MTM112 52 prova3 02 2009

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
2o Semestre de 2009 – 3a Avaliac¸a˜o
08/12/2009 – 13h30 - 15h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS
SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira es-
colhida.
ATENC¸A˜O: escolha quatro (04) das cinco questo˜es abaixo.
Questa˜o 1: Determine uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que 2 e -3 sa˜o autovalores de T ,
sendo os respectivos autovetores da forma (8x, 3x) e (x, x).
Questa˜o 2: As matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis?
A =
 2 1 00 2 1
0 0 1
 e B =
 2 4 04 2 0
0 0 3

Questa˜o 3: Sejam P2 o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 2 e D : P2 → P2 o operador
derivada, isto e´ D(p(x)) = p′(x). Escreva a matriz de D em relac¸a˜o a base α = {1, x, x2}. D possui algum
autovetor?
Questa˜o 4: Resolva o sistema de equac¸o˜es diferenciais abaixo x
′(t) = −x+ 3y
y′(t) = 2x+ 4y
Tendo a soluc¸a˜o geral em ma˜os, encontre a soluc¸a˜o particular tal que x(0) = 0 e y(0) = 4.
Questa˜o 5: Seja T : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear definida por
T (x, y, z) = (x, x− y, x+ y + z).
Sejam α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e β = {(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0,−2, 1)} bases de R3. Deˆ as matrizes [T ]αα
e [T ]ββ .