Lista24 Séries de Taylor e Maclaurin

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SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN  1
1-2 Encontre a série de Maclaurin de f (x) usando a definição de 
uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma 
série de potências. Não mostre que Rn(x) → 0.] Também encontre o 
raio de convergência associado.
 1. f x
1
1 x 2+
= 2. f x
x
1 x−
=
3-6 Encontre a série de Taylor de f (x) centrada no valor dado de 
a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não 
mostre que Rn(x) → 0.]
 3. , a 1f x 1 x= =
 4. , a 4f x x= =
 5. , a 4f x sen x= = pi
 6. , a 4f x cos x= = pi
7-13 Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de 
Maclaurin da função dada. 
 7. f x e 3x= 8. f x sen 2x=
 9. f x x 2 cos x= 10. f x cos x 3=
 11. f x x sen x 2= 12. f x xe x=
 13. f x
1
2
1 cos x
x 2
se x 0
se x 0
−
=
=
=
14-15 Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e 
seu raio de convergência. Trace f e seus primeiros polinômios de 
Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre 
esses polinômios e f ?
 14. f x 1 1 2x+= 15. f x 1 x 3+=
 16. Use a série de Maclaurin de ln(1 + x) e para calcular ln 1,1 
com precisão de cinco casas decimais. 
17-18 Calcule a integral indefinida como uma série infinita.
 17. sen x 2 dx 18. e x 3 dx
 
19-20 Use uma série para aproximar a integral definida com 
precisão de três casas decimais. 
 19. 
1
0
 sen x 2 dx 20. 
0,5
0
 cos x 2 dx
 21. Use multiplicação ou divisão de séries de potências para 
encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série 
de Maclaurin de
 
y
ln 1 x
e x
−
=
22-24 Encontre a soma da série.
 22. 
x 3n 1
n!
+∞
n=2
 23. 
xn 1
n 1 !+
+∞
n=0
 24. 
xn
2 n n 1 !+
∞
n=0
 25. Mostre que ex > 1 + x para todo x > 0.
 26. Mostre que x 1 12 x 2+≥ para todo x.
27-32 Use a série binomial para expandir a função como uma série 
de potência. Diga o raio de convergência.
 27. 3 1 x 2 28. 
x
1 x
 29. 
1
2 x 30. 
x 2
1 x3
 31. 
x
1 x
5
 32. 5 x 1
 33. (a) Expanda 1 1 x+ como uma série de potências. 
 (b) Utilize a parte (a) para estimar 1 1,1 com precisão de 
três casas decimais.
 34. (a) Expanda 3 8 x como uma série de potências. 
 (b) Utilize a parte (a) para estimar 3 8,2 com precisão de 
quatro casas decimais.
11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador.
Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
2  SEÇÃO 11.10 SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
 1. 
∞
n=0
(−1)n (n + 1) x n, R = 1
 2. 
∞
n=1
x n, R = 1
 3. 
∞
n=0
(−1)n (x − 1)n, R = 1
 4. 2+
x − 4
4
+
∞
n=2
(−1)n−1 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 3)
23n − 1n !
(x − 4)n ,
R = 4
 5. 
2
2
∞
n=0
(−1)n 1
(2n )!
x − pi
4
2n
+
1
(2n + 1 )!
x − pi
4
2n+1
, R = ∞
 6. 
2
2
∞
n=0
(−1)n (n − 1) / 2 x + pi4
n
n !
, R = ∞
 7. 
∞
n=0
3n x n
n !
, R = ∞
 8. 
∞
n=0
(−1)n 22n+1 x 2n+1
(2n + 1)!
, R = ∞
 9. 
∞
n=0
(−1)n x 2n+2
(2n )!
, R = ∞
 10. 
∞
n=0
(−1)n x 6n
(2n )!
, R = ∞
 11. 
∞
n=0
(−1)n x 2n+2
(2n + 1)!22n+1
, R = ∞
 12. 
∞
n=1
(−1)n−1 x n
(n − 1)!
, R = ∞
 13. 
∞
n=0
(−1)n x 2n
(2n + 2)!
, R = ∞
 14. 
∞
n=0
(−1)n 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
n !
x n , R = 12 .
 ,
 15. 
∞
n=0
(−1)n (n + 1) (n + 2) x n
2
, R = 1
 
,
 16. 0,09531
 17. C +
∞
n=0
(−1)n x 4n+3
(4n + 3) ( 2n + 1)! 18. 
C +
∞
n=0
x 3n+1
(3n + 1) n !
 19. 0,310 20. 0,497 21. −x + x
2
2
−
x 3
3
+ · · ·
 22. x ex
3
− 1 − x 3 23. ex− 1 24. 2
x
ex/2 − 1
 27. 1 +
x 2
3
+
∞
n=2
(−1)n − 1 · 2 · 5 · 8 · · · · · (3n − 4) x 2n
3n n !
,
R = 1
 28. x +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n n !
x n+1, R = 1
 29. 
2
2
1+
∞
n=1
(−1)n · 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x n
22n · n !
, R = 2
 30. x 2 +
∞
n=1
1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) x 3n+2
2n · n !
, R = 1
 31. 
∞
n=0
(n + 4)!
4! · n !
x n+5 , R = 1
 32. −1+
x
5
+
∞
n=2
4 · 9 · · · (5n − 6) x n
5n · n !
, R = 1
 33. (a) 1+
∞
n=1
(−1)n 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)
2n · n !
x n
(b) 0,953
 34. (a) 2 1+
x
24
+
∞
n=2
(−1)n−1 · 2 · 5 · · · · · (3n − 4) x n
24n · n !
(b) 2,0165
11.10 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
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