Apostila de Exercicios Resolvidos

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Universidade Federal de Uberlândia – UFU 
Faculdade de Engenharia Elétrica – FEELT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELETROMAGNETISMO 
 
 
 
 
 
Apostila de Exercícios Resolvidos 
 
 
 
 
 
 
Curso de Graduação 
 
 
 
 
Prof. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães 
 
 
 
 
 
Agosto/2001 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL i 
 
SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, 
CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 
 
 Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 
 
 
 Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 
 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas 
SISTEMA Cartesiano Cilíndrico Esférico 
Cartesiano 
zz
yy
xx


 
zz
seny
cosx



 



rcosz
sen rseny
cos senrx
 
Cilíndrico 
zz
20 )x/y(tan
0 yx
1-
22



 
zz 

 



rcosz
senr
 
Esférico 
 
  


20 x/ytan
0 zyxtan
0r zyxr
1-
221-
222
  



20 
0 ztan
0r zr
1-
22
 
 


 rr 
 
 Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL ii 
 
 Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 
 
Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas 
 
Nota: No sistema de coordenadas esféricas, o produto escalar que envolve 
xa

 e 
ya

 requer 
primeiro a projeção do vetor unitário esférico no plano xy (coseno do ângulo formado), 
multiplicando o resultado pela projeção no eixo desejado (coseno do ângulo formado). 
 
 
 Comprimentos, áreas e volumes diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas 
 
 
 
 
Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas 
Sistema Comprimento (d
L
) Área (d s ) Volume(dv) 
Cartesiano 
zyx adzadyadxLd 
 
zz
yy
xx
adxdysd
adxdzsd
adydzsd



 
dzdydxdv 
 
Cilíndrico 
zp adzadadLd  
 
zz addsd
adzdsd
adzdsd





 
dzdddv 
 
Esférico 
  adsenrardadrLd r
 





ardrdsd
adrdsenrsd
addsenrsd r
2
r
 
 ddrdsenrdv 2
 
 
 

a r
 
a
 

a
 

ax
 sen cos cos cos - sen 

ay
 sen sen cos sen cos 

a z
 cos - sen 0 
 

a
 

a
 
a z
 

ax
 cos - sen 0 

ay
 sen cos 0 

a z
 0 0 1 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL iii 
 
FÓRMULAS MATEMÁTICAS 
 
DIVERGÊNCIA 
 
 
 CARTESIANAS: 
z
zD
y
yD
x
xD








 D
 
 CILÍNDRICAS: 
z
zD
D1)D(1










 D
 
 ESFÉRICAS: 











D
senr
1)senD(
senr
1
r
)rDr(
r
1
2
2
D
 
 
 
GRADIENTE 
 
 
 CARTESIANAS: 
zyx
z
V
y
V
x
V
V aaa










 
 CILÍNDRICAS: 
z
z
VV1V
V aaa










 
 
 ESFÉRICAS: 










 aaa
 V
senr
1V
r
1
r
V
V r
 
 
 
LAPLACIANO 
 
 
 CARTESIANAS: 
   2
2
2
2
2
2
2
V
V
x
V
y
V
z






 
 CILÍNDRICAS: 
 





  
2
2
2
2
2
2
1 1
V
V V V
z



 




 
 ESFÉRICAS: 
 





 





 2 2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
V
r r
r
V
r r
V
r
V


 




 

sen
sen
sen
 
 
 
ROTACIONAL 
 
 
 CARTESIANAS: 
z
xy
y
zx
x
yz 
y
H
x
H
 
x
H
z
H
 
z
H
y
H
aaaH







































 
 CILÍNDRICAS:  
z
zz 
HH1
 
H
z
H
 
z
HH1
aaaH










































 
 ESFÉRICAS: 
   


























 aaH

 
r
rHH
senr
1
r
1
 
HsenH
senr
1 r
r
 

 










 a

 
H
r
rH
r
1 r
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL iv 
 
FÓRMULAS E PARÂMETROS IMPORTANTES 
 
AS 4 EQUAÇÕES DE MAXWELL 
 
Forma Pontual Forma Integral 
t
B
E



 
 


 S
B
LE d
t
d S

 
d
t
JJ
D
JH





 
 


 S
D
LH d
t
Id S

 
v D
 
dvd vol vS    SD
 
0 B
 
0dS   SB
 
 
 
CONDIÇÕES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS OU REGIÕES 
 
Componentes tangenciais: Et1 = Et2 Ht1 – Ht2 = k 
Componentes normais: Dn1 – Dn2 = S Bn1 = Bn2 
 
 
PERMISSIVIDADES DO ESPAÇO LIVRE OU VÁCUO 
 
Permissividade elétrica do vácuo: 




36
10
10854,8
9
12
o
 [F/m] 
Permissividade magnética do vácuo: 
 o  
4 10 7
 [H/m] 
 
EQUAÇÕES IMPORTANTES 
 
Lei de Gauss: 
internaQ S dSD
 
 
Teorema da Divergência: 
 dv d volS    DSD
 
Equação de Poisson: 
  2V v


 
 
Equação de Laplace: 
 2 0V
 
 
Lei de Biot-Savart: 




2R4
dI RaLH
 onde 
dvdSdI JKL


 
Lei Circuital de Ampère: 
enlacadaId  LH
 
Teorema de Stokes: 
    SHLH dd S
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL v 
 
OUTRAS FÓRMULAS IMPORTANTES 
 
 
PED

 o
 
 
EP

oe
 
 
ED


 
 
   r o
 
 
  volE dv2
1
W ED
 
 
t
Nfem



 
 
  LE dfem
 
 
  SBLBv d
t
dfem S  

 


 
 
  S dSB
 
 
I
N
L

=
 
 
2
=
I
W2
L H
 
 
1
122
12
I
N
M


 MHB

 o
 
 
HM

m
 
 
HB


 
 
   r o
 
 
  volH dv2
1
W HB
 
 
EF

QE 
 
 
 BvF

 QM
 
 
 BvEFFF

 QME
 
 
BLF

 dId
 
 
BSFrT

 dIdd
 
 
Sm d Id 
 
 
BmT

 dd
 
 
AB


 
 0 JH

mV
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FORMULÁRIO GERAL vi 
FORMULÁRIO DE DERIVADAS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias. 
1. 
  0a
dx
d

 
2. 
 cxc
dx
d

 
3. 
  1nn xncxc
dx
d 
 
4. 
 
x2
1
x
dx
d

 
5. 
 
dx
du
un
1
u
dx
d
n 1n
n


 
6. 
 
dx
dv
dx
du
vu
dx
d

 
7. 
 
dx
du
cuc
dx
d

 
8. 
 
dx
du
v
dx
dv
uvu
dx
d

 
9. 
2v
u
dx
dv
v
dx
du
v
u
dx
d






 
10. 
 
dx
du
unu
dx
d 1nn 
 
11. 
 
dx
du
aaa
dx
d uu ln
 
12. 
 
dx
dv
uu
dx
du
uvu
dx
d v1vv ln 
 
13. 
  
dx
du
du
df
uf
dx
d

 
14. 
   1a,0a
dx
du
u
elog
ulog
dx
d a
a 
 
15. 
 
dx
du
u
1
u
dx
d
ln
 
16. 
 
dx
du
ucosusen
dx
d

 
17. 
 
dx
du
usenucos
dx
d

 
18. 
 
dx
du
usectgu
dx
d 2
 
19. 
 
dx
du
ucosecucotg
dx
d 2
 
20. 
 
dx
du
tguusecusec
dx
d

 
21. 
 
dx
du
ucotgucosecucosec
dx
d

 
22. 
 
dx
du
u1
1
uarcsen
dx
d
2

 
23. 
 
dx
du
u1
1
uarccos
dx
d
2

 
24. 
 
dx
du
u1
1
uarctg
dx
d
2

 
25. 
 
dx
du
u1
1
uarccotg
dx
d
2

 
26. 
 
dx
du
1uu
1
uarcsec
dx
d
2 

 
27. 
 
dx
du
1uu
1
uarccosec
dx
d
2 

 
28. 
dx
du
du
dy
dx
dy

 (Regra de Chain) 
29. 
dz
z
F
dy
y
F
dx
x
F
dF









 
(Diferencial total de 
)z,y,x(F
) 
30. 
yF
xF
dx
dy
0)y,x(F



 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FORMULÁRIO GERAL vii 
FORMULÁRIO DE INTEGRAIS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias. 
1. 
   )x(fdxxf
dx
d

 
2. 
  Cdxvdxudxvu   
 
3. 
Cdxuadxua  
 
4. 
 1nC
1n
u
duu
1n
n 




 
5. 
  Cu
u
du
ln
 
6. 
  Cedue
uu
 
7. 
 1a,0aC
a
a
dua
u
u 
ln
 
8. 
  Cucosduusen
 
9. 
  Cusenduucos
 
10. 
CusecCucosduutg  lnln
 
11. 
CucosecCusenduucotg  lnln
 
12. 
  Cutgusecduusec ln
 
C
42
u
tg 




 
 ln
 
13. 
  Cucotgucosecduucosec ln
 
=
C
2
u
tg 





ln
 
14. 
  C
4
u2sen
2
u
duusen2
 
15. 
  C
4
u2sen
2
u
duucos2
 
16. 
  Cutgduusec
2
 
17. 
  Cucotgduucosec
2
 
18. 
  Cuutgduutg
2
 
19. 
  Cuucotgduucotg
2
 
20. 
  Cusecduutgusec
 
21. 
  Cucosecduucotgucosec
 
22. 
C
a
u
arctg
a
1
au
du
22



 
23. 
C
au
au
a2
1
au
du
22





 ln
 
24. 
C
ua
ua
a2
1
ua
du
22





 ln
 
25. 
C
a
u
arcsen
ua
du
22



 
26. 
Cauu
au
du 22
22


 ln
 
27. 
Cauu
au
du 22
22


 ln
 
28. 
C
a
u
arcsec
a
1
auu
du
22



 
29. 
C
u
aua
a
1
auu
du 22
22




 ln
 
30. 
C
u
uaa
a
1
uau
du 22
22




 ln
 
31. 
 
C
au
u
a
1
au
du
2222/322





 
32. 
2222 ua
2
u
duua 
 
C
a
u
arcsen
2
a 2

 
33. 
2222 au
2
u
duau 
 
Cauu 22  ln
 
34. 
  duvvudvu
 (Integração por partes) 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL vi 
 
FORMULÁRIO DE DERIVADAS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias. 
1. 
  0a
dx
d

 
2. 
  cxc
dx
d

 
3. 
  1nn xncxc
dx
d 
 
4. 
 
x2
1
x
dx
d

 
5. 
 
dx
du
un
1
u
dx
d
n 1n
n


 
6. 
 
dx
dv
dx
du
vu
dx
d

 
7. 
 
dx
du
cuc
dx
d

 
8. 
 
dx
du
v
dx
dv
uvu
dx
d

 
9. 
2v
u
dx
dv
v
dx
du
v
u
dx
d






 
10. 
 
dx
du
unu
dx
d 1nn 
 
11. 
 
dx
du
aaa
dx
d uu ln
 
12. 
 
dx
dv
uu
dx
du
uvu
dx
d v1vv ln 
 
13. 
  
dx
du
du
df
uf
dx
d

 
14. 
   1a,0a
dx
du
u
elog
ulog
dx
d a
a 
 
15. 
 
dx
du
u
1
u
dx
d
ln
 
16. 
 
dx
du
ucosusen
dx
d

 
17. 
 
dx
du
usenucos
dx
d

 
18. 
 
dx
du
usectgu
dx
d 2
 
19. 
 
dx
du
ucosecucotg
dx
d 2
 
20. 
 
dx
du
tguusecusec
dx
d

 
21. 
 
dx
du
ucotgucosecucosec
dx
d

 
22. 
 
dx
du
u1
1
uarcsen
dx
d
2

 
23. 
 
dx
du
u1
1
uarccos
dx
d
2

 
24. 
 
dx
du
u1
1
uarctg
dx
d
2

 
25. 
 
dx
du
u1
1
uarccotg
dx
d
2

 
26. 
 
dx
du
1uu
1
uarcsec
dx
d
2 

 
27. 
 
dx
du
1uu
1
uarccosec
dx
d
2 

 
28. 
dx
du
du
dy
dx
dy

 (Regra de Chain) 
29. 
dz
z
F
dy
y
F
dx
x
F
dF









 
(Diferencial total de 
)z,y,x(F
) 
30. 
yF
xF
dx
dy
0)y,x(F



 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO 
 FFOORRMMUULLÁÁRRIIOO GGEERRAALL vii 
 
FORMULÁRIO DE INTEGRAIS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias. 
1. 
   )x(fdxxf
dx
d

 
2. 
  Cdxvdxudxvu   
 
3. 
Cdxuadxua  
 
4. 
 1nC
1n
u
duu
1n
n 




 
5. 
  Cu
u
du
ln
 
6. 
  Cedue
uu
 
7. 
 1a,0aC
a
a
dua
u
u 
ln
 
8. 
  Cucosduusen
 
9. 
  Cusenduucos
 
10. 
CusecCucosduutg  lnln
 
11. 
CucosecCusenduucotg  lnln
 
12. 
  Cutgusecduusec ln
 
C
42
u
tg 




 
 ln
 
13. 
  Cucotgucosecduucosec ln
 
=
C
2
u
tg 





ln
 
14. 
  C
4
u2sen
2
u
duusen2
 
15. 
  C
4
u2sen
2
u
duucos2
 
16. 
  Cutgduusec
2
 
17. 
  Cucotgduucosec
2
 
18. 
  Cuutgduutg
2
 
19. 
  Cuucotgduucotg
2
 
20. 
  Cusecduutgusec
 
21. 
  Cucosecduucotgucosec
 
22. 
C
a
u
arctg
a
1
au
du
22



 
23. 
C
au
au
a2
1
au
du
22





 ln
 
24. 
C
ua
ua
a2
1
ua
du
22





 ln
 
25. 
C
a
u
arcsen
ua
du
22



 
26. 
Cauu
au
du 22
22


 ln
 
27. 
Cauu
au
du 22
22


 ln
 
28. 
C
a
u
arcsec
a
1
auu
du
22


 
29. 
C
u
aua
a
1
auu
du 22
22




 ln
 
30. 
C
u
uaa
a
1
uau
du 22
22




 ln
 
31. 
 
C
au
u
a
1
au
du
2222/322





 
32. 
2222 ua
2
u
duua 
 
C
a
u
arcsen
2
a 2

 
33. 
2222 au
2
u
duau 
 
Cauu 22  ln
 
34. 
  duvvudvu
 (Integração por partes) 
 
– Página 1.1 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
CAPÍTULO 01 
 
ANÁLISE VETORIAL 
 
1.1) Um vetor 
B
 é dado por: 
zyx 32 aaaB


. Determine um vetor 
A
 de módulo igual 
a 
3
 e componente x unitária de modo que 
A
 e 
B
 sejam perpendiculares entre si. 
 
 Resolução: 
 
 Dados:








1 x 3 
zyx
32
zyx
zyx
AB A
aaaA
aaaB



 (01) 
 
 
3A

  12 + y2 + z2 = 3 (02) 
 
B A


  
0BA
  1 + 2y + 3z = 0 (03) 
 
 De (03): 
2
1z3
y


 (04) 
 
 Substituindo (04) em (02), temos: 
 
 07z6z13 3z
4
1z6z9
1 3z
2
1z3
1 22
2
2
2







 

 
 
 1
a
 raiz 
13
7
z1 
 (05) 
 2
a
 raiz: 
1z 2 
 (06) 
 
 Substituindo (05) em (04), temos: 
 
 
13
17
y 
2
1
26
21
2
1
13
7
3
y 11 


 (07) 
 
 Substituindo (06) em (04), temos: 
 
1y 
2
13
2
113
y 22 




)( (08) 
 
 Substituindo (05) e (07) em (01), temos: 
 
 
zyx1
13
7
13
17
aaaA


 
 
 Substituindo (06) e (08) em (01), temos: 
 
 
zyx2 aaaA


 
 
– Página 1.2 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
1.2) Transforme cada um dos seguintes vetores para coordenadas cilíndricas no ponto dado: 
a)  
A ax 5
 em P ( = 4,  = 120o , z = 2); 
b) 
 
B ay 6
 em Q (x = 4, y = 3, z = -1); 
c) 
zyx a4a2a4C


 em R (x = 2, y = 3, z = 5). 
 
Resolução: 
 
a) 
zaaaA

zAAA  
onde: 
 









05
334120555
52120555
zz AA
,AsensenA
,AcoscosA
zxz
x
x
aaaA
aaaA
aaaA









 
 
 aaA

33452 ,, 
 
 
b) Transformando o ponto Q (x = 4, y = 3, z = -1) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, 
temos: 
   1z87365Q
 
5
4
5
3
8736
x
y
arctg 
5yx
zQ
22



















 ;,;
cos
sen
,
;; 





 
 
 mas: 
 
zz aaaB

BBB  
 onde: 











06
84
5
4
666
63
5
3
666
zzyzz
y
y
BB
,BcosB
,BsenB
aaaB
aaaB
aaaB







 
 
 aaB

8463 ,, 
 
 
c) Transformando o ponto R (x = 2, y = 3, z = 5) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, 
temos: 
 
   5z315613R
 
13
2
13
3
3156
x
y
arctg 
13yx
zR
22




















 ;,;
cos
sen
,
;; 





 
 
 mas: 
 
 
zaaaC

zCCC  
 onde: 
 
– Página 1.3 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
 












4424
4384
13
2
2
13
3
424424
5550
13
3
2
13
2
424424
zz C)(C
,Ccossen)(C
,Csencos)(C
zzyxz
zyx
zyx
aaaaaC
aaaaaC
aaaaaC







 
 
 
zaaaC

443845550   ,,
 
 
 
1.3) Um campo vetorial é definido no ponto P ( = 20,  = 120o , z = 10) como 
sendo:
z534 aaaV

 
. Determinar: 
a) a componente vetorial de 
V
 normal à superfície  = 20; 
b) a componente vetorial de 
V
 tangente à superfície  = 120o; 
c) a componente vetorial de 
V
 na direção do vetor 
  
R a a 6 8 
; 
d) um vetor unitário perpendicular a 
V
 e tangente ao plano  = 120o; 
e) o vetor 
V
 no sistema de coordenadas cartesianas; 
 
Resolução: 
 
a) 
 Dados: 
z534 aaaV

 
em P ( = 20,  = 120o , z = 10). 
 
Sabe-se que 
TN VVV


 e que 
 aaVVN

)( 
. 
 
 Portanto: 
 aVaaaaaV NN  4 534 z  ])[(
 
 
 
 
b) 
Dados: 
z534 aaaV

 
em P ( = 20,  = 120o , z = 10). 
 
Sabe-se que 
TN VVV


 e que 
 aaVVN

)( 
. 
 
 Cálculo de 
NV
 : 
 
 


aVaaaaaV
aaVV
NN
N


3 534 z 

])[(
)( 
 
 
– Página 1.4 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
 Cálculo de 
TV
 : 
 
 
zz 54 3534 aaVaaaaVVV TNT

  )( 
 
c) Dados: 
 aaR

86 
. 
 
RR aaVVR

)( 
, onde 


aaa
aa
R
R
a





8060
6436
86
RR ,, 



 
 aaVaaaaaaaV RR  843882 80608060534 z ,,),,)](,,()[( 
 
d) Seja 
zz aaaA

AAA  
 o vetor procurado. 
 Pelas condições apresentadas, temos:










 versor um é pois ,1
 pois ,0
120 plano ao tangenteé pois ,0
AA
VAVA
A



A
 
 
De (01), conclui-se que 
zz aaA

AA  
 (04) 
 
De (02), conclui-se que: 
 
054534 zzzz  AA)()A(A  aaaaaVA  (05) 
 
De (03), conclui-se que 
 12z
2 AA
 (06) 
De (05): 
 
4
5
zAA 
 (07) 
Substituindo (07) em (06), temos: 
 
6250
41
16
1
16
25
z
2
z
2
z ,AAA 
 (08) 
 
Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 
7810 ,A 
 (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (01), temos: 
 
 
 z62507810 aaA

,,  
 
 
e) Cálculo das componentes, em coordenadas cartesianas, do vetor 
V
 : 
 








5534
96411203120434534
59841203120434534
zzz
yyzyy
xxzxx
V)(V
,Vcossencossen)(V
,Vsencossencos)(V
zz aaaaaV
aaaaaV
aaaaaV







 

 
 
 
zyx 596415984 aaaV

 ,,
 
(01) 
(02) 
(03) 
 
– Página 1.5 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
1.4) Se 
1a

 é um vetor unitário dirigido da origem ao ponto (-2,1,2), determinar: 
a) um vetor unitário 
2a

 paralelo ao plano x = 0 e perpendicular a 
1a

; 
b) um vetor unitário 
3a

 perpendicular a 
1a

 e 
2a

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Cálculo de 
1a

: 
 
 
zyx1
222
zyx
1
1
1
3
2
3
1
3
2
212
22
aaaa
aaa
A
A
a








)(
 
 
a) Seja 
z
z
2y
y
2xx22
aaaa

aaa 
 o vetor procurado. 
 
 Pelas condições apresentadas, temos:








 versorum é pois ,1
 pois ,0
 0 xplano ao paralelo é pois ,0
22
1212
2x2
aa
aaaa
a



a
 
 
 De (01), conclui-se que: 
 
 
zz2yy22
aaa

aa 
 (04) 
 
 De (02), conclui-se que: 
 
 
)()a(a zyxzz2yy212 3
2
3
1
3
2
aaaaaaa


 
 
0
3
2
3
1
z2y212
 aaaa

 (05) 
 
 De (03), conclui-se que 
12
z2
2
y2
 aa
 (06) 
 
 De (05), 
z2y2
2aa 
 (07) 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
5
5
14
z2
2
z2
2
z2
 aaa
 (08) 
(01) 
(02) 
(03) 
 
– Página 1.6 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
 Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 
5
52
y2
a
 (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (04), temos: 
 
 
 zy2 2
5
5
aaa


 
 
b) Seja 
z
z
3y
y
3xx33
aaaa

aaa 
 o vetor procurado. 
 Pelas condições apresentadas, temos: 
 
 





 versor um é pois ,1
 e por formado plano ao pois ,
33
213213
aa
aaaaaa

 
 
 De (01), conclui-se que 
 
 zyx3
zyx
3
15
54
15
52
15
54
15
5
5
5 5
52 0 
3
2 3
1 3
2
 
aaaa
aaa
a













 
 
 Logo: 
 zyx3 425
15
5
aaaa


 
 
1.5) Determinar: 
a) qual é a componente escalar do vetor 
yx xy aaE


 no ponto P (3, -2, 6 ) que está 
apontada para o ponto Q (4, 0, 1 ); 
b) qual é a equação (escalar) da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor 
yx 43 aaA


 e passa através do ponto P (1, 5, 0 )? 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
 
 
 Definições: 
 
PE
 é o vetor dado E no ponto P 
yxPyxP 32xy aaEaaE


 
 
PQ
 é um vetor dirigido do ponto P para o ponto Q. 
 
Q
PE
é a componente escalar de 
PE
 na direção de 
PQE
 . 
 
.PQa

 é o vetor unitário de 
PQ
 
(01) 
(02) 
 
– Página 1.7 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
 Cálculo de 
PQa

: 
30
52
2541
52 zyx
PQ
zyx
PQ
aaa
a
aaa
PQ
PQ
a



 




 
 
 Cálculo de 
Q
PE
: 
 
30
4
E 
30
52
32EE
Q
P
zyx
yx
Q
PPQP
Q
P 






 

aaa
aaaE


)(
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja 
yx 5y1x aav

)()( 
 o vetor dirigido de P para Q (vetor na direção da linha). 
 Mas 
Av

 

0 vA
 
 
 
0174y-3x 05y41x305y1x43 yxyx  )()(])()[()( aaaa

 
 
 Assim, 3x-4y+17=0 é a equação da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor 
A
 e 
passa pelo ponto P 
 
1.6) Encontrar o vetor em coordenadas: 
a) cartesianas que se estende de P ( = 4,  = 10o , z = 1) a Q ( = 7,  = 75o , z = 4). 
b) cilíndricas no ponto M (x = 5, y = 1, z = 2) que se estende até N (x = 2, y = 4, z = 6). 
 
Resolução: 
 
a) Dados:  
 




4z757 Q
1z104 P
;;
;;

 
 
Definindo
PQ
como o vetor, em coordenadas cartesianas, que 
estende-se do ponto P ao ponto Q, temos: 
zzyyxx aaaOPOQPQ

PQPQPQ 
, onde 
OQ
 é 
o vetor dirigido da origem ao ponto Q e 
OP
 é o vetor dirigido 
da origem ao ponto P. 
 Cálculo do vetor 
OP
: 
 
zyx aaaOP

zyx OPOPOP 
, onde: 







1z
695,0104
939,3104
zz
yy
xx
OPOP
OPsensenOP
OPcoscosOP

 
 
zyx aaaOP

 695,0939,3
 
 
– Página 1.8 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
 Cálculo do vetor 
OQ
: 
 
zyx aaaOQ

zyx OQOQOQ 
,onde: 







4z
761,6757
812,1757
zz
yy
xx
OQOQ
OQsensenOQ
OQcoscosOQ

 
 
zyx aaaOQ

476168121  ,,
 
 
 mas: 
zzyyxx aaaOPOQPQ

PQPQPQ 
, onde: 
 
zyx aaaPQ

3076132 
3
07,6
13,2
zzzz
yyyy
xxxx








,,
OQOPOQPQ
PQOPOQPQ
PQOPOQPQ 
b) Dados:  
 




4z757 Q
2z1y5x M
;;
;;

 
 
Podemos escrever o vetor 
MN
 em coordenadas cartesianas 
da seguinte forma: 
zzyyxx aaaOMONMN

MNMNMN 
, onde 
zyx aaaON

642 
 e 
zyx aaaOM

25 
.Portanto, 
4 3 3 zyx  MN;MN;MN
 e 
zyx aaaMN

433 
. 
 
 Cálculo do vetor 
MN
em coordenadas cilíndricas: 
 
 
zaaaMN

zMNMNMN  
onde: 
 
 










4433
33433
33433
zzz aaaaaMN
aaaaaMN
aaaaaMN
zyx
zyx
zyx



)(MN
cossen)(MN
sencos)(MN




 
 No ponto M, temos: 
 
26
5x
26
1y
 
26yx 22

















cos
sen
 
 Portanto:











4
26
18
26
5
3
26
1
3
26
12
26
1
3
26
5
3
zMN
MNMN
MNMN


 
 Logo: 
zz 4
26
18
26
12
 aaaMNaaaMN z

  MNMNMN 
 
– Página 1.9 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
1.7) Sejam os pontos P ( 3, -4, 5 ) e Q ( 1, 2, 3 ) e 
W
 um vetor localizado no ponto P cuja 
magnitude seja igual à distância entre P e Q. Determine o vetor 
W
 apontado para Q: 
a) no sistema de coordenadas cartesianas; 
b) no sistema de coordenadas cilíndricas; 
c) no sistema de coordenadas esféricas. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 No ponto P, temos: 
 



















70710
zyx
z
 ; 70710
zyx
yx
 ; 135
z
 arctg 
 60
x
 ; 80
y
 ; 1353
x
y
arctg
 5yx
222222
22
22
,cos,sen
,cos,sen,






(01) 
 
a) 
zzyyxx aaaW

WWW 
 
 
zyxzyx 862 534231 aaaWaaaW

 ))(())(()(
 
 
b) 
zz aaaW

WWW  
 
 
 Cálculo das componentes, em coordenadas cilíndricas, do vetor 
W
 : 
 








8862
260680262862
680660262862
zzzyxzz
zyx
zyx
W)(W
W),(),(cossen)(W
W),(),(sencos)(W
aaaaaW
aaaaaW
aaaaaW




 

 
 
 
z826 aaaW

 
 
 
c) 
 aaaW 

WWW  rr
 (01) 
 
 Cálculo das componentes, em coordenadas esféricas, do vetor 
W
 : 
 














cossenW)(W
sensencoscoscosW)(W
cossensencossenW)(W
62862
862862
 862862
zyx
zyx
rrzyxrr
aaaaaW
aaaaaW
aaaaaW


(02) 
(03) 
(04) 
 
– Página 1.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
 Substituindo (01) em (02), temos: 
 
 
90,97071088070710660707102 rr  W),(),)(,(),)(,(W
 (05) 
 
 Substituindo (01) em (03), temos: 
 
 
4117071088070710660707102 ,W),(),)(,(),)(,(W   (06) 
 
 Substituindo (01) em (04), temos: 
 
 
2606802   W),(),(W
 (07) 
 
 Substituindo (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 
 aaaW 

2411909 r  ,,
 
 
 
1.8) Um campo vetorial é definido no ponto P ( r = 10,  = 150o,  = 60o ) como sendo: 
 aaaG

543 r 
. Determinar: 
a) a componente vetorial de 
G
 normal a superfície r = 10; 
b) a componente vetorial de 
G
 tangente ao cone  = 150o; 
c) a componente vetorial de 
G
 na direção do vetor 
aaR

86 r 
; 
d) um vetor unitário perpendicular a 
G
 e tangente ao plano  = 60o; 
 
Resolução: 
 
a) Dados: 
 
 aaaG

543 r 
em P ( r = 10,  = 150o,  = 60o ). 
 
Sabe-se que 
TN GGG


 e que 
rr aaGGN

)( 
. 
Portanto: 
rrrr 3 543 aGaaaaaG NN

 ])[( 
 
 
 
 
b) 
 
 Dados: 
 
 aaaG

543 r 
em P ( r = 10,  = 150o,  = 60o ). 
 
Sabe-se que 
TN GGG


 e que 
 aaGGN

)( 
. 
 
 
 
 Cálculo de 
NG
 : 
 
  aGaaaaaaaGG NN  4 543 r  ])[()( 
 
– Página 1.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011 –– AANNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 
 Cálculo de 
TG
 : 
 
  aaGaaaaGGG TNT  53 4543 rr  )( 
 
c) Dados: 
aaR

86 r 
 
 
RR aaGGR

)( 
, onde 


aaa
aa
R
R
a





8060
6436
86
rR
r
R ,, 



 
 
 aaGaaaaaaaG RR  644483 80608060543 rrrr ,,),,)](,,()[(  
 
d) 
 
Dados: 
 aaaG

543 r 
em P ( r = 10,  = 150o,  = 60o ). 
 
 
 Seja 
 aaaS 

SSS  rr
 o vetor procurado. 
 
 Pelas condições apresentadas, temos:










 versor um é pois ,1
 pois ,0
 60 plano ao tangenteé pois ,0
SS
GSGS
S



S
 
De (01), conclui-se que 
 aaS

SS  rr
 (04) 
 
De (02), conclui-se que : 
 
 
 043543 rrrr   SS)()S(S aaaaaGS  (05) 
 
De (03), conclui-se que 
 122r  SS
 (06) 
 
De (05): 
 
3
4
r SS 
 (07) 
 
Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
5
3
1
9
16 22   SSS
 (08) 
 
Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 
5
4
r S
 (09) 
 Substituindo (08) e (09) em (04), temos: 
 
 






 aaS

5
3
5
4
r
 
(01) 
(02) 
(03) 
 
– Página 2.1 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
CAPÍTULO 02 
 
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
 
2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com 2 C. A uma distância de 2 m de sua 
extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 C. Obter o ponto no 
espaço onde o campo elétrico seja nulo. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Definições: 
 P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo. 
 
1E
 é o campo elétrico gerado em P pela carga Q. 
 
2E
 é o campo elétrico gerado em P pelo fio. 
 
 Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q: 
 
 
)(
)(
x2
o
1
d24
Q
aE





, onde Q = 2C. (01) 
 
 Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio: 
 
 


 x2
o
L
2
dx24
dL
aE

)(
,onde:  









dxdL
m
C1
m2
C2
L
Q
LL 
 (02) 
 
 De (01), conclui-se que 

 

2
0x
x2
o
L
2
dx24
dx
 aE

)(
 (03) 
 
 Substituição de variáveis na integral:





dxdu
dx2u (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 

















d2
1
d
1
4
dx2
1
41
u
4u
du
 
4
o
L
2
x
2
0xo
L
2x
2
0x
1
o
L
2x2
o
L
2








E
aEaEaE


 
(05) 
 
– Página 2.2 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que 
021  EE
 . (06) 
 
 Substituindo (01) e (05) em (06), temos: 
 
 
][
)())(()(
)()(
m 
3
2
d0dd4d4dd4d4d2d88d2d4
0d2dd2d2d2d2
0
d2
1
d
1
d2
2
0
d2
1
d
1
4
101
d24
102
323222
22
2
o
6
2
o
6

















 

 
 
 Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m] 
 
 
2.2) Uma linha de carga com L = 50 C/m está localizada ao longo da reta x = 2, y = 5, no 
vácuo. 
a) Determinar 
E
 em P (1, 3, -4 ); 
b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com 
S = 18 C/m
2
, determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo. 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Campo elétrico para uma linha de cargas: 
 
 


aE

o
L
L
2

, onde: 













 de unitário o é 
 P ponto o para linha da dirigido vetor o é 
a
 (01) 
 
 Cálculo de 


 e de : 
 
 
yxzyx 205321 aaaaa

  )()( 
 (02) 
 
521 22   
 
 Cálculo de 
a

: 
 
5
2
 
yx aa
a



 




 (03) 
 
– Página 2.3 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
][
)(
mV 360180
2180
5
2
52
1050
yx
yx
yx
o
9
aaE
aaE
aa
E












 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para 
TE
 ser nulo no ponto Q (x, y, 0 ), este deve estar localizado entre o plano e a linha. 
 
 
 Campo elétrico para uma linha de cargas: 
 
 


aE

o
L
L
2

, onde: 













 de unitário o é 
 P ponto o para linha da dirigido vetor o é 
a
 (01) 
 
 Campo elétrico para uma distribuição superficial de cargas: 
 
 
N
o
S
P
2
aE




, onde: 
0). y, (x, de direcão na superfície à normal unitário o é Na

 (02) 
 
 Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à linha: 
 
 













22
yx
22
yx
5y2x
5y2x
5y2x ; 5y2x
)()(
)()(
)()()()(
aa
a
aa





 (03) 
 
 
– Página 2.4 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEEDDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo (03) em (01), temos: 
 
 
22
yx
22
o
L
L
o
L
L
5y2x
 5y 2x
5y2x2
2 )()(
)()(
)()( 



aa
EaE



 
 
 
])()[(
])()[(
yx22
o
L
L 5y 2x
5y2x2
aaE



 
 (04) 
 
 Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície: 
 
 
xN aa


 (05) 
 
 Substituindo (05) em (02), temos: 
 
 
x
o
S
P
2
aE




 
 
 Mas 
0PLT  EEE
 (07) 
 
 Substituindo (04) e (06) em (07): 
 
 


























































88,2x 324
2x
900
0324
5y2x
2x900
5y 0
5y2x
5y900
0 
5y2x
5y900
 324
5y2x
2x900
0
36
10
2
1018
5y2x
 5y 2x
5y2x
36
10
2
1050
0
2
5y2x
5y 2x
5y2x2
22
22
y22x22
x9
9
22
yx
22
9
9
x
o
S
22
yx
22
o
L
T








)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
aa
a
aa
a
aa
E






 
 
 
 Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0). 
 
 
2.3) Oito cargas pontuais de 1 C cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m 
de lado, no espaço livre. Encontrar 
E

 no centro: 
a) do cubo; 
b) de uma face do cubo; 
c) de uma aresta do cubo; 
 
(06) 
 
– Página 2.5 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo; 
K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face; 
M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição. 
Logo, o campo elétrico em P é nulo. 
 
b) 
KKKKKKKKK EEEEEEEEE DHEAFBCG


, onde: 
 
 
D; em carga pela em gerado campo o é 
H; em carga pela em gerado campo o é 
E; em carga pela em gerado campo o é 
A; em carga pela em gerado campo o é 
F; em carga pela em gerado campo o é 
B; em carga pela em gerado campo o é 
C; em carga pela em gerado campo o é 
G; em carga pela em gerado campo o é 
D; e H E, A, F, B, C, G, em carga pelas em gerado campo o é 
D
H
E
A
F
B
C
G
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
K
K
K
K
K
K
K
K
K









 
 
 Por simetria: 
 
 
0FBCG  KKKK EEEE
 , o que torna 
KKKKK EEEEE DHEA


. (01) 
 
 Cálculo de 
KEA
 : 
 
K
K
k aE
A
R2
Ao
A
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
K
K
KK
K
Ra
R
KAR
A
A
R
AA
A
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
 
– Página 2.6 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 
K
K
K
KK
R
aaaaR
A
A
A
RAzyxA
R 
 ; 51R ; 5050


 ,,,
 
 
 
K
K
k RE A23
Ao
A
R4
Q 


 (02) 
 
 Cálculo de 
KEE
 : 
 
K
K
k aE
E
R2
Eo
E
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
K
K
KKKK
K
Ra
RR
KER
E
E
R
AEAE
E
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
 
K
K
K
KKK
R
aaaaR
A
E
E
RAEzyxE
R 
 ; 51RR ; 5050


 ,,,
 
 
 
K
K
k RE E23
Ao
E
R4
Q 


 (03) 
 
 Cálculo de 
KEH
 : 
 
K
K
k aE
H
R2
Ho
H
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
K
K
KKKK
K
Ra
RR
KHR
H
H
R
AHAH
H
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
 
K
K
K
KKK
R
aaaaR
A
H
H
RAHzyxH
R 
 ; 51RR ; 5050


 ,,,
 
 
 
K
K
k RE H23
Ao
H
R4
Q 


 (04) 
 
 Cálculo de 
KED
 : 
 
K
K
k aE
D
R2
Do
D
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
K
K
KKKK
K
Ra
RR
KDR
D
D
R
ADAD
D
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
K
K
K
KKK
R
aaaaR
A
D
D
RADzyxD
R 
 ; 51RR ; 5050


 ,,,
 
 
 
K
K
k RE D23
Ao
D
R4
Q 


 (05) 
 
 
– Página 2.7 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01): 
 
 
)( KKKK
K
k RRRRE DHEA23
Ao
R4
Q 
 
 (06) 
 
 Mas: 
yDHEA
zyxzyxzyxzyxDHEA
4
5050505050505050
aRRRR
aaaaaaaaaaaaRRRR
KKKK
KKKK



 ),,(),,(),,(),,(
 
 Substituindo (07) em (06) ,temos: 
 
 
 
m
V 57,19 57,19
51 4
104
R4
Q4
y
y23
o
9
y23
Ao




kk
k
K
k
EaE
aEaE


,
 
 
 
c) 
MMMMMMMMM EEEEEEEEE DCGHBAFE


, onde: 
 
 
D; em carga pela em gerado campo o é 
C; em carga pela em gerado campo o é 
G; em carga pela em gerado campo o é 
H; em carga pela em gerado campo o é 
B; em carga pela em gerado campo o é 
A; em carga pela em gerado campo o é 
F; em carga pela em gerado campo o é 
E; em carga pela em gerado campo o é 
D; e C G, H, B, A, F, E, em cargas pelas em gerado campo o é 
D
C
G
H
B
A
F
E
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
M
M
M
M
M
M
M
M
M









 
 
 Por simetria: 
 
 
0FE  MM EE
 
 
 Portanto: 
MMMMMMM EEEEEEE DCGHBA


 (01) 
 
 Cálculo de 
MEA
 : 
 
M
M
M aE
A
R2
Ao
A
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
M
M
MM
M
Ra
R
MAR
A
A
R
AA
A
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 (07) 
 
– Página 2.8 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 
 
M
M
M
MM
R
aaaaR
A
A
A
RAzyxA
R 
 ; 251R ; 050


 ,,
 
 
 
M
M
M RE A23
Ao
A
R4
Q 


 (02) 
 
 Cálculo de 
MEB
 : 
 
M
M
M aE
B
R2
Bo
B
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
M
M
MMMM
M
Ra
RR
MBR
B
B
R
ABAB
B
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é


 
 
 
M
M
M
MMM
R
aaaaR
A
B
B
RABzyxB
R 
 ; 251RR ; 050


 ,,
 
 
 
M
M
M RE B23
Ao
B
R4
Q 


 (03) 
 
 Cálculo de 
MEH
 : 
 
M
M
M aE
H
R2
Ho
H
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
M
M
MMMM
M
Ra
RR
MHR
H
H
R
AHAH
H
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
 
M
M
M
MMM
R
aaaaR
A
H
H
RAHzyxH
R 
 ; 251RR ; 500


 ,,
 
 
 
M
M
M RE H23
Ao
H
R4
Q 


 (04) 
 
 Cálculo de 
MEG
 : 
 
M
M
M aE
G
R2
Go
G
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
M
M
MMMM
M
Ra
RR
MGR
G
G
R
AGAG
G
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
M
M
M
MMM
R
aaaaR
A
G
G
RAGzyxG
R 
 ; 251RR ; 500


 ,,
 
 
 
M
M
M RE G23
Ao
G
R4
Q 


 (05) 
 
 
– Página 2.9 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Cálculo de 
MED
 : 
 
M
M
M aE
D
R2
Do
D
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
M
M
MM
M
Ra
R
MDR
D
D
R
DD
D
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
M
M
M
MM
R
aaaaR
D
D
D
RDzyxD
R 
 ; 252R ; 50


 ,,
 
 
 
M
M
M RE D23
Do
D
R4
Q 


 (06) 
 
 Cálculo de 
MEC
 : 
 
M
M
M aE
C
R2
Co
C
R4
Q 


, onde: 








.
;
;
M
M
MMMM
M
Ra
RR
MCR
C
C
R
DCDC
C
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 



 
 
M
M
M
MMM
R
aaaaR
D
C
C
RDCzyxC
R 
 ; 252RR ; 50


 ,,
 
 
 
M
M
M RE C23
Do
CG
R4
Q 


 (07) 
 
 Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 







 



23
D
CD
23
A
GHBA
o RR4
Q
M
MM
M
MMMM
M
RRRRRR
E



 (08) 
 
 Mas: 
zxGHBA
zyzyyxyxGHBA
22
50505050
aaRRRR
aaaaaaaaRRRR
MMMM
MMMM



 ),(),(),(),( 
e 
 
zxCD
zyxzyxCD
22
5050
aaRR
aaaaaaRR
MM
MM



 ),(),( 
 
 Substituindo (09) e (10) em (08), temos: 
 
 
 
m
V 7625 21182118
252
22
251
22
4
101
zx
23
zx
23
zx
o
9
,,,
,,








 




MM
M
EaaE
aaaa
E



 
 (09) 
(10) 
 
– Página 2.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.4) Uma distribuição linear uniforme de cargas no eixo z é definida como sendo L = 10 
C/m para z  0 e L = 0 para z < 0. Determinar qual deverá ser a densidade superficial 
de cargas no plano infinito z = 0 de modo que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 
3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z. Determinar também o campo elétrico resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do campo elétrico no ponto P devido ao plano: 
 
z
o
S
PzNN
o
S
P
2
 :onde 
2
aEaaaE





 ,
 (01) 
 
 Cálculo do campo elétrico no ponto P devido à linha: 
 
 
z9
z3
z9R
z3
 onde 
R4
dz
2
zy
R
2
zy
R2
o
L
L














 
aa
a
R
aaR
aE





,


 
 
z232
o
L
y232
o
L
L
zy232
zy
o
L
L
z9
zdz
4z9
dz3
4
dz
z9
z3
4
aaE
EE
aa
E














)()(
)(
)(






 
 
 
 
z9
zdz
4
z9
dz3
4
z232
o
L
z
y232
o
L
y














aE
aE


)(
)(




 
(02) 
(03) 
(04) 
 
– Página 2.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Para que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z, a 
condição de 
zP EE


 deve ser satisfeita. 
 Fazendo (01) = (04), temos: 
 
 



2322
o
L
o
S
z3
zdz
42 )(


 (05) 
 
 Substituição de variáveis na integral:








d3dz
3tg z
2sec
 (06) 
 
 Substituindo (06) em (05), temos: 
 
 
  
m
C 
3
5
 
3
105
d
3
105
27
d3tg3
2
1010
2S
90
0
9
S
9
S3
29
S























cos
cos
cos.sen
sec
sec.
 
 
 
 Cálculo do campo elétrico resultante (
TOTALE
 ): 
 Como o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) apresenta somente uma componente 
na direção de 
ya

, conclui-se que 
yTOTAL EE


 (07) 
 
 Substituindo (03) em (07), temos: 
 
 
y2322
o
L
TOTAL
z3
dz3
4
aE




)(
 (08) 
 
 Substituição de variáveis na integral:








d3dz
3tg z
2sec
 (09) 
 
 Substituindo (09) em (08), temos: 
 
 
    
m
V 1294 
6
105
d
6
105
 
27
d33
4
1010
TOTALy
90
0
o
9
TOTAL
y
o
9
y3
2
o
9
TOTAL
,sen
cos
sec
sec.













EaE
aaE







 
 
– Página 2.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.5) Dado o campo vetorial 
  zyx
2 xyzyx aaaD


 [C/m
2
]. Determinar o fluxo de 
D
 
através da superfície triangular no plano xz, delimitada pelo eixo x, pelo eixo z, e pela 
reta 
x z 1
. 
 
 
 
 
 Dados:  






y
zyx
2
dxdz
xyzyx
adS
aaaD

 ; 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 C 
6
1
 
3
1
11
2
1
3
x
xx
2
1
dx
2
xx21
dx
2
x1
dx
2
z
zdzdxdzdxzy
 dxdz xy zyx
1
0x
3
2
1
0x
21
0x
2
1
0x
1
0x
x1
0z
2x1
0z
1
0x
x1
0z 0y
S
yzyx
2
S
































 





 

  

)(
)(
)(
)(
aaaadSD

 
 
 
2.6) Dado o campo 
y
3
x
2 y5 yx15 aaE


, encontrar,no plano xy: 
a) a equação da linha de força que passa através do ponto P ( 2, 3, -4 ); 
b) um vetor unitário 
Ea

 especificando a direção de 
E
 no ponto P; 
c) um vetor unitário 
Na

 que é perpendicular a 
E
 no ponto P. 
 
Resolução: 
 







3
y
2
x
y
3
x
2
yyxx
y5
yx15
 y5 yx15
E
E
EE aaaaE
 
a) Dados: P ( 2, 3, -4 ) 
 
 c
x
1
y
1
 3 
x
dx
y
dy
3 
 
x
dx
y
dy
3 
x3
y
dx
dy
 
yx15
y5
dx
dy
 
dx
dy
22
222
2
2
3
y
x








 
E
E
 
(01) 
 
– Página 2.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo em (01) as coordenadas do ponto P, temos: 
 
 
 
2
1
-c c
2
1
3
1
 3 






 (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
 
2
1
x
1
y
3
- 
 
 
 Portanto, a Equação da linha de Força é: 
 
 
0xyy2x-6 ou 0xyy2x6 - 
 
 
b) 
). 4- 3, 2, ( P ponto no definido vetor o é P EE
 
 
 
yxPy
3
x
2
P 135 180 3 . 5 3 .2 15 aaEaaE

 )().(
 
 
yxE
yx
E
22
yx
E
P
P
E
 60 80 
225
 135 180
 
135180
 135 180
 
aaa
aa
a
aa
a
E
E
a








,, 





 
 
c) 







 versor.um é pois 1 
 pois 0 
 :que modo de n m Seja
NN
ENEN
yxN
aa
aaaa
aaa 


,
;, 
 
 De (01), conclui-se que: 
 
 
 n75,0-m n 
0,8
0,6
-m n6,0 m8,0
 0 n6,0 m8,0 0 60 80 n m yxyx

 aaaa ),,()(

 
 
 De (02), conclui-se que:
1n m 22 
 (04) 
 
 Substituindo (04) em (03) ,temos: 
 
 
8,0 n 640n 
7501
1
n 1nn) (-0,75 2
2
222 

 ,,
),(
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (03), temos: 
 
 
6,0 m 0,8)( . -0,75m 
 (06) 
 
 Substituindo (05) e (06) em (01), temos: 
 
 
yxN 80 6,0 aaa



,
 
(01) 
(02) 
 
– Página 2.14 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
1 
2.7) Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases com cargas simétricas de densidade 
S constante. Calcular o campo elétrico no seu eixo, a meia distância entre as bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Sabe-se que 
zRzRR21R aaaEEE

EEE  
onde, 
RE
 é o campo resultante, 
1E
 é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição da base do cilindro (1) e 
2E
 é o 
campo gerado no ponto em questão devido à distribuição do topo do cilindro (2). 
 Devido à simetria das distribuições, 
RE
 não apresenta componentes nas direções de 
 aa

 de e 
(
0RR   EE
). Deste modo, as componentes de 
1E
 e de 
2E
 na direção de 
za

 
definem a direção e a magnitude de 
RE
 .Assim, 
z2z1R
22 EEE


. (01) 
 
 Cálculo de 
1E
 : 
 

























22
z
R
22
z
R
R2
o
S
1
a
 a
aR ; a
 de unitário um é 
R
); a 0, 0, ( ponto o para
 área de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
d d dS
 onde ,
R4
dS
d








aa
a
aaR
Ra
R
R
aE







.
;
;
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
z111z2322
o
 S
1 )a 
a4
dd
d EEEaaE



 

(
)(
 
(03) 
(02) 
 
– Página 2.15 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 
 
a4
dd a
) SimetriaPor ( 0
)a 
a4
dd
2
0
a
0
z2322
o
 S
z1
1
2
0
a
0
z2322
o
 S
1
















 
 
 
 

 


 






aE
E
aaE



)(
(
)(
 
 
 
 Cálculo de 
RE
 : 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 

 

 




a
0
z2322
2
0o
 S
R
2
0
a
0
z2322
o
 S
R
 d
a
d
4
 a2
 
a4
d d a
2




 








aE
aE


)(
)(
 
 
 
 Substituição de variáveis na integral: 







d ad
tg a
 2sec
 
 
 
 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
 
   
 mV 
2
1
-1
 
 )(-cos0-)(-cos45
 
 cos-
 
 d 
 
 
sec a
d sec tga 
 
sec a
d sec a tga
2
4
 a2
z
o
 S
R
z
o
 S
Rz
4
0
o
 S
R
z
4
0o
 S
Rz
4
0
33
23
o
 S
R
z
4
0
33
2
o
 S
R
aE
aEaE
aEaE
aE














































sen
 
 
 
 
(04) 
(05) 
(06) 





4a
00

 (07) 
 
– Página 2.16 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.8) Uma carga Q (Q > 0) está localizada na origem do sistema de coordenadas. Determinar 
em que ponto na linha definida por x = 1 e z = 3 está 
yE
 no seu máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Cálculo do campo elétrico para a carga pontual: 
 
 




















2
zyx
R
2
zyx
R
R2
o
y10
 3y 
y10R ; 3y
 de unitário um é 
R
) 3 y, (1, ponto o para origem da dirigido vetor o é 
 onde ,
R4
Q
aaa
a
aaaR
Ra
R
R
aE








 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 





























 
y104
Q3
 
y104
Q y
 
y104
Q
y10
 3y 
4
Q
y10
 3y 
y104
Q
z232
o
z
y232
o
y
x232
o
x
232
zyx
o2
zyx
22
o
aE
aE
aE
aaa
E
aaa
E







)(
)(
)(
)()(




 
 
 
 De (03), conclui-se que 
232
o
yy
y10
y
4
Q 
E
)( 
 E
 
 
(01) 
(02) 
(03) 
 
– Página 2.17 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Cálculo de 
máx
yE
: 
 
0
y10
.y y2 . y102
3y10
4
Q 
0
y
E
32
212232
o
y






)(
)()(

 
 
 
5y y3y10
y3
y10
y10
yy103y1022
2
212
232
2212232





)(
)(
.).()(
 
 
 
 Logo, 
maxy
E
 ocorre nos pontos 
   3, 5, -1 e 3, 5, 1
. 
 
 
 
– Página 3.1 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
CAPÍTULO 03 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
 
 
3.1) Dentro da região cilíndrica 
  4
 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo 
 aD
 35
C/m
2
. 
a) Qual a densidade volumétrica de carga em  = 3 m? 
b) Qual a densidade de fluxo elétrico em  = 3 m? 
c) Quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro,  = 3 m, 
z  2 5,
 m? 
d) Quanto de carga existe dentro do cilindro,  = 3 m, 
z  2 5,
 m? 
 
Resolução: 
 
a) Dados: 






m3
55 33

  DaD
 
 
 







3v
2
v
3
v
4
v
vv
m
C 180 3m araP
20 20
1
 
51
 
1
 
z
z11




















)(
)D(DD)D(
D

 
 
b) 





2
3
m
C 135 3m, me Logo, 5 que se-Sabe   aDaD  . 
 
c) Pela Lei de Gauss: 
 
vol
vinterna
S
dvQ dSD
 
  C 4050 .5 2 .3 . 5
2,5
52z
2
0
dz d 45
m3
 dz d 5
 dz d 
5
 onde ,
4
3
2,5
52z
2
0
3
S
 
aa
adS
aD
dSD



























 

 
,
)(
)()(
,



 
 
d) Pela Lei de Gauss, 
 
vol
vinterna
S
dvQ dSD
. 
 
Logo, 
 C 4050Qinterna 
 
 
– Página 3.2 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
3.2) Dado o campo 
 



 2
2
2 m
C 2
20   aaD

sensen
, encontrar a carga total que se 
encontra dentro da região, 
1 2 0 2 0 1       , / , .z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Dados: 
 
 
220
 e 
20
 2
20
22
2
2
2


















sen
D
sen
D
DDsensen aaaaD

 
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 
 
volS
interna dvQ DdSD

 (01) 
 Cálculo de 
D


: 
 
 
 





























231
1023010
 
22
2
2
2
120
 
24020
 
22
201120
2201201
z
z11
333
3
33
2
22
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cossen
cos
sen
sensen
DD)D(




































DD
D
D
D
D
D






 
(02) 
 
– Página 3.3 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
 
 
 C 
2
5
Q 1
2
10
2
10
Q
1
0z
z
2
2310
Q
dz d d 231
10
Q
internainterna
2
0
2
1
interna
1
0z
2
0
2
1
3interna









 





































  
  
sen
cos
 
 
3.3) Dado o campo 










 2m
C 
4r
20

 aD  sensen
, na região, 
3 4 r
, 
0 4   /
, 
0 2  
, determinar a carga total contida no interior desta região, por dois modos 
diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Dados: 













4r
20
 
4r
20   sensenDDsensen aaD 
 
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 
 
volS
interna dvQ DdSD

 
 
 1
o
 modo: 
 
vol
interna dvQ D

 
 Cálculo de 
D


: 
 
 




 D
r
1D
r
1
r
rDr
r
1
2
2 sen
)sen(
sen
)(
 D
 
 
– Página 3.4 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 
 



























4r
40
 
2
4r
20
r
1
4r
20
r
1
2
2










sencos
cossensen
sen
sensen
sen
D
D
D



 
 
 Cálculo de 
internaQ
: 
 
  
  













4
3r
4
0
2
1
2
2interna
 d drd r
4r
40
Q




 sensencos 
 
 
 
 
 C 40Q
0
2
40
2
10Q
4
42
2
1
20Q
d
4
d 220Q
d
4
d 2r20Q
d
4
d dr40Q
interna
interna
2
0
4
0interna
4
0
2
0
interna
4
0
2
0
4
3rinterna
4
0
2
0
4
3r
interna




































































 
 

 
 
 
 
coscoscoscos
coscos
sensen
sencossen
sencossen




























 
 
 
 2
o
 modo: 
 
S
internaQ dSD

 
 
 
 
BaseTopoLateralS
internaQ dSDdSDdSDdSD

 (01) 
 
 Para a Lateral ) 4 ( 
drd 
4
20
 drd r
2


 
















sensen
sen
dSD
adS


 (02) 
 
– Página 3.5 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 Para o Topo 
) 4r ( 
0
 d d r r
2








dSD
adS

sen (03) 
 Para a Base 
) 3r 
0
 d d r r
2








(
sen
dSD
adS

 (04) 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 
 










d
4
dr10Q
drd 
4
20Q
2
1
4
3r
interna
2
0
4
3r
2
4
interna

 

 





















sen
sensen
 
 
 
 C 40Q 04
2
410Q
4
4r10Q
internainterna
2
0
4
3rinterna
 


























coscos
cos

 

 
 
3.4) Uma casca esférica não condutora, de raio interno a e raio externo b, uniformemente 
carregada com uma densidade volumétrica 
v
. Determine o campo elétrico em função 
do raio r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Pela Lei de Gauss: 
 
vol
vinterna
S
dvQ dSD

 
 
 Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 
 
 
0 0Q pois ,0 1interna1  ED
 
 
 
– Página 3.6 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
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 Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: 
 
 
 
vol
vinterna
S
dvQ dSD

, onde 







r
2
r
rr
 d d r aadS
aD
sendS
D 
 
 
 
 
r
2
33
v
2
2
33
v
r
33
v
2
r
2
0
2
0
r
r
2
v
2
0
2
0
2
r
r
r
3r
r
3
r
3
4
r 4
 d d dr r d d r
aD
)()(
D)(D
sensenD
aa
a
a




    
   










 
 
 Mas 
ED 
 e 
o 
. 
 
 
 Portanto: 
r
2
33
o
v
2
r
r
3
aE
)( a


 
 
 
 
 Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r  b: 
 
 
 
vol
vinterna
S
dvQ dSD

, onde 







r
2
r
rr
 d d r aadS
aD
sendS
D 
 
 
 
 
r
2
33
v
3
2
33
v
r
33
v
2
r
2
0
2
0 r
2
v
2
0
2
0
2
r
r3r33
4
r 4
 d d dr r d d r
aD
)()(
D)(D
sensenD
abab
ab
b
a




    
   










 
 
 Mas 
ED 
 e 
o 
. 
 
 
 Portanto: 
r
2
33
o
v
3
r3
aE
)( ab 


 
 
 
 
 Área da esfera Volume da casca esférica 
 Área da esfera Volume da casca esférica 
 
– Página 3.7 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
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3.5) Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de carga com 
 
m
C 4L  
, 
e no plano z = 1 m existe uma distribuição superficial uniforme de carga com 



 2S m
C 20
. Determinar o fluxo total saindo da superfície esférica de raio 2 m, 
centrada na origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Lei de Gauss: 
internaQ
, onde 
PlanoLinhainterna QQQ 
 (01) 
 
 Cálculo de 
LinhaQ
: 
 
 
   C 16Qz4Q
dz 4QdLQ
Linha
2
2zLinha
2
2z
Linha
L
LLinha







 
 
 Cálculo de 
PlanoQ
: 
 
 
   C 60Q
2
20Q
 d d 20QdSQ
Plano
3
0
2
2
0Plano
2
0
3
0
Plano
S
SPlano








 













 
 
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
 C 76 6016Qinterna   
 
 2 
-2 
(03) 
(02) 
 
– Página 3.8 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
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3.6) Se uma carga Q está na origem de um sistema de coordenadas esféricas, calcule o fluxo 
elétrico  que cruza parte de uma superfície esférica, centrada na origem e descrita por 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 1
o
 modo: Lei de Gauss: 
 
vol
vinterna
S
dvQ dSD
 
 









 
r
2
r2
S d d r
r4
Q
 onde ,
adS
aD
dSD





sen
 
 
 
 
 
 
 






















0
0
2
2
d d
4
Q
d d r
r4
Q
sen
sen
 
 
   
       C 
2
Q
 0
4
Q
4
Q
0
 






 
coscos
cos
 
 
 2
o
 modo: 
 Considerando a esfera de raio r na sua totalidade:







2
esf
esf
r4Sesfera da Área
Q

 (01) 
 
 Considerando somente a casca esférica 
   
: 
casca
= ? 
 
 
   
 


















 
 
 
 
2
casca
0
2
casca
0
2
casca
0
2
cascaS
cascacasca
r2S
rS d rdS
d d rdSScasca da Área
cossen
sen
 
(02) 
 
– Página 3.9 – 
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 Através de uma regra de três, encontramos: 
esf
casca
esfcasca
S
S

. (03) 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01),temos: 
 
    




2
Q
 
r4
r2
Q casca2
2
casca
 
 
3.7) Dado o campo 
 
m
C 
2
20 2 















 

aD

cos
, na região, 
21  
, 
20 / 
, 
3z0 
, determinar a carga total contida no interior da região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Dados: 




























dzdddv
2
20
 
2
20



 
cos
DDcos aaD

 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 
 
volS
interna dvQ DdSD

 
 
 1
o
 modo: 
 
vol
interna dvQ D

 
 Cálculo de 
D


: 
 
 
z
z11







DD)D(
 D
 
 
























2
20
1
cos
D

 
 
2
2
10
 
2
1
2
201























sen
sen DD
 
 
– Página 3.10 – 
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 Cálculo de 
internaQ
: 
 
  
   














3
0z
2
0
2
1
2interna
dz d d 
2
10
Q

 


sen
 
 
   
     C 183,12Q302
4
21210Q
z
2
210Q
dz
2
d
10Q
internainterna
3
0z
2
0
2
1interna
2
0
3
0z
2
1
interna




































 
 
coscoslnln
.cos.ln.
sen











 
 
 2
o
 modo: 
 
S
internaQ dSD

 
 
 
BaseTopoFundoFrenteDireita Lat.daLat.EsquerS
internaQ dSDdSDdSDdSDdSDdSDdSD

 (01) 
 Para a Lateral Esquerda 


