P1 Gabarito - 2017/2 - Morsch

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Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
Escola de Engenharia  Departamento de Engenharia Civil 
Gabarito 
ENG01035  2017/2  Prof. Inácio B. Morsch 
PROVA A 
A treliça ilustrada nas figuras abaixo é empregada no sistema de sustentação da cobertura de um estádio de esportes. 
Analise as duas propostas apresentadas para o sistema de vinculação das treliças. 
Solução: A treliça A é vinculada por 3 
barras bi-rotuladas. Fazendo-se 
0=∑ BM nota-se que a barra 1 está 
tracionada, logo da equação 
0=∑ xF nota-se que a barra 2 está 
comprimida. Por outro lado, fazendo-
se 0=∑ CM nota-se que a barra 3 
está comprimida. Pode-se ainda 
destacar que a maior força de 
compressão ocorre na barra 3, que é a 
barra mais curta. Para finalizar a 
análise pode-se afirmar que o esquema 
de vinculação adotado garante o 
equilíbrio da treliça. 
A treliça B é vinculada por 3 barras bi-
rotuladas. Nota-se que as 3 barras 
convergem para um mesmo ponto D. 
Logo, fazendo-se 0=∑ DM nota-se 
que nenhuma força equilibra o 
momento provocado pela carga de 15 
kN. Portanto a treliça B não está em 
equilíbrio. 
Comentário: 
Esquema similar ao da proposta A 
pode ser visualizado na Arena do 
Grêmio. 
A análise da proposta B considera que 
as barras bi-rotuladas têm peso 
desprezível, o que é verdadeiro se 
comparado com as cargas aplicadas 
nessas barras, e que as rótulas nos 
extremos das mesmas são perfeitas. 
 
 
66 15 kN
(m)A B
C
B
F3F2F1
D
 
14 40
6
8
7
2
15 kN
15 (m)
A
B
A
C
1
2 3
14 40
66
7
15 kN
15
(m)
6
22,5
A B
C
B
14
6
8
7
15 kN
(m)
A
B
A
C
F1
F2 F3
2) No ponto A ilustrado na figura convergem os cabos AB, AC e AD que estão fixados nos pontos B, C e D. Determine 
o conjunto de valores para a força Q de modo que o cabo AD não fique frouxo. 
Solução: O primeiro passo é escrever as forças envolvidas no 
problema em notação vetorial. 
( 0,904 ; 0,228 ;0,362)AB ABF F= − −
r
 
( 0,922 ; 0,233 ; 0,31)AC ACF F= − − −
r
 
( 0,788 ;0,589 ; 0,182)AD ADF F= − −
r
 
O próximo passo é escrever as equações de equilíbrio do nó A. 
0,904 0,922 0,788 1100 0AB AC ADF F F− − − + = 
0, 228 0,233 0,589 0AB AC ADF F F Q− − + + = 
0,362 0,31 0,182 0AB AC ADF F F− − = 
Pela disposição dos cabos se Q = 0 a estrutura funciona e o cabo AD não fica frouxo. O sistema de equações 
correspondente a essa situação fica: 
0,904 0,922 0,788 1100
0,228 0,233 0,589 0
0,362 0,31 0,182 0
AB
AC
AD
F
F
F
    
    
− − =    
    
− −    
 511,5 NABF = , 390,4 NACF = , 352,4 NADF = 
O caso limite para o cabo AD não ficar frouxo é 0ADF = . O sistema de equações correspondente a essa situação fica: 
0,904 0,922 0 1100
0, 228 0, 233 1 0
0,362 0,31 0 0
AB
AC
F
F
Q
    
    
− − =    
    
−    
 555,4 NABF = , 648,5 NACF = , 277,7 NQ = 
[0 ; 277,7) NQ = 
Comentário: A ilustração do problema indicada na figura acima informa a direção e o sentido do vetor Q, portanto a 
incógnita é o módulo desse vetor, logo não há sentido em se analisar valores negativos para Q. O intervalo aberto no 
limite superior do intervalo de resposta indica que Q é limitado por 277,7 N, mas não pode assumir esse valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
y
x
1100 i N
Q j
A
B
C
D
A (950; 240; 0) mm
B (0; 0; 380) mm
C (0; 0; - 320) mm
D (0; 950; -220) mm
3) Determine as reações nos vínculos B, C, D e E da treliça espacial ilustrada na figura abaixo. 
Ez
Dz
Cy
By
Bz
Bx
 
Solução: O primeiro passo é representar o diagrama de corpo livre. Note que os vínculos E, C e D são representados por 
pequenos segmentos de barra com rótulas nos dois extremos, ou seja, tratam-se de barras de treliça, o que direciona a 
reação na direção da barra. Escrevendo-se as equações de equilíbrio tem-se: 
N 20002000 =→=+−→=∑ xxx BBF 
012000 =−+→=∑ yyy BCF 
00 =+−−→=∑ zzzz BDEF 
N 2000120010 =→=⋅+⋅−→=∑ zzBy EEM 
N 1000011112000 =→=⋅−⋅−⋅→=∑ zzzBx DEDM N 12001000200 =+=zB 
N 600015,012000 =→=⋅−⋅→=∑ yyBz CCM N 6006001200 =−=yB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Considerando que a estrutura ilustrada na figura (5), escreva o sistema de equações necessário para determinar as 
reações nos vínculos A e D. Escreva também as equações necessárias para determinar as reações nas ligações B e C. 
Solução: O primeiro passo é representar o 
diagrama de corpo livre da estrutura. A 
seguir deve-se escrever as 
correspondentes equações de equilíbrio. 
0 4x A DF H H= → + =∑ 
0 27y A DF V V= → + =∑ 
0 1 8 3,3 5 4,3 6
7,3 8 2, 25 4 8,3 0
A
D D
M
V M
= → − ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅ − ⋅ + + =
∑
 
8,3 117,7D DV M+ + = 
0 3,3 3 8 2,3 0ABB A AM V H= → − − + ⋅ =∑
3,3 3 18,4A AV H+ = 
0 8 0CDy DF V= → − =∑ 
Complementar: 
8 kNDV = , 19 kNAV = , 15 kNAH = − 
19 kNDH = , 51,3 kNmDM = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 kN
5 kN 6 kN 8 kN
4 kN
A
B C
D
VA
HA HD
VD
MD
1
2
2,2 1,1 2,6 2,4
8 kN
5 kN 6 kN 8 kN
4 kN
A
B C
D (m)
2,
25
1,41
1
5) Determinar as forças que atuam nos cilindros hidráulicos IF, DE e AB. 
 
 
Solução: Como o problema pede para determinar a força que atua em cada cilindro hidráulico, este pode ser resolvido 
de modo eficiente considerando-se a condição de momento nulo em rótula. Para se resolver o problema é necessário 
definir a orientação dos cilindros hidráulicos IJ e AB. 
Denominando-se θ o ângulo que a reta IJ faz com a horizontal tem-se: 
tan 1,65 0, 25 81,38θ θ= → = 0,989senθ = 
Denominando-se α o ângulo que a reta AB faz com a horizontal tem-se: 
tan 0,35 1,4 14,04α α= → = 0, 242senα = cos 0,97α = 
Fazendo o equilíbrio de momentos do elemento IJG (pá) em relação a J, considerando a força FIF entrando em I, tem-se: 
0 6 0,3 0,4 0,989 0 4,55 kNPaJ IF IFM F F= → − ⋅ + ⋅ = → =∑ 
Fazendo-se o equilíbrio de momentos da peça ACFJ + Pá em relação a C tem-se: 
0 6 0,15 0,97 0,6 0, 242 0,1 0 1,48 kNACFJ PaC AB AB ABM F F F
+
= → − ⋅ + ⋅ + ⋅ = → =∑ 
Obs. A vantagem desse procedimento é que as forças no cilindro hidráulico IF e na rótula J passam a ser forças internas. 
Fazendo-se o equilíbrio de momentos de todo o braço mecânico da retroescavadeira (peças CDH + ACFJ + Pá) em 
relação à rótula H tem-se: 
0 0, 45 6 2,35 0 31,3 kNbracoC ED EDM F F= → − + ⋅ = → =∑ 
 
 
 
 
 
PROVA B 
1) O uso de arcos em alvenaria de rocha remonta à tempos antigos. A ponte fortificada Valentré (ponte em 6 arcos – 
construída no século XIV em Cahors/ França) é um exemplo desse tipo de estrutura. Considerando que cada arco deve 
suportar o seu peso próprio, aplique os seus conhecimentos de mecânica para explicar porque a extremidade esquerda 
da ponte apresenta uma estrutura mais robusta. Note que há uma diferença entre a estrutura da extremidade esquerda e a 
da extremidade direita. 
Solução: O peso próprio de um arco 
simétrico e construído com material 
homogêneo pode ser representado por uma 
força vertical centrada no arco. Os arcos 
apresentados podem ser pensados como bi-
rotulados ou bi-engastados sendo mais 
provável que a condição real se encontre 
entre esses dois limites. Numa análise geral, 
essa consideração não afeta o raciocínio a 
ser desenvolvido. Portanto considerando-se 
um dos arcos como sendo bi-rotulado tem-
se: 
Nota-se que embora a carga 
aplicada seja apenas vertical 
há reações em x: 
A BH H= 
O arco em questão é 
hiperestástico,logo não é 
possível determinar as 
reações horizontais com as 
equações de equilíbrio da 
mecânica. 
Para demonstrar que essas reações não são nulas pode-se empregar um arco tri-rotulado, ou seja, sem transmissão de 
momento do arco AC para o arco CB. Nesse caso tem-se: 
2A BV V P= = 
0BCBM =∑ 
2A BH H P= = 
Complementar: 
Uma demonstração prática 
pode ser feita com um pedaço 
de cabo e prendedores de 
roupa. Para tal basta colocar 
os prendedores no cabo e 
sustentar cada extremo do mesmo com uma mão. Nota-se que para o conjunto ficar em equilíbrio cada mão deve 
fazer uma força vertical, para equilibrar o peso do conjunto, e uma força horizontal, para equilibrar a força que tende 
a unir as duas extremidades do cabo. Nota-se que nessa montagem todos os elementos do cabo estão tracionados. 
Invertendo-se a imagem dessa estrutura, tem-se uma segunda estrutura na qual todos os elementos estão 
comprimidos e nesse caso há uma tendência natural das duas extremidades se afastarem. Essa força é denominada 
empuxo de arco. 
As forças HA e HB são absorvidas pelos arcos adjacentes até chegar às duas cabeceiras da ponte. Na cabeceira da 
esquerda, a estrutura apresenta um reforço para absorver essa força. Esse tipo de reforço é denominado contraforte. 
Na cabeceira da direita pode-se pensar que essa força é absorvida pelo própria cabeceira, que é mais elevada. 
 
 
 
 
R
A B
C
P
R B
C
P
A
VA
HA
HB
VB
R
A B
C
P
R B
C
P
A
VA
HA
HB
VB
 
 
2) No ponto A ilustrado na figura abaixo convergem os cabos AB, AC e AD que estão fixados nos pontos B, C e D. 
Determine o conjunto de valores para a força Q de modo que o cabo AD não fique frouxo. 
Solução: O primeiro passo é escrever as forças envolvidas no 
problema em notação vetorial. 
( 0,906 ; 0,226 ;0,358)AB ABF F= − −
r
 
( 0,923 ; 0,231 ; 0,308)AC ACF F= − − −
r
 
( 0,787 ;0,59 ; 0,18)AD ADF F= − −
r
 
O próximo passo é escrever as equações de equilíbrio do nó A. 
0,906 0,923 0,787 1200 0AB AC ADF F F− − − + = 
0, 226 0,231 0,59 0AB AC ADF F F Q− − + + = 
0,358 0,308 0,18 0AB AC ADF F F− − = 
Pela disposição dos cabos se Q = 0 a estrutura funciona e o cabo AD não fica frouxo. O sistema de equações 
correspondente a essa situação fica: 
0,906 0,923 0,787 1200
0, 226 0,231 0,59 0
0,358 0,308 0,18 0
AB
AC
AD
F
F
F
    
    
− − =    
    
− −    
 558,7 NABF = , 426,7 NACF = , 381,1 NADF = 
O caso limite para o cabo AD não ficar frouxo é 0ADF = . O sistema de equações correspondente a essa situação fica: 
0,906 0,923 0 1200
0, 226 0,231 1 0
0,358 0,308 0 0
AB
AC
F
F
Q
    
    
− − =    
    
−    
 606 NABF = , 704,9 NACF = , 299,9 NQ = 
[0 ; 299,9) NQ = 
Comentário: A ilustração do problema indicada na figura acima informa a direção e o sentido do vetor Q, portanto a 
incógnita é o módulo desse vetor, logo não há sentido em se analisar valores negativos para Q. O intervalo aberto no 
limite superior do intervalo de resposta indica que Q é limitado por 299,9 N, mas não pode assumir esse valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
y
x
1200 i N
Q j
A
B
C
D
A (960; 240; 0) mm
B (0; 0; 380) mm
C (0; 0; - 320) mm
D (0; 960; -220) mm
 
3) Determine as reações nos vínculos B, C, D e E da treliça espacial ilustrada na figura abaixo. 
Solução: ver a prova A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Considerando que a estrutura ilustrada na figura abaixo tem um vínculo interno C que transmite apenas força na 
direção vertical escreva o sistema de equações necessário para calcular as reações nos vínculos A, E e F. Escreva 
também as equações necessárias para determinar as forças que nas ligações B e C. 
Solução: A estrutura ilustrada 
apresenta 6 graus de liberdade de 
corpo rígido: deslocamentos nas 
direções x e y, rotação Rz, rotação 
relativa do tramo AB em torno da 
rótula B, rotação relativa do tramo 
CDEF em torno do ponto C, 
deslocamento relativo do tramo 
CDEF em relação ao ponto C. Nota-
se pela vinculação empregada que 
esses movimentos estão impedidos. 
Nota-se que há 6 incógnitas e podem 
ser escritas 6 equações de equilíbrio, 
logo o problema é isostático. 
13,53
3
4
tan =→= θθ 6,013,53cos = 8,013,53 =sen 
7013,531550 =−→=−−+→=∑ FAFAx HHHsenHF (1) 
0 10 20 15cos53,13 0 39y A E F A E FF V V V V V V= → − − − + + = → + + =∑ (2) 
05,1013,53cos15213,53151212205,10106350 =⋅−⋅+++⋅−⋅−⋅−→=∑ senVVMM FEAAz 
5,3551212 =++ FEA VVM (3) 
54343510 −=+−→+−+⋅→=∑ AAAAAAABB HVMHVMM (4) 
013,5315213,53cos155,2444205,20 =⋅⋅−⋅⋅−−++⋅−→=∑ senHVVM FFECEFC 
5,96=−+ FFE HVV (5) 
kN 12013,53150 −=→=⋅−−→=∑ FFCEFx HsenHF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 3 2 1 1,5 1,5
1
3
(m)
A
B
5 kN
10 kN
C 20 kN
15 kN
D E
F
θ θ
HA
VA
MA
VE
VF
HF
 
5) Determinar as forças que atuam nos cilindros hidráulicos IF, DE e AB da máquina ilustrada na figura abaixo. 
Solução: ver a 
prova A.