aula4 Processos Reversíveis e Irreversíveis.

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Máquinas Térmicas 
Prof. Carlos Gurgel 
Dep. Engenharia Mecânica – FT 
Universidade de Brasília 
 
Capítulo IV – Processos Reversíveis e Irreversíveis (Eastop & 
McConkey, 1993) 
 
 
 
Nos capítulos anteriores, o conceito de energia para sistemas com fluxo e sem fluxo 
foi apresentado. Em seguida, introduziu-se a idéia de reversibilidade e 
irreversibilidade e discutiu-se as propriedades de vapor e do gás perfeito. Agora, os 
processos mais reais, práticos (aplicados) serão discutidos. 
 
1. Processos Reversíveis sem fluxo 
 
Processo a Volume Constante (isocórico, isovolumétrico) 
 
Primeiramente será investigado o processo a volume constante. Sendo este constante, 
a restrição que se faz ao sistema é que contenha apenas fronteiras rígidas e 
impermeáveis. Admite-se ainda que não há trabalho de eixo sendo desenvolvido para 
ou do sistema. A equação da energia para este processo é 
12 uuWQ −=+ 
como o trabalho é nulo, 
12 uuQ −= 
ou, para uma dada massa m 
12 UUQ −= 
Verifica-se, por esta equação que todo o calor injetado no sistema num processo a 
volume constante é empregado no aumento da energia interna do sistema. 
A Figura IV-1 mostra, para um vapor, um processo a volume constante num 
diagrama p – v. Os estados iniciais e finais foram escolhidos de forma a estarem na 
região de vapor úmido e vapor super aquecido, respectivamente. A segunda figura 
 43
 
indica um processo a volume constante para um gás perfeito. Sendo o gás perfeito, 
vale a seguinte relação 
)( 12 TTmcQ v −= 
 1
 p2
 2
 P1
 p
 v v1=v2
 1
 p2
 2
 p1
 p
 v v1=v2
 
Figura IV-1: Processo a volume constante para vapor e gás perfeito. 
 
Processo a Pressão Constante (isobárico) 
 
Pode-se verificar que num processo a volume constante, isto é, as fronteiras possuindo 
fronteiras rígidas, qualquer adição de calor provoca aumento imediato na pressão do 
sistema. 
Considere agora um processo a pressão constante. Neste caso, para que a adição de 
calor ao sistema não altere a pressão, as fronteiras precisam mover-se contra a 
vizinhança. 
Sabe-se que para qualquer processo reversível 
∫−= 2
1
v
v
pdvW 
No caso de processo a pressão constante 
( )∫ −−=−= 2
1
12
v
v
vvpdvpW 
A equação da energia para processos sem fluxo é 
12 uuWQ −=+ . 
 44
 
Desta forma, para um processo a pressão constante 
( ) ( ) ( ) ( )11221212 pvupvuvvpuuQ +−+=−+−= 
Em termos de entalpia 
12 hhQ −= . 
A Figura IV-2 ilustra um processo a volume constante para um sistemas cuja 
substâncias são vapor e gás perfeito, respectivamente. 
 1 2
 p
 v
 1
 p2=p1
 2
 p
 v v2 v1
 p2=p1
 v1 v2
 
Figura IV-2: Processo a pressão constante para vapor e gás perfeito. 
 
Na figura acima, o processo a pressão constante para o vapor inicia-se na região de 
vapor úmido e termina na região de vapor super aquecido. Para um gás perfeito, o 
processo é simplificado e o calor adicionado pode ser calculado pela expressão 
)( 12 TTmcQ p −= 
Exemplo IV-1: 
Um sistema contem 0.05 kg de um fluido e é aquecido a pressão constante de 2 bar 
até que o volume ocupado seja 0.0658 m3. Calcule o calor adicionado e o trabalho 
realizado: 
(a) quando o fluido é, inicialmente, vapor seco saturado; 
(b) quando o fluido é ar, inicialmente a 130 °C (R = 0.287 kJ / kg K). 
 
Como o processo é a pressão constante, vale a relação 
( )12 hhmQ −= 
 45
 
Portanto, precisamos determinar as entalpias inicial e final. 
Do programa apropriado (tabelas), 
27071 == ghh kJ/kg 
Necessitamos agora de h2. 
Com o volume no estado 2, podemos calcular v2 e então, inferir h2. 
316.1
05.0
0658.0
2 ==v m3/kg. 
Sabemos então, p2 e v2. Do programa (tabelas), determinamos h2. 
30722 =h kJ/kg. 
Portanto, 
( ) 25.18)27073072(05.012 =−=−= hhmQ kJ. 
Ou seja, a quantidade de calor injetado no sistema foi de18.25 kJ. 
O trabalho realizado pode ser calculado pela área sobre a curva num diagrama p – v. 
Isto é 
( )12 vvpW −=− . 
O volume específico em 1 deve ser obtido das tabelas e é numericamente igual a 
8857.01 =v m3/kg. 
Portanto o trabalho realizado é 
( )12 vvpW −=− 
( ) 86080)8857.0316.1(102 512 −=−×−=−= vvpW N m / kg. 
O trabalho total realizado pela quantidade de massa do sistema é 
43048608005.0 −=×−=W N m.= – 4.304 kJ. Isto é, o sistema realizou trabalho 
contra a vizinhança. 
Faça um desenho ilustrativo do processo acima. 
 
 46
 
Para o gás perfeito (b) realizando um processo a pressão constante, 
)( 12 TTmcQ p −= 
Precisamos, então, determinar a temperatura final, única incógnita na equação acima. 
Da lei dos gases perfeitos, 
917
10287.005.0
0658.0102
3
5
22
2 =××
××==
mR
Vp
T K. 
Logo o calor fornecido é 
83.25)403917(005.105.0)( 12 =−×=−= TTmcQ p kJ. 
O trabalho envolvido no processo pode ser obtido pela diagrama p – v, e é 
numericamente igual a área sobre a curva. 
( ) 12 =−=− vvpW |área sobre a curva| 
Como, 
RTpv = 
147.52403)0.287(917)T( 12 −=−−=−−= TRW kJ/kg. 
O trabalho total realizado pela massa de gás presente é 
38.7)52.147(05.0 −=−×=W kJ. 
Isto é, o trabalho realizado pelo sistema contra a vizinhança foi numericamente igual a 
7.38 kJ. 
Obs.: duas constantes foram necessárias neste cálculo, o cp e o R do ar que podem ser 
retirados de tabelas termodinâmicas. 
Faça um desenho ilustrativo do processo acima. 
 
Processo a Temperatura Constante (isotérmico) 
 
No processo de expansão de um gás no interior de um cilindro a temperatura do gás 
tende a cair. Portanto, objetivando-se manter a temperatura inalterada, calor deve ser 
fornecido ao sistema na medida em que o processo se desenvolve. Da mesma forma, 
 47
 
quando ocorre um processo de compressão, calor deve ser retirado do sistema para 
manter a temperatura deste constante. A Figura IV-3 apresenta esquematicamente um 
processo isotérmico para uma vapor. Pode-se verificar que na região de vapor úmido 
o processo a pressão constante é também um processo isobárico. Portanto, tira-se 
vantagem disto para o cálculo do calor trocado no processo. 
 
 1
 2
 p p
 1
 v
 T2=T1
 2
 v v2 v1
 p1
 v1 v2
 p2 pv =constante
 A
 p1
 p2
 
Figura IV-3: Processo a temperatura constante para vapor e gás perfeito. 
 
Por exemplo, entre os pontos 1 e 2, (isobárica p1) o calor adicionado é dado por 
1hhQ A −= . 
Contudo, na região de vapor superaquecido, a pressão cai na medida que o processo 
se desenvolve numa isotérmica. Portanto, o cálculo do calor envolvido não pode ser 
efetuado de imediato. Quando os estados inicial e final são fornecidos, a variação de 
energia interna no processo é facilmente determinada. Com a ajuda da propriedade 
entropia será apresentado um meio relativamente simples de se calcular o calor 
envolvido no processo. Desta forma, aplicando-se a equação da primeira lei para 
sistemas sem fluxo, o trabalho pode ser calculado. 
 
Exemplo IV-2: 
 
Vapor a 7 bar e título 0.9 expande num cilindro de maneira isotérmica e reversível até 
1.5 bar. Calcule a mudança de energia interna e de entalpia por unidade de massa de 
vapor. O calor fornecido ao sistema durante o processo foi de 547 kJ / kg. Calcule o 
trabalho envolvido por unidade de massa de vapor. 
 48
 
 
Utilizando a tabela de vapor úmido, obtemos 
3.23851 =u kJ / kg. 
Na isotérmica 165 °C, com pressão de 1.5 bar, determinamos u2. 
8.26022 =u kJ / kg. 
Variação de energia interna, 
5.2173.23858.260212 =−=−uu kJ/kg. 
A entalpia em 1 e em 2 são obtidas diretamente das tabelas. 
3.25571 =h kJ / kg 
Na isotérmica 165 °C, com pressão de 1.5 bar, determinamos u2.28032 =h kJ / kg. 
Variação de entalpia, 
7.2453.2557280312 =−=− hh kJ / kg. 
Da primeira lei, 
5.3295475.217)( 12 −=−=−−= QuuW kJ / kg. 
Portanto, o trabalho executado pelo sistema foi numericamente igual a 329.5 kJ / kg. 
 
Processos isotérmicos para um gás perfeito, são mais facilmente tratados quando 
comparados com vapor uma vez que existe uma lei relacionando p, v, T e u. Portanto, 
para um gás perfeito, 
constante== RTpv 
Desta forma, vale a seguinte relação 
2211 vpvp = . 
A Figura IV-3 ilustra um processo de compressão de um gás num diagrama p – v. 
Neste processo, isotérmico, a curva descrita é uma hipérbole. O trabalho pode ser 
obtido da relação 
 49
 
∫−= 2
1
pdvW . 
Como o gás é perfeito, pode-se escrever, 
v
cp = onde c é uma constante. Portanto, a integral acima pode ser efetuada 
fornecendo, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛==−= ∫
2
1ln[ln] 2
1
2
1
v
v
cc
v
dvcW vv
v
v
. 
A constante c pode ser escrita como ou pois 11vp 22vp
cvpvp === constante2211 . 
O trabalho é dado por, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
2
1
11 ln v
v
vpW 
ou 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
2
1
22 ln v
v
vpW . 
Valendo-se da equação dos gases perfeitos as seguintes relações são válidas: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2
11 ln p
p
vpW kJ / kg ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2
11 ln p
p
VpW kJ 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2ln
p
p
RTW kJ / kg ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2ln
p
p
mRTW kJ. 
 
Para um gás perfeito, valem as seguintes relações, considerando-se cp e cv constantes 
)( 12 TTmcQ v −= )( 12 TTmcQ p −= 
 50
 
Como o processo é isotérmico, T2 = T1 = T, e, recordando-se da lei de Joule que 
relaciona a energia interna unicamente com a temperatura, pode-se afirmar que 
)()()( 2211 TfuTfuTfu ===== , isto é 
012 =−uu 
Portanto, para um gás perfeito, num processo isotérmico, 
012 =−=+ uuWQ . 
Esta relação é válida apenas para gás perfeito. No exemplo anterior, processo 
isotérmico num sistema cuja substância era vapor, a variação de energia interna foi de 
217.5 kJ / kg, e, portanto, a soma do calor e do trabalho envolvidos no processo é 
diferente de zero. 
 
Exemplo IV-3: 
 
Um sistema contendo 1 kg de nitrogênio é comprimido reversivelmente e 
isotermicamente de 1.01 bar, 20 °C, até 4.2 bar. Calcule o trabalho realizado e o calor 
transferido no processo. Assumir o nitrogênio como gás perfeito. 
 
Como o problema fornece as pressões iniciais e finais do processo, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2ln
p
p
RTW . 
Na equação acima, o valor de R precisa ser determinado sabendo-se que a massa 
molecular do nitrogênio é 28. 
297.0
28
314.8
~
~
===
m
RR kJ / kg K. 
124
01.1
2.4ln293297.0ln
1
2 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
p
p
RTW kJ / kg. 
Como o processo é isotérmico e o fluido de trabalho é um gás perfeito, 
0=+WQ . 
 51
 
Logo, o calor rejeitado é 
124−=−= WQ kJ / kg. 
 
Processo adiabático reversível 
 
Um processo adiabático, é aquele para o qual não há transferência de calor para ou do 
fluido. Tal processo pode ser reversível ou irreversível. Para um sistema de massa 
fixa, a primeira lei é dada por 
12 uuWQ −=+ . 
Sendo o processo adiabático, 
0=Q . 
Portanto, 
12 uuW −= . 
A equação acima é válida independentemente do processo ser reversível. 
Numa compressão adiabática, todo o trabalho é direcionado no sentido de se aumentar 
a energia interna do fluido. Por outro lado, numa expansão adiabática, o trabalho 
realizado pelo sistema é feito a custas da redução da energia interna do sistema. Fica 
claro que par um processo ser adiabático, deve-se providenciar isolamento térmico 
para o sistema. 
Para um gás perfeito, pode-se obter uma lei relacionando-se p e v para um processo 
adiabático. 
dudWdQ =+ 
Para um processo reversível, 
pdvdW −= . 
Consequentemente, 
0=+= pdvdudQ . 
Como , pvuh +=
tem-se . vdppdvdudh ++=
 52
 
Como , implica em 0=+ pdvdu vdpdh = . 
Relacionando-se as equações acima, obtém-se 0=+
v
RTdvdu . 
Como , então, dTcdu v= 0=+ v
RTdvdTcv . 
Dividindo-se por T, obtém-se, 0=+
v
Rdv
T
dTcv 
Integrando-se esta última equação chega-se à 
constantelnln =+ vRTcv . 
Com a equação dos gases perfeitos (T = (pv)/R), esta relação torna-se 
constantelnln =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ v
c
R
R
pv
v
. 
Com as relações dos calores específicos 1−= γ
vc
R , obtém-se, 
constante)ln(ln 1 =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −γv
R
pv . 
Operando-se, 
constanteln
1
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
R
pvv γ . Ou, constanteln =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
R
pv γ . 
Finalmente, simplifica-se, 
constante=γpv . 
Consequentemente, para um gás perfeito sujeito a um processo reversível e adiabático 
pode-se valer desta relação simples entre p e v para um dado valor de γ que é 
específico de cada gás. 
Algumas relações práticas podem ainda ser derivadas da equação acima. 
Ainda para um gás perfeito, 
constante=γv
v
RT . 
 53
 
Isto é, . constante1 =−γTv
Ou, operando-se o volume específico (v = (RT)/p), 
constante
1
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ
p
RTp . Operando-se, 
constante/)1( =− γγp
T . 
Desta forma, para um processo adiabático e reversível entre os estados 1 e 2 podemos 
escrever, com o auxílio as equações acima, 
γγ
2211 vpvp = ⇒ 
γ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2
2
1
v
v
p
p
 
1
22
1
11
−− = γγ vTvT ⇒ 
1
1
2
2
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
γ
v
v
T
T
 
γγγγ /)1(
2
2
/)1(
1
1
−− = p
T
p
T
 ⇒ 
γγ /)1(
2
1
2
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
p
p
T
T
 
 
Sabe-se que o ganho em energia interna de um gás perfeito num processo a volume 
constante é dado por 
)( 1212 TTcuu v −=− 
Como, 
12 uuWQ −=+ 
Pode-se determinar o trabalho envolvido, num processo adiabático, através de 
)( 1212 TTcuuW v −=−= 
Como 
)1( −= γ
Rcv , substituindo na equação acima, obtém-se 
)1(
)( 12
−
−= γ
TTR
W . 
Utilizando-se a equação dos gases perfeitos, RTpv = , 
 54
 
 
)1(
)1122
−
−= γ
vpvp
W . 
Agora, vamos analisar um processo adiabático reversível para um gás perfeito. 
Foi deduzido anteriormente a relação entre a pressão p e o volume específico v num 
processo adiabático reversível para um gás perfeito, sendo 
constante=γpv . 
Sabe-se que o trabalho, neste processo, é dado simplesmente por 
∫−= 2
1
v
v
pdvW . 
Com a relação entre p e v conhecida para este processo, 
∫−= 2
1
v
v v
cdvW γ . 
Integrando-se, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−
−−=
+−+−+−+−
11
1
2
1
1
1
1
1
2
γγ
γγγγ vvcvvcW . 
A constante c, na equação acima pode ser escrita como ou . 
Consequentemente, 
γ
11vp
γ
22vp
11
`1122
1
111
1
222
−
−=−
−=
+−+−
γγ
γγγγ vpvpvvpvvp
W . 
Esta equação é exatamente a igual àquela obtida anteriormente. 
 
Exemplo IV-4: 
Vapor a 100 bar e 375 °C expande-se reversivelmente num cilindro perfeitamente 
isolado até a pressão de 38 bar quando o vapor é saturado seco. Calcule o trabalha 
realizado. 
 
Das tabelas de vapor (programa), 
 55
 
30161 =h kJ / kg, m02454.01 =v 3 / kg e 27701 =u kJ / kg. 
26032 =u kJ / kg. 
Ou, calculando-se através da expressão, 
2770
10
02544.0101003016 3
5
1111 =××−=−= vphu kJ / kg. 
Como o sistema está isolado termicamente, isto é, as paredes restringem a troca de 
calor, o trabalho é dado pela variação da energia interna. Portanto, 
1672770260312 −=−=−= uuW kJ / kg. 
O trabalho realizado pelo sistema foi de 167 kJ / kg. 
 
Exemplo IV-5: 
 
Ar a 1.02 bar, 22 °C, inicialmente ocupandoum cilindro de 0.015 m3, é comprimido 
reversivelmente de maneira adiabática até a pressão de 6.8 bar. Calcule a temperatura 
final, o volume final, o trabalho envolvido no processo e a massa do sistema. 
 
Com a relação 
γγ /)1(
2
1
2
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
p
p
T
T
isolamos T2. Desta forma, 
3.5077195.1295
02.1
8.6295
4.1/)14.1(/)1(
1
2
12 =×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
−− γγ
p
pTT K ou 234.3 °C. 
Na equação acima, o valor de gama (γ) foi obtido das tabelas sendo 1.4 para o ar. 
Para o cálculo do volume final, usamos a relação 
γ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2
2
1
V
V
p
p
. 
Isolando-se V2 e substituindo-se os valores conhecidos, temos 
4.1/1
2 02.1
8.6015.0 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
V
. Calculando, 
00387.02 =V m3. 
 56
 
O trabalho realizado num processo adiabático é dado por 
12 uuW −= . 
Precisamos, portanto, determinar as respectiva energias internas. 
Para um gás perfeito, vale a relação 
Tcu v= . 
Substituindo-se esta relação na equação do trabalho temos, 
4.152)2953.507(718.0)( 12 =−=−= TTcW v kJ/kg. 
O trabalho realizado contra o sistema foi de 152.4 kJ/kg. 
Da equação dos gases perfeitos, mRTpV = , calculamos a massa. 
0181.0
29510287.0
015.01002.1
3
5
1
11 =××
××==
RT
vp
m kg. 
O trabalho total foi de 
76.24.1520181.0 =×=W kJ. 
Obs.: Desenhe o processo num diagrama apropriado. 
 
Processo politrópico 
 
Na seção anterior, verificou-se que um gás perfeito submetido a um processo 
adiabático reversível apresentava uma relação específica entre a variação de pressão e 
a variação de volume específico na forma, 
constante=γpv . 
O expoente gama (γ) nesta equação é consequência da transferência de calor sendo 
nula no processo, o que nos permitiu relacionar variações de energia interna (cv) com 
trabalho (pdv). Isto porque, sendo Q nulo durante o processo, qualquer variação de 
energia interna é motivada por trabalho de compressão ou expansão do gás perfeito. 
Este é um caso particular em que o processo segue um caminho definido, isto é, 
adiabático reversível. Contudo, num diagrama p – v, podemos realizar infinitos 
processos, combinando transferência de calor e trabalho realizado na mudança de um 
estado 1 para um estado 2 qualquer. Destas inúmeras possibilidades, foram 
 57
 
apresentadas aquelas para o qual o volume permanece constante, a pressão permanece 
constante e a temperatura permanece constante. 
Matematicamente, este caminhos podem ser sintetizados pela seguinte relação 
contante=npv . 
Senão vejamos: 
Para n = 0, 
constante=p , isto é, o processo é isobárico. 
Para n = 1, 
constante=pv , isto é, o processo é isotérmico. 
 Para n = ∞, 
constante=∞pv , ou operando-se 
( ) constanteconstante)( 111 === ∞∞∞∞ vppv . 
Isto é, 
constante=v , isto é, o processo é isocórico. 
Para n = γ, 
constante=γpv , isto é, o processo é adiabático reversível 
Pode-se, então, concluir que existem processos que ocorreriam para outros valores do 
expoente n. Na prática, este processos são observados e o expoente n pode ser 
determinado por ajuste da curva no diagrama p – v. As infinitas combinações de calor 
e trabalho que podem ocorrer simultaneamente inviabilizam um tratamento teórico 
para a determinação do estado final do processo a partir de um estado pré 
determinado. O caminho percorrido na mudança de estado num diagrama p – v 
 58
 
pressupõe, no caso mais geral, uma compressão ou expansão com adição ou retirada 
de calor simultânea. Desta forma, o coeficiente politrópico n é mais facilmente 
determinado por investigação experimental. 
O trabalho envolvido pode ser determinado por 
∫−= pdvW . 
Para um processo em que , cpvn =
∫ −−−=−=
−−2
1
1
1
111
1
222
v
v
nnnn
n n
vvpvvp
v
dvcW . 
Como a constante c pode ser escrita como, ou , então, nvp 11
nvp 22
1
`1122
−
−=
n
vpvp
W . 
Para qualquer processo politrópico, 
n
v
v
p
p
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
1
2
2
1 . 
 
Estas equações são válidas tanto para vapores como para gases perfeitos. A 
reversibilidade destes processos politrópicos é interna. 
 
Considere agora um processo politrópico para um gás perfeito cuja lei é . RTpv =
Substituindo-se na equação obtém-se constante=npv
constante=nv
v
RT ou, . constante1 =−nTv
Manipulando-se as equações, conclui-se que, 
constante./)1( =− nnp
T 
As equações acima podem ser rescritas como 
 59
 
1
1
2
2
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
n
v
v
T
T
 ou 
nn
p
p
T
T
/)1(
2
1
2
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= . 
É importante ressaltar que as equações acima não se aplicam para vapores em 
processos politrópicos uma vez que na derivação partiu-se da equação de estado dos 
gases perfeitos. 
Aplicando-se a primeira lei, podemos obter relações úteis para se determinar o calor e 
o trabalho envolvidos em processos politrópicos. Isto somente é possível por que 
temos meios de quantificar o trabalho realizado no processo entre os estados 1 e 2. 
Muitas vezes é conveniente escrevermos a expressão para o trabalho num processo 
politrópico, de um gás perfeito, em termos das temperaturas finais e iniciais. 
Partindo da relação, 
 
1
1122
−
−=
n
vpvp
W 
e sabendo-se que e 111 RTvp = 222 RTvp = , chega-se à 
1
)( 12
−
−=
n
TTmR
W . 
Com a primeira lei, 
)( 1212 TTcuuWQ v −=−=+ e a expressão para o trabalho, obtém-se 
)(
1
)(
12
12 TTc
n
TTR
Q v −=−
−+ . 
Portanto, 
1
)(
1
12
−
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=
n
TTRnQ γ
γ . 
Num processo politrópico, a relação entre o calor e o trabalho é dada por, 
 
 60
 
WnQ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=
1γ
γ . 
Num processo de compressão, W é positivo. Como (γ-1) é sempre positivo, duas 
situações se apresentam. 
Quando n é maior que γ, num processo de compressão, calor deve ser adicionado ao 
sistema. Por outro lado, quando n é menor que γ, num processo de compressão, calor 
deve ser rejeitado pelo gás. 
Num processo de expansão, sendo n menor que γ, calor deve ser adicionado durante o 
processo. Quando n é maior que γ, numa expansão, calor deve ser rejeitado pelo gás. 
Este processo estão apresentados na Fig. IV-4. 
 
 v
 p
 n=∞ n=γ
 n=1
 n=0
 n=∞
 n=γ
 n=1
 n=0
 Aquecimento a volume constante
Compressão adiabática reversível
 Compressão isotérmica
 Resfriamento a pressão constante
 
 
Figura IV-4: Processos politrópicos num diagrama p – v. 
 
Naturalmente, partindo-se da origem nas direções contrárias os seguintes processos 
seriam identificados: 
 
Para n = ∞, resfriamento a volume constante. 
Para n = γ, expansão adiabática reversível. 
Para n = 1, expansão isotérmica. 
Para n = 0, aquecimento a pressão constante. 
 
 
 
 
 61
 
Processo reversível em sistema aberto (com fluxo de massa) 
 
Processos com fluxo de massa possuem alto grau de irreversibilidade. Contudo para 
se realizar uma comparação com casos ideais, pode-se assumir, por conveniência, que 
tais processos são reversíveis. 
A primeira lei para tais processos é, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
22
2
2
2
2
1
1
C
hWQ
C
h . 
Sendo o processo adiabático reversível, Q = 0, tem-se, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−=
22
2
1
2
2
12
CC
hhW . 
Pode-se observar, claramente, que este trabalho é completamente diferente daquele 
onde o sistema era fechado. Isto porque outras formas de trabalho estão envolvidas, 
tais como forças de pressão entre o gás em movimento e a vizinhança (paredes). 
Contudo, o processo continua sendo válido. constante=γpv
Isto é, um observador viajando junto comuma dada quantidade de fluido observaria 
as mudanças nas propriedades termodinâmicas como se o processo ocorresse num 
sistema fechado. Isto é, veria a pressão e o volume específico seguirem a relação 
acima para um gás perfeito submetido a um processo adiabático reversível. 
O trabalho na expressão acima pode ser calculado uma vez que o estado final (h2) 
pode ser determinado pela expressão . A energia cinética esta 
relacionada com o fluxo mássico, a massa específica e a geometria de entrada e saída 
do volume de controle. 
constante=γpv
É importante observar que mesmo deprezando-se a energia cinética neste processo o 
trabalho envolvido é diferente daquele para sistema fechado ( 12 uuW −= ) entre os 
mesmos estados. 
 
 
 
 
 62
 
Exemplo IV-6: 
 
Uma turbina gás recebe gases de uma câmara de combustão a 7 bar e 650 °C com 
velocidade de 9 m/s. Os gases deixam a turbina a 1 bar com velocidade de 45 m/s. 
Assumindo-se que a expansão é adiabática reversível, no caso ideal, calcule a 
potência fornecida pelo fluxo unitário de massa. 
Dados: 
333.1=γ 
11.1=pc kJ / kg K 
 
Da primeira lei, 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−=
22
2
1
2
2
12
CC
hhmW & . 
Para um gás perfeito, , portanto, Tch p=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++−=
22
)(
2
1
2
2
12
CC
TTcmW p& . 
Como o processo é idealmente adiabático reversível, 
626.1
1
7 333.1/)1333.1(
/)1(
2
1
2
1 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
−− γγ
p
p
T
T
 
Portanto, 
7.567
626.12
== TT K 
Para um fluxo mássico unitário, 
4.39397.04.394
102
945)9237.567(11.11 5
22
−=+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
×
−+−×=W kW. 
O trabalho fornecido é então de 393.4 kW. 
 
 63
 
Processos irreversível em sistema aberto (com fluxo de massa) 
 
Processos irreversíveis são a regra, não a exceção, em aplicações práticas. Contudo, o 
desenvolvimento das equações da termodinâmica clássica são aplicadas, na maioria 
dos casos, para processos irreversíveis. Conforme foi apresentado, para que um 
processo seja tomado como reversível, calor nunca deve ser transferido para ou do 
sistema através de diferencial de temperatura finito. Desta forma, somente processos 
que ocorrem a temperatura constantes seriam concebíveis, uma vez que na maioria 
das vezes, a temperatura do sistema muda continuamente. Isto implica em que a 
temperatura do meio deveria se alterar continuamente e de maneira correspondente as 
alterações do fluido de trabalho. Isto é quase impossível de se colocar em prática. 
Contudo, se aceitarmos irreversibilidades ocorrendo na vizinhança, podemos tomar 
muitos processos como internamente reversíveis. Isto é, o sistema sofre um processo 
que é reversível mas a vizinhança é alterada irreversivelmente. 
 
Expansão Livre † 
 
Um exemplo prático onde ocorre irreversibilidade pode ser visto numa expansão não 
resistida. 
Dois vasos A e B são conectados por uma válvula e estão inicialmente a pressões 
diferentes. Para garantir que não há transferência de calor do sistema (vaso A + vaso 
B) para a vizinhança, providencia-se um perfeito isolamento térmico. Abre-se a 
válvula e o vaso de mais alta pressão libera gases para o de baixa pressão (vácuo). 
Como a expansão é não resistida, nenhum trabalho foi realizado. Sendo as paredes 
adiabáticas nenhum calor for trocado, portanto, 
012 =−=+ uuWQ . Logo, 
12 uu = . Introduzindo-se o conceito de calor específico a volume constante, 
21 TcTc vv = . Consequentemente, 21 TT = . 
Isto é , numa expansão livre e adiabática de gás perfeito, a temperatura é invariável. 
O conceito de irreversibilidade pode ser observado neste processo uma vez que para 
retornar o sistema ao estado inicial algum trabalho de compressão deve ser 
 64
 
providenciado. Desta forma, o sistema mais a vizinhança sofreram alteração e isto é 
suficiente para caracterizar um processo irreversível. 
 
Mistura Adiabática † 
Como segundo exemplo de processo irreversível podemos citar a mistura adiabática 
de dois fluidos. A mistura de diferentes fluxos mássicos (Fig. IV-5) é uma prática 
muito comum em engenharia. 
2
1 3
 
Figura IV-5: Mistura adiabática. 
Devemos providenciar balanço de massa e energia. 
Massa, 
321 mmm &&& =+ 
Energia, 
332211 hmhmhm &&& =+ . 
Se as substâncias de trabalho forem gases perfeitos, podemos operar a equação da 
energia, obtendo, 
32211222111 )( TcmcmTcmTcm pppp &&&& +=+ . 
Se os calores específicos não variarem, 
3212211 )( TmmTmTm &&&& +=+ . 
As irreversibilidades são observadas no processo dinâmico da mistura (turbulência) e 
no caso de substâncias diferentes, alguma energia deve ser gasta para separar os 
componentes da mistura. 
 65
	Máquinas Térmicas