CURSO COMPLETO RACIOCINIO LOGICO

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Módulo I – Conceitos Iniciais do Raciocínio Lógico
Esse módulo tratará dos primeiros conceitos, imprescindíveis ao entendimento da matéria. Falaremos sobre proposições, valores lógicos, conectivos, tabelas-verdade, tautologia, contradição, equivalência entre proposições, validade dos argumentos, entre vários outros. Trabalharemos este módulo em duas aulas.
Questões Modelo:
01.(Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações,
ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P  Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P  Q,
que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q,
denotada por P  Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e
a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a
essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
1. As tabelas de valorações das proposições PQ e Q  ¬P são iguais.
2. As proposições (PQ)S e (PS)  (QS) possuem tabelas de valorações iguais.
02.(AFC 2002 ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Módulo II – Estruturas Lógicas e Lógica de Argumentação
Um dos assuntos prediletos da Esaf e de outras mesas elaboradoras! Questão costumeiramente certa nas provas de raciocínio lógico. Aqui conheceremos a fundo os tipos de estrutura lógica e como são trabalhadas nos enunciados. Usaremos três aulas neste módulo.
Questões Modelo:
01. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque.
Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar
tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no
final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia. c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão
de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de
Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto. b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
Módulo III – Questões de Associação
Também um estilo de questão quase sempre presente nas provas. Às vezes, enunciados imensos deixam os alunos sem estímulo para resolvê-los. Aprenderemos as técnicas necessárias para ganhar tempo nestas resoluções! Usaremos duas aulas.
Questões Modelo:
01. (TCE-RN 2000 ESAF) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr-do-sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e outro vascaíno. Sabe-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo, e outro é cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente:
a) Regina e Sandra b) Tânia e Sandra
c) Sandra e Tânia d) Regina e Tânia
e) Tânia e Regina
02. (Fiscal do Trabalho 2003 - ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que:
a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;
b) marido e esposa não jogam entre si.
Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de
Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são, respectivamente:
a) Celina e Alberto b) Ana e Carlos
c) Júlia e Gustavo d) Ana e Alberto
e) Celina e Gustavo
Módulo IV – Verdades e Mentiras
Questão igualmente obrigatória nas provas. Talvez seja este o assunto em que mais se evidencia a necessidade da técnica de resolução. Uma pessoa que não conhece a técnica será até capaz de acertar a questão, mas certamente suará muito mais para isso! Trabalharemos esse tema em duas aulas.
Questões Modelo:
01. (AFC 2002 ESAF) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim: Cebelim é inocente .
Cebelim: Dedelim é inocente . Dedelim: Ebelim é culpado . Ebelim: Abelim é culpado .
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados,
disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram . O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:
a) Abelim b) Bebelim
c) Cebelim
d) Dedelim e) Ebelim
02. (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre
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os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”.
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a
a) 1.
b) 2.	d) 4. c) 3.	e) 5.
Módulo V – Diagramas Lógicos
Um assunto bem tranqüilo. Um oásis, depois de verdades e mentiras! Estudo para apenas uma aula.
Questões Modelo:
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
02. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também,
professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:
a) nenhum professor de violão é professor de canto
b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro
d) todos os professores de piano são professores de canto
e) todos os professores de piano são professores de violão
Módulo VI – Análise Combinatória
Estudaremos detalhadamente teorias do Arranjo, Combinação e Permutação, com todas
as suas variações, explorando, sobretudo, os tópicos mais comumente cobrados nas provas. Duas aulas.
Questões Modelo:
01.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,
a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384.
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02.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2	d) 48
b) 4	e) 120
c) 24
Módulo VII – Probabilidade
Um assunto que às vezes assusta muita gente! Felizmente, o grau de complexidade das questões de concurso sobre probabilidade não é assim tão profundo! Resolvendo o máximo de exercícios extraídos de provas recentes, certamente nos familiarizaremos com alguns segredos muito importantes! Duas aulas nesse estudo.
Questões Modelo:
01.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a
a) 0,624. b) 0,064.
c) 0,216.
d) 0,568. e) 0,784.
02.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a
a) 0,25. b) 0,35.
c) 0,45.
d) 0,15. e) 0,65.
Módulo VIII – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Assuntos vistos por todos nós, no ensino médio (antigo 2º grau). Certamente que muitos
já estão esquecidos daqueles dias... (e outros tantos talvez fizeram questão de esquecê-los!), mas na verdade não são questões difíceis! Teremos, obviamente, que relembrar vários conceitos.
E o faremos em duas aulas.
Questões Modelo:
01.(AFTN/98 ESAF) - Sejam as matrizes
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⎡1
A = ⎢
�0⎤
⎥ , B =
�⎡3 / 5
⎢
� 7 / 8⎤
⎥
�⎡ 0	0	⎤
, C = ⎢	⎥
�
⎣0	1⎦
�⎣4 / 7
�25 / 4 ⎦
�⎣3 / 7
� 29 / 4⎦
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e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é:
a) - 7/8
b) 4/7
c) 0 d) 1 e) 2
02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes
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A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos
x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18 c) 26 d) 65 e) 169
Módulo IX – Trigonometria
Para quem se lembra, o estudo deste assunto no colégio é feito em um semestre, aproximadamente. Ou até um pouco mais! Gastaremos apenas uma aula, para recordar as relações trigonométricas mais importantes. Felizmente (ou não!) este não é um dos assuntos mais cobrados em prova!
Questões Modelo:
01. (Fiscal do Trabalho 98 ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0
representa uma identidade é:
a) 2	b) 0	c) -1	d) -2	e) 1
02. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:
a) 16 y2 - 9 x2 = 144 b) 16 x2 - 9 y2 = 144 c) 16 y2 + 9 x2 = 144 d) 16 x2 + 9 y2 = 144 e) 9 y2 - 16 x2 = 144
Módulo X – Geometria
Este tópico está presente em alguns editais, aonde vem escrito Geometria Básica. Veremos noções de geometria plana e espacial de acordo com o que tem sido exigido nos concursos.
Também veremos que alguns enunciados podem ser rapidamente resolvidos pelo uso da geometria. Usaremos uma aula em seu estudo.
Questões Modelo:
01.(Oficial de Chancelaria - MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede
76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C
deste triângulo vale:
a) 50° b) 52° c) 56° d) 64° e) 128°
02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que
é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra
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Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra.
Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno
e João Guilherme é:
a) 650 b) 600 c) 500 d) 700 e) 720
Módulo XI – Porcentagem
Um assunto elementar e essencial para o Raciocínio Lógico. Muitas questões já foram cobradas em concurso. Outras tantas ainda o serão! Esse tema merece, portanto, a nossa atenção. Uma aula.
Questões Modelo:
01.(Fiscal do Trabalho 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos.
Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-
se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão
hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50
b) 10 c) 20 d) 40 e) 70
02.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda
não contatados, deve ser igual a
a) R$ 25,00.	d) R$ 50,00. b) R$ 30,00.	e) R$ 60,00. c) R$ 40,00.
Módulo XII – Questões envolvendo Movimento
Algumas questões de raciocínio lógico nos fazem relembrar um pouco da física que estudamos no ensino médio, nas quais trabalharemos conceitos como velocidade e espaço. Veremos que algumas dessas questões poderão ser resolvidas até mesmo sem o uso de nenhuma fórmula da cinemática. Em duas aulas concluiremos este módulo.
Questões Modelo:
01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa
de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de
a) 60 minutos b) 50 minutos
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c) 80 minutos d) 90 minutos e) 120 minutos
02. (AFC/CGU - 2003/2004 ESAF) Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina
e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses
12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é:
a) 10	d) 18 b) 12	e) 20 c) 15
Módulo XIII – Questões Variadas
Haverá questões de prova que não trazem um assunto específico. Simplesmente não poderiam ser enquadradas em nenhum dos tópicos anteriores. São problemas que se resolvem, muitas vezes, com um mero e rápido raciocínio. E olha que não são tão poucas as questões deste tipo. Dedicaremos a elas duas aulas.
Questões Modelo:
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1	d) 4
b) 2	e) 5
c) 3
02. (MPOG 2003 ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez que uma jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o número de vezes em que Ana e Bia se enfrentaram foi:
a) 14	d) 17
b) 15	e) 18
c) 16
Módulo Final – Simulados
Usaremos as duas últimas aulas do curso para fazermos dois grandes simulados, os quais contemplarão, na medida do possível, o maior número de assuntos estudados, com destaque para os mais freqüentes. Será o arremate dos trabalhos.
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AULA 1: CONCEITOS INICIAIS
Fundamentos da Lógica:
# Primeiros Conceitos:
O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o de
Proposição.
Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso.
Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo
valor lógico é verdadeiro.
Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).
E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que...
 sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”
 sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?”
 sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.
... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas –
que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.
Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes:
p: Pedro é médico.
q: 5 < 8
r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.
Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico
(proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p
é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F.
Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes:
 Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);
 Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não- Contradição);
	Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do
Terceiro Excluído).
Proposições podem ser ditas simples ou compostas.
Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido.
Exemplos:
 Todo homem é mortal.
 O novo papa é alemão.
Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:
 João é médico e Pedro é dentista.
 Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
 Ou Luís é baiano, ou é paulista.
 Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.
 Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria.
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles
a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de conectivo que as une.
# Conectivo “e”: (conjunção)
Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “”. Então, se temos a sentença:
 “Marcos é médico e Maria é estudante”
... poderemos representá-la apenas por: p  q
onde: p = Marcos é médico e	q = Maria é estudante.
Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma
conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras.
Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que
Maria é estudante.
Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.
Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.
Retomemos as nossas premissas:
p = Marcos é médico e	q = Maria é estudante.
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e
Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos:
	Marcos é médico
	Maria é estudante
	Marcos é médico e Maria é estudante
	p
	q
	p  q
	V
	V
	V
Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:
	Marcos é médico
	Maria é estudante
	Marcos é médico e Maria é estudante
	p
	q
	p  q
	V
	F
	F
Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos:
	Marcos é médico
	Maria é estudante
	Marcos é médico e Maria é estudante
	p
	q
	p  q
	F
	V
	F
Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:
	Marcos é médico
	Maria é estudante
	Marcos é médico e Maria é estudante
	p
	q
	p  q
	F
	F
	F
Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora
disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos:
	p
	q
	p  q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em
nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.
Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”. Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras!
Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q), saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a seguinte estrutura:
	p
	q
	
	
	
	
	
	
	
	
Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos
de dois “efes”. Assim:
	p
	q
	V
	
	V
	
	F
	
	F
	
Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas,
para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando com um V. Assim:
	p
	q
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabela- verdade:
	p
	q
	p  q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
conjunção " p e q " corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
p  q
p	q
Passemos ao segundo conectivo.
# Conectivo “ou”: (disjunção)
Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”. Portanto, se temos a sentença:
 “Marcos é médico ou Maria é estudante”
... então a representaremos por: p  q.
Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei uma bicicleta.” Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu!
Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem
a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.
Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações:
	Te darei uma bola
	Te darei uma bicicleta
	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
	p
	q
	p  q
	V
	V
	V
Ou:
	Te darei uma bola
	Te darei uma bicicleta
	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
	p
	q
	p  q
	V
	F
	V
Ou:
	Te darei uma bola
	Te darei uma bicicleta
	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
	p
	q
	p  q
	F
	V
	V
Ou, finalmente:
�
	Te darei uma bola
	Te darei uma bicicleta
	Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
	p
	q
	p  q
	F
	F
	F
Juntando tudo, teremos:
	P
	q
	p  q
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas!
Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do
q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q,
p  q
p	q
# Conectivo “ou ... ou...”: (disjunção exclusiva)
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:
“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.
Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.
Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva.
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte:
	p
q
	ou p ou q
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
# Conectivo “Se ... então...”: (condicional)
Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:
 Se Pedro é médico, então Maria é dentista.
 Se amanhecer chovendo, então não irei à praia.
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.
 Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.
Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo:
 Se nasci em Belém, então sou paraense.
 Se nasci em Niterói, então sou fluminense.
E assim por diante. Pronto?
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense.
Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então este conjunto estará todo falso.
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras: suficiente e necessário.
 Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria
ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.
Não podemos, pois esquecer disso:
 Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.
�
A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: p q.
Na proposição “Se p, então q” , a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita conseqüente.
Teremos:
	p
	q
	p  q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q":
Se A, B.	A é condição suficiente para B. B, se A.	B é condição necessária para A.
Quando A, B.	A somente se B. A implica B.	Todo A é B.
Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das seguintes maneiras:
 Se chove, faz frio.
 Faz frio, se chove.
 Quando chove, faz frio.
 Chover implica fazer frio.
 Chover é condição suficiente para fazer frio.
 Fazer frio é condição necessária para chover.
 Chove somente se faz frio.
 Toda vez que chove, faz frio.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q):
p  q
q
p
# Conectivo “... se e somente se ...”: (bicondicional)
A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas sentenças simples.
Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:
“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”.
É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais:
 “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”.
Ou ainda, dito de outra forma:
 “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”.
São construções de mesmo sentido!
�
Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa.
Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p↔q”, então nossa tabela- verdade será a seguinte:
	p
	q
	p ↔ q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.
p = q
Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição
composta: “se p então q e se q então p”, ou seja,
“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p  q) e (q  p) “
São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes expressões:
 A se e só se B.
 Se A então B e se B então A.
 A somente se B e B somente se A.
 A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.
 B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.
 Todo A é B e todo B é A.
 Todo A é B e reciprocamente.
Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato tradicional: “p se e somente se q”.
# Partícula “não”: (negação)
Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.
No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não
antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:
 João é médico.	Negativa: João não é médico.
 Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante.
Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim:
 João não é médico.	Negativa: João é médico.
 Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.
Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques!
�
O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira () ou um sinal de til (~), antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. Teremos:
	p
	~p
	V
	F
	F
	V
Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões:
 Não é verdade que A.
 É falso que A.
Daí as seguintes frases são equivalentes:
 Lógica não é fácil.
 Não é verdade que Lógica é fácil.
 É falso que Lógica é fácil.
# Negativa de uma Proposição Composta:
O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição.
Veremos, pois, uma a uma:
 Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos e por ou. E só!
Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta fornecida.
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida.
E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção!
Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista”
3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:  “João não é médico ou Pedro não é dentista”. Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:
~(p  q) = ~p  ~q
Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre as tabelas-
verdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabela- verdade do ~(p  q).
Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido:
�
	p
	q
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos:
	p
	q
	p  q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com a
negativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro.
Logo, teremos:
	p
	q
	(p  q)
	~(p  q)
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado lógico da
estrutura ~(p  q).
Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, e comparemos os resultados. No início, teremos:
	p
	q
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já
sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos:
	p
	q
	~p
	~q
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma
disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças também o seja. Daí, teremos:
	p
	q
	~p
	~q
	~p  ~q
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	V
Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p  ~q) com
aquela que estava guardada da estrutura ~(p  q). Teremos:
�
	~(p  q)
	F
	V
	V
	V
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos e por ou.
Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica.
Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas.
 Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos ou por e.
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”.
Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro”
3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:
 “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.
Na linguagem apropriada, concluiremos que:
~(p  q) = ~p  ~q
Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade – desta
conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p  q). Teremos, de início:
	p
	q
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos:
	p
	q
	p  q
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos:
�
	p
	q
	p  q
	~(p  q)
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a
estrutura ~p  ~q. Teremos, a princípio, o seguinte:
	p
	q
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos:
	p
	Q
	~p
	~q
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
Finalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado:
	p
	Q
	~p
	~q
	~p  ~q
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p  ~q) com
aquela que estava guardada da estrutura ~(p  q). Teremos
	~(p  q)
	V
	V
	V
	F
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos ou por e.
 Negação de uma Proposição Condicional: ~(p  q)
Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:
1º) Mantém-se a primeira parte; e
2º) Nega-se a segunda.
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?
1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e
2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.
�
Na linguagem lógica, teremos que:
~(p  q) = p  ~q
Vejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor Fazendário de Minas Gerais,
realizada há poucos dias:
(GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:
a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”. Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.
Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional, manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:
1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e
2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”.
O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.
Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É
verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só
há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão, pois, descartadas essas duas opções.
Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma negação!
Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris, a qual havíamos chegado.
Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado
de uma negação!
Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção
(e), e vice-versa. Vejamos:
~(p  q) = ~p  ~q	e	~(p  q) = ~p  ~q
Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e):
~(p  q) = ~p  ~q
Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao resultado ~p  ~q, que é a segunda parte da igualdade.
Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p  q). Logo, teremos que:
 o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...”  o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”;  o  corresponde a ou;
 o q corresponde a: “Paulo está em Paris”.
E chegamos a:
“Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.
�
Esta é nossa resposta! Letra d.
Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta:
1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste primeiro passo é sempre uma conjunção (e).
2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo.
Na seqüência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até este momento. Vejamos:
:
	Estrutura lógica
	
É verdade quando
	
É falso quando
	
	
p  q
	p e q são, ambos, verdade
	um dos dois for falso
	
p  q
	
um dos dois for verdade
	
p e q, ambos, são falsos
	
p  q
	
nos demais casos
	
p é verdade e q é falso
	
p  q
	
p e q tiverem valores lógicos iguais
	
p e q tiverem valores lógicos diferentes
	
~p
	
p é falso
	
p é verdade
Negativas das Proposições Compostas:
	
negação de (p e q)
	
é
	
~p ou ~q
	
negação de (p ou q)
	
é
	
~p e ~q
	
negação de (p  q)
	
é
	
p e ~q
	
negação de (p  q)
	
é
	
[(p e ~q) ou (q e ~p)]
Encerraremos esta primeira aula com uma lista de questões de concurso, as quais
poderemos tentar resolver somente com os conhecimentos já adquiridos. É o nosso...
DEVER DE CASA
01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
�
03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa
é solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
Não esgotamos ainda o tópico de conceitos iniciais! Ainda há vários deles a serem explanados, o
que será feito na próxima aula.
Voltaremos também a falar em Tabela-Verdade, e faremos muitos exercícios com elas!
Essas aulas iniciais são de fundamental importância, pois muitos destes conceitos nos acompanharão por todo o curso.
Por isso, é importante que vocês leiam e releiam tudo o que foi visto aqui hoje. Com calma, sem aperreios! E não esqueçam de tentar fazer as questões do dever de casa. As resoluções serão trazidas
na próxima aula.
Ficamos hoje por aqui. Forte abraço a todos, e fiquem com Deus!
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Olá, amigos!
�AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação)
�
Retornamos hoje para dar seqüência aos Fundamentos da Lógica – conceitos iniciais – que demos início na aula passada.
Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso inteiro. É possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível.
Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de facilitar futuras referências a qualquer uma delas.
Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página, quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, chamando-
as de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: “5 < 8”. Acharam? Logo em seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (VL(q)=F)! Erramos! Obviamente
que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de ‘menor que’ pelo ‘maior que’ (>). E aí,
sim, terá valor lógico falso a proposição “5 > 8”.
A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas
~(p v q) e ~p ~q. Na ocasião, concluímos que:
TABELA 01
Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus
resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes:
TABELA 02
Correções feitas, passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos até aqui, e
do que temos obrigação de saber até agora:
REVISÃO DA AULA PASSADA:
# Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro
ou falso);
haverá proposições simples ou compostas.
# As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas, dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim, haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), disjunções (OU), disjunções exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE SE...).
# Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta”; “te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”, “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”.
�
# Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição
q”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte:
TABELA 03
Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas!
# Disjunção é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q”. Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte:
TABELA 04
Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida!
# Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q”.
Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte:
TABELA 05
Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente!
# Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTÃO
proposição q”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos
didáticos, lembraremos da seguinte proposição:
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.
A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado necessário”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o resultado necessário: ser cearense.
Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica!
Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma condicional será, portanto, a seguinte:
TABELA 06
�
Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram acerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual trabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense”) foi escolhido exclusivamente para efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o conteúdo das proposições componentes da condicional.
Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença:
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”
Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condição suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultado necessário será justamente a segunda parte da condicional.
Voltemos a pensar na frase modelo da condicional:
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.
No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA, sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade):
TABELA 07
Ora, seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza, e ainda assim que eu seja
cearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que não Fortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a segunda ser verdadeira. Ok?
É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão:
A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o
conseqüente for FALSO!
Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, neste
primeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, é guardar bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irão clareando
mais e mais.
# Bicondicional é a proposição composta do formato “proposição p SE E SOMENTE SE
proposição q”. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas:
se uma for VERDADEIRA, a outra também terá que ser VERDADEIRA; se uma for FALSA, a outra também terá que ser FALSA.
Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, a seguinte:
TABELA 08
�
# Negação de uma Proposição Simples:
Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa!
A tabela-verdade será, portanto, a seguinte:
TABELA 09
# Negação de uma Proposição Composta:
 Negação de uma Conjunção:
A negativa de uma conjunção se faz assim:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o E por um OU.
Ou seja:	~(p  q) = ~p  ~q
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Te darei uma bola E te darei uma bicicleta”
�
Faremos:
�
“Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta”
�
 Negação de uma Disjunção:
A negativa de uma disjunção se faz assim:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o OU por um E.
Ou seja:	~(p  q) = ~p  ~q
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
�
Faremos:
�
“Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta”
�
 Negação de uma Condicional:
A negativa de uma condicional se faz assim:
1º) Mantém-se a primeira parte; E
2º) Nega-se a segunda parte;
Ou seja:	~(p  q) = p  ~q
�
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”
�
Faremos:
�
“A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão”
�
Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula.
Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem.
RESOLUÇÃO DO DEVER DE CASA
Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência, faremos algumas delas. As demais, em páginas mais adiante.
Comecemos com a questão 2:
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposição simples no enunciado, e que precisa ser analisada. Qual é essa proposição? A seguinte:
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”
Se observarmos
bem, veremos que esta sentença contém duas negações. Vejamos em destaque:
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”
Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com negações. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima por afirmações correspondentes. Podemos, então, trocar “não é verdade” por “é mentira”. Todos concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também “não dormem a sesta” por “ficam acordados”. Pode ser? Teremos:
“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados”
Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados, significa que pelo menos um deles dorme! Concordam? É a resposta da questão, opção C!
Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS. É esta palavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM (=ALGUM).
Podemos até criar a seguinte tabela:
TABELA 10
�
Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era
a seguinte: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”. Como interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por
afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “É mentira que todas as pessoas daquela
família são gordas”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma delas é magra! Só isso e mais nada.
Adiante!
03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação (“não é verdade que...) de uma conjunção
(E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: ~(p  q) = ~p  ~q
Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte:
Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que:
Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto
é igual a:
Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.  Resposta (letra A)!
Deixemos a questão 4 para daqui a pouco.
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos, inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase!
Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! É nossa resposta – opção A!
Pulemos a sexta, por enquanto!
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda! Daí, concluiremos o seguinte:
�
"se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva"
é igual a:
“está chovendo E eu não levo o guarda-chuva”  Resposta (letra E)!
Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando!
# TABELAS-VERDADE:
Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE.
Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas.
Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso?
Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade será dado por:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões
Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade terá 4 linhas, já que 22=4.
E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p,
q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 23=8.
E assim por diante.
 TABELAS-VERDADES PARA p E q:
Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja:
TABELA 11
E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que
estarão presentes na proposição composta.
Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro!
A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da bicondicional.
Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q).
Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta:
P(p, q)=~(p v ~q)
...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme sabemos, sempre o mesmo. Teremos:
�
TABELA 12
Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o
que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o ~q? Ainda não! Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos:
TABELA 13
Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p v ~q). Trata-se
pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a formação desta disjunção. Teremos:
TABELA 14
Ficou claro para todo mundo? Vejamos de novo: colocando as duas colunas (p e ~q) lado a
lado, veremos que só na terceira linha ocorre a situação FALSO e FALSO, a qual torna também
FALSA a conjunção. Vejamos:
TABELA 15
Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é
a própria proposição: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso, quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos:
TABELA 16
É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~(p v ~q).
Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma seqüência.
Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre
obedecendo à seguinte ordem:
�
1º) Faremos as negações (~);
2º) Faremos as conjunções (E) ou disjunções (OU), na ordem em que aparecerem;
3º) Faremos a condicional (SE...ENTÃO...);
4º) Faremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...).
Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade da
proposição [~(p v ~q)]. Vide tabelas 12 a 16 supra. Primeiro, trabalhamos o parênteses, fazendo logo uma negação (tabela 13). Depois, ainda dentro do parênteses, fizemos uma disjunção (tabela 14). E concluímos trabalhando fora do parênteses, fazendo nova negação. Observemos que só se passa a trabalhar fora do parênteses quando não há mais o que se fazer dentro dele.
Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade! Caso você queira, pode tentar
a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. Vamos a ele:
 EXERCÍCIO: Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta:
P(p,q)= (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
Sol.: Observamos que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles, isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os seguintes:
 1º Passo) A negação de q:
TABELA 17
 2º Passo) A conjunção:
TABELA 18
Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar o
segundo parênteses. Teremos:
 3º Passo) A negação de p:
TABELA 19
 4º Passo) A conjunção:
TABELA 20
�
 5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une. Teremos:
TABELA 21
Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma:
TABELA 22
	p
	q
	~q
	p  ~q
	~p
	q  ~p
	(p  ~q)  (q  ~p)
	V
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	F
Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades
para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade?
 TABELAS-VERDADE PARA TRÊS PROPOSICOES (p, q E r):
A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já aprendemos, este cálculo será dado por Nº linhas = 2 Nº de proposições. Daí, teremos que haverá oito linhas (23=8) numa tabela-verdade para três proposições simples.
Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O
mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte:
TABELA 23
A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com
quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura inicial:
TABELA 24
Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, à
estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples!
�
Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça que construamos
a tabela-verdade da proposição composta seguinte:
P(p,q,r)=(p  ~q)  (q v ~r)
A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r.
Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três proposições. Teremos:
TABELA 25
Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que
trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos
os seguintes passos:
 1º Passo) Negação de q:
TABELA 26
 2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses: (Só recordando: somente se as duas partes
forem verdadeiras é que a conjunção (e) também o será!)
TABELA 27
 3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r:
TABELA 28
�
 4º Passo) A disjunção do segundo parênteses:
Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção (ou) também o será!
TABELA 29
 5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos
fazer a condicional que os une:
Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na segunda!
TABELA 30
Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só
tabela, como se segue:
TABELA 31
	p
	q
	r
	~q
	p  ~q
	~r
	q  ~r
	(p  ~q)  (q  ~r)
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
Pronto! Concluímos mais uma etapa! Já estamos aptos a construir qualquer tabela-verdade
para proposições compostas de duas ou de três proposições componentes!
Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição
e Contingência.
# TAUTOLOGIA:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar
verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso!
Exemplo: A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
�
TABELA 32
Observemos que o valor lógico da proposição composta (p  q)  (p  q), que aparece na
última coluna, é sempre verdadeiro.
Passemos a outro exemplo de Tautologia:	[(p  q)  (p  s)]  p .
Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia: TABELA 33:
	p
	q
	s
	p  q
	p  s
	(p  q)  (p  s)
	[(p  q)  (p  s)]  p
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	F
	F
	V
	F
	V
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
	F
	F
	V
que	o	valor	lógico	da	proposição	composta
que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem.
# CONTRADIÇÃO:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p,
q, r, ... que a compõem.
Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.
Exemplo 1:
A proposição "p  ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
TABELA 34
Exemplo 2:
A proposição (p  ~q)  (p  q) também é uma contradição, conforme verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
�
TABELA 35
Observemos que o valor lógico da proposição composta (p  ~q)  (p  q), que aparece
na última coluna de sua tabela-verdade, é