Slides de Estatistica Descritiva

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Probabilidade e Estatística 
 Prof. Dr.Narciso Gonçalves da Silva 
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva 
Estatística Descritiva 
Distribuição de frequência 
Para obter informações de interesse sobre 
a característica em estudo, deve-se agrupar 
os dados obtidos em uma distribuição de 
frequência, onde os valores observados 
não mais aparecerão individualmente. 
Distribuição de frequência 
Os dados abaixo representam as idades (em 
anos) dos alunos de Estatística de um 
determinado curso da UTFPR de Curitiba do 
ano de 2010. 
 
 20 21 21 21 22 22 22 
 22 23 23 23 23 23 23 
 23 24 24 24 24 24 24 
 24 24 24 25 25 25 25 
 25 25 26 26 26 26 28 
‘ 
R
o
l 
C
re
s
c
e
n
te
 
Distribuição de frequência 
Idade (xi) Número de alunos (fi) 
20 1 
21 3 
22 4 
23 7 
24 9 
25 6 
26 4 
27 0 
28 1 
Total 35 
fac 
1 
4 
8 
15 
24 
30 
34 
34 
35 
fr 
1/35 
3/35 
4/35 
7/35 
9/35 
6/35 
4/35 
0/35 
1/35 
1 
Histograma 
HISTOGRAMA
0
2
4
6
8
10
20 21 22 23 24 25 26 27 28
idades
fre
qü
ên
ci
a
Distribuição de frequência em classes 
Considere o exemplo: 
As alturas (em metros) de 30 alunos de uma 
sala de aula são os seguintes: 
 
1,50 1,53 1,68 1,51 1,63 1,65 
1,54 1,55 1,65 1,56 1,57 1,50 
1,60 1,48 1,61 1,52 1,63 1,47 
1,52 1,50 1,52 1,46 1,45 1,66 
1,65 1,59 1,51 1,58 1,62 1,60 
 
 
Chama-se classe o intervalo considerado para 
as alturas. 
Para se construir uma distribuição de freqüência 
utilizando classes, deve-se determinar: 
a) Número de classes (k): 
 Utiliza-se a Fórmula de Sturges: 
 k = 1 + 3,32.log n 
 onde: n = é o número de dados 
 e k deve ser um número inteiro positivo 
 
b) Amplitude total dos dados (A): 
 A = Xmax – Xmin, onde Xmax é o valor máximo 
 da amostra e Xmin é o valor mínimo da amostra 
Distribuição de frequência em classes 
c) Intervalo de classe (h): 
 h = A/k 
 h deve ser um valor de modo que as classes 
 acomodem todos os dados da amostra 
 
d) Limite inferior (Li) e Limite superior (Ls) da 
 classe: 
 Li é o menor valor dos dados da amostra 
 Ls = Li + h 
Distribuição de frequência em classes 
Distribuição de frequência em classes 
Alturas (m) fi fac xi 
 1,45 |― 1,49 4 4 1,47 
 1,49 |― 1,53 8 12 1,51 
 1,53 |― 1,57 4 16 1,55 
 1,57 |― 1,61 5 21 1,59 
 1,61 |― 1,65 4 25 1,63 
 1,65 |― 1,69 5 30 1,67 
Total 30 
Medidas de Tendência Central 
Medidas de tendência central são medidas 
estatísticas, cujos valores estão próximos do 
centro de um conjunto de dados dispostos 
ordenadamente em rol crescente ou decrescente. 
 
As mais conhecidas são: 
• Média aritmética 
• Média geométrica 
• Média harmônica 
• Mediana 
• Moda 
C
o
n
c
e
it
o
s
 
Média Aritmética 
a) Dados brutos 
A média aritmética de um conjunto de “n” valores 
x1, x2, x3, ... ,xn é definida por: 
 
 
 n
x
n
xxxx
x
n
i
i
n



 1321
...
Exemplo: 
As idades (em anos) de 5 jogadores de futebol são: 18, 16, 
15, 17, 17 
A média aritmética das idades destes jogadores é: 
 
 6,16
5
171715161854321 




n
xxxxx
x
anos 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Média Aritmética 
b) Dados agrupados 
Se x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1, 
f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média aritmética é 
dada por: 
 
 
n
fx
n
fxfxfxfx
x
k
i
ii
kk



 1332211
.
.......
Caso os dados sejam distribuídos em classes, 
os valores x1, x2, x3,...,xk correspondem aos 
pontos médios das “k” classes, ou seja: 
 
 
 
2
si
i
LL
x


M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Média Aritmética (Exemplo) 
Idade 
(xi) 
Número de 
alunos (fi) 
xi.fi 
20 1 20 
21 3 63 
22 4 88 
23 7 161 
24 9 216 
25 6 150 
26 4 104 
27 0 0 
28 1 28 
Total 35 830 
...714,23
35
830
==x
71,23~x
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
anos 
Média Aritmética (Exemplo) 
Alturas (m) fi xi xi.fi 
 1,45 |― 1,49 4 1,47 5,88 
 1,49 |― 1,53 8 1,51 12,08 
 1,53 |― 1,57 4 1,55 6,20 
 1,57 |― 1,61 5 1,59 7,95 
 1,61 |― 1,65 4 1,63 6,52 
 1,65 |― 1,69 5 1,67 8,35 
Total 30 46,98 
metros==x 57,1~...5666,1
30
98,46M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Média Geométrica 
a) Dados brutos 
A média geométrica de um conjunto de “n” valores 
x1, x2, x3, ... ,xn é definida por: 
 
 
 
n
nxxxx .... 321 
n
x
n
i
i
1
log
10Mg = = 
Exemplo: 
A média geométrica das idades dos 5 jogadores de futebol 
do exemplo citado anteriormente é: 
6,1617.17.15.16.185 
Mg = anos M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Média Geométrica 
b) Dados agrupados 
Se x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1, 
f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média geométrica é 
dada por: 
n f
k
fff kxxxx .... 321 321 
Mg = n
xf
k
i
ii
1
log.
10= 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Média Geométrica (Exemplo) 
Idade 
(xi) 
Número de 
alunos (fi) 
20 1 
21 3 
22 4 
23 7 
24 9 
25 6 
26 4 
27 0 
28 1 
Total 35 
35
09,48
10Mg = 
Mg = 23,66 anos 
fi.log xi 
1,30 
3,97 
5,37 
9,53 
12,42 
8,39 
5,66 
0 
1,45 
48,09 M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Média Geométrica (Exemplo) 
Alturas (m) fi xi fi.log xi 
 1,45 |― 1,49 4 1,47 0,67 
 1,49 |― 1,53 8 1,51 1,43 
 1,53 |― 1,57 4 1,55 0,76 
 1,57 |― 1,61 5 1,59 1,01 
 1,61 |― 1,65 4 1,63 0,85 
 1,65 |― 1,69 5 1,67 1,11 
Total 30 5,83 
Mg = 56,11010 30
83,5
log.
1
==
∑
n
xf
k
=i
ii
metros M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Média Harmônica 
a) Dados brutos 
A média harmônica de um conjunto de “n” valores 
x1, x2, x3, ... ,xn é definida por: 
n
h
x
++
x
+
x
+
x
n
=M
1
...
111
321
Exemplo: 
A média harmônica das idades dos 5 jogadores de futebol 
do exemplo anterior é: 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
54,16
17
1
17
1
15
1
16
1
18
1
5
=
++++
=Mh
anos 
Média Harmônica 
b) Dados agrupados 
Se x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1, 
f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média aritmética é 
dada por: 
Caso os dados sejam distribuídos em classes, 
os valores x1, x2, x3,...,xk correspondem aos 
pontos médios das “k” classes. 
 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
n
k
k
=i
i
h
x
f
++
x
f
+
x
f
+
x
f
f
=M
∑
...
3
3
2
2
1
1
1
Média Harmônica (Exemplo) 
Alturas (m) fi xi fi/xi1,45 |― 1,49 4 1,47 2,72 
 1,49 |― 1,53 8 1,51 5,30 
 1,53 |― 1,57 4 1,55 2,58 
 1,57 |― 1,61 5 1,59 3,14 
 1,61 |― 1,65 4 1,63 2,45 
 1,65 |― 1,69 5 1,67 2,99 
Total 30 19,18 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
56,1
18,19
30
...
3
3
2
2
1
1
1 ==
x
f
++
x
f
+
x
f
+
x
f
f
=M
n
k
k
=i
i
h
∑
m 
Mediana 
a) Dados brutos 
A mediana Me de um conjunto de “n” valores 
ordenado x1, x2, x3,...,xn é representada pelo 
valor central do conjunto para “n” ímpar e pela 
média aritmética dos dois valores centrais para 
“n” par. 
Exemplos: 
a) 3, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12 
Como n = 9, então, Me = 7 
 
b) 3, 3, 4, 5, 7, 7, 9, 10 
Como n = 8, então, Me = 
6
2
75


 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Mediana 
a) Dados agrupados em intervalos de classes 
Utiliza-se a expressão: 
h
f
fP
LM
eM
ac
ie .
'







 

2
n
P 
Onde: é a posição da classe mediana 
iL
acf
'
eM
f
h
é o limite inferior da classe mediana 
é a frequência acumulada da classe 
anterior à classe mediana 
é frequência da classe mediana 
é intervalo da classe mediana 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Mediana 
Exemplo 1: 
Determine a mediana da distribuição abaixo. 
Idade 
(xi) 
Número de 
alunos (fi) 
fac 
20 1 1 
21 3 4 
22 4 8 
23 7 15 
24 9 24 
25 6 30 
26 4 34 
27 0 34 
28 1 35 
Total 35 
Posição da mediana: 
altura==P a5,17
2
35
Me = 24 anos 
Como n é ímpar, a 
mediana é a 18ª idade 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Mediana 
Exemplo 2: 
Determine a mediana da distribuição abaixo. 
Alturas (m) fi fac 
1,45 |― 1,49 4 4 
1,49 |― 1,53 8 12 
1,53 |― 1,57 4 16 
1,57 |― 1,61 5 21 
1,61 |― 1,65 4 25 
1,65 |― 1,69 5 30 
Total 30 
Posição da mediana: 
h
f
fP
+L=M
eM
ac
ie ).
-
(
'
altura==P a15
2
30
04,0).
4
12-15
(53,1 +=Me
Me = 1,56 metros 
Cálculo da mediana: 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Moda 
a) Dados brutos 
A moda Mo de um conjunto de “n” valores x1, 
x2, x3,...,xn é o número desse conjunto que 
possuir a maior repetição. Se o conjunto não 
tiver valores repetidos não existirá moda 
(amodal) e se dois valores estiverem 
igualmente repetidos, tem-se então duas 
modas e o conjunto será dito bimodal. 
A moda é o valor ao qual está associado a 
freqüência mais alta. 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Moda 
a) Dados agrupados em intervalos de classes 
 
Fórmula de Czuber: 
hLM io .
21
1









iL
1
2
h
Onde: 
é o limite inferior da classe modal. Chama-se classe 
modal à classe de maior freqüência absoluta 
 é a diferença entre a freqüência da classe modal e 
a freqüência da classe imediatamente anterior 
 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a 
freqüência da classe imediatamente posterior 
 é o intervalo da classe modal. M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Moda 
Exemplo 1: 
Determine a moda da distribuição abaixo. 
Idade 
(xi) 
Número de 
alunos (fi) 
20 1 
21 3 
22 4 
23 7 
24 9 
25 6 
26 4 
27 0 
28 1 
Total 35 
Moda é a idade que mais 
se repete, ou seja, a que 
tem maior frequência. 
 
Logo, Mo = 24 anos. 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Moda 
Exemplo 2: 
Determine a moda da distribuição abaixo. 
k Alturas (m) fi fac 
1 1,45 |― 1,49 4 4 
2 1,49 |― 1,53 8 12 
3 1,53 |― 1,57 4 16 
4 1,57 |― 1,61 5 21 
5 1,61 |― 1,65 4 25 
6 1,65 |― 1,69 5 30 
Total 30 
Classe modal: 2ª 
h
Δ+Δ
Δ
+L=M io ).(
21
1
04,0).
44
4
(49,1
+
+=Mo
Mo = 1,51 metros 
Cálculo da moda: 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 T
e
n
d
ê
n
c
ia
 C
e
n
tr
a
l 
Medidas de Dispersão 
As medidas de tendência central, por si só, não 
são suficientes para caracterizar duas 
distribuições estatísticas. 
 Exemplo: 
 Dois candidatos à emprego fizeram 5 provas e 
 vamos comparar seus rendimentos com base na 
 media aritmética. 
Candidato A: 70, 71, 69, 70, 70 Média = 70 
Candidato B: 40, 80, 98, 62, 70 Média = 70 
 Com base somente na média aritmética diríamos 
que os dois candidatos apresentaram o mesmo 
rendimento. Porém, como podemos observar o 
candidato A apresentou notas mais uniformes. 
C
o
n
c
e
it
o
s
 
Medidas de Dispersão 
Para avaliar quantitativamente o grau de 
variabilidade ou dispersão dos valores de um 
conjunto de números em torno do valor médio, 
utiliza-se ferramentas estatísticas denominadas 
medidas de dispersão. 
 
As principais medidas são: 
• Amplitude total 
• Desvio médio 
• Variância 
• Desvio-padrão 
• Coeficiente de variação 
C
o
n
c
e
it
o
s
 
Amplitude Total 
Dia Amplitude 
Empregado 
1° 2° 3° 4° 5° 
Média 
total 
A 82 70 65 60 73 70 82 – 60 = 22 
B 60 78 68 62 82 70 82 – 60 = 22 
C 53 72 75 75 75 70 75 – 53 = 22 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo apresenta o rendimento diário (em %) de 
três empregados: 
Amplitude total é a diferença entre o maior e o 
menor valor dos dados. 
Muitas vezes a amplitude total não é a medida de 
dispersão mais adequada para avaliar a dispersão, como 
mostrou o exemplo anterior. 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
o
 
Desvio Médio (d) 
O desvio médio de um conjunto de “n” valores 
x1, x2, x3, ... , xn é dada pela expressão: 
n
xx∑
n
=i
i
1
-
d = 
Para dados agrupados: 
n
xxf∑
k
=i
ii
1
-
d = 
Esta medida de dispersão considera todos os 
valores do conjunto de dados. 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
o
 
Variância Amostral (s2) 
1-
)-(
1
2
n
xx∑
n
=i
i
A variância de um conjunto de “n” valores x1, x2, 
x3, ... , xn é a média aritmética dos quadrados 
do desvio médio de cada valor se estes dados 
são de uma população. 
s2 = 
1-
.)-(
1
2
n
fxx∑
k
=i
ii
Para dados agrupados: s2 = 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
o
 
Se os dados são de uma amostra, a variância é 
dada pela expressão: 
Desvio-padrão (s) 
Desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, 
ou seja: 
1-
)-(
1
2
n
xx∑
n
=i
is = 
1-
.)-(
1
2
n
fxx∑
k
=i
ii
s = 
para dados brutos 
para dados agrupados M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
o
 
Desvio-padrão (s) 
s = 3 
1 2 3 4 5 6 7 
s = 1,0 
1 2 3 4 5 6 7 
s = 0,8 
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 
s = 0 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
0 
O desvio-padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
o
 
Coeficiente de Variação (CV) 
Coeficiente de variação é a razão entre o 
desvio-padrão e a média aritmética, em 
porcentagem, ou seja: 
100.
x
s
cv = 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
oExemplo 1 
Idade 
(xi) 
Número 
de 
alunos 
(fi) 
20 1 13,76 
21 3 22,03 
22 4 11,70 
23 7 3,53 
24 9 0,76 
25 6 9,98 
26 4 20,98 
27 0 0 
28 1 18,40 
Total 35 101,14 
ii fxx .)-(
2
1-
.)-(
1
2
n
fxx∑
k
=i
ii
s = 
1-35
14,101s = 
s = 1,72 anos 
100.
x
scv = 
%25,7=100.
71,23
72,1
cv = 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
o
 
Exemplo 2 
Alturas (m) fi xi 
1,45 |― 1,49 4 1,47 0,0324 
1,49 |― 1,53 8 1,51 0,0200 
1,53 |― 1,57 4 1,55 0,0004 
1,57 |― 1,61 5 1,59 0,0045 
1,61 |― 1,65 4 1,63 0,0196 
1,65 |― 1,69 5 1,67 0,0605 
Total 30 0,1374 
ii fxx .)-(
2
07,0
29
1374,0
1-
.)-(
1
2
==
n
fxx∑
k
=i
ii
%46,4100.
57,1
07,0
100. ==
x
scv = 
s = metros M
e
d
id
a
s
 d
e
 D
is
p
e
rs
ã
o
 
Medidas de Posição ou Separatrizes 
São medidas que dividem um conjunto de 
valores em um certo número de partes iguais. A 
mediana, por exemplo, divide um conjunto de 
dados em duas partes iguais. 
C
o
n
c
e
it
o
s
 
As outras principais medidas de posição são: 
• Quartis 
• Decis 
• Centis ou Percentis 
Quartis 
O quartil divide um conjunto de valores ordenado em 
quatro partes iguais. O primeiro quartil (Q1) é o valor 
que antecede 25% da freqüência abaixo dele e 
sucede 75%, segundo quartil (Q2) é igual ao valor da 
mediana e terceiro quartil (Q3) é o valor que antecede 
75% da freqüência abaixo dele e sucede 25%. 
A expressão para cálculo do quartil “i” é a mesma da 
mediana: 
h
f
fP
+L=Q
IQ
aci
ii ).
-
(
'
4
.ni
=Pi
Onde a posição do quartil “i” é dada por: 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 P
o
s
iç
ã
o
 
com i = 1, 2, 3 
Quartis 
Idade 
(xi) 
Número de 
alunos (fi) 
fac 
20 1 1 
21 3 4 
22 4 8 
23 7 15 
24 9 24 
25 6 30 
26 4 34 
27 0 34 
28 1 35 
Total 35 
4
.ni
=Pi
Exemplo: 
Determine o 3º quartil das idades dos 35 alunos: 
Posição do Q3: 
25,26
4
35.3
3 ==P
Entre a 26ª e a 27ª idade 
Logo, Q3 = 25 anos 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 P
o
s
iç
ã
o
 
Decis 
O decil divide um conjunto de valores 
ordenados em dez partes iguais e são 
representados por D1, D2, ... , D9. O 5º decil é a 
mediana. 
 
A expressão para calcular o decil “i” é: 
h
f
fP
+L=D
ID
aci
ii ).
-
(
'
10
.ni
=Pi
Onde a posição do decil “i” é dada por: 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 P
o
s
iç
ã
o
 
com i = 1, 2, ... , 9 
Centis ou Percentis 
O centil divide um conjunto de valores 
ordenados em 100 partes iguais e são 
representados por C1, C2, ... ,C99. O 50º centil é 
a mediana e o 25º e 75º centis correspondem 
ao 1º e ao 3º quartis, respectivamente. 
 
A expressão para calcular o centil “i” é: 
h
f
fP
+L=C
IC
aci
ii ).
-
(
'
100
.ni
=Pi
Onde a posição do centil “i” é dada por: 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 P
o
s
iç
ã
o
 
com i = 1, 2, 3, ... , 99 
Exemplo 
Alturas (m) fi fac 
1,45 |― 1,49 4 4 
1,49 |― 1,53 8 12 
1,53 |― 1,57 4 16 
1,57 |― 1,61 5 21 
1,61 |― 1,65 4 25 
1,65 |― 1,69 5 30 
Total 30 
No exemplo das alturas dos 30 alunos determine o 3º 
quartil, 6º decil e 20º centil. 
Posição do 3º quartil: 
h
f
fP
+L=Q
IQ
aci
ii ).
-
(
'
a==P 5,22
4
30.3
3
04,0).
4
12-5,22
(61,13 +=Q
Q3 = 1,63 metros 
Cálculo do 3º quartil: 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 P
o
s
iç
ã
o
 
Interpretação: 75% dos alunos têm 
altura menor ou igual a 1,63 m e 25% 
das alturas são superiores a 1,63 m 
Exemplo 
Alturas (m) fi fac 
1,45 |― 1,49 4 4 
1,49 |― 1,53 8 12 
1,53 |― 1,57 4 16 
1,57 |― 1,61 5 21 
1,61 |― 1,65 4 25 
1,65 |― 1,69 5 30 
Total 30 
Posição do 6º decil: 
h
f
fP
+L=D
ID
aci
ii ).
-
(
'
a==P 18
10
30.6
6
04,0).
5
61-81
(57,16 +=D
D6 = 1,59 metros 
Cálculo do 6º decil: 
altura 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 P
o
s
iç
ã
o
 
Exemplo 
Alturas (m) fi fac 
1,45 |― 1,49 4 4 
1,49 |― 1,53 8 12 
1,53 |― 1,57 4 16 
1,57 |― 1,61 5 21 
1,61 |― 1,65 4 25 
1,65 |― 1,69 5 30 
Total 30 
Posição do 20º centil: 
h
f
fP
+L=C
IC
aci
ii ).
-
(
'
a==P 6
100
30.20
20
04,0).
8
4-6
(49,120 +=C
C20 = 1,50 metros 
Cálculo do 20º centil: 
altura 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 P
o
s
iç
ã
o
 
Medidas de Assimetria 
As medidas de assimetria procuram 
caracterizar o quanto o histograma de uma 
distribuição de freqüência se afasta da 
condição de simetria em relação à uma medida 
de tendência central. 
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Distribuição assimétrica 
positiva 
Distribuição assimétrica 
negativa 
C
o
n
c
e
it
o
s
 
Coeficiente de Assimetria de Pearson (A) 
s
Mx
=A
o-
A
A
O grau de assimetria de uma distribuição de 
frequência pode ser avaliada utilizando o 
coeficiente de Pearson: 
• < 0,15 : distribuição praticamente simétrica 
A
• 0,15 < < 1 : distribuição assimétrica moderada 
• > 1 : distribuição fortemente assimétrica M
e
d
id
a
s
 d
e
 A
s
s
im
e
tr
ia
 
Medidas de Curtose 
As medidas de curtose caracterizam uma 
distribuição simétrica ou aproximadamente 
simétrica quanto ao seu achatamento, tomando 
como referência uma distribuição normal, que 
será objeto de estudo mais adiante. 
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mesocúrtica 
(normal) 
Platicúrtica Leptocúrtica 
C
o
n
c
e
it
o
s
 
Coeficiente Percentílico de Curtose (C) 
)-(2
-
1090
2575
CC
CC
=C
O grau de achatamento com relação a 
distribuição normal de uma distribuição de 
frequência pode ser avaliado através do 
coeficiente percentílico: 
• Se C = 0,263: distribuição é mesocúrtica (normal) 
• Se C < 0,263: distribuição leptocúrtica (alongada) 
• Se C > 0,263: distribuição platicúrtica (achatada) 
Onde C10, C25, C75 e C90 são os 10º, 25º, 75º e 
90º centis (ou percentis) 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 C
u
rt
o
s
e
 
Exemplo 
Alturas (m) fi fac 
1,45 |― 1,49 4 4 
1,49 |― 1,53 8 12 
1,53 |― 1,57 4 16 
1,57 |― 1,61 5 21 
1,61 |― 1,65 4 25 
1,65 |― 1,69 5 30 
Total 30 
Classifique a distribuição abaixo quanto a assimetria e 
curtose 
07,0
51,1-1,57
=A
s
Mx
=A
o-
86,0=A
Distribuição com 
assimetria moderada 
M
e
d
id
a
s
 d
e
 A
s
s
im
e
tr
ia
 e
 C
u
rt
o
s
e
 
Exemplo 
Alturas (m) fi fac 
1,45 |― 1,49 4 4 
1,49 |― 1,53 8 12 
1,53 |― 1,57 4 16 
1,57 |― 1,61 5 21 
1,61 |― 1,65 4 25 
1,65 |― 1,69 5 30 
Total 30 
Logo, a distribuição é 
platicúrtica 
48,104,0).
4
0-3
(45,110 =+=C
51,104,0).
8
4-7,5
(49,125 =+=C
63,104,0).
4
21-22,5
(61,175 =+=C
263,0316,0
)48,1-67,1.(2
1,51-1,63
>==C
67,104,0).
5
25-27
(65,190 =+=C
M
e
d
id
a
s
 d
e
 A
s
s
im
e
tr
ia
 e
 C
u
rt
o
s
e