Prova Antiga Algebra Linear Gil Fidelix

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77
1o. Semestre de 2013 – Primeira Avaliac¸a˜o
INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Dado o sistema
{
6x+ ky = 9
2x− 7y = 1 , de inco´gnitas x e y determine:
(a) k para que o sistema seja imposs´ıvel.
(b) k tal que o sistema possua soluc¸a˜o u´nica.
Questa˜o 2: Considere a matriz
A =
 4 2 02 4 0
0 0 4
 .
Encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear (A− λI3)X = 0 possua soluc¸a˜o na˜o-trivial.
Questa˜o 3: Calcule o determinante da matriz A sabendo que A ·
(
5 −4
3 4
)
=
(
4 6
3 11
)
Questa˜o 4: Um exemplo simples e interessante do uso de matrizes e´ o acontece quando trabalhamos com o CPF
(Cadastro de Pessoas F´ısicas). O nu´mero de inscric¸a˜o do CPF e´ constitu´ıdo de nove d´ıgitos agrupados de treˆs em
treˆs, mais dois d´ıgitos verificadores, por exemplo
313.402.809−XY.
Os d´ıgitos verificadores X e Y teˆm por finalidade comprovar a validade do nu´mero do CPF informado. Tais d´ıgitos
sa˜o obtidos por multiplicac¸a˜o de matrizes.
• O Ca´lculo do primeiro d´ıgito verificador.
Tomamos a matriz linha A = (aij)9×1 constitu´ıda dos d´ıgitos do CPF na ordem em que eles aparecem e fazemos
o seu produto com a matriz coluna B = (bij)1×9 em que
Bt = [10 9 8 7 6 5 4 3 2].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz A ·B pelo nu´mero 11. Se o resto for 0
ou 1 o primeiro d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o primeiro d´ıgito verificador sera´
11-resto.
• O Ca´lculo do segundo d´ıgito verificador.
Tomamos a matriz linha C = (cij)10×1 constitu´ıda dos d´ıgitos do CPF mais o primeiro d´ıgito verificador na
ordem em que eles aparecem e fazemos o seu produto com a matriz coluna D = (dij)1×10 em que
Dt = [11 10 9 8 7 6 5 4 3 2].
A seguir tomamos o resto da divisa˜o inteira da u´nica entrada da matriz C ·D pelo nu´mero 11 Se o resto for 0
ou 1 o segundo d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o segundo d´ıgito verificador sera´
11-resto.
Encontre os d´ıgitos verificadores do CPF.
313.402.809−XY.