MTM112 77 Exame Especial 2013

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77
1o. Semestre de 2013 – Exame Especial Parcial (EEP) e Total
(EET)
INSTRUC¸O˜ES: EEP1 , questo˜es 1 a` 4. EEP2 , questo˜es 5 a` 7. EEP3 , questo˜es 8 a` 10.
EET , questo˜es 7 a` 9.
Na˜o esquec¸a de sinalizar a sua opc¸a˜o.
Questa˜o 1: A mecaˆnica de indentificac¸a˜o de uma conta corrente em determinado banco e´ a
seguinte: O nu´mero da inscric¸a˜o da conta corrente e´ constitu´ıdo de cinco d´ıgitos agrupados
e um d´ıgito verificador, (exemplo: 90128 − V ). O d´ıgito verificador V tem por finalidade
comprovar a validade do nu´mero da conta informada. Tal d´ıgito e´ obtido atrave´s da multi-
plicac¸a˜o de matrizes conforme descrito a seguir
Tomamos a matriz linha C constitu´ıda dos d´ıgitos da conta na ordem em que eles aparecem
e fazemos o seu produto com a matriz coluna D = (dij)5×1 tal que
Dt = [13 12 11 10 9].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz C ·D pelo nu´mero
13. Se o resto for estiver entre 0 e 9, o d´ıgito sera´ igual ao resto da divisa˜o. Caso o resto
seja 10, 11 ou 12 utilizamos os d´ıgitos X, Y e Z, respectivamente.
Com base no exposto calcule o d´ıgito verificador V da conta de nu´mero 90128− V.
Questa˜o 2: Uma industria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo,
A e B. Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama
do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada
kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos
X, Y e Z e´ R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de
X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900,00.
Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos.
Questa˜o 3: Determine os coeficientes a, b, c e d da func¸a˜o polinomial p(x) = ax3 + bx2 +
cx+ d, cujo gra´fico passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3, 11) e P4 = (4, 14).
Questa˜o 4: (a) Sejam X1 e X2 soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo AX = 0. Mostre que
aX1 + bX2 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo, para quaisquer escalares a e b.(b) Sejam X1
e X2 soluc¸o˜es do sistema AX = B. Mostre que se aX1 + bX2 e´ soluc¸a˜o, para quaisquer
escalares a e b, enta˜o B = 0.
Questa˜o 5: (a) Sejam X1 e X2 matrizes 2×1 LI e A uma matriz 2×2 tal que detA 6= 0. Ver-
ifique que AX1 e AX2 sa˜o matrizes 2× 1 LI.(b) Os vetores X1 = (1, 2, 2, 1), X2 = (2, 1, 1, 2)
e X3 = (3, 0, 0, 3) sa˜o LI? (c) Seja F o conjunto de vetores (x, y, z, t) ∈ R4 tais que x = z e
y = t. Verifique que F e´ um subespac¸o vetorial de R4, exiba uma base para F e em seguida
extenda esta base a` uma base de R4.
Questa˜o 6: Dadas as transformac¸o˜es lineares T (x, y) = (x + 2y, 2x + y) e I(x, y) = (x, y),
para λ ∈ R seja Tλ(x, y) = T (x, y) − λI(x, y). Determine os valores de λ para os quais
ker(Tλ) possui vetores na˜o triviais. Para os valores de λ encontrados, exiba uma base para
ker(Tλ).
Questa˜o 7: Seja T : R3 → R2 uma transformac¸a˜o linear tal que T (1, 1, 1) = (6, 0),
T (1, 1, 0) = (4,−2) e T (1, 0, 0) = (3, 1). Encontre a expressa˜o de T . Exiba uma base
para ker(T ) e uma base para Im(T ).
Questa˜o 8: (a) Dado o operador linear T (x, y) = (2x+ 2y, 2x+ 2y). Encontre o polinoˆmio
caracter´ıstico de T , os autovalores e os autovetores. T e´ diagonaliza´vel? (b) Seja S um
operador linear tal que −2 e 3 sa˜o autovalores, os autovetores associados a -2 sa˜o da forma
(x, 0,−x) e os autovetores associados a 3 sa˜o da forma (0, y, 0) e (z, 0, z). Encontre a ex-
pressa˜o de S. S e´ diagonaliza´vel?
Questa˜o 9: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A =
 3 0 00 3 0
1
2
1
2
−1
 .
T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
Questa˜o 10: Seja T um operador linear cuja matriz na base canoˆnica e´
 3 0 0−3 3 2
4 0 −1
 .
Encontre uma base β = {v1, v2, v3} tal que a matriz de T e´
 2 0 2−2 3 0
5 0 1
.