MTM112 81 Prova2 02 2013

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-81
2o. Semestre de 2013 – Segunda Avaliac¸a˜o
INSTRUC¸O˜ES:
Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATI-
VAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida.
Questa˜o 1: Resolva os itens abaixo:
a) (15 pts) O nu´cleo de uma transformac¸a˜o linear T : Rn → Rm e´ um conjunto formado por todos os vetores
u ∈ Rn tais que T (u) = 0. Encontre a expressa˜o dos vetores pertencentes ao nu´cleo da transformac¸a˜o linear
T (x, y, z) = (2x+ 3y − z, x− 4y + 5z).
b) (10 pts) Considerando a transformac¸a˜o linear T do item anterior, exiba um vetor (a, b, c) tal que T (a, b, c) = (3, 7).
c) (5 pts)E´ correto afirmar que o nu´cleo de um operador linear injetor, T : R3 → R3, possui apenas o vetor
(0, 0, 0)? Justifique.
Questa˜o 2: Dado um operador linear injetor T : Rn → Rn, a inversa de T e´ o operador linear T−1 tal que
[T ] · [T−1] = In. Considerando o operador linear T (x, y, z) = (2x + 3y + 3z, 3x + 2y + 3z, 4x + y + 2z), resolva os
itens abaixo:
a) (10 pts) Exiba a matriz canoˆnica de T .
b) (20 pts)T e´ injetora? T possui uma inversa? Caso afirmativo exiba esta inversa.
c) (10 pts)Exiba um vetor de R3 tal que T (x, y, z) = (25, 24, 21)
Questa˜o 3: (20 pts) Mostre que a imagem de T (x, y, z) = (x − 2y + z, 5x − y + 3z, 4x + y + 2z) na˜o e´ todo o R3
exibindo um vetor que na˜o pertenc¸a a` imagem de T .
Questa˜o 4: (10 pts) Encontre a expressa˜o do operador linear T : R2 → R2 sabendo que a matriz canoˆnica de T e´
[T ] = (tij)2×2 em que
tij = 2i+ j, se i 6= j e tij = 2j − i2 se i = j
Questa˜o 5: (10 pts) Dada a matriz
A =
 2 2 22 2 2
2 2 2
 ,
encontre valores λ ∈ R tais que o sistema linear homogeˆneo (A− λI3)X = 0 admita soluc¸a˜o na˜o-trivial.