Lista Calculo III

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LISTA DE EXERCÍCIOS-FUNÇÕES VETORIAIS 
 
1) Seja 𝑟(𝑡) = √2 − 𝑡 𝑖 +
𝑠𝑒𝑛(3𝑡)
2𝑡
𝑗 + ln(𝑡 + 1) 𝑘. Determine: 
a) Domínio de r(t) Resp: D=(-1,0)U(0,2] 
b) lim𝑡→0 𝑟(𝑡) Resp: < √𝟐,
𝟑
𝟐
, 𝟎 > 
c) r’(t) resp: <
−𝟏
𝟐
(𝟐 − 𝒕)−𝟏/𝟐,
𝟑𝒕𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒕)−𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒕)
𝟐𝒕𝟐
,
𝟏
𝒕+𝟏
> 
2) Calcule o domínio das funções abaixo: 
a)𝑟(𝑡) =
1
𝑡
𝑖 + √4 − 𝑡𝑗 Resp: D=(-∞,0)U(0,4] 
b)𝑟(𝑡) = ln(𝑡 + 3) 𝑖 +
1
√3𝑡
𝑗 + (𝑡2 + 50) 𝑘 Resp: D=(0, ∞) 
3) Calcule o limite: lim𝑡→3 𝑟(𝑡), 𝑐𝑜𝑚 𝑟(𝑡) = 〈
𝑡2−9
𝑡3−27
,
√𝑡−√3
𝑡−3
,
𝑡2−6𝑡+9
𝑡−3
〉. Resp:〈
𝟐
𝟗
,
𝟏
𝟐√𝟑
, 𝟎〉 
4) r(t) é contínua em t=2? 𝑟(𝑡) = {
5, 𝑡 = 2
𝑡2+𝑡−6
𝑡−2
, 𝑡 ≠ 2
. Resp: Sim. 
5) f(t) é contínua em t=0? 𝑓(𝑡) = {
1, 𝑡 = 0
|𝑡|
𝑡
, 𝑡 ≠ 0.
 Resp: Não. 
6) Calcule r(t) sabendo que 𝑟′(𝑡) =
3(𝑡+1)1/2
2
𝑖 + 𝑒−𝑡𝑗 +
1
𝑡+1
𝑘 𝑒 𝑟(0) =< 0,0,1 >. 
Resp: < (𝒕 + 𝟏)𝟑/𝟐, −𝒆−𝒕, 𝐥𝐧|𝒕 + 𝟏| > +< −𝟏,𝟏, 𝟏 > 
7) Calcule as integrais: 
a)∫ 𝑒3𝑡𝑖 +
𝑡
2𝑡2+1
𝑗 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑘 Resp: <
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒕,
𝟏
𝟒
𝒍𝒏|𝟐𝒕𝟐 + 𝟏|,
𝒕
𝟐
+
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕
𝟒
>+�⃗⃗� 
b)∫4𝑡5𝑖 + 𝑡2√𝑡3 + 2𝑗 +
1
2𝑡−5
𝑘 Resp: <
𝟐𝒕𝟔
𝟑
,
𝟐
𝟗
(𝒕𝟑 + 𝟐)
𝟑/𝟐
,
𝟏
𝟐
𝒍𝒏|𝟐𝒕 − 𝟓| > +�⃗⃗� 
8) Faça um esboço do gráfico da equação vetorial dada: 
a)𝑟(𝑡) = 𝑡2𝑖 + (𝑡 + 1)𝑗 
b) 𝑟(𝑡) =< 3𝑡 − 5, 2𝑡 + 1 > 
c)𝑟(𝑡) =< 𝑡 + 1, 2𝑡 , −1 > 
d)𝑟(𝑡) = 〈3𝑐𝑜𝑠𝑡 , (3𝑠𝑒𝑛𝑡) + 1〉 
e)𝑟(𝑡) = 〈(2𝑠𝑒𝑛𝑡) − 1, (2𝑐𝑜𝑠𝑡) + 2, 1〉 
f)𝑟(𝑡) =< 2 + (4𝑠𝑒𝑛𝑡), 3 − (2𝑐𝑜𝑠𝑡) > 
9) Parametrize as curvas a seguir e esboce o seu gráfico: 
a) 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 + 6𝑦 + 6 = 0 
b) 4𝑥2 + 𝑦2 = 16 
c) 𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑦2 − 16𝑦 + 12 = 0 
10) Determine T(t) e o comprimento da curva na parte indicada: 
𝑟(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝑖 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑗 + √5𝑡𝑘, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. 
Resp: 𝑻(𝒕) =<
−𝟐
𝟑
𝒔𝒆𝒏𝒕,
𝟐
𝟑
𝒄𝒐𝒔𝒕,
√𝟓
𝟑
>, 𝑺 = 𝟑𝝅. 
11) Encontre as equações paramétricas da reta tangente a curva dada no ponto dado: 
a) 𝑟(𝑡) = 〈2𝑡3 − 1, − 5𝑡2 + 3, 8𝑡 + 2〉 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1, −2,10) 
 Resp:𝒙 = 𝟏 + 𝟔𝒕; 𝒚 = −𝟐 − 𝟏𝟎𝒕; 𝒛 = 𝟏𝟎 + 𝟖𝒕. 
b) 𝑟(𝑡) = 〈𝑒𝑡, 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡〉 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (1,0,0) Resp: 𝒙 = 𝟏 + 𝒕; 𝒚 = 𝟎; 𝒛 = 𝒕. 
12) Seja s a reta de equações paramétricas x = 5−3t, y = −2+t, z = 1+9t. Encontre as 
equações paramétricas da reta que passa por P(−6, 4, −3) e é paralela a s. 
Resp:𝒙 = −𝟔 − 𝟑𝒕;𝒚 = 𝟒 + 𝒕; 𝒛 = −𝟑 + 𝟗𝒕. 
13) Determine as equações paramétricas da reta tangente a elipse 
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 𝑒𝑚 (
3√2
2
, √2). Resp: 𝒙 =
𝟑√𝟐
𝟐
−
𝟑√𝟐𝒕
𝟐
; 𝒚 = √𝟐 + 𝒕√𝟐. 
14) Encontre o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t), o vetor binormal 
B(t) para a curva 𝑟(𝑡) = 3𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖 + 3𝑐𝑜𝑠𝑡𝑗 + 4𝑡𝑘.