Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
CÔNICAS 
CIRCUNFERÊNCIA: 
 Definição: É o conjunto dos pontos no plano que possuem a mesma distância (raio) de um ponto 
fixo (centro da circunferência). 
 
 Representação: 
 
 
 r 
 C 
 
 
 
 Equação reduzida: 
222 )()( rbyax 
 
tradução: um ponto P (x,y) pertencente à uma circunferência de centro C (a,b) e raio r. 
 
 Equação geral: 
022 22222  rbabyaxyx
 
 
 Exemplo 1: 
 Qual o centro e o raio da circunferência 
?0114222  yxyx
 
 R: 
022 22222  rbabyaxyx
 
 
114222  yxyx
 =0 
 
 Tem-se que 








11
42
22
222 rba
b
a
 e, assim, a = 1 e b = -2 : Centro C (1,-2). 
 
 desta forma, 
 
 
 
 
 Exemplo 2: 
 Determine a equação reduzida da circunferência que tenha raio 5 e centro (-3,2): 
 
 R: 
222 )()( rbyax 
 
 
25)2()3(5)2())3(( 22222  yxyx
 
 
4164111
4111
11)2(1
11
2
222
222




r
r
r
rba
 
 Exemplo 3: 
 Determine o raio e o centro da circunfêrencia cuja equação reduzida é 
 a) 
81)2()2( 22  yx
 
 b) 
1622  yx
 
 
R: a) 
222 )()( rbyax 
 
 
81)2()2( 22  yx
 
 Logo, r =9, C(2, -2) 
 
 b) 
16)0()0( 22  yx
 
 Logo, r =4, C(0, -2) 
 
 Exemplo 4: 
 Determine o raio e o centro da circunfêrencia para: 
 a) 
0168822 22  yxyx
 
 b) 
0
4
1
222  yxyx
 
 c) 
0933 22  yx
 
 
R: a) 
0168822 22  yxyx
 dividindo a equação por 2, temos: 
 









09)2()2(9
242
242
0844
222222
22
rrrba
bb
aa
yxyx
 
 Logo, é um ponto C (-2, -2), e não uma circunferência (não possui raio). 
 
 b) 















2
6
4
6
4
6
4
1
1
4
1
4
1
1
4
1
4
1
4
1
1
4
1
)
2
1
()1(
4
1
2
1
12
122
222
2222222
rrrrr
rrrba
bb
aa
 
 Logo, 
2
6
r
 e C 







2
1
,1
 
 
 c) 
0933 22  yx
 dividindo a equação por 3, temos: 
 
0322  yx
 centro C (0, 0) e raio 
3r
 
 
 
 
 
 
 
 
ELIPSE: 
 Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano tal que a soma das distâncias dos pontos a F1 
e F2 seja constante e igual a 2a. Considerando F1 e F2 dois pontos de um plano tal que a distância 
entre eles seja 2c, e um ponto P deve ser satisfeita a condição PF1 + PF2 = 2a, com 2a>2c. 
 
 Representação: 
 P º 
 
2b F1 º C F2 º 
 
 
 2c 
 2a 
 
 
 Equação: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 sendo (x0, y0) o centro da elipse 
 
 Exemplo 5: 
 Determine o centro, as medidas dos eixos e a distância focal e as coordenadas dos focos de: 
 a) 
1
16
)2(
25
)6( 22



 yx
 
 b) 
1
4
)(
9
)( 22

yx
 
 
R: a) C (6, -2) 
 Eixo maior: a2 = 25 logo, a = 5. Assim, 2a = 2 x 5 = 10 
 Eixo menor: b2 = 16 logo, b = 4. Assim, 2b = 2 x 4 = 8 
 Distância focal: para achar c, faremos a2 = b2 + c2 ou seja, 
945 22 c
 
 logo, c = 3. Assim, 2c = 2 x 3 = 6 
 Coordenadas dos focos: F1 (X0-c, y0) e F2 (X0 + c, y0): 
 F1 ( 6-3, -2) ou F1 (3,-2). F2 (6+3,-2) ou F2 (9, -2) 
 
 b) C (0, 0) 
 Eixo maior: a2 = 9 logo, a = 3. Assim, 2a = 2 x 3 = 6 
 Eixo menor: b2 = 4 logo, b = 2. Assim, 2b = 2 x 2 = 4 
 Distância focal: para achar c, faremos a2 = b2 + c2 ou seja, 
523 22 c
 
 Assim, 2c = 
52
 
 Coordenadas dos focos: F1 (X0-c, y0) e F2 (X0 + c, y0): 
 F1 
)0,50( 
 F2 
)0,50( 
 
 
 
 
 
 
 
F1 e F2: focos 
2c: distância focal 
2a: eixo maior 
2b: eixo menor 
centro: ponto médio entre f1 e F2 
 
 Exemplo 6: 
 Determine o centro, os focos, os eixos da elipse 4x2 + 9y2 - 16x - 18y - 11 = 0 
 
R: 
 
1
4
)1(
9
)2(
36)1(9)2(4
91611)12(9)44(4
11)2(9)4(4
11189164
011181694
22
22
22
22
22
22









yx
yx
yyxx
yyxx
yyxx
yxyx
 
 Centro C (2 , 1) 
 Eixo maior: a2 = 9 a=3 logo, eixo maior = 2x3 = 6 
 Eixo menor: b2 = 4 b=2 logo, eixo menor = 2x2 = 4 
 a2 = b2 + c2 => 
523 22 c
 
 Foco F1: 
)1,52( 
 
 Foco F2: 
)1,52( 