normal, localmente conexo, localmente compacto e paracompacto.
1.5.1 Propriedades fundamentais das func¸o˜es diferencia´veis
Essencialmente, o ca´lculo diferencial consiste na ana´lise da ‘parte linear’ das func¸o˜es de uma certa
classe, de modo a obter mais informac¸a˜o e diversa sobre essas func¸o˜es e o seu domı´nio.
Consideremos um aberto U de Rn, uma func¸a˜o f : U → Rm e um ponto x ∈ U . Dizemos que f
e´ diferencia´vel em x se existe uma aplicac¸a˜o linear ξ : Rn → Rm tal que, escrevendo11
f(x+ v) = f(x) + ξ(v) + o(v), (1.40)
resulta12
lim
v→0
o(v)
‖v‖ = 0 (1.41)
11Relativamente a (1.40), e´ claro que se considera v suficientemente pequeno de tal modo que x+ v ainda esta´ no
domı´nio de f — so´ se pretende caracterizar f numa vizinhanc¸a de x. Note-se tambe´m que a equac¸a˜o serve para definir
a func¸a˜o o e que claramente ξ, o podera˜o mudar de ponto para ponto, isto e´, dependem de x.
12Relativamente a (1.41), note-se que, pelos exerc´ıcios sobre normas anteriormente referidos, fica´mos a saber que
todas as normas em Rn sa˜o equivalentes, pelo que o limite ser nulo na˜o depende da norma utilisada. Em particular,
a noc¸a˜o de diferenciabilidade na˜o depende da me´trica. E´ esta propriedade que faz a “geometria diferencial” ser
independente da “geometria riemanniana”, onde a me´trica em geral varia de ponto para ponto.
1.5 Ca´lculo diferencial 27
(neste limite e´ claro que se exclui v = 0). Multiplicando (1.41) por ‖v‖, segue de imediato que
tambe´m se tem limv→0 o(v) = 0 = o(0). A aplicac¸a˜o linear ξ e´ chamada aplicac¸a˜o linear derivada,
ou diferencial, de f em x e denota-se tanto por df(x) como por dfx. A equac¸a˜o (1.40) toma assim
o aspecto
f(x+ v) = f(x) + dfx(v) + o(v). (1.42)
Os valores df(x)(v) sa˜o chamados de derivadas direccionais de f no ponto x segundo a
direcc¸a˜o v.
Proposic¸a˜o 1.5.1. Se uma func¸a˜o f e´ diferencia´vel em x, enta˜o ela e´ cont´ınua em x.
Demonstrac¸a˜o. Verifica-se que
lim
v→0
f(x+ v) = lim
v→0
(
f(x) + df(x)(v) + o(v)
)
= f(x),
entre outros, por todas as aplicac¸o˜es lineares entre espac¸os de dimensa˜o finita serem cont´ınuas. �
Seja e1, . . . , en a base cano´nica de Rn, isto e´, para cada i = 1, . . . , n,
ei = (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) (1.43)
com 1 no i-e´simo lugar e o resto tudo zeros. As derivadas parciais de f em x sa˜o (denotadas e)
definidas por
∂f
∂xi
(x) = df(x)(ei) = lim
t→0
f(x+ tei)− f(x)
t
(1.44)
(no caso n = 1, denotamos ∂f∂x (x) = dfx(1) por f
′(x)). Com efeito, fazendo v = tei, t ∈ R+, vem
que ‖v‖ = t e pelas definic¸o˜es vem que
lim
t→0
1
t
(
f(x+ tei)− f(x)
)
= lim
t→0
1
t
(
df(x)(tei) + o(tei)
)
= lim
t→0
df(x)(ei) +
o(tei)
t
= df(x)(ei)
(1.45)
Em virtude desta igualdade, da unicidade do limite e do facto de uma aplicac¸a˜o linear ficar deter-
minada pelas imagens dos vectores de uma base, podemos concluir que, se f for diferencia´vel, existe
somente uma aplicac¸a˜o linear diferencial de f , ou seja, satisfazendo (1.40) e (1.41).
Proposic¸a˜o 1.5.2. Sejam f, g : U → Rm duas aplicac¸o˜es diferencia´veis no mesmo ponto x no
interior de U . Seja λ ∈ R. Enta˜o:
1. f + g e´ diferencia´vel em x e d(f + g)(x) = df(x) + dg(x);
2. λf e´ diferencia´vel em x e d(λf)(x) = λdf(x);
3. (regra de Leibniz) Se f : U → R, enta˜o fg : U → Rm e´ diferencia´vel em x e
d(fg)(x)(v) =
(
df(x)(v)
)
g(x) + f(x)
(
dg(x)(v)
)
(1.46)
Demonstrac¸a˜o. Sendo triviais 1 e 2 resta-nos demonstrar 3. Ora, invocando serem satisfeitas para
f e g as condic¸o˜es (1.40) e (1.41), vem
fg(x+ v) = f(x+ v)g(x+ v) =
(
f(x) + dfx(v) + o(v)
)(
g(x) + dgx(v) + o˜(v)
)
= f(x)g(x) + dfx(v)g(x) + f(x)dgx(v) +
+dfx(v)dgx(v) + o(v)g(x+ v) + f(x+ v)o˜(v)
28 Cap´ıtulo 1. Material preparato´rio
e, tendo em conta que f e g sa˜o cont´ınuas em x, deduz-se a diferenciabilidade de fg por se verificar
lim
v→0
dfx(v)dgx(v) + o(v)g(x+ v) + f(x+ v)o˜(v)
‖v‖
= lim
v→0
dfx
( v
‖v‖
)
dgx(v) +
o(v)
‖v‖ g(x+ v) + f(x+ v)
o˜(v)
‖v‖ = 0.
Note-se que os vectores v/‖v‖ esta˜o sobre a esfera Sn−1 de raio 1, sobre a qual df(x) tem imagem
limitada, e que usa´mos novamente a continuidade, como aplicac¸o˜es lineares, dos diferenciais de f e
g. Cf. com exerc´ıcio 12 da secc¸a˜o 1.2. �
Teorema 1.5.1 (derivada da func¸a˜o composta). Sejam U ⊂ Rn, V ⊂ Rm abertos, x ∈ U, f : U →
Rm uma func¸a˜o diferencia´vel em x, tal que f(x) ∈ V , e g : V → Rp uma func¸a˜o diferencia´vel em
f(x). Tem-se enta˜o que g ◦ f : U → Rp e´ diferencia´vel em x e
d(g ◦ f)x = dgf(x) ◦ dfx, (1.47)
ou seja, para qualquer vector v tem-se a igualdade d(g ◦ f)x(v) = dgf(x)(dfx(v)).
Demonstrac¸a˜o. Da hipo´tese de diferenciabilidade de f e g resulta
g ◦ f(x+ v) = g(f(x) + dfx(v) + o(v))
= g(f(x)) + dgf(x)(dfx(v) + o(v)) + o˜(dfx(v) + o(v))
= g ◦ f(x) + dgf(x)(dfx(v)) +O(v),
onde o, o˜ sa˜o dados por (1.40), e satisfazem (1.41), e onde O(v) = dgf(x)(o(v)) + o˜(dfx(v) + o(v)).
Falta-nos enta˜o verificar que O(v)/‖v‖ e´ um infinite´simo com v. Ora, tomando o limite em v e
considerando desde ja´ que w(v) = dfx(v) + o(v) 6= 0 — o u´nico obsta´culo relevante —, vem que
tambe´m w(v)→ 0 e
lim
v→0
O(v)
‖v‖ = limv→0
1
‖v‖
(
dgf(x)(o(v)) + o˜(w(v))
)
= lim
v→0
dgx(o(v))
‖v‖ +
o˜(w(v))
‖w(v)‖
‖w(v)‖
‖v‖
= lim
v→0
dgx
( o(v)
‖v‖
)
+ o˜(w(v))‖w(v)‖
∥∥dfx( v‖v‖)+ o(v)‖v‖ ∥∥ = 0,
por razo˜es ja´ conhecidas, como quer´ıamos demonstrar. �
Em diversas situac¸o˜es convem apresentar o diferencial de uma func¸a˜o de uma forma mais expl´ıcita,
em termos de coordenadas. Suponhamos que U e´ um aberto de Rn e f : U → R e´ uma func¸a˜o
diferencia´vel em x = (x1, . . . , xn) ∈ U . Visto que se pode escrever qualquer vector v = (v1, . . . , vn)
de Rn como v = v1e1 + · · ·+ vnen, vem enta˜o por linearidade que
df(x)(v) = df(x)(v1e1 + · · ·+ vnen)
= v1df(x)(e1) + · · ·+ vndf(x)(en) = v1 ∂f
∂x1
(x) + · · ·+ vn ∂f
∂xn
(x).
(1.48)
1.5 Ca´lculo diferencial 29
Suponhamos agora que f : U ⊂ Rn → Rm, f(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym), e´ uma func¸a˜o diferencia´vel
em x. Enta˜o f e´ dada por um sistema de m func¸o˜es reais
y1 = f1(x1, . . . , xn)
...
ym = fm(x1, . . . , xn).
(1.49)
Por (1.42), teremos para cada v ∈ Rn
df(x)(v) =
(
df1(x)(v), . . . , dfm(x)(v)
)
=
( n∑
i=1
vi
∂f1
∂xi
(x), . . . ,
n∑
i=1
vi
∂fm
∂xi
(x)
)
.
(1.50)
Assim, a matriz da aplicac¸a˜o linear df(x) : Rn → Rm, nas bases cano´nicas, e´ dada pela matriz das
derivadas parciais
J(f) =

∂f1
∂x1
· · · ∂f1∂xn
· · ·
∂fm
∂x1
· · · ∂fm∂xn
 (1.51)
a chamada matriz jacobiana de f . Mais ainda, depreende-se logo, observando as definic¸o˜es, que
a diferenciabilidade de f em x e´ equivalente a` condic¸a˜o de serem diferencia´veis em x cada uma das
componentes fj , 1 ≤ j ≤ m.
Em lugar de um exemplo, recuperando o enunciado do teorema 1.5.1 e fazendo
f(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym),
g(y1, . . . , ym) = (z1, . . . , zp)
(1.52)
temos a sugestiva equac¸a˜o representando