MTM112 54 prova2 01 2010

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a A´lgebra Linear
1o Semestre de 2010 – 2a Avaliac¸a˜o
11/05/2010 – 07h30 - 09h10
Nome: No
Observac¸o˜es: Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada.
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa
avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: (10 pts) Exprima o vetor (1,−3, 10) como combinac¸a˜o linear dos vetores
u = (1, 0, 0), v = (1,−1, 0) e w = (2, 3, 5).
Questa˜o 2: (10 pts) v = (1,−1, 2) ∈ [(1,−2, 3), (3, 0, 1)]?
Questa˜o 3: (30 pts) Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
a) Os vetores (x, y) ∈ R2 tais que x2 − 5x = y2 − 5y.
b) As func¸o˜es ϕ ∈ C∞(R) tais ϕ′′ − ϕ+ ϕ = 0.1
Questa˜o 4: (30 pts) Verifique que o subespac¸o vetoria de R4 definido por F = {(x, y, z, s) ∈
R4; x = −z, y = s}, possui dimensa˜o 2. Exiba uma base BF = {u, v} para F . Obtenha
vetores de w e t R4 tais que u ⊥ w, u ⊥ t, v ⊥ w e v ⊥ t. B = {u, v, w, t} e´ uma base para R4?
Questa˜o 5: (30 pts) Seja T uma transformac¸a˜o linear de R3 em R2 tal que
T (1,−1, 0) = (2, 2), T (1, 1, 0) = (3,−3) e T (0, 0, 1) = (1, 2).
Encontre a expressa˜o de T (a, b, c). Calcule T (2, 0,−2). Encontre uma base para ker(T ) e
Im(T ).
Recorde-se que a nota final da disciplina e´ a soma das notas das provas divi-
dido por 30.
1C∞(R) e´ o conjunto das func¸o˜es reais com derivadas de todas as ordens